第二章 内积空间讲课稿
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a1b1 a2b2 L anbn L
注意到标准内积是特殊的二次型 ，因此有如下推广：
例 4 在向量空间 Rn 中，对任意 x、y Rn 和
A 实对称矩阵 ，定义实双线性型（Bilinear Form ）
[x, y] ( Ax, y) yT Ax, A Rnn
则 [ x, y] 是 Rn 的一个内积。 特别地，x y 时 [ x, x] xT Ax 就是二
( , ) T T
a1b1 a2b2 L anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2,L , an,L )T }, a2i
i 1
( , ) T T
定义
mn
( A, B)
ai jbi j tr(BT A) tr( AT B)
i1 j1
则 Rm n 是定义了内积 ( A, B) 的内积空间。
根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。
(5) ( x，y+z) ( x, y) ( x, z); (6) ( x, ky) k( x, y) , k R;
注意到 Rn 中的内积显然具有如下性质：
(1) 对称性：( x, y) ( y, x) ; (2) 双线性性：( x y, z) ( x, z) ( y, z);
( x，y+z) ( x, y) ( x, z); (kx, y) k( x, y) , k R; ( x, ky) k( x, y) , k R; (3) 正性：( x, x) 0;
(4) 定性：( x, x)=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
§1、欧氏空间的基本概念
向量空间中向量的长度与夹角是用内积 定义的，因此要在线性空间中引入相关 概念，自然要对内积的概念进行推广。
由于向量的内积与向量的线性运算无关， 所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间， 即定义了内积的线性空间。
一、内积空间(Inner Product Space)
在线性代数中，我们将 R3 中的内积推广到 Rn ：
无限求和即积分！
例 5 线性空间 C[a, b] 按下列内积构成欧氏空间：
( f , g)
b
f ( x)g( x)dx ,
f、g C[a, b]
a
证明： 当 ( f , f ) b f 2( x)dx 0 时，若有 a
f (c) 0, c (a, 百度文库). 则由函数的连续性，存在邻域
( x, y) x1 y1 L xn yn xT y yT x, x, y Rn
并在此基础上定义了 Rn 中的向量长度、夹角等概念。
当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但由于这 种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。 取而代之的是，注意到内积是从两个向量得到的一个 数，我们自然希望确定这种运算的性质，进而给出线 性空间中内积的公理化定义。
(2) (, ) (, ) ; ( R) (3) ( , ) (, ) ( , ) ; (4) ( , ) 0 ，当且仅当 时，等号成立。
例2 定义了标准内积的 Rn 是欧氏空间。这里，
对任意两个向量
(a1, a2,L , an )T Rn
及 (b1, b2 ,L , bn )T Rn， 标准内积为
第二章 内积空间
线性空间中向量的运算仅是线性运算。一 般而言，我们知道，现实世界是3维欧氏空间。 对于 n 维线性空间，定义了内积以后，向量不 仅有了长度（模），还有了两向量之间的夹角 等几何性质。特别是有了正交概念后，我们可 以得到标准正交基、勾股定理、正交投影等许 多优美的结果。
当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间 就被推广到了酉空间。许多欧氏空间中的定义 和性质几乎可以“平滑地”推广到酉空间。欧 氏空间和酉空间统称为内积空间。
( , )2 ( , ) ( , ).
证明： 对任意 R ，显然 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2( , )
次型 ；当 A I 时就是前面的标准内积。
由于函数也可以看成向量，所以内积也可以推广到函 数。先考虑折线函数：
F { f | f ( f1 , f2 ,L , fn )T }
显然其内积可定义为
( f , g) f1 g1 f2 g2 L fn gn fi gi
如果将一般函数看成具有无穷段折线段的向量，此时 上面的内积定义又会变成什么形式呢？
N (c, ) ，使其内任意点的函数值满足 f 2( x) 0 ，
从而
( f , f ) b f 2( x)dx c f 2( x)dx 0
a
c
矛盾。其他性质显然可证。
类似地，将矩阵看成由行向量依次连接而成 的一个超级向量，即可得如下内积定义：
例6 在矩阵空间 Rm n 中，对任意 A、B Rmn
(7) (, ) ( , ) .
二、欧氏空间的度量
注意到3维空间中，
x x12 x22 x32 ( x, x), x ( x1, x2 , x3 )T
定义7 欧氏空间 V 中的向量 的范数（norm)为
(,).
特别地，称 1 的向量 称为单位向量。
任意非零向量 ，经过规范化或单位化后可得到单位
向量
.
