均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
);若0x <,则1
2x x
+≤- (当且仅当 _____________时取“=”)
若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”)
2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”
) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可
以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R +
∈,且满足
134
x y
+=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0,所以
23434
3
x y x y
xy
+≥=(当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等号),
于是
13
xy
≤, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求
11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16
2
1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立
技巧二:配凑项求 例2:已知5
4x <,求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解:
5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛
⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 例3. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
解:
当
,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。
变式:设2
3
0<
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。 例4. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解:
当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+((当且仅当x =1时取“=”号)。 练习:1、已知01x <<,求函数(1)y x x =-的最大值.;
2、2
03
x <<
,求函数(23)y x x =- 技巧三:“1”的巧妙利用(常数代换) 错解
..:
0,0x y >>,且
191x y +=,∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫
+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。
错因:解法中两次连用基本不等式,在2
x y xy +≥等号成立条件是x y =,在
1992
x y xy
+≥等号成立条件是1
9
x y
=
即9y x =,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解:
19
0,0,1x y x y >>+=,()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时,上式等号成立,又191x y +=,可得4,12x y ==时,()min 16x y += 。
变式: (1)若+
∈R y x ,且12=+y x ,求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且
1=+y
b
x a ,求y x +的最小值
2:已知0,0x y >>,且
19
1x y
+=,求x y +的最小值。 (3) 设0,0.a b >>若11
333a
b
a b
+是与的等比中项,则的最小值为( )
. A .8 B .4 C . 1 D .
14
解析:因为333=⋅b
a
,所以1=+b a 。 又0,0,a b >>所以4222)11)((11=⋅+≥++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a ,当且仅当b a a b =即2
1
==b a 时取“=”。故选(B).
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。例:求函数22
54
x y x +=
+的值域。
解:令
2
4(2)x t t +=≥,则2254
x y x +=
+221
1
4(2)4
x t t t x =++
=+≥+
因1
0,1t t t >⋅=,但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52
y ≥。 所以,所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
。
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (
1
)
231,(0)
x x y x x
++=> (2)
1
2,33
y x x x =+
>- (3)
1
2sin ,(0,)sin y x x x
π=+
∈ 的最大值.
技巧六、已知x ,y 为正实数,且x 2
+y 2
2 =1,求x 1+y 2 的最大值.
分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab ≤a 2+b 2
2 。
同时还应化简1+y 2
中y 2
前面的系数为 1
2
, x 1+y 2 =x
2·1+y 22
= 2
x ·
12 +y 22
下面将x ,
12 +y 2
2
分别看成两个因式: x ·
12 +y 2
2
≤x 2
+(
12 +y 22 )22 =x 2+y 2
2 +12 2 =3
4
即x
1+y 2 = 2 ·x
12 +y 22 ≤ 3
4
2 技巧七:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1
ab
的最小值.
分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:a =30-2b b +1 , ab =30-2b b +1 ·b =-2 b 2+30b
b +1
由a >0得,0<b <15
令t =b +1,1<t <16,ab =-2t 2+34t -31t =-2(t +16t )+34∵t +16
t ≥2
t ·16t
=8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥
1
18
当且仅当t =4,即b =3,a =6时,等号成立。 法二:由已知得:30-ab =a +2b ∵ a +2b ≥22 ab ∴ 30-ab ≥22 ab
令u =ab 则u 2
+2 2 u -30≤0, -5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ,ab ≤18,∴y ≥1
18
点评:①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
)(+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式230
ab a b =++)(+
∈R b a ,出发求得ab 的范围,关键是寻找到ab b a 与+之间的关系,由此想到不等式
ab b
a ≥+2
)(+∈R b a ,,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范围.
变式:1.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。 技巧八、取平方
5、已知x ,y 为正实数,3x +2y =10,求函数W =3x +2y 的最值.
