等边三角形
什么是等边三角形
什么是等边三角形
等边三角形的三个内角都是60度，三条边都相等，也叫正三角形。
等边三角形为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
性质：
（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。
（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）
（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。
（等于其高）
（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）
判定方法：
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。
（4）两个内角为60度的三角形是等边三角形。
等边三角形
D
B
A
7、如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC= 120°，AC的垂直平分线EF交AC 于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。
A
E
B F C
C
D B
E A
8、 如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°， ∠B= 15°，AB的垂直平分线分别交BC、AB 于D、E。求证：DB=2AC
┓
C
A
经过本节课的学习， 你有哪些收获？
；
/ 玻纤土工格栅
hoq148egk
如何，且听下回分解。” 张钢铁像说评书一样，“啪”地一声把水杯往办公桌子上一放，结束了今天的演讲。马启明正听得 过瘾，希望张钢铁再多讲一会儿。张钢铁笑了笑说道：“我们在一起时间长着呢，保证让你小子听个够，我现在要去开会了， 明天再讲。”后来只要有时间，张钢铁总会津津有味地讲一段啤酒厂的历史，只是张钢铁的方言很重，有时有些话马启明根本 就听不懂。张钢铁就连说带比画，实在马启明还听不懂时，张钢铁就改用拗口的、醋溜的普通话讲。时间一长，张钢铁干脆用 他那不太标准的普通话给马启明说开了，车间职工笑着说道：“呦，马启明一来，张主任成了教授了，普通话越来越标准了， 能当播音员了。”用了一个月的时间，马启明就熟悉了啤酒酿造的全部生产流程，并全心投入到工作之中。花开啤酒到底发展 得怎么样？会不会按照马启明的想法一样一路顺风、蒸蒸而上呢？有没有意外情况发生呢？5初到美丽的江苏|刚度完新婚蜜月 期的马启明觉得自己特别亢奋，每一个毛孔都迸发着激情，浑身有使不完的劲。他将新婚燕尔的妻子送走以后，稍微准备了一 下，向单位请好假，就直奔江苏海涛州。吉人自有天助，在海涛州人事局的牵线搭桥下，一切进展得相当顺利，很快就谈好了 对口单位---江苏花开啤酒厂。那几天，马启明的眼神像是刘胡兰一样视死如归。离开江苏海涛州后马启明直奔妻子那里，帮 她办理调动手续。当拿到妻子的调动手续后，马启明激动坏了，在调动手续上连亲了3口。后半夜突然醒来，他像个傻子一样 望着调动手续“嘿嘿嘿”地直傻笑，妻子从睡梦中猛然醒来、吓呆了，以为他有精神病，摸了摸他的额头，说：“没发烧啊！” 继而又对马启明说：“年轻人，淡定淡定！”1993年4月，春夏季交替之际，他们赶到马启明的家里。虽然马启明单位与主管 部门不放行，但有海涛州人事局的事先承诺，马启明索性也不办理正常调动手续，只带了毕业证，伟大的爱情力量使他义无反 顾地与妻子刘丽娟一起带着简单的行囊，坐上东去的火车，雄赳赳、气昂昂地赶往千里之外长江之边的一座滨江小镇，奔向自 己心仪的江苏花开啤酒厂，就像当年参加红军一样。“暂时再见了！陕西——生我养我的故乡！”马启明一脸的幸福相，心里 默默喊道，“亲爱的江苏，我来了！”从此，他们一半是生在古老的黄河子孙，一半是工作在悠久的长江女儿。一路上，看着 路两边海洋般的麦苗用绿色装点着大地，盛开的粉红色桃花、嫩黄嫩黄的油菜花随风舞动，马启明顿时心旷神怡，顷刻间忘却 了旅途的疲劳。当火车行驶到雄伟的南京长江大桥，凝望着滚滚东去的长江之水时，马启明禁不住心潮澎湃。这虽然已是他第 三次看到柔美宽阔的母亲河和雄伟壮丽的南京长江大桥，但前两次都是匆匆
等边三角形的特点
等边三角形的特点等边三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的特点和性质。
下面将详细介绍等边三角形的特点。
1. 定义：等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的大小都相等，都为60度。
