江苏百校大联考试卷(word解析版)

大联考参考答案与评分标准

数学Ⅰ

参考公式： 样本数据12,,

,n x x x 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中1

1n i i x x n ==∑．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．

． 1．已知集合{}1,0A =-，则满足{}1,0,1A B =-的集合B 的个数是 ▲ ．

【答案】4

【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，1B ∈，集合B 的个数即{}1,0-的子集个数，共4个． 2. 已知

2(,)a i

b i a b R i

+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 【答案】3

【解析】本题考查复数的四则运算．因为

22(,)a i

ai b i a b R i

+=-=-∈，所以，a ＝1，b ＝2，所以a b +＝3．

3． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ． 【答案】

23

【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23

． 4．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 4．【答案】

3

π

【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥，所以(2)0j i i -=，即2

2 i j i ?-＝0，所以，2||||cos 10i j θ-= ，即1cos 2θ=

，则,i j 的夹角为3

π

． 5. 设五个数值31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ．

【答案】4 【解析】由

31373335

345

a ++++=，可得34a =，所以方差

2222221(3134)(3734)(3334)(3434)(3534)45

S ??=-+-+-+-+-=?? 6．已知实数x ，y 满足11y x

x y y ≤??

+≤??≥-?

，则2x y +的最大值是 ▲ ．

【答案】

32

【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11

(,)22

．

S 的值为 ▲ ．

【答案】420

【解析】本题考查流程图和循环结构．20(240)

246404202

S +=++++=

=． 8．已知直线l 、m 与平面α、β，,l m αβ??，则下列命题中正确的是 ▲ （填写正确命题对应的序号）．

①若//l m ，则//αβ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥

【答案】③

【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③． 9．已知cos()4π

θ+

=(0,)2

π

θ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，

3(,)444

π

ππ

θ+∈，所以10s

i n

()

4

10

πθ+=，

故2

4

s

i n

2

s

i n

[

2

(

)

]

4

2

4

4

5

ππππθθθθ=+-=-+=-，3

cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445

πππππθθθθθ=+-=+=++=-

，

因

此

413sin(2)()3525πθ-=?--=．

（第6题）

10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ．

解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |

2

＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．

答案： 2

11．已知椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是

椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若121

4

k k ?=，则椭圆的离心率为 ▲

． 11． 【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，

22

2

2200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -?=?====+---，可得223

4a c =，从而c e a ==． 12．若0,0a b >>，且2

1a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲

． 12． 【解析】由

22

a b

+≥≥得12≤

，221

42

a b +≥，

所

以2222

1(4)(2)22S a b a b ??=+=+-??，当且仅当1

22

a b ==时取到等号．

13．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,

,,

n k k k k a a a a 成等比数

列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ▲ ．

【答案】131

2

n -+

【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，2

215a a a =?，2(1)1(14)d d +=?+，

得2d =，即21n a n =-，所以21n k n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据

1

213n n k --=可得131

2n n k -+=． 14．若函数ln ()ln(1)2

kx

f x x =-+不存在零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．

14．【答案】[0,4)

【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．

解法一：由题意可知0101

2

kx x k x x ?

?>?+>???=++?

，可设1

()2,(1,0)g x x x x x =++>-≠，函数图象(图1)

与直线y k =没有交点，则04k ≤<．

解法二：如图(2)，在同一坐标系中画出21(1),1y x x =+>-和2y kx =的图象．显然当4k =时直线与抛物线相切，所以当04k ≤<时，没有交点．故04k ≤<．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在ABC ?中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，

(sin(),sin )2

n B B π

=+，且sin 2m n A ?=．

（1）求sin A 的值；

（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值．

15．【解析】（1）由题意，sin 2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分

得2sin cos sin()sin A A B C A =+= ………………………………………………4分

由于ABC ?中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1

cos 2

A =………………………………5分

∴sin A = ………………………………………………………6分 （2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分 即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=

，1

cos 12

C C +=…………9分 得sin()16C π+=，250,3666

C C ππππ<<∴<+<

，平方得3C π

∴=……………12分 所以ABC ?为正三角形，

1c ∴=………………………………………………… 14分 16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥E －ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ． （1）求证：AB ⊥ED ；

图

1

图

2

（第16题）

（2）线段EA 上是否存在点F ，使得DF ∥平面BCE ？请说明你的理由． 解析：（1）证明：如图，取AB 中点O ，连结EO ，DO .

因为EA ＝EB ，所以EO ⊥AB . …………………………1分 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ， 所以BO ∥CD ，BO ＝CD .

又因为AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为矩形，

所以AB ⊥DO . ……………………………………………4分 因为EO ∩DO ＝O ，

所以AB ⊥平面EOD . ……………………………………5分 又因为ED ?平面EOD ，

所以AB ⊥ED . ……………………………………………6分 （2）当点F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE .

证明如下：取EB 中点G ，连结CG ，FG . 因为F 为EA 中点，

所以FG ∥AB ，FG ＝1

2AB . ………………………………8分

因为AB ∥CD ，CD ＝1

2

AB ，………………………………9分

所以FG ∥CD ，FG ＝CD . ………………………………10分 所以四边形CDFG 是平行四边形， ……………………11分 所以DF ∥CG . ……………………………………………12分 因为DF ?平面BCE ，CG ?平面BCE ，

所以DF ∥平面BCE . ………………………………………14分 17．（本小题满分14分）

如图，ABCD 是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF ，其中动点E 、F 分别在CD 、BC 上，且△ECF 的周长为常数a （单位：百米）． （1）求景观带面积的最大值；

（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．

17．解析：（1）设,EC x CF y ==

，则x y a +=（※）

由基本不等式，(2x y ++=+……… 3分

所以，△ECF

的面积2

2

113224S xy -=≤=……………… 5分

F

E D C B

A

（第17题）