安徽省池州市2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根和函数的零点学案(无答案)新人教A版必修
2020版人教A版高中数学必修一导练课件：3.1.1 方程的根与函数的零点
所以函数
f(x)=
x2
2x
3,
x
0,
的零点为-3,e2.
2 ln x, x 0
第九页，编辑于星期日：一点 十分。
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点. 解:(2)由已知得 f(3)=0,即 3a-b=0,即 b=3a. 故 g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令 g(x)=0,即 ax(3x+1)=0, 解得 x=0 或 x=- 1 . 3 所以函数 g(x)的零点为 0 和- 1 . 3
x 解:(1)令 x 3 =0,
x 解得 x=-3, 所以函数 f(x)= x 3 的零点是-3.
x (2)令x2+2x+4=0,由于Δ=22-4×4=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0无解, 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
第十二页，编辑于星期日：一点 十分。
(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x. 解:(3)令2x-3=0,解得x=log23,
x0 属于区间(
)
2
(A)( 2 ,1) 3
(B)( 1 , 2 ) (C)( 1 , 1 ) (D)(0, 1 )
23
32
3
解析:(2)令
f(x)=(
1
)x-
1
x3
,则
f(1)=-
1
<0,f(
1
)=(
1
)
1 2
-(
1
)
1 3
<0,
2
2
22
2
2020年高中数学人教A版必修一优化课件第三章方程的根与函数的零点
(2)当 0≤x≤500 时，W＝－12(x－475)2＋107 812.5， 当 x>500 时，W＝120 000－25x<120 000－25×500＝107 500. 故当年产量为 475 台时取得最大利润，且最大利润为 107 812.5 元，最佳生产计 划 475 台． (3)若工厂有利润，则应用 f(x)>5 000， ∴475x－12x2>5 000， 整理得 x2－950x＋10 000<0，解得 10<x<940， ∵市场需求量为每年 500 部， ∴10<x≤500，故当年产量超过 10 部后，工厂有盈利．
3．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝a·(0.5)x＋b，现已
知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品
的产量为________． 解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当 x＝1 时，y＝1，当 x＝2 时 y＝1.5，则有：
11xx≥550，x∈N
当 x＝500 时，L＝6 000；当 x＝1 000 时，L＝11 000. 因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是 6 000 元；如果订购 1 000 个时，利润是 11 000 元．
解析：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为 51 元时，一次订购量为 x0 个，则 x0＝100＋600－.0251＝550. 因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元． (2)当 0＜x≤100 时，P＝60.
当 100＜x<550 时，P＝60－0.02(x－100)＝62－5x0. 当 x≥550 时，P＝51，
构建分段函数模型的关键点： 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，写 出每一对应取值区间内的解析式，在此区间内求最值，然后对所有区间求出的值 比较，找出适合题意的答案．
必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重 点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与 方程的根的联系(重点)．
课前预习
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预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
课前预习
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续 的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标， 也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函 数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题， 这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
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题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
课前预习
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题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝ －3116<0， 所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。
二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。
b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。
②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。
探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。
②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。
你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。
（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。
新课标人教A版数学必修一第三章3.1.1方程的根与函数的零点
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
y
40
.
20
. . －4 －2
－5
－3 －1 0
. .
1 2 34 5
x
－20
.－40
.
.
.－60 .
. －80
它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
y
.. 5
3. 4 .
2 1
.
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下：
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
(0,+∞)内是增函数，所以
2 0
它仅有一个零点。
－2
－4
. . . . x1
x2 x3
.a
bc
..
. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
.
x4 x de
－6
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； 有 没有
（2）2x(x－2)＝－3； 有 没有
. －1
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
－2
＋∞）上的增函数，所以在
.－3
－4
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
3 4x
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一课件：3.1.1 方程的根与函数的零点
第十九页，编辑于星期日：点 十四分。
【答案】 (1)B (2)见解析
第十七页，编辑于星期日：点 十四分。
思路一：解方程求零点，方程 f(x)＝0 的实数根的个数就是函 数 f(x)的零点的个数；
思路二：画出函数图象，依据图象与 x 轴的交点的个数来判断 函数的零点个数．
第十八页，编辑于星期日：点 十四分。
方法归纳 判断函数零点个数的三种方法
类型一 函数零点的概念及求法 例 1 (1)下列图象表示的函数中没有零点的是( )
(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． ①f(x)＝－x2－4x－4； ②f(x)＝4x＋5； ③f(x)＝log3(x＋1)．
第十二页，编辑于星期日：点 十四分。
【解析】 (1)由图观察，A 中图象与 x 轴没有交点，所以 A 中 函数没有零点．
答案：C
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解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根 据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注 意自变量的取值范围．
第二十二页，编辑于星期日：点 十四分。
类型三 判断函数的零点所在的大致区间 例 3 设 x0 是函数 f(x)＝ln x＋x－4 的零点，则 x0 所在的区间 为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【解析】 因为 f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0.由零点存在性定理，得 x0 所在的区间为(2,3)． 【答案】 C 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的 符号，或可借助于图象分析．
2020最新高中数学 第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点课时分层作业22 新人教A版必修1
课时分层作业(二十二) 方程的根与函数的零点(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.] 2．函数f (x )＝2x－1x的零点所在的区间是( )【导学号：37102351】A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 B [由f (x )＝2x－1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－2<0，f (1)＝2－1＝1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0. ∴零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0D [当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x－1＝0，所以x ＝0；当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( )【导学号：37102352】A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有C [若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(b ，c )和(c ，＋∞)内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(a ，b )和(b ，c )内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内C [∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0， f (c )＝(c －a )(c －b )>0，∴f (x )的零点在分别位于(a ，b )和(b ，c )内．] 二、填空题 6．函数f (x )＝x －1ln xx －3的零点是________.【导学号：37102353】1 [令f (x )＝0，即x －1ln xx －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.]7．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 2 [令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0， ∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.]8．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是________.【导学号：37102354】(－3,0) [函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知⎩⎪⎨⎪⎧ f －2>0，f 0<0，f2<0，f3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a >0，a <0，a <0，3＋a >0，解得－3<a <0.]三、解答题9．判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点，从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.【导学号：37102355】[解] ①当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0得x ＝－1，符合题意；②当a >0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为开口向上的抛物线，且f (0)＝－1<0，对称轴x ＝12a >0，所以f (x )必有一个负实根，符合题意；③当a <0时，x ＝12a <0，f (0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－14，此时f (x )＝－14x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＝0， 所以x ＝－2，符合题意．综上所述a 的取值范围是a ≥0或a ＝－14.[冲A 挑战练]1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和16B ．1和－16C.12和13D ．－12和 3B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B.]2．（2018·全国卷Ⅰ）9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]3．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．(0,4) [由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]4．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系是________.【导学号：37102357】a＜b＜c[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C 的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．[解](1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．。
