均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)

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利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形

1.若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当____________时取“=”）

2.若0ab，则2abba (当且仅当____________时取“=”）

若0ab，则22-2abababbababa即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求：

例1 已知,xyR，且满足134xy，则xy的最大值为 ________。

解：因为x>0，y>0，所以234343xyxyxy(当且仅当34xy，即x=6，y=8时取等号)，

于是13xy，3.xy，故xy的最大值3. 变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值 解：∵44loglog2xy 2log4xy 即xy=16

21211211xyyxyx 当且仅当x=y时等号成立

技巧二：配凑项求 例2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：5,5404xx，11425434554yxxxx231 当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。 例3. 当时，求(82)yxx的最大值。

解： 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。 2

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。 解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy 当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。 例4. 求2710(1)1xxyxx的值域。 解： 当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

练习：1、已知01x，求函数(1)yxx的最大值.； 2、203x，求函数(23)yxx 技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解．．：0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy 故

min12xy 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，

在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy

当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy 。 变式： （1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值

(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值 3

2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。 (3) 设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（ ）． A ．8 B ．4 C． 1 D． 14 解析：因为333ba，所以1ba。 又0,0,ab所以4222)11)((11baabbaabbababa，当且仅

当baab即21ba时取“=”。故选（Ｂ）．

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。 解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。

所以，所求函数的值域为5,2。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)xxyxx （2）12,33yxxx

(3)12sin,(0,)sinyxxx 的最大值. 技巧六、已知x，y为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 22 。 同时还应化简1＋y 2 中y2前面的系数为 12 ， x1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22 ＝2 x·12 ＋y 22 4

下面将x，12 ＋y 22 分别看成两个因式： x·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34 即x1＋y 2 ＝2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 34 2

技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝30－2bb＋1 ， ab＝30－2bb＋1 ·b＝－2 b 2＋30bb＋1 由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t 2＋34t－31t ＝－2（t＋16t ）＋34∵t＋16t ≥2t·16t ＝8 ∴ ab≤18 ∴ y≥ 118 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab 令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥118

点评：①本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换

为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧八、取平方 5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简单

3x ＋2y ≤2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝2 3x＋2y ＝25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W＞0，W2＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W≤20 ＝25 5

变式: 求函数152152()22yxxx的最大值。 解析：注意到21x与52x的和为定值。 22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx

又0y，所以022y 当且仅当21x=52x，即32x时取等号。 故max22y。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。 技巧9：消元

例1.设,,xyz为正实数，230xyz，则2yxz的最小值是_________.

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3,0,,29666=3,443,,=33.xzxzyyxzxzxzxzxzxzxzyxzxyzyxz解：由可得

当且仅当即时，取“”.故的最小值为 技巧10.换元

例1. 求函数225xyx的最大值. 2

22,0,2,(0)2100;1120141222122=.232,.24xttxttytttytytttttttx解：令则

当时，当时，

当且仅当，即时，取等号所以时取最大值为 练习题： 1.若a>0，b>0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a，β＝b＋1b，则α＋β的最小值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 2. 已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8x的图象都过点A，且点A在直线xm＋y2n＝1(m>0，n>0)