二元合金非等温凝固枝晶生长的数值模拟

第３２卷第１期　２００６年２月　兰州理工大学学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖ０Ｉ．３２　Ｎ０＿１　

Ｆｅｂ．２００６　

文章编号：１６７３—５１９６（２００６）０１－００１５－０４　合金非等温凝固枝晶生长的数值模拟　王智平，肖荣振，徐建林，朱昌盛，王延露　（：Ｍ－州理工大学材料科学与工程学院，甘肃兰州　７３００５０）　摘要；采用相场方法对二元合金的非等温凝固进行二维数值模拟．以Ｎｉ－Ｃｕ合金为例，研究了在不同热扩散系数和　不同溶质梯度系数下枝晶的生长以及二元合金的溶质分布．研究结果表明，随着热扩散率的增大，包围等轴晶的热　扩散层增厚，抑制了侧向分支的生长，从而使侧向分支生长不发达；其次，热扩散率的增大，使得溶质场扩散层也明　显增厚，溶质截留现象不明显，但在溶质场界面前沿产生明显溶质偏析；当溶质梯度系数增大时，相场形貌厚度并　不产生影响，但溶质场扩散厚度却显著增加，而溶质偏析程度得以降低．　关键词：相场法；数值模拟；侧向分支；扩散　中国分类号：ＴＧ２４８；ＴＧ２４４　文献标识码：Ａ　

Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｅｎｄｒｉｔｅ　ｇｒｏｗｔｈ　ｆｏｒ　ｂｉｎａｒｙ　ａｌｌｏｙ　ｄｕｒｉｎｇ　ｎｏｎ—ｉｓｏｔｈｅｒｍａｌ　ｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ　

ＷＡＮＧ　Ｚｈｉ－ｐｉｎｇ，ＸＩＡＯ　Ｒｏｎｇ—ｚｈｅｎ，ＸＵ　Ｊｉａｎ－ｌｉｎ，ＺＨＵ　Ｃｈａｎｇ－ｓｈｅｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｙａｎ－ｌｕ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａ￣ｈｏｕ　Ｕｎｉｖ．ｏｆ　ＴｅｃＫ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００５０。Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｐｈａｓｅｆｆｉｅｌｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｗｏ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｏｎ—ｉｓｏｔｈｅｒｍａｌ　ｂｉｎａｒｙ　ａｌｌｏｙ　ｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｄｅｎｄｒｉｔｅ　ｇｒｏｗｔｈ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｗｅｒｅ　ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ａｎｄ　ｓｏｌｕｔｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｆｏｒ　Ｎｉ—Ｃｕ　ｂｉｎａｒｙ　ａｌｌｏｙ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌ—　ｃｕｌａｔｉｏｎ　ｉｎｄｉｃａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｌａｙｅｒ　ｃｏｌｌｅｃｔｅｄ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉａｘｅｄ　ｄｅｎｄｒｉｔｅ　ｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｂｅｃｏｍｅ　ｔｈｉｃｋｅｒ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｄｉｆｆｕｓｉｖｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｒｏｗｔｈ　ｏｆ　ｓｉｄｅ－ｂｒａｎｃｈｅｓ　ａｒｅ　ｒｅｓｔｒａｉｎｅｄ，ＳＯ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｄｅｎｄｒｉｔｅ　ａ／Ｔｎｓ　ａｒｅ　ｕｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ａｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｉｍｅ，ｔｈｅ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｆｉｅｌｄ　ｂｅｃｏｍｅｓ　ｔｈｉｃｋｅｒ　ｔｏｏ，ｔｈｅ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｔｒａｐ　ｂｅｃｏｍｅｓ　ｉｎｃｏｎｓｐｉｃｕｏｕｓ，ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｓｅｇｒｅｇａｔｉｏｎ　ｃｏｍｅｓ　ｒｅｍａｒｋａｂｌｙ　ｉｎｔｏ　ｂｅｉｎｇ　ａｔ　ｔｈｅ　ｖｅｒｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｆｉｅｌｄ．Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ｎｏ　ｉｎ—　ｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｎｄｒｉｔｅ　ｗｉｔｈ，ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｅ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｌａｙｅｒ　ｃｏｌｌｅｃｔｅｄ　ａｒｏｕｎｄ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉａｘｅｄ　ｄｅｎｄｒｉｔｅ　ｂｅｃｏｍｅｓ　ｔｈｉｃｋｅｒ　ｎｏｔａｂｌｙ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｇｒｅｇａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｒｅｄｕｃｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｈａｓｅｆｆｉｅｌｄ　ｍｅｔｈｏｄ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｓｉｄｅ－ｂｒａｎｃｈｉｎｇ；ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　

