《函数的概念及表示》教学设计方案(人教A版必修)

1.2 《函数的概念及表示》教案设计

【教案目标】

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. （2）理解函数的概念，并且会灵活运用函数的概念解题. （3）明确函数的三种表示方法.

（4）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数. （5）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用. 【导入新课】 回顾问题导入：

1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量.（表示方法有：解读法、列表法、图象法）. 新授课阶段 （一）函数的概念：

思考1：（课本P 15）给出三个实例：

A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845M ，且炮弹距地面高度h （M ）与

时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.

B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P 15图）

C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见课本P 16表） 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在

着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对

应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →

1. 函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.显然，值域是集合B 的子集. （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

244ac b B y y a ??-??=≥??????；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤??????

.

（3）反比例函数(0)k

y k x

=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠.2. 区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；

（3） 满足不等式a x b

a x

b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；

这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点.（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞. 例1 对范围1x a -≤≤用区间表示正确的为（ ）

A ．()1,a -

B ．[]1,a -

C ．[)1,a -

D ．(]1,a -

【解读】根据区间的表示法可以知道，如果取到等号时，用闭区间，否则用开区间，因此选B. 【答案】 B

3. 函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解读式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

例2 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为 （ ）

A ．{}3,0,1-

B ．{}3,2,1,0

C ．{}31≤≤-y y

D ．{}

30≤≤y y 【解读】只需把x =0，1，2，3代入计算y 即可. 【答案】A

例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式()y f x =，并写出它的定义域．

【分析】首先审题，得到框架围成的面积与半圆半径之间的关系，然后根据实际意义找到半圆半径的取值范围.

解：根据题意得，2AB x =, CD =x π,于是AD=

2

21x

x π--， 因此，2

12222x x x y x ππ--=?+，即242

y x lx π+=-+. 由??

???>-->02210

2x x x π，得102x π<<+，

∴ 函数的定义域为（0，

2

1

+π）. 例4 记集合M {}

230x x =->，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求： （Ⅰ）集合M ，N ；

（Ⅱ） 集合N M ，N M

分析：对于偶次根式，只要使得被开方式非负即可，同时要熟练运用集合的有关运算解决. 解：（Ⅰ）};2

3|{}032|{>=>-=x x x x M

}13|{}0)1)(3(|{≤≥=≥--=x x x x x x N 或

（Ⅱ）};3|{≥=?x x N M }2

31|{><=?x x x N M 或

.

4. 函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则. 例5 下列函数中哪个与函数y x =(0)x ≥是同一个函数（ ） A ．y=(x )2

B ．y=x

x 2

C ．y=33x

D ．y=2x

【解读】当两个函数的解读式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B 中的函数. 【答案】

A

2

21234y x y y x y y x

==

===

思考：下例函数中哪个与函数相等？（） （）（）（）

【答案】只有（2）合适. （二）函数的三种表示方法：

1. 结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点： 解读法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 优点：简明扼要；给自变量求函数值.

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势.

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等.例6 （1） 已知f (x )是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求

()f x ；

（2） 已知[]22

1)(,21)(x

x x g f x x g -=-= (x ≠0)，求)21(f .

【分析】紧扣函数的表示法，利用解读式求解时，要注意待定系数法在解题中的灵活运用，即首先设出函数的解读式，然后构造等式解决.

【解】（1）设()(0)f x ax b a =+≠，由3(1)2(1)217f x f x x +--=+得：

3[(1)]2[(1)]217a x b a x b x ++--+=+，∴5217ax a b x ++=+

∴2517a a b =??+=?，解得：27a b =??=?

，∴()27f x x =+. （2）令1()122g x x =-=，得14x =．∴2

21

1()14()1512()4

f -=

=.

例7 函数|

|)(x x

x f =的图象是（ ）

【解读】所给函数可化为：1(0)()1(0)

x f x x >?=?-

为{|0}x x ≠而作出判断. 【答案】C

例8 已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过（ ） A ．（－3，1） B ．（5，1） C ．（1，－3）

D ．（1，5）

【解读】法一：由)(x f 的图象恒过（1，1）知(1)1f =，即(54)1f -=，故函数)4(-x f 的图像过点（5，1）．法二：)4(-x f 的图象可由)(x f 的图象向右平移4个单位而得到，（1，1）向右平移4个单位后变为（5，1）. 【答案】B

2. 分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数. 说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解读式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同.

例9 画出下列函数的图象.

（1）y ＝x 2－2，x ∈Z 且｜x ｜2≤；（2）y ＝－22x ＋3x ，x ∈（0，2］；（3）y ＝x ｜2－x ｜；（4）3232232x y x

x x ??

???