2. 性质：（1）边长相等：等边三角形的三条边长度都相等，记为a。
这意味着等边三角形中的任意两边之间的距离都相等。
（2）角度相等：等边三角形的三个角度都相等，每个角的大小都为60度。
即三个内角的度数都是60度。
（3）对称性：等边三角形具有轴对称性，可通过中心点将其分为三个对称部分。
（4）正多边形属性：等边三角形是最简单的正多边形之一，因为它是只有三条边长相等的正多边形。
（5）面积计算：等边三角形的面积可以通过公式S = (根号3/4) * a^2 来计算，其中a为三角形的边长。
3. 判定等边三角形：（1）三条边相等：如果给定一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
（2）角度判定：如果给定一个三角形的三个角度均相等，那么这个三角形就是等边三角形。
（3）边角关系：如果给定一个三角形的一边长和一个内角的大小，如果根据正弦定理或余弦定理计算得到三角形的另外两条边均相等，并且三个角度均相等，那么这个三角形是等边三角形。
4. 等边三角形的应用：（1）建筑设计：等边三角形在建筑设计中经常被使用，例如在六边形玻璃天窗和瓷砖地板的设计中。
（2）平面几何学：等边三角形是平面几何学中的基础概念，通过等边三角形的性质可以推导出其他的几何性质和定理。
（3）机械工程：等边三角形的理论和应用在机械工程中也有广泛的应用，例如在机械结构的稳定性分析和模型设计中。
（4）美术设计：等边三角形的对称性和美观性使其成为美术设计中常用的形状元素。
总结：等边三角形具有边长相等、角度相等、对称性和正多边形属性等特点。
它可以通过边长相等、角度均相等或边角关系判定。
等边三角形在不同领域有广泛的应用，包括建筑设计、平面几何学、机械工程和美术设计等。
《等边三角形》精品课件
D
∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8 cm， CA
∴BC=2CD=16 cm.
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分
∠CAB交BC于点D，若CD=1，求BD的长.
∠C=90°，∠B=30°
A
∠CAB=60° AD平分∠CAB
∠CAD=∠DAB=∠B=30°
CD
B
BD=AD=2CD
的猜想.
拓展 直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,
那么它所对的角等于30°.
A
几何语言：在Rt△ABC中, D
∵∠C=90°,BC=
1 2
AB，∴∠A=30°.
C
B
新知探究 跟踪训练
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B，∠A各是
多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：∵∠C=90°，∠B=2∠A.
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠BAD=30°.
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD. A
在Rt△ACD中，∠C=90°，
∠CAD=30°，CD=1,
∴AD=2CD=2. ∴BD=AD=2.
CD
B
3.如图,一个等腰三角形的两个底角为15°,腰长为10 cm，
拓展提升
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过
点ANM=作1，M则N/B/BCC的交长A为C于（点BN，）且MN平分∠AMCM，若A N
A.4
B.6
C. 4 3
D.8
MN//BC ， CM平分∠ACB
B
C
△CMN为等腰三角形 MN平分∠AMC
等边三角形课件
三条边都相等的三角形
三 角
A
三个角都相等的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰三
角形
问题3：能否根据等腰三角形的性质和判 定猜测出等边三角形的性质和判定？
类比学习：
图形 等腰三角形 （腰不一定等于底）
等边三角形
定义 两边相等的三角形 三边都相等的三角形
性 轴对称图形（1条） 轴对称图形（3条）
质
两个底角相等
三个角都是60º
三线合一
三线合一
关系 等边三角形一定是等腰三角形， 等腰三角形不一定是等边三角形.
类比学习：
满足什么条件的三角 形是等腰三角形?
方法1:有两边相等的三 角形是等腰三角形.(定 义)
方法2:有两个角相等的 三角形是等腰三角 形.(定理)
结合边和角来看,会有 什么新的结论吗?