近几十年来，模拟凝固过程枝晶生长一直是凝　固研究的重点．随着计算机技术和计算材料科学的　迅速发展，宏观场模拟已趋于成熟ＬＩ　；而且枝晶生　长过程的数值模拟可得以实现．对铸件凝固微观组　织进行数值模拟，不仅有利于深入理解凝固原理，而　且对预测和控制铸件的微观组织和性能具有指导作　用．可见，铸件凝固微观组织的数值模拟在理论研究　和工程应用上都具有深远意义．相场方法是将系统　中各点的物理状态表示为相关变量的方法来实现　

收稿日期：２００５　０５—２０　基金项目：甘肃省重大科技成果转化基金（２ＧＳ０４４Ａ５２－Ｏ０１－２５）　作者简介：王智平（１９５６一），男，山东荷泽人，教授，博导．　

的，通过考虑有序化势与热力学驱动力综合作用来　建立相场方程，相场方程的解可描述金属系统中固　液界面的形态及其迁移，从而避免了跟踪复杂固液　界面的困难．　相场法自提出以来，在国外迅速成为凝固微观　组织模拟的热点．在早期的模拟中，相场法仅用于对　纯物质过冷熔体枝晶生长进行模拟［３　］，取得了很　大的进展；目前，相场法已经成功应用于合金凝固枝　晶生长的模拟．Ｗａｒｒｅｎ等建立了二元合金等温凝固　的相场模型Ｌ５］，对Ｎｉ—Ｃｕ二元合金等温凝固进行了　近似模拟．在非等温凝固方面，Ｗｈｅｅｌｅｒ等人首先提　出了非等温凝固枝晶生长的相场模型（ＷＢＭ模　

一兀　二　维普资讯 http://www.cqvip.com 兰州理工大学学报　第３２卷　型）［引，该模型是建立在热力学一致（ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉ—　ｃａｌｌｙ　ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ）条件下推导获得的，已经得到广泛　应用．Ｗａｒｒｅｎ和Ｂｏｅｔｔｉｎｇｅｒ运用ＷＢＭ模型模拟了　二元合金非等温凝固过程中的溶质偏析和枝晶生长　的再辉现象［　．最近，Ｋｉｍ等人又提出了一个新的　适合于合金非等温凝固微观组织模拟的相场模型　（ＫＫＳ模型）［引，他们利用该模型模拟了Ｆｅ－Ｃ、Ｆｅ－　Ｐ、ＡＩ－Ｃｕ等二元合金以及Ｆｅ－Ｃ＿Ｐ三元合金等温凝　固的枝晶生长，再现了溶质偏析、再辉等合金凝固过　程的重要特征［８￣ｉｏ］．　本文采用Ｗｈｅｅｌｅｒ等提出的相场模型（ＷＢＭ　模型），耦合浓度场和温度场方程进行模拟计算；以　Ｎｉ—Ｃｕ合金为例，模拟二元合金非等温凝固枝晶生　长的演化、温度场的分布以及溶质偏析现象．　１模型方程的建立　相场法是通过引入一个相场变量　来表示系统　中各点的物理状态，在ＷＢＭ模型中，　一０表示固　相，　一１表示液相，在液固界面上　在１～Ｏ之间连　续变化．相场方程是通过熵函数法来建立，其最简形　式如下：　一　６　Ｓ　（１）　式中：　为相场迁移率，其值与界面动力学相关；Ｓ　为封闭系统的熵，可表示为　ｓ—ｆ『　（　，　，　）一　Ｉ　Ｉ　ｚ一譬Ｉ　Ｉ　ｚ］　（２）　式中：ｓ为熵密度函数，Ｃ为溶质Ｂ的浓度，ｅ为内能　密度，￡和占分别为相场参数和溶质梯度系数．　根据二元合金体系的自由能密度关系式　ｆ一（１一ｃ）　＋ｃｐ　（３）　式中：　和　分别为溶液和溶质的化学势．对于理　想溶液有　一　（　，Ｔ）＋　Ｉｎ（１一ｃ）　（４）　对于溶质Ｂ也有相应的化学势形式；其中，Ｒ为　气体常数，　为摩尔体积，户和广分别为纯Ａ和纯　Ｂ物质时的自由能密度，可以写成如下形式：　＝ＴＧ　（　）＋［ｅｔ（ＴＡｍ）一ＣＡ　＋　（　）Ｌ　］×　（卜　）一　ｎ（　）　ｃ５　其中，函数ＧＡ（　）定义如下：　’　ＧＡ（　）一　１　ｗ　｛５２（１一　）　（６）　同样对于溶质Ｂ也有以上相应形式；如此将　Ｇ（　）定义为双势阱函数，分别对应在　一Ｏ和　＝ｌ　时为最小值，其中，ｗ为势阱高度．另外，本文选择　ｐ（　）一　（ＩＯ－１５　＋６ｌ５２），对应在不同的温度下的　一Ｏ和　：＝：１．　

