普通高中理科实验班招生考试数学试题.docx
普通高中理科实验班招生考试
数学试题
（ 满分 150 分，答题时间 1
三
号
一
二
分
11
12
13
14
得 分
一、选择题（本题共 5 小题，每小题 10 分，满分 50．每小
得分
卷人
题均给出了代号为 A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一
个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）
1x 1 1 是方程 mx 2m 2 0
的根， x m 的 ???【
】
．若
m
A ． 0
B ． 1
C ．－ 1
D ．2
2．内角的度数 整数的正
n 形的个数是 ????????????【
】
A ．24
B ．22
C ．
D ． 18
3．某商 五一期 行 惠 售活 ，采取“ 一百元送二十元，并且 送”的
酬 方式，即 客每消 100 元（ 100 元可以是 金，也可以是 物券，或二者 合 ）就送物券， 就送
40 元 物券，依次 推， 有一位 客第
一次就用了
16000 元 物，并用所得 物券 物，那么他 回的商品大 相当
于它 原价的 ????????????????????????【
】
A ．90%
B ．85%
C ． 80%
D ．75%
4． x 正整数，若 x 1是完全平方数， 它前面的一个完全平方数是
【
】
A ． x
B ． x 2 x 1
C ． x 2 x 1 1
D ． x 2 x 1 2
5．横坐 、 坐 都是整数的点叫做整点，函数
6x 3
y
的 象上整点的个数
2x 1
是 ?????????????????????????????【
】
A ．3 个
B ．4 个
C ．6 个
D ．8 个
得 分
卷人
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）
6．算： 1＋ 2－ 3＋ 4＋5－ 6＋ 7＋8－ 9＋?＋ 97＋ 98－ 99＋ 100＝．7 ．已知数x足( x2x)24( x2x) 12 0 ，代数式x2x 1 的
．
8．若方程5x3y 2 3k 的解x a,
且 | k | ＜3，a b 的取范是
3x y k4y b,
．
9．已知函数y x 22(a 2) x a 2的象与 x 有两个交点，且都在x 的半
上， a 的取范是．
10．如，等腰梯形ABCD 中， AB ∥ DC，∠ A ＝60°， AD ＝ DC＝ 10，点 E，F 分在 AD ， BC 上，且 AE ＝ 4，BF＝x，四形DEFC 的面y ， y 关于x的
函数关系式是（不必写自量的取范）．
D C
F
E
A B
三、（本题共 4 小题，满分 60 分）
得分卷人
11．（本分15 分）
我知道相交的两直的交点个数是 1，两平行直的交点个数是 0；平面内的三条平行它的交点个数就是 0 ，同一点的三直它的交点个数就是 1；依次推??
（1）你画明同一平面内的五条直最多有几个交点？
（2）平面内的五条直可以有 4 个交点？如果有，你画出符合条件的所有形；如果没有，
明理由．
（ 3）在平面内画出10 条直，使交点数恰好是31．
得分卷人
12．（本分15 分）
甲、乙两个粮原来各存有整袋的粮食，如果从甲
的 2 倍；如果从乙若干袋到甲，甲存粮是乙的少袋？90 袋到乙，乙存粮是甲6 倍．甲原来最少存粮多
得分评卷人
13．（本题满分15 分）
⊙O1与⊙ O2相交于点 A 、B ，动点 P 在⊙ O2上，且在⊙ O1外，直线 PA 、PB 分别交⊙ O1于点 C、 D．问：⊙ O1的弦 CD 的长是否随点 P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定 CD 最长或最短时点 P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．
C
A
P
O 2
·
O1
·
B
得分评卷人
14．（本题满分15 分）
1 x
2 的图象交y轴于M，交x轴于N，点P是直线MN上任意一
如图，函数y
2
点， PQ⊥x轴， Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N 重合时，其面积记为0）．
（ 1）试求 S 与t之间的函数关系式；
