动点产生的线段和差问题
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm B mA Bmn mnnmnnnm（4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：m nmnm nmm2、点与圆在直线同侧：（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
无锡新领航教育2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题6：由运动产生的线段和差问题
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2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编
专题6：由运动产生的线段和差问题
1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距离”， 给出如下定义：
若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣；
若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.
例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为 ∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）。
（1）已知点A 1
(0)2-，，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；
②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；
（2）已知C 是直线3
y x 34=+上的一个动点，
①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最 小值及相应的点E 和点C 的坐标。
【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。
②21。
（2）①设C 坐标为003x x 34⎛
⎫+ ⎪⎝⎭，，如图，过点C 作
CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q 。
由“非常距离”的定义知，当OP=DQ 时，点C 与点
D 的“非常距离”最小，。
初中几何中线段和与差最值问题
v1.0可编辑可修改初中几何中线段和(差)的最值问题、两条线段和的最小值。
基本图形解析:)、已知两个定点:1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小;(1 )点A B在直线m两侧:(2)点A B在直线同侧:*A'2、在直线m n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+Q最小。
(1)两个点都在直线外侧:B(2)一个点在内侧，一个点在外侧:QB' (3)两个点都在内侧:m22（4 ）、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧,在直线m二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线 m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ）1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:围成的四边形ADEB 周长最短.n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+Q 周长最短.A"33（二）动点在圆上运动点B 在O O 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：三）、已知A B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定 在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+Q 的值最小。
（原理用平移知识解）（1 ）点A 、B 在直线m 两侧:A■- m作法：过A 点作AC// m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为 P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：2、点与圆在直 m线同侧：基础题1.如图1, / AOB45。
，P是/ AOB^一点，PO1Q, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR周长的最小值为 _____________________________分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为___________________________3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是______________ 。
中考数学之_线段和(差)的最值问题
求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短 一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nm Annnm二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nm nm nmmmmm三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P ,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’BmmmmQ m Q一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解例1（湖北荆门）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )A 2BC 1D 2解析：PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B关于MN的对称点是H，连接AH交MN于点P，AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据∠AOH＝90°，巧妙构造Rt△OAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以PA+PB的最小值为故选B。
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小; （1 ）点A B在直线m两侧：■: m（2）点A B在直线同侧:2、在直线m n上分别找两点P、Q,（1）两个点都在直线外侧: 使PA+PQ+Q最小。
BPA'B(2)一个点在内侧，一个点在外侧:Q (3)两个点都在内侧:B'B'* 2（4 ）、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得 围成的四边形ADEB 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1两点在直线两侧：（二）动点在圆上运动点B 在O O 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1点与圆在直线两侧：变式二：已知点 A 位于直线m,n 的内侧，在直线 m n 分别上求点 周长最短.P 、Q 点 PA+PQ+QA 2、两点在直线同侧:-：mP'A"B'2、点与圆在直线同侧:三)、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。
(原理用平移知识解)(1 )点A、B在直线m两侧:A■作法：过A点作AC// m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
B'(2)点A B在直线m同侧：1.如图1, / AOB45。
，P是/ AOB^一点，PO10, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR周长的最小值为______________________________2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4』^, / BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为 ___________________________ .3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是______________ 。
中考复习线段(和差)最值与动点轨迹问题(教师版)
线段最值与轨迹长度问题（江岸模三）1、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将边AC绕A点逆时针旋转得到AC′，E 为BC′的中点，则CE的最大值为。
取AB的中点，用斜边中线和中位线（2018四校3月联考）2、在平面直角坐标系，A（4，0），直线l：y＝6与y轴交于点B，点P是直线l上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，当点P的横坐标满足0≤x≤8时，则点Q的运动路径长为。
82知识点常见特殊图形的性质【知识梳理】1、等边三角形的性质2、（特殊）平行四边形的性质3、圆的相关性质4、相似三角形的性质与判定5、锐角三角函数的性质【例题精讲一】线段（和差）最值问题例1. （2017硚口模三）1、如图，A（3，0），动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO的中点为C，则线段AC的最小值为。
（2017考霸四调模拟一）2、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（3，0）、B（33，0）、C（0，5），点D在直角坐标系中，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最大值为（）A．24-D．234+32+C．272-B．27（2017东西湖6月）3、如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0）、B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，则21AP ＋BP 的最小值是 。
【课堂练习】（2017青山模一）1、如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为 。
（2017硚口四调模拟）2、如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，D 是BC 边上一动点，BE ⊥AD ，交其延长线于E ，EF ⊥AC ，交其延长线于F ，则AF 的最大值为 。
（2017外校题六）3、如图，A（0，6），B（8，0），点C是y轴上一动点，则12AC＋BC最小值为。
完整word版,初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm B mA Bmn mnn mnnn m（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：m nmnm nmm2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：练习题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。
最新中考数学之_线段和(差)的最值问题
求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短 一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nm Annnm二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nm nm nmmmmm三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’BmmmmQ m Q一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解例1 （湖北荆门）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )A 2BC 1D 2解析：PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B关于MN的对称点是H，连接AH交MN于点P，AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据∠AOH＝90°，巧妙构造Rt△OAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以PA+PB的最小值为故选B。
初中几何中线段和和差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小；（1 ）点A B在直线m两侧：AA. \*V%；-------------- *----------- * mP乂-- ---------------------------- -mBB（2）点A B在直线同侧：m A4B*------------------------------- • m2、在直线m n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+Q最小。
（1 ）两个点都在直线外侧：AQ' Q(2) —个点在内侧，一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:B'(4 )、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、v1.0可编辑可修改m分别上求点D E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧，在直线m二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点1、两点在直线两侧：‘A An分别上求点P、Q点PA+PQ+Q周长最短.P和点B）2、两点在直线同侧:（二）动点在圆上运动点B在O O上运动，在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧:mPA'n*■ / ■三)、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。
(原理用平移知识解)(1 )点A、B在直线m两侧:A-■ -------- ■P QeB作法：过A点作AC// m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
(2)点A、B在直线m同侧:B'练习题1.如图1, / AOB45。
中考数学压轴题分类解析汇编：由运动产生的线段和差问题
中考数学压轴题分类解析汇编由运动产生的线段和差问题4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩。
∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。
设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得k+n=02k+n=3-⎧⎨⎩，解得k=1n=1⎧⎨⎩。
∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。
（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′，令x=0，得y=3，即N （0，3）。
∴N′（6， 3）由()22y x 2x 3=x 1+4=-++--得D （1，4）。
设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，则 6s+t=3s+t=4⎧⎨⎩，解得1s=521t=5⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩。
∴故直线DN′的函数关系式为121y x 55=-+。
根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， ∴12118m 3=555=-⨯+。
∴使MN+MD 的值最小时m 的值为185。
（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E 与点C 重合，即E （2，3）。