解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a +b 2 ≤a 2+b 2
2
,本题很简单
3x +2y ≤ 2
(3x )2+(2y )2 = 2
3x +2y =2 5
解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形
式,再向“和为定值”条件靠拢。
W >0,W 2=3x +2y +23x ·2y =10+23x ·2y ≤10+(3x )2·(2y )2 =10+(3x +2y )=20
∴ W ≤20 =2 5
变式: 求函数152152()2
2
y x x x =-+-<<的最大值。
解析:注意到21x -与52x -的和为定值。
22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =-+-=+--≤+-+-=
又0y >,所以022y <≤ 当且仅当21x -=52x -,即3
2
x =
时取等号。 故max 22y =。 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。
总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。
技巧9:消元
例1.设,,x y z 为正实数,230x y z -+=,则2
y xz 的最小值是_________.
2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=+++≥====解:由可得
当且仅当即时,取“”.
故的最小值为 技巧10.换元
例1. 求函数
2
25x y x +=
+的最大值.
222,0,2,(0)
21
00;112014
122212
2=.
232
,.
24x t t x t t y t t t y t y t t t t t t t x +=≥=-=≥+==>=
≤
=+
⋅
==-解:令则
当时,当时,当且仅当,即时,取等号所以时取最大值为
练习题:
1.若a >0,b >0,a ,b 的等差中项是12,且α=a +1a ,β=b +1
b
,则α+β的最小值为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
2. 已知三个函数y =2x ,y =x 2,y =8x 的图象都过点A ,且点A 在直线x m +y
2n
=1(m >0,n >0)
上,则log 2m +log 2n 的最小值为________.
3. 已知正数a ,b ,c 满足:a +2b +c =1则1a +1b +1
c
的最小值为________.
4. 设M 是△ABC 内一点,且AB →·AC →
=23,∠BAC =30°,定义f (M )=(m ,n ,p ),其中m ,n ,p 分别是△MBC ,△MCA ,△MAB 的面积.若f (M )=⎝⎛⎭⎫12,x ,y ,则1x +4
y 的最小值是________.
5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q =3x +1
x +1(x ≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,
每生产1万元此产品仍需再投入32万元,若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
6. 设正实数,,x y z 满足22
340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,
212x y z +-的最大值为
( )
A .0
B .1
C .9
4
D .3
7.已知2
2
2
,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为______.
8. 已知a >0,b >0,a+b=2,则y=
14a b +的最小值是 A .72 B .4 C . 9
2 D .5
9. 设,x y 为实数,若22
41,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。
10.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 11. 设0a >b >,则()
2
11
a a
b a a b +
+-的最小值是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 B. 4 C. D. 11
2
11.
习题答案:1. ∵12为a 、b 的等差中项,∴a +b =12×2=1.a +1a +b +1b ⇒1+1a +1
b =1+
a +
b ab =1+1
ab ,∵ab ≤a +b 2,∴ab ≤(a +b )24=14
.∴原式≥1+4.当且仅当a=b=1/2时,∴α+β的
最小值为5.故选D.
2. 由题易得,点A 的坐标为(2,4),因为点A 在直线x m +y
2n =1(m >0,n >0)上,所以1
=2m +42n
≥22m ·4
2n
,∴mn ≥16,所以log 2m +log 2n =log 2(mn )≥4,当且仅当m=n=4时,故log 2m +log 2n 的最小值为4.
3.[答案] 6+4 2 [解析]
1a +1b +1c =a +2b +c a +a +2b +c b +a +2b +c c
=⎝⎛⎭⎫2b a +a b +⎝⎛⎭⎫c a +a c +⎝⎛⎭⎫c b +2b c +4≥22+2+22+4=6+42,
等号在2b a =a b ,c a =a c ,c b =2b
c 同时成立时成立.
即a =c =2b =1-2
2
时等号成立. 4.[答案] 18
[解析] ∵AB →·AC →=|AB →|·|AC →
|cos30° =
3
2
|AB |·|AC |=23,∴|AB |·|AC |=4, 由f (M )的定义知,S △ABC =1
2+x +y ,
又S △ABC =1
2|AB |·|AC |·sin30°=1,
∴x +y =1
2
(x >0,y >0)
∴1x +4y =2(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +4y =2⎝⎛⎭⎫5+y x +4x y ≥2(5+24)=18,等号在y x =4x y ,即y =2x =13时成立,∴⎝⎛⎭⎫
1x +4y min =18.