根据热力学定律，有ｄｓ一一　ｄ，，可分别获得　相场、溶质场和温度场方程：　一　［　￡　（６）Ｖ￣－－（ｉ－－ｃ）Ｈ　，Ｔ）一　ｃＨ　（　，Ｔ）］　（７）　象一一Ｖ．［Ｄｆｃ（１－ｃ）Ｖ－－￣－＂Ｖ（ｄｅ　Ｖ。　

ｃ（１－－ｃ）－－￣（ＨＡ—Ｈ￣）ＶＣｑ－　ｌ－ｃ）　（　，Ｔ）ＶＴ—ＤｃＶｃ］（８）　瓦８Ｔ一　Ｔ一［（ｉ－ｃ）ＬＡ＋　譬　（９）　式中￡（　＝ｅ（１＋Ｙｃｏｓ　ｋａ）　ＨＡ（　，　一［ＧＡ　（　～ｐ　（　ＬＡ三　］　

，　一［　（ＬＡ—Ｌ　）＋Ｉ（ｃａ－Ｃ￣）］　Ｄ　＝＝＝Ｄ。＋ｐ（　）（Ｄｌ—Ｄ，）　式中：Ｄｔ为液相中溶质扩散系数；Ｄ　为固相中溶质　扩散系数；Ｄ　为热扩散系数；７为各向异性系数；正　为枝晶分支模数，本文取ｋ一４；　为枝晶生长主方向　和界面夹角，有ｔａｎ　０一　／　．　

２数值计算　２．１计算参数的取值　在以上控制方程的推导中，为了简化计算，取　ＣＡ—ＣＢ—Ｃｐ，ＷＡ—ＷＢ—Ｗ．相场参数Ｅ、Ｗ与界面　能、界面厚度有关，Ｍ　与界面动力学有关，它们可表　示为　

仁　（１ｏ）　ｗ一当　（１１）　４２７＂ｍｈ　

一　（１２）　６√ＺＬ＾　

式中　——界面能　ｈ——界面厚度　卢——界面动力学系数　，厂ｍ——合金熔点　Ｌ——结晶潜热　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　王智平等：二元合金非等温凝固枝晶生长的数值模拟　ＣＰ——等压比热　本文选择Ｎｉ—Ｃｕ二元合金作为模拟对象，其物　性参数的选择如表１所示　¨．　表１　Ｎｉ－Ｃｕ合金的物性参数　Ｔａｂ．１　ｐｈｙｓｉｃ￣ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆＮｉ－Ｃｕ　ａｌｌｏｙ　

２．２初始条件和边界条件的确定　本文选择二维数值计算网格为１　２ＯＯ×１　２００，　网格尺寸为５＾，其中ｈ为液固界面厚度，本文中＾一　１＿６８×ｌＯ　ｃｍ；对于时间步长的选择，因为时间步　长受浓度场计算的限制，即Ａｔ＜Ｃｄ￣ｚ。／４Ｄ１，故在计算　中选择时间步长△ｆ一　。／５Ｄ１．合金熔体的初始浓　度Ｃｌ一０．４０８　３１，固相初始浓度ｃ｜一０．３９９　４，初始温　度设定为１　５７４　Ｋ；在计算区域边界上，相场和溶质　场采用Ｚｅｒｏ－Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件．　

３结果与分析　本文对Ｎｉ—Ｃｕ二元合金分别在不同热扩散系数　和不同溶质梯度下的非等温凝固进行了模拟，比较　了在不同条件下获得的枝晶相场、溶质场和温度场　形貌．　３．１热扩散率ＤＴ对枝晶生长的影响　枝晶生长形貌和温度场分布的模拟结果如图１　所示．其中，图１ａ为Ｄｒ一０．０５　ｃ　／ｓ时所得的枝晶　形貌，有发达的二次枝晶产生，一次枝晶臂变细；图　ｌｂ为与图１ａ相应的温度场分布状态，其形貌和相　场形貌基本相同，在界面前沿只存在很薄的扩散层；　图ｌｃ为Ｄｒ一０．１０　ｃｍ２／ｓ时所得的枝晶形貌，可见　虽然已经产生了二次枝晶，但二次枝晶生长不发达；　图ｌｄ为与图ｌｃ相应的温度场分布状态，其存在较　厚的热扩散层．　这是由于在非等温凝固过程中，考虑了潜热的　释放，而在过冷度较大时，凝固过程枝晶的生长主要　由热扩散来决定．但当热扩散率小时，潜热释放对界　面前沿原有的温度场影响较小，因此熔体内能保持　一定的过冷度，使得二次枝晶能够持续长大；而当热　扩散率较大时，潜热释放对温度场影响较大，会在界　面前沿形成较厚热扩散层，使得界面前沿过冷度减　小乃至消失，从而抑制了侧向分支的生长．