非线性课件

由（III）－（II），得
ˆ n 1) 2 ˆ n (b ˆ ) yt yt ab b 1 ˆ ( III ( II )
yt yt ( III ) ( II ) ˆ b y t yt (I ) ( II )
1 n
(2)
176.5
69.0 70.5 71.5 211.0 72.3 73.0 73.5
1995 1996 1997 y
t ( II )
1998 1999 2000 y
第四节 非线性关系的处理
迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实 际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间 的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生 产函数:
Q AK L
就是一例。 在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为 线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来 讨论这个问题。
y=atb y=abt
非线性模型的基本类型
序号 名称 非线性回归函 非线性趋势函 数 数
6
对数模型
y=a+blnx lny=a+bx lny=a+blnx y=a+b/x
y=a+blnt lny=a+bt lny=a+blnt y=a+b/t
y=k+abt
y 1 k ab t
bt
7
8 9 10
（c）
yt
yt
（d）
a>0
a>0
0<b<1
k
b>1
k t 0 t 0 K表示yt的衰退终止极限值。 K表示yt的初始极限值。
经济预测中，最常用的是图（a）中的曲线， 即经济变量y各期增长速度（环比速度）大致相同， 但前期增长速度快，后期增长速度慢，且具有饱 和趋势。
ˆ abt e (t=0,1,2,…,3n-1) ˆˆ y 修正指数模型： t K t ˆ ab n ˆ ˆ abt yn k ˆ ˆ ˆ yt K ˆ
例4．上例在确定货币需求量的关系式时，我们实际上 给模型加进了一个结束条件。根据理论假设，在某一利率 水平上，货币需求量在理论上是无穷大。我们假定这个利 率水平为2%。假如不给这一约束条件，而是从给定的数 据中估计该利率水平的值，则模型变为：
M = a(r - c)b
式中a,b,c均为参数。仍采用对数变换，得到
（2）/（1）得
由（I）式解出
ˆn 1 ˆ 1 ( y ab k t ˆ b 1 ) ˆ n (I )
〔例7〕已知成达公司W产品产量的数据资料列于 下表，建立修正指数模型并预测2001、2002年w 产品的产量。
年份
1992 1993 1994 y
t (I )
年 产量y 次t （万）
一、 线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1 X 1 2 X 2 ......
其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形 式。
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或Xβ 之 类的函数形式出现在模型中。 （2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。
R 2 0.96
从上述结果可以看出，产出的资本弹性是0.23，产出 的劳动弹性为0.81。
例3．货币需求量与利率之间的关系
M
M = a(r - 2)b
这里，变量非线性和参 数非线性并存。 对此方程采用对数变换
M=a(r-2)b (a>0,b<0)
logM=loga+blog(r-2)
r=2
r
令Y=logM, X=log(r-2), β 1= loga, β 2=b 则变换后的模型为：
所以上面的方程组可改写为：
ˆ bn 1 ˆ ˆ yt nk a ˆ b 1 t 0
n 1 2 n 1
(I ) ( II )
ˆn 1 ˆ ab n b ˆˆ yt nk ˆ b 1 t n ˆ ab 2 n ˆˆ yt nk
3 n 1 t 2 n
[注释] 弹性（elasticity）：一变量变动1%所引起的另一变量变动 的百分比： Y X