5. [解析] (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q +3)万元,每万件销售价为32Q +3
Q
×150%+x
Q
×50%,
∴年销售收入为(32Q +3Q ×150%+x
Q ×50%)·Q
=32(32Q +3)+1
2
x , ∴年利润W =32(32Q +3)+1
2x -(32Q +3)-x
=1
2(32Q +3-x )=-x 2+98x +352(x +1)(x ≥0). (2)令x +1=t (t ≥1),则
W =-(t -1)2+98(t -1)+352t =50-⎝⎛⎭⎫t 2+32t . ∵t ≥1,∴t 2+32t
≥2
t 2·32
t
=8,即W ≤42, 当且仅当t 2=32
t ,即t =8时,W 有最大值42,此时x =7.
即当年广告费为7万元时,企业利润最大,最大值为42万元.
6.B ;
7.12;
8.C ;
9. 210
5
10.解析:考察均值不等式
2
228)2(82⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ,整理得()()0322422
≥-+++y x y x
即()()08242≥++-+y x y x ,又02>+y x ,42≥+∴y x 11.
解
析
:
()
211a ab a a b +
+
-=
211()
a a
b ab ab a a b -++
+
-=
11()()
ab a a b ab a a b +
+-+-≥2+2=4,当且仅当ab =1,a (a -b )=1时等号成立 如取a =2,b =2
2
满足条件. 答案:D
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0<
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若* ,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥(当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42) 45 x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式 时间:45分钟 满分:100分 课堂训练 1.已知5x +3 y =1(x >0,y >0),则xy 的最小值是( ) A .15 B .6 C .60 D .1 【答案】 C 【解析】 ∵5x +3 y =1≥215xy , ∴xy ≥60, 当且仅当3x =5y 时取等号. 2.函数f (x )=x +4 x +3在(-∞,-2]上( ) A .无最大值,有最小值7 B .无最大值,有最小值-1 C .有最大值7,有最小值-1 D .有最大值-1,无最小值 【答案】 D 【解析】 ∵x ≤-2,∴f (x )=x +4 x +3 =-⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤(-x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫-4x +3≤-2(-x )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ -4x +3 =-1,当且仅当-x =-4 x ,即x =-2时,取等号, ∴f (x )有最大值-1,无最小值.
3.已知两个正实数x ,y 满足x +y =4,则使不等式1x +4 y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________. 【答案】 ⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤-∞,94 【解析】 1x +4y =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =54+y 4x +x y ≥5 4+214=94. 4.求函数y =x 2+7x +10 x +1 (x >-1)的最小值. 【分析】 对于本题中的函数,可把x +1看成一个整体,然后将函数用x +1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理. 【解析】 因为x >-1, 所以x +1>0. 所以y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4 x +1 =(x +1)+ 4 x +1 +5≥2(x +1)·4 x +1 +5=9 当且仅当x +1=4 x +1 ,即x =1时,等号成立. ∴当x =1时,函数y =x 2+7x +10 x +1(x >-1),取得最小值为9. 【规律方法】 形如f (x )=ax 2+bx +c mx +n (m ≠0,a ≠0)或者g (x )= mx +n ax 2+bx +c (m ≠0,a ≠0)的函数,可以把mx +n 看成一个整体,设 mx +n =t ,那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数. 课后作业
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一,在形式上均值不等式比较简单,但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。 a2?b21. 若a,b?R,则a?b?2ab 若a,b?R,则ab? 22 2. 若a,b?R,则 时取“=”)*a?b?ab 2若a,b?R,则a?b?*2ab ???2?* a?ba2?b2 ?ab??3. 均值不等式链:若a、b都是正数,则,当且仅当a?b22?ab2 时等号成立。 平均数) 一、基本技巧 技巧1:凑项 例已知x? 技巧2:分离配凑4,求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1 技巧3:利用函数单调性 例 求函数y?2的值域。
