「精品」高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修2_2

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高中数学第四章定积分 4.3.1 平面图形的面积课件北师大版选修2-2

10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .

高中数学第4章定积分章末高效整合课件北师大版选修2_2

解题步骤如下：①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限．③确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．④写出平面图形面积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
(2)求旋转体的体积由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，x＝b(a＜b)以及 x 轴围成的曲
1
3
∴S 阴＝0(x2＋1)dx＋1(3－x)dx
＝x33＋x10 ＋3x－x2231 ＝130.
定积分的计算
• 用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x) ＝f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算求与原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导公式和四则运算从反方向上求出F(x)．常见的求定积分的方法还有2 用定积分的几何意义求定积分[．思维点计击算] 定先积去分掉0绝|x2对－值1|d号x.，然后再计算．
2．微积分基本定理 (1)如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应注意掌握一些常见函数的导数．
b
b
①akf(x)dx＝kaf(x)dx；
b
b
b
②a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx；
b
c
b
③af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多
用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
2．求下列函数的定积分．

高中数学第四章定积分本章整合课件北师大版选修22

2(��-1) ��
,
2��
(��
= 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=xi-xi-1=
2��.
②近似代替,求和:取
ξi=
2��
(��
=
1,2,
…,n),
��
则 S1= ∑ ��
��=1S=Fra bibliotek��
[��2(��) − ��1(��)]d��.
专题一专题二专题三
应用1 将一根弹簧从自然长度压缩x cm,需要用4x N的力,将它从
自然长度压缩5 cm,需要做多少功?
提示先由公式F(x)=kx求出力 F(x),再求力F(x)所做的功.
专题一专题二专题三
解:如图,由
��
= =
3, ��,
得
�� = 3, �� = 3.
由
�� = 3, �� = 1,
得
1 �� = 3 ,
�� = 3.
由
�� = 1, �� = ��,
取
μi=
2(��-1) ��
(��
=
1,2,
…,n),
��
则 s1= ∑ ��
��=1
2(��-1) ��
��
Δ�� = ∑
��=1

北师大版高中数学选修2-2第四章定积分-定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积课件05184

（3）求和； (4)逼近。
V＝
1
4xdx2
2019/7/19
0
o
y2 4x
x=1 x
变式练习1、求曲线 y e x ，直线 x 0 ，x 1
x 与轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋 2
转体的体积。
答案：
2
(e
1)
；
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一
由曲线 y f (x)，直线
xa,xb及 x
x 轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转而成的旋转体体积为
V
b
[
f
(x)]2d.x其侧面积为
a
求S侧体积2 的a 过bf程(x就)1 是对[f定'(x积)]2分dx概念的进一步理解过
程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1．先求
出 y f 2019/7/19 x 的表达式；2．代入公式
个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。
2019/7/19
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；难点；数学模型的建立及被积函数的确定。四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学20过19/7程/19
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则

