数学分析中极限问题的浅析

《数学分析》中极限问题的浅析

极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。

完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。

下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。

一 求数列极限

（一） 利用迫敛性定理求极限

首先说明迫敛性定理[1]

求极限，这是一种简单而常用的方法。

例1、证明 （1） (a > 0)

（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。

当a >1时，令

则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <

h n = 0

即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：

lim ∞→n 1

=n a lim ∞→n 1

=n n n n h a +=1 (h n > 0)

n n

n n nh h h n n >++- 22

)1(n

a

由迫敛性定理

lim

∞→n lim ∞→n =n a lim

∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =n

a 11 1 lim ∞→n n a

1= 1

（2） 设

n = (1 + h n )n = 1 + nh n +

>

由迫敛性定理得 h n = 0

从而：

例：求极限

即：e n

由迫敛性定理可得：

从而：由连续函数定义知：

极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]

，现叙述如下：

（二）单调有界原理求极限

单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么

n

n h n +=1其中h n > 0 则

2≥n n

n n h h n n ++- 22

)1(2

2

)1(n

h n n -即： 0 < h n <

)2(1

2

≥-n n lim

∞

→n lim ∞→n =n n lim ∞

→n (1 + h n ) = 1

lim

+→0λ???

?

+++ ?

?λλλn e e e n 21时：解：当0>λλ

λλλn

n

n ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ?

?????++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =???

?+++ ??λλλλ

21lim

+→0n λn e

e n n =???

?

??++λλ 1

?

λ{}，

，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >?>ε{}为极限。

不以。则而a a a a n N 01ε≥-

数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。

例：单调数列 收敛于a 的充要条件是存在子列 使得

证：不妨设设 是单调递增数列，必要性显然。

充分性：若

对任意的 0>ε ，存在k 0 ，当k ≥ k 0 时： 1Xn k a1 = a Xn k < 当n ≥ nk 时：有 此即为： 例：设

证：当x 0 = 0时 显然x n = 0 (n =1. 2.…) 故： x n = 0

……

故可得：

k

Xn a )(∞→k 则： ε

ε

<-≤-=-k n n n x a x a a x a

x n →)

(∞→n ??

?

??-∈2,20ππx 1sin 2-=n n

x x π .2.1=n }

{n x 求证 收敛，并求 lim ∞

→n x n

lim ∞

→n (),2

,00

时当：π

∈x 00000122sin 2sin 2x x x x x x x =??≥??==ππππ]???≥ ?

?

∈ππ2sin 2,0(x x x o

时，容易证明当11

1112sin 2sin 2x x x x x x ≥??≥=π

π11

111sin 22-----≥??≥=n n n n n n x x x x x x π

π ≤≤≤≤≤n x x x x 210{}n x {}

k

n x a

x im k n k =∞

→ {}n x

lim ∞→n a

a sin 2π= 故 x n 是单调有上界的函数，从而收敛。

记 a= x n

由于

又由于方程

所以 当

例：设a > 0, x n (n=1、2、……)为由以下各式：

x 0 > 0,

所确定的数列，求证

证：由假设x 0 > 0, 又由算术平均数和几何平均数之间的关系得：

由单调有界原理，则： 将

2 x 00π≤≤

a a sin 22π

π==对满足等式有唯一解

0sin 2=-x x π2

π=

a 从而 lim ∞→n 2π=n x 时，同理可得)0,2(x 0π-∈lim ∞→n 2π-

=n x )(21x 1n n

n x a

x +=+(n =0、1、2，……)

lim ∞→n a x n =a

x a

x x a x x n n n n n =?≥+=+)(211 又1)1(2112≤+=+n n n x a

x x （n=1、2、……） n

n x x ≤+1即：（n=1、2、……）

lim ∞

→n ε

=n x 取极限得：)(211n

n n x a

x x +=

+).