满足什么条件的三角形
是等边三角形？
三条边都相等的三角形 是等边三角形(定义)
三个角都相等的三角形 是等边三角形
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形
探究性质
已知：△ABC中，AB=AC=BC； 求证：∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵ AB=AC
A
∴ ∠B=∠C
∵ AC=BC ∴ ∠A=∠B
B
C
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
探究判定一
1、 已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C； 求证：△ABC是等边三角形
等边三角形
知识回顾
名称 图形
性质
等
腰
A 两腰相等
三
角
等边对等角
形
等边三角形的定义
等边三角形的定义等边三角形(又称正三角形)，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
以下是店铺分享给大家的关于等边三角形的定义，希望能给大家带来帮助!等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateral triangle)，也属于等腰三角形。
等边三角形的尺规作法：第一种：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长)，再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
第二种：在平面内作一条射线AC，以A为固定端点在射线AC上截取线段AB=等边三角形边长，然后保持圆规跨度分别以A,B为端在AB同侧点作弧，两弧交点D即为所求作的三角形的第三个顶点。
等边三角形的性质：(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
(2)等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合(三线合一)(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
(四心合一)(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
(因为等边三角形是特殊的等腰三角形)等边三角形的判定方法：(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义)。
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。
(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形。
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
提示：【1】三个判定定理的前提不同，判定(1)和(2)是在三角形的条件下，判定(3)是在等腰三角形的条件下。
等边三角形的性质及判定
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别 得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 A
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 则它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30°
B┓
C ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长
资料整理
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
A
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形
∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个 三角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗为什么
A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的 平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分线， 中线的长度相等。）
探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗有几条对称轴
等边三角形课件
三角形ABC是等边三角形。D是三角形ABC外一点。 角BDC=120度，且DB=DC,一含有60度角的三角 尺的60度角的顶点放在D处。若60度角的三角尺 的两边分别交CA的延长线于点M，交AB的延长线 于点N，线段MN、CM、BM有怎样的关系，证明 你的结论
解： 线段MN、CM、BN有下列关 系：MN＝CM－BN 证明如下： 因为△BDC是等腰三角形， 且∠BDC＝120° ， 所以∠BCD＝∠DBC＝30° 因为∠NDM＝60° 所以∠BDN＋∠MDB＝60° 因为△ABC是等边三角形， 所以∠ABC＝∠BAC＝∠BCA ＝60° 所以∠DBA＝∠DCA＝90° 在AC上取CE＝BN，连接 DE 因为BD＝ED，∠DBN＝ ∠DCE＝90 则有BN＝CE，∠CDE＝ ∠BDN，∠DCE＝∠DBA° 所以△BDN≌△CDE（SAS）
3. 用三根长分别是4厘米. 6厘米和2厘米的小棒能 围成一个（ D )。 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能围成三角形 4. 一个三角形，顶角的度数是每个底角的2倍， 这是一个（ 钝角
. 如下图：已知 ∠1＝60°，∠4＝25°，求∠3的 度数。 解答：∠2＝90°－25°＝65° ∠3＝180°－60°－65°＝55°
1.等边三角形的内角都相等吗?为什么? 由已知:AB=AC=BC, ∵AB=AC A ∴∠B=∠C 同理 ∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C B ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 ° 结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.
C
1.等边三角形的内角都相等,且等于60 °. 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
等边三角形的判定和性质
【变式】 直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有 两 条直线,这与
“过两点 有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判 定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二 等边三角形的有关性质 【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因 为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.
等边三角形PPT课件
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
C
6
逆定理
在直角三角形中锐角是30°。
A
∵ AC⊥BC ， BC= 1AB
2
∴ ∠A= 30°
B
C
2021/4/8
7
例1 如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁
AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m ∠A= 30°,立柱BC、DE要多长？
；单创:/c/7radcKIT9fA
；
本文以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 【点评】本题考查对文本、故事情节的理解分析能力和对句子含义、作者感情的理解分析能力．其中第（2）题是重点题目，学生解答时，在理解文章内容主旨的基础上，结合
2
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起。 你能借助这个图形，找到Rt △ABC的直角 边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
A
另证：在BA上截取BE=BC，连接EC
30 ° 30 °
则△BCE是等边三角形，所以
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.2等边三角形
1
（第3题）（第2题）（第4题）（第1题）
2
2.7
3
5
EAAPOQDB
AE
B
C
P
B
C
C
D
（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）
D
P'
B
E
A
D
CAB
B
C
A
C
P
A
B
D
C
E
13．2 等边三角形
知识要点 ① 等边三角形的三条性质，尤其要注意“等边三角形内任意一点到三边距离之和是一个定
值，等于一边上的高”这条性质.