高中数学第4章定积分 4.3.1 平面图形的面积 4.3.2 简单几何体的体积学案北师大版选修22

§3 定积分的简单应用1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 平面图形的面积阅读教材P 87～P 88“例3”以上部分，完成下列问题.1.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )dx .2.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )dx.图4313.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]dx .(如图431)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx .( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x )dx .( )(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛－22(4－x 2)dx .( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 简单旋转几何体的体积阅读教材P 89～P 90“练习”以上部分，完成下列问题.旋转体可看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V ＝⎠⎛ab π[f (x )]2dx .由y ＝x 2，x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5【解析】 V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪10＝π5.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](2)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积.【精彩点拨】 (1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S .(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】 (1)作出直线y ＝x ＋3，曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2，5)和(5，8).因此，所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x )dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21 ＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2，故S ＝⎠⎛02(2x －x )dx －⎠⎛12(x 2－x )dx＝x 22⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76. 法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2. 故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.[再练一题]1.由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )【导学号：94210075】A.53B.1C.52D.23【解析】由图可知，所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2－x )dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1. 【答案】 B求由曲线y ＝2x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.【自主解答】曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2).V 1＝⎠⎛02π(2x )2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.,1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即V ＝π⎠⎛abf 2(x )dx －π⎠⎛a bg 2(x )dx ，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2dx .2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解.[再练一题]2.设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】先画草图.设f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.[探究共研型]探究1 a 2，试求a 的值.【提示】由已知得S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.探究2 若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，试求c 的值.【提示】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23.∴c 3＝18，∴c ＝12.在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.【精彩点拨】设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0). 令y ＝0，得x ＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x 02x 2dx ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]dx ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1，1)，切线方程为y ＝2x －1.1.本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝⎠⎛0x 0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx .错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.[再练一题]3.(2016·济南高二检测)如图432，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2，4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2.图432(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值.【解】 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.因为0<t <2，所以t ＝2，当0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2).[构建·体系]1.用S 表示图433中阴影部分的面积，则S 的值是( )图433A.⎠⎛ac f (x )dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf （x ）dxC.⎠⎛a b f (x )dx ＋⎠⎛b c f (x )dxD.⎠⎛bc f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx【解析】 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx .【答案】 D2.直线y ＝x ，x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A.π B.π3C.13D.1【解析】 V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.【答案】 B3.由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx ＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144.由y ＝x 2，y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.【导学号：94210076】【解析】 V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.【答案】π65.计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .【解】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝⎠⎛01xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝23－13＝13.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a b [g (x )－f (x )]d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f （x ）－g （x ）]dx 【解析】当f (x )>g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .【答案】 C2.由抛物线y ＝x 2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45πB.165πC.85π D.325π 【解析】 V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.【答案】 D3.如图434，阴影部分的面积是( )图434A.2 3B.2－ 3C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1-3＝323.【答案】 C4.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C.1D.43【解析】函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10 ＝2×23＝43.【答案】 D5.由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A.6π B.12π C.24πD.3π【解析】因为xy ＝4，所以y ＝4x，V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.【答案】 B 二、填空题6.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【导学号：94210077】【解析】画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .【答案】 ⎠⎛01(x －x 3)d x7.由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】体积V ＝π⎠⎛01e xd x ＝π(e －1).【答案】 π(e －1)8.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________. 【解析】由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4，2).因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －（x －2）]dx ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.【答案】163三、解答题9.(2016·济宁高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图435所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值.图435【解】由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝⎠⎛0－a [0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10.设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【解】如图，M 为图中阴影部分.(1)图中M 的面积为⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪10＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪10＝π3.[能力提升]1.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B.2 C.83 D.1623【解析】∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0，1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83.【答案】 C2.已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A.y ＝axB.y ＝±axC.y ＝－axD.y ＝－5ax【解析】显然，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)，所以图形面积S ＝⎠⎛02a ＋k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33⎪⎪⎪2a ＋k 0＝（k ＋2a ）32－（2a ＋k ）33＝（2a ＋k ）36.又因为S ＝92a 3，所以（2a ＋k ）36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A . 【答案】 A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________.【解析】 V ＝⎠⎛－11π(1－x 2)d x＝π⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝π⎝⎛⎭⎫⎠⎛－111dx －⎠⎛－11x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝43π.【答案】 43π4.已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C围成的图形的面积.【解】设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 2－6x 0－2＝yx 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x ＝，即所求面积为2732.。

高中数学北师大版选修22第4章定积分的概念第3课时word教案

定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的大体思想，了解定积分的概念，能用定积分概念求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．二、教学重难点：重点：定积分的概念、用概念求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义．三、教学方式：探析归纳，讲练结合四、教学进程（一）、创设情景温习：1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方式，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出一路点．（二）、新课探析 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上持续，用分点 0121ii nax x x x x x b将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每一个小区间长度为x （b ax n），在每一个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()nnni i i i b aS f xf n若是x 无穷接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无穷趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b aSf x dx ，其中积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。