（ 2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S＝a （ a ＞0）的点P的个数．
y S
M
P
普通高中理科班招生考
数学参考答案及分准
一、（每小10 分，共 50分）
1． C2．B3． C4． D5． B
二、填空（每小8 分，共 40 分）
6． 16847．78．－ 1＜a b ＜59．a＞－ 1 且a≠ 0
10．y43x55 3
三、解答（每小15 分，共 60分）
11．（本分 15 分）
解（ 1）如1，最多有 10 个交点；????????（ 4 分）
1
2
（2）可以有
4 个交点，有
3 种不同的情形，如
2．
??（ 10 分）
（3）如 3 所示．
???????（ 15 分）
3
12．（本 分 15 分）
解： 甲 原来存粮
a 袋，乙 原来存粮
b 袋，依 意可得
2(a
90) b 90 ．
（1） 再 乙 c 袋到甲 ， 甲 存粮是乙 的
6 倍，即
a c
6(b c) ．
（ 2）
??????（
5 分）
由（ 1）式得
b 2a 270 ． （ 3）
将（ 3）代入（ 2），并整理得
11a 7c 1620．
??????（ 10 分）
11a 1620
4(a 1)
．
由于 c
7
a 232
7
又 a 、 c 是正整数，从而有
11a 1620
≥ 1，即 a ≥ 148；
7
并且 7 整除 4(a 1) ，又因 4 与 7 互 ，所以 7 整除 a 1．
，可知 a 的最小 152．
答：甲 原来最少存粮
153 袋．
???????（ 15 分）
13．当点 P 运 ， CD 的 保持不 ．
???????（ 4 分）
法一： A 、 B 是⊙ O 1 与⊙ O 2 的交点，弦 AB 与点 P 的位置无关．??（
6 分）
AD ，
∠ADP 在⊙ O 1 中所 的弦 AB ，所以∠ ADP 定 ．
?????（ 10 分）
∠P 在⊙ O 2 中所 的弦 AB ，所以∠ P 定 ．
?????（ 12 分）
因 ∠ CAD ＝∠ ADP ＋∠ P ，
所以∠ CAD 定 ．
在⊙ O 1 中∠ CAD 所 弦是 CD ，∴ CD 的 与点 P 的位置无关．???（ 15 分）
法二：在⊙ O 2 上任取一点 Q ，使点 Q 在⊙ O 1 外， 直 QA 、 QB 分 交⊙ O 1 于 C ＇、 D ＇，
C ＇
D ＇．
∵ ∠1＝∠ 3，∠ 2＝∠ 3，∠ 1＝∠ 2，
∴ ∠ 3＝∠ 4．
???????（ 10 分）
∴ ⌒＇＝⌒＇
CC DD
∴ C ＇ mD ＇＝ CmD
∴ CD ＝ CD ．
???????（ 15 分）
C ′
C
3
A
P
1
O 2
·
Q
·
O
1
2
m
D ′
B
4
D
14．（本 分 15 分）
解法 1（ 1）① 当 t ＜ 0 ， OQ ＝ t ， PQ ＝
1 t
2 ．
2
∴ S ＝ 1
( t )( 1
t
2)
1 t
2 t ； 2 2
4
② 当 ＜ t ＜ 4 ，
＝ t ， PQ ＝ 1
2 ．
OQ
t
∴ S ＝ 1
t (
1 t
1 t 2
2
2)
t ；
2
2
4
1
1 ③ 当 t ＞ 4 ， OQ ＝ t ， PQ ＝
t
2)
(
t 2 ．
∴ S ＝ 1 t (1
t
1 t 2
2
2
2)
t ．
2 2 4
④ 当 t ＝ 0 或 4 ， S ＝0．
1 t
2 t , (t 0或 k 4)
于是， S
4
????????????????6 分
1 t 2
t (0 t 4)
4
1 t2t 1
(t 2)21,(t 0或 k4)
（2）S
44
1 t21
(t 2) 2
t 1 (0 t4)
44
下中的部分就是所画的函数象．??????????????12 分S
S a
O t
察象可知：
当 0＜a＜1 ，符合条件的点P 有四个；
当 a ＝1，符合条件的点P 有三个；
当 a ＞1，符合条件的点P 只有两个．???????????????15 分
解法 2：（ 1）∵ OQ＝| t |， PQ＝|1
2 | |
1
2 |，t t
11 1 |22
∴ S＝t24|．?????????????? 4 分
| t || t 2 |
4
22
11 t2t,(t0或 k4)
（2）S24t |4
????????? 6 分
| x
1 t2
4t(0 t4)
4
以下同解法1．