X

Y
需求的收入弹性：收入变化1%，价格不变时，所引起的 商品需求量变动的百分比。 需求的价格弹性：价格变化1%，收入不变时，所引起的商 品需求量变动的百分比。
三、例子
例1 需求函数 本章§1中，我们曾给出一个食品支出为因变量，个人 可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例 子。现用这三个变量的对数重新估计（采用同样的数据） ，得到如下结果（括号内数字为标准误差）：
非线性模型的基本类型
序 号
1 2 3 4 5
名称
一次多项式 模型
二次多项式 模型
非线性回归函数
非线性趋势函 数
y=a+bx y=a+bx+cx2
y=a+bt y=a+bt+ct2
三次多项式 y=a+bx+cx2+dx3 y=a+bt+ct2+dt3 模型 幂函数模型 简单指数模 型
y=axb y=abx
一、修正指数函数
k为yt的极限参数（上、下水平渐近线）。根据a、b的 取值范围，该模型有四种形状的曲线，如下图： yt k （a） （b） yt k
ˆ abt e 其中，k、a、b为参数， yt K ˆ ˆ t
a<0
a<0
0<b<1
0
K表示yt的饱和值。
b>1
t
t
0 K表示yt的初始极限值。
二、线性化方法
对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要 的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。 例如，对于
Y 1... X4
只需定义
Z1 X 1 , Z 2
2
X3 X 2 , Z3 X4
该关系即可以重写为： Y 1 Z 1 2 Z 2 3 Z 3 ...
Y X P
其中，Y=对某商品的需求 X=收入 P=相对价格指数 ν =扰动项 可转换为：
log Y log log X log P log
用X,Y,P的数据，我们可得到logY,logX和logP,从 而可以用OLS法估计上式。 logX的系数是β 的估计值，经济含义是需求的收 入弹性，logP的系数将是γ 的估计值，即需求的价 格弹性。
非线性回归方法的步骤
1． 首先给出各参数的初始估计值（合理猜测值）; 2． 用这些参数值和X观测值数据计算Y的各期预测值 ˆ （拟合 值）Y ; 3．计算各期残差，然后计算残差平方和∑e2; ˆ 4．对一个或多个参数的估计值作微小变动； Y ˆ Y 5．计算新的Y预测值 、残差平方和∑e2； 6．若新的∑e2小于老的∑e2，说明新参数估计值优于 老估计值，则以它们作为新起点； 7．重复步骤4，5，6，直至无法减小∑e2为止。 8．最后的参数估计值即为最小二乘估计值。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 50.0 59.5 67.0
ˆ bt
1 0.6092 0.3711 0.2661 0.1377 0.0839 0.0511 0.0311 0.0190
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ab t y k abt
-22.511 -13.714 -8.354 -5.089 -3.101 -1.889 -1.151 -0.701 -0.427 51.182 59.979 65.339 68.603 70.592 71.804 72.542 72.992 73.266
t 0 2 n 1 t n
n 1
ˆ ab n (1 b b 2 ... b n1 ) ( II ) ˆ ˆ ˆ yt nk ˆ ˆ ˆ ab 2 n (1 b b 2 ... b n1 ) ( III) ˆ ˆ ˆ yt nk ˆ ˆ
此方程的变量和参数都是线性的。如果原方程的扰动 项满足高斯—马尔可夫定理条件，重写的方程的扰动项 也将满足。
参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭 重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的Xβ 或 eβ X项相乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过 两边取对数线性化。 例如，需求函数
n:每组中数据的个数。
（I）
ˆ ab 0 y0 k ˆ ˆ ˆ ab1 y k ˆˆ
1
（II）
ˆ ab n1 yn1 k ˆ ˆ
... ... ... ˆ ab n1 y k ˆˆ
n 1
... ... ... ˆ ab 2 n1 y2 n1 k ˆ ˆ ˆ ˆˆ y k ab 2 n
3 n 1 t 2n
ˆ b 1 为解得三个参数，对每个方程右端第二项均乘以 ˆ b 1
这是因为
ˆ b 2 ... b n 1 )(b 1) ˆ ˆ (1 b ˆ ˆ b 1 ˆ 1 b 2 b b 3 b 2 ... b n b n 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b ˆ b 1 ˆn 1 b ˆ b 1
Yt=β 1+β 2Xt + ut
ˆ ˆ 将OLS法应用于此模型，可求得β 1和β 2的估计值 1 , 2 从而可通过下列两式求出a和b估计值：
ˆ ˆ log( a ) 1 ˆ ˆ b
2
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如
ˆ ˆ BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量 1和 2 ，而 不一定适用于原模型参数的估计量 a和 b 。 ˆ ˆ