技巧4:整体代换 例已知x?0,y?0,且 19??1,求x?y的最小值。xy 典型例题 1. 若正实数X,Y 满足2X+Y+6=XY ,则XY 的最小值是 ?a?b?22. 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则的最小值cd 是 A.0 B.1 C. D. 23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2+1的最小值是ab A.1 B. C.4 D.3+22 5. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 . 6. 已知x,y?R?,且满足xy??1,则xy的最大值为34 ab11?的最小值为ab 1A B C 1 D 7. 设a?0,b? 0.3与3的等比中项,则 8. 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65
均值不等式练习题
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式a b ab a b +≥>>2 00(,,当且仅当a =b 时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<
均值不等式的应用(习题-标准答案)
均值不等式应用 一.均值不等式 1. ⑴若 GbwR,则 a 2+b 2 ≥ Iab (2)若 a 、b w R 、则 a b≤^ + -(当且仅当 a=b 时取) _ 2 2. (1)若 Chbe R ∖ 则 ^JL > (2)若 a.heR ∖ 则 a + b≥2y[Jb (当且仅当 a = b 时取“二”) 2 (3)若a.beR ∖则a b≤{- (当且仅当a = b 时取“ = ”) 2丿 3 •若Λ∙>0,则x + -≥2 (当且仅当X = I 时取“=”);若xvO,则x + -≤-2 (当且仅当X = -I 时取 “二”) X X 若X≠O,则X +丄22≡∣]χ+丄≥2或x+丄≤∙2 (当且仅当Ci=b 时取“=”) XA e X 3 •若ab>O,则- + ->2 (当且仅当a = b 时取“二”) b U -+ - 22即- + -≥2^- + -≤-2 b a b a b a 4. 若a,bwR,则(出)*“_+,(当且仅当a = b 时取“=”) 2 2 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积 的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1) y=3x'+占 (2) y=x+∖. 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知x<-.求函数v = 4x-2÷-L-的最大值。 4 4x-5 解:因4x-5<0>所以首先要“调整”符号,又(4Λ∙-2)•— 不是常数,所以对4x-2要进行拆、凑项, 4x-5 若ah≠O ,则 (当且仅当a = b 时取 (2)当 x>0 时,y = x+- 当x<0时, •••值域为 (—8, —2] U [2, ÷∞) =√6 •:值域为9 +8 ) -=2 =-2 (—X —" ) ≤-2
均值不等式求值的常用技巧及习题含解答:经典
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)
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利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可 以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0,所以 23434 3 x y x y xy +≥=g (当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等号), 于是 13 xy ≤, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求 11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 例3. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解: 当 ,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 【例1】当时,求的最大值。 【解析】由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当,即x=2时取等号。 所以当x=2时,的最大值为8。 【评注】本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 【例2】已知,求函数的最大值。 【解析】由题意知,首先要调整符号,又不是定值,故需对进行凑项才能得到定值。 当且仅当,即时等号成立。 【评注】本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
3. 分离 【例3】求的值域。 【解析】本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。 当,即时 (当且仅当x=1时取“=”号)。 当,即时 (当且仅当x=-3时取“=”号)。 ∴的值域为。 【评注】分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 【例4】已知,求的最小值。 【解法1】不妨将乘以1,而1用a+2b代换。 当且仅当时取等号,由 即时,的最小值为。 【解法2】将分子中的1用代换。 【评注】本题巧妙运用“1”的代换,得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求得的最小值。 三、换元 【例5】求函数的最大值。 【解析】变量代换,令,则
用均值不等式求最值的若干技巧
用均值不等式求最值的若干技巧均值不等式 当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当 时,求的最大值。 解析:由知, ,用均值不等式求最大值,和一定是固定值或者乘积一定是固定值。这是两个公式乘积的形式,但和不是固定值。通知 是一个固定值,所以只需给它加上一个系数。 当且仅当 ,即x=2时取等号。 所以当x=2时,的最大值为8。 总结:这个问题不能直接用均值不等式来解决,但是系数集合后可以得到和为定值,所以用均值不等式可以得到最大值。 2. 凑项 例2. 已知