说明：（1）定积分()b af x dx 是一个常数，即n S 无穷趋近的常数S （n 时）记为()b af x dx ，而不是n S ．（2）用概念求定积分的一般方式是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点1,ii i x x ；③求和：1()ni i b af n；④取极限：1()l i mnb inai ba f x dxfn（3）曲边图形面积：b aS f x dx ；变速运动路程21()t t Sv t dt ；变力做功()b aWF r dr2．定积分的几何意义从几何上看，若是在区间,a b 上函数()f x 持续且恒有()0f x ，那么定积分b af x dx 表示由直线,(),0x a x b a b y 和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部份)的面积，这就是定积分b af x dx 的几何意义。

高中数学第四章定积分定积分的简单应用课件北师大选修

得xy＝＝5－，3，或xy＝＝02，，所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3，5)和(2,0)，
设所求图形面积为 S，根据图形可得
2
2
S＝-3 (－x＋2)dx－-3 (x2－4)dx
＝2x－12x2 |2－3－13x3－4x |2－3
＝225－－235＝1265.
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示； ⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
由xy＝y＝x1，，得xy＝＝11，，或xy＝＝－－11，， (舍去)，故 B(1,1)；
由yy＝＝x3，，得xy＝＝33，，故 C(3,3)，
故所求面积
1
S＝S1＋S2＝ 1 3
3－1xdx＋13
(3－x)dx＝(3x－
ln
x)
|1
1
＋3x－12x2
|31＝4－ln
3.
3
[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
不分割型图形面积的求解
[例 1] 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积．
[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．
[精解详析] 由yy＝＝－x2－x＋4，2，

2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第四章定积分的简单应用

[双基自测]
1．由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b(a<b)和 x 轴围成的曲边梯
形的面积 S 等于( )
A.bf(x)dx a
C.b[f(x)－a]dx a
B．－bf(x)dx a
D.b[f(x)－b]dx a
解析：画示意图(图略)，利用定积分表示面积．
b

[f1(x)－f2(x)]dx(其中f1(x)＞
a
f2(x))．
1．函数y＝sin x，y＝cos x在区间π4，54π内围成的面积为________．解析：在x∈ π4，54π 内，y＝sin x，y＝ cos x围成一封闭图形，如图所示．
5
S＝4 (sin x－cos x)dx 4
[解析]
根据题意，得 f(x)＝1100x－，100≤ x，x12≤＜12x，≤1，
从而得 y＝xf(x)＝1100xx2－，100≤x2， x≤12＜ 12，x≤1，
1
2 0
10x2dx＋

1 1
(10x－10x2)dx
2
＝130x3
1 2
0
＋(5x2－130x3)
1 1 2
探究一计算简单平面图形的面积
[例 1] 试求曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成的图形的面
积． [解析]
由yy＝＝xx2＋－32x＋3 解得xy＝＝30 或xy＝＝63 .曲线y＝x2－2x＋3及
直线y＝x＋3的交点为(0,3)和(3,6)．因此所围成的图形的面积是
5
＝(－cos
x－sin
x)
4
4
＝－cos54π－sin54π －－cosπ4－sinπ4 ＝ 2－(－ 2)