(21ε

εεa

+=a

=ε从而：

从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递推关系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。

（三）柯西收敛准则求极限

下面举例说明柯西收敛准则[4]

的应用。

证明数列 x n 是收敛的。

证明：

可归纳得到：

对任意的m > n , 故： x n 是柯西数列，从而它是收敛的。 例：判断数列

解：设 m > n,

∴lim

∞→n a

x n =n n n n x x x x -≤

-+++1122

1

例：设1≥n 于是令：.1n n n x x b -=+n n b b 2

101≤≤+（n = 1、2……） 1n 211bn b ≤+（n = 1、2……）

→n b 故：)(∞→n ∑-=+-=-1

1)

(m n i i i n m x x x x 有02)21

211(11

→<+++≤≤-∴---=∑n n m n m n i i n m b b b x x )

(∞→n 的敛散性。n lg

1

lg 1lg 1a 3

2n +++= n m a a n m n m 1

10lg 1)(11?

=-≥++=--

???

???--++-+-=∞→222n )1(1)2(1)1(11lim n n n n n 解：原式∑=∞→-=n i n

i n 1

2n )(11lim 4

121

π

=

-?=dx x e

B n n n n n B n n n n 4lim )()2)(1(1=

+++=

∞→求证：例：设 ???

??

?++++++=∞→∞

→)1()21()11(1lim

lim n n n n n n n n nB n n n 证明： 这时：10m-n = 10n+1 > 2(N+1)

由柯西收敛准则，知数列 a n 发散。

柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。

柯西收敛准则否定形式： 有正整数m N , n N 存在，尽管m N , n N > N , 由于定积分[5]

是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。

)1(2,1,,21

000+=+==

N m N n N 取：对任意的自然数对ε[][]ε

<=+?+≥1)1(2lg 1)1(2lg a -a n m N N 所以：,,00N 对任意正整数存在>ε0

ε

≥-N

N

n m x x 但[]

2

22222n )1(211lim --++-+-∞→n n n n n 例：求e

n dx x n 4

)1(1

0 =+?=e

B im n n 4

=

∞

→ 从而：???????-+++--∞→n im n n 1)1(3

1

2111 例：

[]区间上的积分和，，在最后一式是1011

)(x f x +=）要用到施笃兹（的极限时，我们还经常的待定式或在确定stolz y x o o n

∞∞

（n 等分.取右端点）。

在运用这一方法时，要巧妙转化，找出其积分原型，并发现其积分区间，（一般为[0，1]），恰当的转化，可使问题简化。

（五） 施笃兹定理求极限

定理[6]

，下面给出定理和它的两个难论：

定理：（stolz 定理） n

S n 21312112--+-

= 解：)

21

4121()121311(n n +++--+++= )

214

121(2)21211(n n +++-+++= n

n n n ++++++=12111 ??????++

+++

?

?+=n n n n n 112111111 2

11102n dx x

S im n n =+?∞→故：221

212n n

S im S im n n n n =+=∞→-∞→）（又：2

1)1(3

12111n n im n n =???????-+++--∞→因此：{}{}条件：

是两个实数例，若满足和设n

n y x

1)存在N 0为自然数，当n > N 0时，y n+1 > y 递增

.

解：由stolz 定理：

+∞=∞→n n y im )2存在（有限或者无穷）1

1

)3--∞→--n n n n n y y x x im 11--∞→∞→--=n n n n n n n

n y y x x im y x im 则：)(1有限或无穷：设推论a a im n n =∞

→ a

n

a a a im

n

n =+++∞→ 21则：)(02∞+>∞→有限或存在且：若推论n n n x im x n

n n n n x im x x x im ∞

→∞

→= 21则：?

??

??+++∞→n n im

n

n 12111 例：求极限：n n n im

n

n n -++=∞→)1(11

原式1

)1

1(1++=∞→n n im n n e

n 1

=

1

=n

n n n im !

∞

→ 例：求极限：0

!