② 等边三角形的四种判定方法；
③ 灵活构造等边三角形，并注意利用旋转的方式构造全等三角形.
1.如图，C为AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交
于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.下列结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③
AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°
.恒成立的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （山东省中考题）
2.如图，一个六边形的每一个内角都是120°，连续四边的长依次是2.7、3、5、2，则该六边形的周
长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （江苏省竞赛题）
3.如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7，则以PA、PB、PC为
边的三角形的三个角的大小之比是（ ）.
A. 2：3：4 B. 3：4：5 C. 4：5：6 D
. 不能确定 （全国通讯赛试题）
4.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD,连接CE、DE
，若
CE=DE，求证：△ABC是等边三角形. （“希望杯”全国竞赛题）
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC的度数
.
（“祖冲之杯”竞赛题）
6.如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE =
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.
（荆门市中考题）
7.如图，P是等边△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△P’AB
，
则点P与P’之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ，∠APB =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （青岛市中考题）
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若
BE=6cm，DE=2cm，则BC =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿cm
. （宁波市中考题）
13.2等边三角形
2
（第9题）（第10题）（第11题）（第12题）
E
A
E
D
Q
A
N
MDCAB
A
B
B
C
B
C
O
P
C
P
D
（第13题）（第14题）（第15题）（第16题）
3
3
2
1
D
B
A
PCBAC
E
9.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段
OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D
. 8 （陕西省中考题）
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN =（ ）.
A. 65 B. 95 C. 125 D
. 165 （安徽省中考题）
11.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当
PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为（ ）.
A. 13 B. 12 C. 23 D
.不能确定 （黄冈市中考题）
12.如图，D是等边△ABC内一点，BD=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，∠BED =＿＿＿.（河南省竞赛题）
13.如图，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB =
＿＿＿＿＿
.
14.如图，一个六边形的每一个内角都是120°，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周
长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （上海市竞赛题）
15.如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周
长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （山东省中考题）
16.如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB =＿＿＿＿＿. （四川省竞赛题）
13.2等边三角形
3
（第17题）（第18题）（第19题）（第20题）
P
A
R
Q
P
EAABBCDABCBCEDCD
（第21题）（第22题）（第23题）（第24题）
B
D
G
F
E
CEDCABABABADC
D
C
E
17.如图，在△ABC中，∠CAB=60°，D、E分别是边AB、AC上的点，∠AED=60°，ED + DB = CE ，
∠CDB=2∠CDE，则∠DCB =
＿＿＿＿＿
. （全国初中数学联赛试题）
18.如图，已知四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，
求证：BC + DC = AC. （黄冈市竞赛题）
19.如图，在等边△ABC中，取边AB、AC上的点D、E， 使得AD=AE，作三个等边三角形△PCD、
△QAE和△QAB，求证：P、Q、R
是等边三角形的三个顶点. （江苏省竞赛题）
20.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，
求证：AB = PC. （北京市竞赛题）
21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，求证：BC=3BE
.
22. 如图，周长为32的四边形ABCD中，AB = AD =8，∠A=60°，
∠D=150°.求BC、CD的长.
23.如图，在等边△ABC中， 取边AC、BC上的点D、E， 使得AD=CE，连接AE、BD，交于点F，
BG⊥AE于G，FG =3，FD =1，求AE
.
24.如图，在五边形ABCDE中，AB = AE，BC + DE = CD,∠ABC+
∠AED=180°.求证：AD平分∠CDE.
（“希望杯”邀请赛试题）
13.2等边三角形
4
321
O
MDEAOMDABO
M
A
CBC
B
C
N
N
N
4
5
O
N
O
N
D
E
A
C
D
E
F
A
B
C
B
M
M
25.数学兴趣小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM、CN相交于点O，若∠BON=60°，
则BM = CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、DA上的点，BM、CN相交于点O，
若∠BON=90°， 则BM = CN.
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM、CN相交于点O，
若∠BON=108°， 则BM = CN.
任务要求：
（1）请你从命题①、②、③中任选一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（3n）边形ABCDE„中，M、N分别是CD、DE上的点，BM、CN相交于点O，
当∠BON=＿＿＿＿＿ 时，结论BM = CN依然成立.
②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM、CN相交于点O，
若∠BON=108°， 结论BM = CN是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（江西省中考题）