高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材习题点拨北师大版选修2-2

高中数学第四章定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨北师大版选修2-2练习(P 85) 1.解:(1)定积分⎰01e xdx 中,被积函数为y=e x.被积函数的一个原函数为y=e x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.(2)定积分⎰ππ2cosxdx 中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰ππ2cosxdx=sinx|2ππ=sinπ-sin2π=-1. (3)定积分⎰01x 3dx 中,被积函数为y=x 3.被积函数的一个原函数为y=41x 4, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 3dx=41x 4|10=41×14-41×04=41.2.解:(1)导函数为y′=(x 2)′=2x,⎰012xdx=x2|1=12-02=1;(2)导函数为y′=(x 2+5)′=2x,⎰012xdx=(x 2+5)|1=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y′=(x 2-π)′=2x,⎰012xdx=(x 2-π)|1=(12-π)-(02-π)=1;(4)导函数为y′=(x 2-a)′=2x,⎰012xdx=(x 2-a)|1=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分⎰01(x 3-1)dx 中,被积函数为y=x 3-1.被积函数的一个原函数为y=41x 4-x,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01(x 3-1)dx=(41x 4-x)|10=(41×14-1)-(41×04-0)= 43-.(2)定积分⎰24x 1dx 中,被积函数为y=x1. 被积函数的一个原函数为y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得⎰24x1dx=ln|x||42=ln4-ln2=ln2. (3)定积分⎰40πx 2cos 1dx 中,被积函数为y=x2cos 1. 被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰4π0x2cos 1dx=tanx |40π=tan 4π-tan0=1. 习题42(P 85) 1.解:⎰01x e 21dx=21x e 21|10=2121e -21e 0=2121e -21.2.解:⎰01f(x)dx=11+x |10=111+101+-=-21. 3.解:⎰0πf(x)dx=sinxcosx |0π=sinπcosπ-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx.(2)⎰2πcosxdx=sinx|20π=sin2π-sin0=1. 5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是F(x)=x+x 2,所以f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(1+2x)dx=(x+x 2) |1=(1+12)-(0+02)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)|1=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x 2-7x, 所以⎰01(2x-7)dx=(x 2-7x)|1=(12-7×1)-(02-7×0)=-6.(2)函数y=23x +x2的一个原函数为F(x)=x 3-+2ln|x|, 所以⎰12(23x +x2)dx=(x 3-+2ln|x|)|21=(-23+2ln2)-(13-+2ln1)=23+2ln2. (3)函数y=3x的一个原函数为F(x)=3ln 13x,所以,⎰133x dx=(3ln 13x )|31=(3ln 133)-(3ln 131)=3ln 24. (4)函数y=sinx 的一个原函数为F(x)=-cosx, 所以,⎰-ππsinxdx=-cosx |ππ-=(-cosπ)-［-cos(-π)］=0.(5)函数y=lnx 的一个原函数为F(x)=x(lnx-1), 所以,⎰1elnxdx=x(lnx-1)|1e =e(lne-1)-1×(ln1-1)=1. (6)函数y=112+x 的一个原函数为ln(x+12+x ),所以,⎰01112+x dx=ln(x+12+x )|1=ln(1+2)-ln(0+1)=ln(1+2).(7)函数y=x 2-2x+3的一个原函数为F(x)=31x 3-x 2+3x, 所以,⎰01（x 2-2x+3）dx=(31x 3-x 2+3x)|10=(31×13-12+3×1)-(31×03-02+3×0)=231.(8)函数y=（x-1）2=x 2-2x+1的一个原函数为F （x ）=31x 3-x 2+x, 所以,⎰13(x-1)2dx=(31x 3-x 2+x)|31=(31×33-32+3)-(31×13-12+1)=232.(9)函数y=2x+x 2的一个原函数为F(x)=33122ln 1x x +, 所以⎰-11(x 2+2x )dx=(2ln 12x +31x 3)|11-=(2ln 121+31×13)-(2ln 12-1+31×(-1)3)=32ln 23+x . (10)函数y=x 21+x x 的一个原函数为F(x)=21ln|x|+52x 2x, 所以,⎰12(x 21+x x )dx=(21ln|x|+52x 2x )|21=(21ln2+52×222)-(21ln1+52×121)=21ln2+258-52. 