高中数学数列题型归纳及解题方法梳理

数列

典型例题分析

【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数

列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an

}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n

，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22+23+ (2)

=

=2n+1

-2.

小结与拓展：数列{}n

a 是等差数列，则数列}{n

a a 是等比数列，公比为d

a ，其中a 是常数，d 是{}n

a 的公差。（a>0且a ≠1）.

121d +1812d d

++2m

a 2(12)12

n --

【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、

常用求通项公式的结合

例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前

三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝

8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等

差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①

当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n

－1)(n∈N*) ②

①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，

在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，

∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，

b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，

∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n

＋1

－b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

法一（迭代法）

b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)

＝n2－7n＋14(n∈N*)．

法二（累加法）

即b n－b n－1＝2n－8，

b n－1－b n－2＝2n－10，

…

b3－b2＝－2，

b2－b1＝－4，

b1＝8，

相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)

＝8＋(n－1)(－4＋2n－8)

2

＝

n 2－7n ＋14(n∈N *

)．

小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

?

?

?∈≥-===-)

N n ,2( )1(

1

1

1

n S S n S a a n n n

.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）

例3 （2009汕头一模）在等比数列｛a n ｝中，

a n ＞0 (n N ＊

），公比q (0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a

2a 8＝25，a 3与a s 的等比中项为2。

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝log 2 a n ，数列

｛b n ｝的前n 项和为S n 当最大时，求n 的值。

解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以， + 2a 3a 5 +＝25

又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5

∈∈1

2

12n

S S

S

n

++???+23

a 25

a

的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q （0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，，a 1＝16，所以，

（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1， 所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。所以，

所以，当n ≤8时，＞0，当n ＝9时，＝0，n ＞9时，＜0，

当n ＝8或9时，最大。 小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数

列的最值；2）等差中项与等比中项。

二、数列的前n 项和

1.前n 项和公式Sn 的定义： S n =a 1+a 2+…a n 。

∈12

q =1

511622n n

n a --??

=?= ?

??

(9),2n

n n S

-=

92

n S n

n -=n

S n n

S n n

S n 1

2

12n

S S

S

n

++???+

2.数列求和的方法（1）

（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比

数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:

1

n k k ==∑1

2

123(1)n n n +++

+=+；

2

1n

k k

==∑2

2

2

2

1

6

1

23(1)(21)n n n n +++

+=++；

31

n

k k ==

∑3

3

3

3

2(1)2

123[

]n n n +++++=；

1

(21)n

k k =-=∑2n 1)-(2n

...531=++++。

（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项

或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

（3）倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。 （4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，

使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于?

??

?

??+1

n n

a

a c 其中{n

a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）11n n a a +??

?????

和

11n n a a +????

??+????

（其中{}n

a 等差）可裂项

为：1

1

1111

()n

n n n a a

d a a ++=

-?；2）

1111

()

n n n n a a d

a a ++=-+。（根式

在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消

求和）

常见裂项公式：

（1）111

(1)1n n n n ++=-； （2）1

111()

()n n k k n

n k

++=-

；

（3）1

1

1

1

(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；

3.典型例题分析

【题型1】 公式法

例1 等比数列{}n

a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

－p ，则 2

2

32221n a a a a ++++ ＝________.

解：1）当n=1时，p -2a 1

=；

2）当2n ≥时，1

-n 1

-n n

1

-n n

n

2p)-(2-p)-(2S -S a ===。

因为数列{}n

a 为等比数列，所以1p 12p -2a 1

-11

=?===

从而等比数列{}n

a 为首项为1，公比为2的等比数列。

故等比数列{}2n

a 为首项为1，公比为4q 2

=的等比数列。

1)-(43

14-1)4-1(1n n

2

232221==++++n a a a a

小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比

数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列{}n

a 为等比数列，则数列{}2n

a 及

?

?????n a 1也为等比数列，首项分别为2

1

a 、1

a 1，

公比分别为2

q 、q 1

。

【题型2】 分组求和法

例2 （2010年丰台期末18）数列{}n

a 中，

1

1a =，