2>=n n x n

n ，若令解：由施笃兹定理推论

二、求函数极限

在前面，我们主要针对数列极限的求解作了详细地论述，接下来，我们来

看一下函数极限与数列极限的联系。

一般函数的极限可以归结为数列的极限。

（一） 罗毕塔法则求极限

n

n n im x im n n n n n n 1

)1(1?-=-∞→∞→ e n im n n =???

??+=-∞

→1

11 e n n

im n n =∞→! 即：1

=∞

→n

n n im 例：定理来计算：

。在这里，使用在本文前已经证明过了stolz n im n n 1=∞

→ 1

:-=

n n

x n 令：证明1

=∞

→n n x im ：

由推论21

21==?∞

→∞

→n

n n

n n n im x x x im 知：无穷大

都趋向于零或都趋向于、时，两个函数若当)()()(0x g x f x x x ∞→→。通常把这种极限叫

可能存在、可能不存在或者则极限))

()

(()()(0x g x f im x g x f im

x x x ∞→→ []

求极限。。可利用罗毕塔法则或做未定式，并分别记做800∞

∞20cos 1x x im x -→ 例：求极限则，得”未定式，用罗毕塔法时的“解：这是当00

0→x 212sin cos 102

0==-→→x x im x x im x x 。

均达于零、例：求)(sin n m mx

n im +

（二） 利用两个重要极限求极限

在函数极限的证明和计算中，除可以用以上各种方法外还可用其他方法。如利

用两个重要极限，进行计算：

（三） 求分段函数的极限

对于分段函数[9]的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右

极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。

[]nx x x n x x n x im x +++-+++∞

→)1()1(2)2()2(例：[]

nx x x n x n im x x x ++-+=+++∞

→12)1(2)2(解：原式??

????+-++=++++∞→x x x x x x x n x x n im 112)1()1()2( []

nx

x x n x n x n im x x x x ++-+-+=++++∞

→112)1()1()2(??????+-+-++++=++∞→)1()11()2()111(1x n x n x n x n im x x x ??

????

++++-++=++∞→12)11()111(21x x n x n x n im x x 0

1=+-=n ne ne ????

++=x x x f 123)(2

例：100≤<≤x x mx nx im

n m mx nx nx mx n m im nx n mx n im x x x sin sin sin cos sin cos sin sin 000+++→→→== 用罗毕塔法则，得：”未定式

，所以以上极限为：“解：因为∞∞

-∞==+

+→→nx n im mx n im x x sin sin 00 1cos cos 0==

+→mx

nx

m n im n m x

在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设T 为正常数，若函数

满足：

(1) g(x+T)>g(x)

(2)

求极限在数学中是一重要问题和研究工具。其在几何学和生活中都有重要应用。本文在确定了论题之后，围绕着论题作了大量细致深入的调研，对极限中的数列极限和函数极限进行了深入的研究，综合的讨论了求极限问题的方法。

附录1

下面一个定理通常称为海因（Heine ）定理[7]

，它把函数的极限与数列的极限沟通起来。因此也叫归并原则。

的极限是否存在

时及分别讨论)(10x f x x →→2)23()(00

=+=→-

-→→x im x f im x x x 时有解：因为当1)1()(20

=+=+

+→→x im x f im x x )(12)(0

x f im x f im x x +

-→→=≠= 所以，不存在。

从而：)(0

x f im x → 时：

当1→x 2)1()(21

1

=+=-

-→→x im x f im x x )

(22

)(01

1

x f im x

im x f im x x x -+

+→→→=== 2

)(1

x f im x → 所以，[)∞+∈，、，a x x f x g )()([)∞+∈，a x [)的任意子区间上有界。，在、，∞++∞=+∞→a x g x f x g im n

)()()(

=-+-+∞

→)

()()

()()3(x g T x g x f T x f im

n =∞

→)

()

(x g x f im

n 则：{}0

)(n 0

im ¨x x x A f n n x x ≠→只要何数列的充要条件是：对于任存在且等于定理：