7.解:设汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为s,则s=⎰510(2t+t+2)dt=［3423t +22t +2t ］|105=10340-3205+295(m). 答:汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为10340-3205+295m. 8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=⎰8.06.0(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B 组1.解:⎰-22ππf(x)dx=⎰20πf(x)dx+⎰-2πf(x)dx=⎰20π-sinxdx+⎰-2πxdx=cosx |2π+21x 2|02π=cos 2π-cos0+21×02-21×(-2π)2=-82π-1.思路分析:将区间[-2π,2π]拆分成[0,2π]和[-2π,0],函数f(x)在区间[-2π,2π]的积分等于函数在区间[0,2π]和[-2π,0]的积分之和.2.解:(1)定积分⎰01x 2dx 中,被积函数为y=x 2.被积函数的一个原函数为y=31x 3, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 2dx=31x 3|10=31×13-31×03=31.用图像表示为: (2)定积分⎰12(x-1)2dx 中,被积函数为y=(x-1)2=x 2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3-x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰12(x 2-2x+1)dx=(31x 3-x 2+x)|21=(31×23-22+2)-(31×13-12+1)=31. 用图像表示为: (3)定积分⎰-10(x+1)2dx 中,被积函数为y=(x+1)2=x 2+2x+1. 被积函数的一个原函数为y=31x 3+x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x)|01-=(31×03-02+0)-［31×(-1)3+(-1)2-1］=31. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等. 练习(P 88) 1.解:曲线y=x1，直线x=1,x=2以及x 轴围成的平面图形的面积为⎰12x 1dx=ln|x||21=ln2-ln1=ln2.2.解:曲线y=e x 与y 轴的交点为(0,1),曲线y=e x,直线x=1以及x 轴、y 轴围成的平面图形的面积为⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.练习(P 90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的圆台体积为⎰12πx 2dx=31πx 3|21=31π×23-31π×13=37π. 2.解:曲线y=1+x x+1,x 轴,y 轴和直线x=1围成的区域绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为:⎰01π(x+1)dx=(21πx 2+πx)|10|10=(21π×12+π×1)-(21π×02+π×0)=23π.习题43(P 90)1.解:⎩⎨⎧+==,2,2x y x y 解方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1,14,2y x y x 或. 所求平面图形的面积为⎰-12(x+2-x 2)dx=(22x +2x-33x )|21-=8-621.2.解:如图所示:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x 轴上方的面积,一部分是x 轴下方的面积.x 轴上方的面积S 1=⎰-22ππcosxdx=sinx|22ππ-=sin2π-sin(-2π)=2, x 轴下方的面积S 1=S 2=2,所求的阴影部分的面积为S=S 1+S 2=2+2=4. 3.解:所求的面积为S=⎰20πsinxdx=-cosx|20π=-cos2π-(-cos0)=1. 4.解:所求的面积为S=⎰12(x+x 1)dx=(21x 2+ln|x|)|21=(21×22+ln2)-( 21×12+ln1)=23+ln2.5.解:所求旋转体的体积为 V=⎰12π(x 1)2dx=-π·x1|21=(-π×21)-(-π×11)=2π. 6.解:所求旋转体的体积为 V=⎰01π(x )2dx=π·21x 2|10=(π×21×12)-(π×21×02)=2π. 7.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y ,2解此方程组得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==1,1y x .所求平面图形的面积为:⎰01x dx-⎰01x 2dx=32x x|10-31x 3|10=32×1×1-32×0×0-(31×13-31×03)=31.该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:⎰01π(x )2dx-⎰01π(x 2)2dx=21πx 2|10-51πx 5|10=21π×12-21π×02-(51π×15-51π×05)=103π. STS浅淡微积分(二)微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.。