≤≥＜－，＝－－＜－．

． 解：四个函数的图象如下 例10

如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经C 、D 绕边界一周，当x 表示点P

的行程，y 表示PA 之长

时，求

y 关于x 的解读式，并求f(

2

5

)的值. 解：当P 在AB 上运动时，(01)y x x =≤≤； 当P 在BC 上运动时，y=2)1(1-+x (12)x <≤ 当P 在CD 上运动时，y=2)3(1x -+(23)x <≤ 当P 在DA 上运动时，y=4－x (34)x <≤

∴

y= (01)2)

3)4 (34)x x x x x x ≤≤?<≤<≤-<≤? ∴f (25)=

2

5

例11 已知??

?>-<+=0

4

4

)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为 . 【解读】(3)341,((3))(1)143f f f f -=-+=-==-=-. 【答案】3- 课堂小结

1.掌握函数的定义域与值域的求解方法；

2.理解函数的概念；

3.掌握函数的表示方法，尤其要注意解读法在解决应用题中的灵活运用. 作业

见同步练习部分

拓展提升

一、选择题

1．若集合{}|32,S y y x x R ==+∈，{}

2

|1,T y y x x R ==-∈，则S

T 是( )

A ．S B. T C. φ D.有限集

2．已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，有,1

)(x

x f =

则当)2,(--∞∈x 时，)(x f 的解读式为（ ）

A ．x 1-

B ．21--x

C ．21+x

D ．2

1+-x 3．函数x x

x y +=

的图象是（）

4．若函数2

34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25

[4]4

-

-，，则m 的取值范围是（ ） A ．(]4,0 B ．3

[]2，4 C ．3[3]2， D ．3[2

+∞，）

5．若函数2

()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ）

A ．12(

)2x x f +≤12()()2f x f x +B ．12()2x x f +<12()()

2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x +D ．12()2x x f +>12()()

2

f x f x + 6．函数222(03)

()6(20)

x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（ ）

A ．R

B ．[)9,-+∞

C ．[]8,1-

D ．[]9,1- 二、填空题

7．函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则满足条件的实数a 组成的集合是.

8．设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()-2的定义域为__________. 9．当_______x =时，函数22212()()()...()n f x x a x a x a =-+-++-取得最小值.10．二次函数的图象经过三点13(,),(1,3),(2,3)24

A B C -，则这个二次函数的解读式为.

11．已知函数???>-≤+=)

0(2)

0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x =.

三、解答题

12．求函数x x y 21-+=的值域.

13．利用判别式方法求函数1

3

222

2+-+-=x x x x y 的值域. 14．已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则求b a -5的值. 15．对于任意实数x ，函数2

()(5)65f x a x x a =--++恒为正值，求a 的取值范围.

参考答案

1. B 【解读】[),1,,S R T T S ==-+∞? .

2. D 【解读】设2x <-，则20x -->，而图象关于1x =-对称，得

1()(2)2f x f x x =--=

--，所以1

()2

f x x =-+.

3. D 【解读】 1,0

1,0

x x y x x +>?=?

-

4. C 【解读】作出图象 m 的移动必须使图象到达最低点.

5. A 【解读】 作出图象 图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如 二次函数2

()f x x =的图象；向下弯曲型，例如 二次函数2

()f x x =-的图象. 6. C 【解读】作出图象 也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集 二、填空题

7.

{}

2- 【解读】当

{}(]2()4,,0a f x ==-≠-∞时，其值域为-4 ，当

2

20

2()0,,24(2)16(2)0

a a f x a a a -

【解读】021,3,49x ≤≤≤≤≤得2即.

9.

12...n

a a a n

+++

【解读】222

2

1212()2(...)(...)n n

f x nx a a a x a a a =-++++++

+， 当12...n

a a a x n

+++=

时，()f x 取得最小值.

10. 2

1y x x =-+【解读】设3(1)(2)y a x x -=+-把13(,)24

A 代入得1a =.

11.3- 【解读】由100>得2()110,0,3f x x x x =+=<=-且得. 三、解答题 12.

解

：

令

,(0)

t t =≥，则

2221111,2222

t t x y t t t --==+=-++

，

21

(1)12

y t =--+，当1t =时，(]max 1,,1y y =∈-∞所以.

13.解：2

2

2

(1)223,(2)(2)30,(*)y x x x x y x y x y -+=-+---

+-=，显然2y ≠，而

（*）方程必有实数解，则2

(2)4(2)(3)0y y y ?=----≥，∴10

(2,

]3

y ∈ . 14.解：2

2

()()4()31024,f ax b ax b ax b x x +=++++=++

2222(24)431024,a x ab a x b b x x +++++=++

∴221

24104324a ab a b b ?=?

+=??++=?

得13a b =??=?

，或17a b =-??=-?

∴52a b -=.

15. 解：显然50a -≠，即5a ≠，则50

364(5)(5)0a a a ->??

?=--+

得2

5160

a a

-