我们知道，平面几何中成立余弦定理，那么n维空 间中余弦定理是否仍然成立呢？注意到
( , ) (,) ( , ) ( , ) (,) (, ) 2 (,) (, )
(, ) (,) (, )
定理8 （柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上 的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β Î V ，有
注意到标准内积是特殊的二次型 ，因此有如下推广：
例 4 在向量空间 Rn 中，对任意 x、y Rn 和
A 实对称矩阵 ，定义实双线性型（Bilinear Form ）
[x, y] ( Ax, y) yT Ax, A Rnn
则 [ x, y] 是 Rn 的一个内积。 特别地，x y 时 [ x, x] xT Ax 就是二
( , ) T T
a1b1 a2b2 L anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2,L , an,L )T }, a2i
i 1
( , ) T T
定义
mn
( A, B)
ai jbi j tr(BT A) tr( AT B)
i1 j1
则 Rm n 是定义了内积 ( A, B) 的内积空间。
根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。
(5) ( x，y+z) ( x, y) ( x, z); (6) ( x, ky) k( x, y) , k R;
注意到 Rn 中的内积显然具有如下性质：
(1) 对称性：( x, y) ( y, x) ; (2) 双线性性：( x y, z) ( x, z) ( y, z);
( x，y+z) ( x, y) ( x, z); (kx, y) k( x, y) , k R; ( x, ky) k( x, y) , k R; (3) 正性：( x, x) 0;
(4) 定性：( x, x)=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
§1、欧氏空间的基本概念
向量空间中向量的长度与夹角是用内积 定义的，因此要在线性空间中引入相关 概念，自然要对内积的概念进行推广。
由于向量的内积与向量的线性运算无关， 所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间， 即定义了内积的线性空间。
一、内积空间(Inner Product Space)
在线性代数中，我们将 R3 中的内积推广到 Rn ：
无限求和即积分！
例 5 线性空间 C[a, b] 按下列内积构成欧氏空间：
( f , g)
b
f ( x)g( x)dx ,
f、g C[a, b]
a
证明： 当 ( f , f ) b f 2( x)dx 0 时，若有 a
f (c) 0, c (a, 百度文库). 则由函数的连续性，存在邻域
( x, y) x1 y1 L xn yn xT y yT x, x, y Rn
并在此基础上定义了 Rn 中的向量长度、夹角等概念。
当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但由于这 种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。 取而代之的是，注意到内积是从两个向量得到的一个 数，我们自然希望确定这种运算的性质，进而给出线 性空间中内积的公理化定义。
(2) (, ) (, ) ; ( R) (3) ( , ) (, ) ( , ) ; (4) ( , ) 0 ，当且仅当 时，等号成立。
例2 定义了标准内积的 Rn 是欧氏空间。这里，
对任意两个向量
(a1, a2,L , an )T Rn
及 (b1, b2 ,L , bn )T Rn， 标准内积为
第二章 内积空间
线性空间中向量的运算仅是线性运算。一 般而言，我们知道，现实世界是3维欧氏空间。 对于 n 维线性空间，定义了内积以后，向量不 仅有了长度（模），还有了两向量之间的夹角 等几何性质。特别是有了正交概念后，我们可 以得到标准正交基、勾股定理、正交投影等许 多优美的结果。
当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间 就被推广到了酉空间。许多欧氏空间中的定义 和性质几乎可以“平滑地”推广到酉空间。欧 氏空间和酉空间统称为内积空间。
( , )2 ( , ) ( , ).
证明： 对任意 R ，显然 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2( , )
次型 ；当 A I 时就是前面的标准内积。
由于函数也可以看成向量，所以内积也可以推广到函 数。先考虑折线函数：
F { f | f ( f1 , f2 ,L , fn )T }
显然其内积可定义为
( f , g) f1 g1 f2 g2 L fn gn fi gi
如果将一般函数看成具有无穷段折线段的向量，此时 上面的内积定义又会变成什么形式呢？
N (c, ) ，使其内任意点的函数值满足 f 2( x) 0 ，
从而
( f , f ) b f 2( x)dx c f 2( x)dx 0
a
c
矛盾。其他性质显然可证。
类似地，将矩阵看成由行向量依次连接而成 的一个超级向量，即可得如下内积定义：
例6 在矩阵空间 Rm n 中，对任意 A、B Rmn
(7) (, ) ( , ) .
二、欧氏空间的度量
注意到3维空间中，
x x12 x22 x32 ( x, x), x ( x1, x2 , x3 )T
定义7 欧氏空间 V 中的向量 的范数（norm)为
(,).
特别地，称 1 的向量 称为单位向量。
任意非零向量 ，经过规范化或单位化后可得到单位
向量
.
我们知道，平面几何中成立余弦定理，那么n维空 间中余弦定理是否仍然成立呢？注意到
( , ) (,) ( , ) ( , ) (,) (, ) 2 (,) (, )
(, ) (,) (, )
定理8 （柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上 的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β Î V ，有