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精品资料值得拥有 1 §3 定积分的简单应用 [对应学生用书P42]

如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝∫baf(x)dx，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫bag(x)dx，则所求阴影部

分面积为S1－S2.

平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则 S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx，f(x)≥g(x)．

定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．

[对应学生用书P42]

不分割型图形面积的求解 [例1] 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积． [思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．精品资料值得拥有 2 [精解详析] 由 y＝x2－4，y＝－x＋2，得 x＝－3，y＝5，或 x＝2，y＝0，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得

S＝-32 (－x＋2)dx－-32 (x2－4)dx

＝2x－12x2 |2－3－13x3－4x |2－3 ＝252－－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示； ⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．

1．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B．1 C.32 D.3 解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分



3

3cos xdx＝sin x |33＝32－－32＝3.

答案：D 2．(山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A．22 B．42 C．2 D.4 精品资料值得拥有 3 解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为02x－x3dx＝

2x2－1

4x4

|20＝4.

答案：D 3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积S. 解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．

解方程组 y2＝x，y＝x3得交点的横坐标x＝0，x＝1，因此所求图形面积为 S＝∫10xdx－∫10x3dx＝23x32 |10－14x4 |10＝23－14＝512.

分割型图形面积的求解 [例2] 求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积． [思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限． [精解详析] 作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．

求交点坐标：由 xy＝1，y＝3，

得 x＝13，y＝3，故A13，3；由 xy＝1，y＝x，得 x＝1，y＝1，或 x＝－1，y＝－1，(舍去)，故B(1,1)；由 y＝x，y＝3，得 x＝3，y＝3，故C(3,3)，精品资料值得拥有

4 故所求面积S＝S1＋S2＝1313－1xdx＋∫31(3－x)dx＝(3x－ln x) |113＋

3x－1

2x2 |3

＝4－ln 3. [一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．

4．由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )

A．1 B.π4

C.322 D.22－2

解析：S＝0 π4 (cos x－sin x)dx＋4 2 (sin x－cos x)dx＝(sin x＋cos x)



 π4

－(cos x＋sin x) π2π4 ＝(2－1)－(1－2)＝22－2. 答案：D 5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．

解：由 y＝x2，y＝x，得A(1,1)，精品资料值得拥有

5 由 y＝x2，y＝2x，得B(2,4)，如图所示所求面积为 S＝012xdx－01xdx＋122xdx－12x2dx ＝01(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx ＝01xdx＋12(2x－x2)dx ＝12x2|10＋x2－13x3|21＝76.

简单几何体的体积的求解 [例3] 求抛物线y＝2x2与直线x＝a(a>0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积． [精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示， V＝∫a0π(2x2)2dx＝4π∫a0x4dx

＝4π·15x5 |a0＝45πa5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x)．③确定积分上、下限a，b.④计算体积V＝∫baπf2(x)dx.

6．y＝sin x(0≤x≤π)和x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为( )

A．π2 B．4π2 C.13π2 D.π22

解析：V＝π∫π0sin2xdx＝π∫π01－cos 2x2dx ＝π2x－sin 2x2| π0＝π22. 答案：D 精品资料值得拥有 6 7．给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________

解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC的方程：y＝a.则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a2dx＝πa2x |a0＝πa3.

答案：πa3 1．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限． 2．由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a

到的旋转体的体积为V＝πabf2(x)dx.

[对应课时跟踪训练十六

1．曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积是( ) A．4π B.5π2 C．3π D．2π 解析：如图，求曲线y＝cos x(0≤x≤2π)与直线y＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y＝0，y＝1，x＝0，x＝2π围成的矩形的面积．故选D.

答案：D 2．如果用1 N的力能将弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( ) 精品资料值得拥有 7 A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J 解析：设F(x)＝kx，当F＝1 N时，x＝0.01 m，

则k＝100.W＝00.06100xdx＝50x2|0.060＝0.18 (J)．答案：A 3．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为( )

A．2 B.83

C.43 D.23 解析：S＝－∫0－1(x2＋2x)dx＋∫10(x2＋2x)dx ＝－ 13x3＋x20－1＋ 13x3＋x210 ＝23＋43＝2. 答案：A 4.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )

A.14 B.15

C.16 D.17 解析：阴影部分的面积为∫10(x－x)dx＝3222132xx 10＝16，故所求的概率P＝阴影部分的面积正方形OABC的面积＝16，故选C.

答案：C 5.如图是一个质点做直线运动的v t图像，则质点在前6 s内的位移为________．

解析：直线OA的方程为y＝34x，直线AB的方程为y＝－32x＋9，故

质点在前6 s内的位移为∫4034x dx＋∫64－32x＋9dx＝38x2 40＋－34x2＋9x 64＝6＋3＝