,求函数 的最大值。 解析:由题意知 ,首先要调整符号,又 不是定值,故需对 进行凑项才能得到定值。 ∵ ∴ 当且仅当 ,即 时等号成立。 总结:本题需要调整项的符号,匹配项的系数,使其乘积为定值。 3. 分离 例3. 求 的值域。 解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。 当 ,即
(当且仅当x=1时取“=”号)。 当 ,即 时 (当且仅当x=-3时取“=”号)。 ∴ 的值域为 。 小结:分式函数求最值,通常化成 ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例4. 已知 ,求的最小值。 解法1:不妨将 乘以1,而1用a+2b代换。 当且仅当 时取等号,由 即 时,的最小值为
解法2:将分子中的1用 代换。 小结:本题巧妙运用“1”的代换,得到 ,而 与 的乘积是一个固定值,即平均不等式得到的最小值。 三、换元 例5. 求函数 的最大值。 解析:变量代换,令 ,则 当t=0时,y=0 当 时, 当且仅当 ,即 时取等号。 故 。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 2 . 2 ®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时,号成立: 2 S + ZP ) 注:①注意运用均值不等式求最值时的条件: ②熟悉一个重要的不等式链:-A-
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、填空题 1.若则的最小值是__________. 2.若,且则的最大值为______________. 3.已知,且,则的最小值为______. 4.已知正数满足,则的最小值是_______. 5.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是______. 6.设正实数满足,则的最小值为________ 7.已知,且,则的最小值是________ 8.已知正实数x,y满足,则的最小值是______ 9.已知,函数的值域为,则的最小值为________. 10.已知,,且,则的最小值为__________. 11.若正数x,y满足,则的最小值是______. 12.已知正实数x,y满足,则的最小值为______.13.若,,,则的最小值为______. 14.若,则的最小值为________. 15.已知a,b都是正数,满足,则的最小值为______. 16.已知,且,则的最小值为______. 17.已知点在圆上运动,则的最小值为___________.18.若函数的单调递增区间为,则的最小值为____. 19.已知正实数,满足,则的最大值为______.
20.已知,,则的最小值为____.
参考答案 1. 【解析】 【分析】 根据对数相等得到,利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】 则,即 由题意知,则, 则 当且仅当,即时取等号 本题正确结果: 【点睛】 本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系,从而构造出符合基本不等式的形式. 2. 【解析】 【分析】 先平方,再消元,最后利用基本不等式求最值. 【详解】 当时,,,所以最大值为1, 当时,因为,当且仅当时取等号,所以,即最大值为, 综上的最大值为
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0,所以 3434 3 x y x y xy +≥=(当且仅当34x y =,即x=6 ,y=8时取等 号)1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。
均值不等式
均值不等式当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当时,求的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当,即x=2时取等号。 所以当x=2时,的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2. 已知,求函数的最大值。 解析:由题意知,首先要调整符号,又不是定值,故需对进行凑项才能得到定值。 ∵ ∴ 当且仅当,即时等号成立。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 3. 分离 例3. 求的值域。 解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。 当,即时 (当且仅当x=1时取“=”号)。 当,即时 (当且仅当x=-3时取“=”号)。 ∴的值域为。 评注:分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例4. 已知,求的最小值。 解法1:不妨将乘以1,而1用a+2b代换。
当且仅当时取等号,由 即时,的最小值为。 解法2:将分子中的1用代换。 评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求得的最小值。 三、换元 例5. 求函数的最大值。 解析:变量代换,令,则 当t=0时,y=0 当时,
专题:用均值不等式求最值的常用技巧
专题:用均值不等式求最值的常用技巧 均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件:一正、二定、三相等,缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性,需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧,可以更好地使用均值不等式求最值。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<