第三章3.1-3.1.1方程的根与函数的零点答案
3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点A 级 基础巩固一、选择题1．解析：由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.答案：A2．解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x )有三个零点，则其和必为0.答案：C3．解析：因为f (－1)＝2×(－1)2－2－1＝2－12＝32>0，f (0)＝0－20＝－1<0，所以f (－1)f (0)<0，所以函数f (x )＝2x 2－2x 的零点所在的区间是(－1，0)．故选B.答案：B4．解析：函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，则2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a (a ≠0)，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)(a ≠0)，令g (x )＝0，则－ax (2x ＋1)＝0(a ≠0)，可得x ＝0或x ＝－12，故函数g (x )的零点是0，－12，故选B.答案：B5．解析：依题意，知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个，故选B.答案：B二、填空题6．解析：作出函数g (x )＝ln x 和h (x )＝x －2的图象，由图可知，这两个图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：27．解析：因为f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，所以⎩⎨⎧f （0）<0，f （1）>0，即⎩⎨⎧b <0，1＋b >0，得－1<b <0. 答案：(－1，0)8．解析：分别作出函数y ＝3x 和y ＝x ＋2的图象，可知，这两个函数图象有两个交点，所以方程3x ＝x ＋2有两个解．答案：2三、解答题9．解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2.当a ＝12时，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝0， 解得x 1＝x 2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，综上所述当a ＝0时，零点为x ＝2；当a ＝12时，零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，零点为x ＝1a 和x ＝2.10．解：(1)要使函数有意义：则有⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，解之得：－3<x <1.所以函数的定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1±3.因为－1±3∈(－3，1)，f (x )的零点是－1± 3.B 级 能力提升1．解析：在同一坐标系画出函数y ＝2x 及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.答案：C2．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1，2)内，即k ＝1.答案：13．解：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧m >0，f （4）<0，或⎩⎨⎧m <0，f （4）>0，即⎩⎨⎧m >0，26m ＋38<0，或⎩⎨⎧m <0，26m ＋38>0.解得－1913<m <0.。
064.人教A版数学必修一教案：§3.1.1方程的根与函数的零点
第三章 函数的应用一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业 1课时小结 1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
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方程的根和函数的零点
旧知链接：1、方程)0(02acbxax：当 时有两个不同的实数根；当 时有两个相同的
实数根；当 时没有实数根；
2、新知自研：自研必修1课本86p到88p的内容；
学习目标： 1、理解函数零点的概念；2、结合二次函数图象了解函数零点与方程根的联系；
二、【定向导学·互动展示·当堂反馈】
课
堂
元
素
自研自探环节 合作探究环节 展示提升环节 质疑评价环节 总结归纳环节
自 学 指 导 （ 内容·学法·时间 ） 互 动 策 略 （内容·形式·时间） 展 示 方 案
（内容·方式·时
间）
随堂笔记
（成果记录·知识生成·同步
演练 ）
︻ 导 学 一 ︼ 概念认知与 例题【学法指导】 （1）观察下面一元二次方程及其相应的二次函数，观察方程的实数根与相应函数图象在x轴交点横坐标的关系： 方程0322xx的根1x 2x 函数322xxy与x轴的交点: ； 方程0122xx的根1x 2x 函数122xxy与x轴的交点： ； 方程0322xx的根1x 函数322xxy与x轴的交点： ； （观察并将关系记录在重点识记处） （2）上述关系对一般的①两人小对子： 相互交流自研成果，并针对自研的丰满度与工整度快速用红笔给出等级评定. ②五人互助组： 结合自研成果，在大组长主持下讨论方程的根与函数零点的关系； 方案预设1： 认真学习学法指导（1）求出方程的根，画出相应函数图象，观察一元二次方程的根和函数图像在x轴交点横坐标的关系； 方案预设2： 通过学习学法指导（2）探讨一般一元二次方程和相应函数之间的关系，总结出函数零点与方程根的联系； 【重点识记】 （1）方程实数根与函数图像在x轴交点横坐标的关系： ；（2）零点的概念 ；
（3）函数零点与方程根
的联系：
；
导析 （40min） 一元二次方程)0(02acbxax及其相应的二次函数)0(2acbxaxy也成立。 当0时，一元二次方程有两个不等地实数根21,xx，相应的二次函数图象与x轴的交点 ， ； 当0时，一元二次方程有两个相等地实数根21,xx，相应的二次函数图象与x轴的交点 ； 当0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图象与x轴无交点； 【自我探究】 （1）思考88p页探究中的问题，总结出函数零点的性质： ； （2）判断一个函数)(xfy是否有零点，有几个零点可以转化为什么样的问题讨论？ （12min） ③十人共同体： 小组结合自研成果准备好老师下达的展示任务，做好展示准备. （10min) 方案预设3： 自研教材88p页内容，带领同学们完成自我探究中知识的学习； 方案预设4: 通过自我探究的学习完成下面例题的解题； 例：求下列函数的零点322xxy （20min）
等级评
定：
【同步演练】
1、求下列函数的零点：
（1）202xxy
（2）)23)(2(22xxxy
︻
导
学
二
︼
同
步
演
练
自主研读右侧同步演练： 1.利用1分钟时间理清同步演练解题思路； 2.抽起小黑板，尝试自主完成同步演练； 注意：（1）解题前，回想函数和方程的关系； （2）解题时，联系方程的根和函数的零点的联系； 另：每组派两名代表上大五人互助组： ①互查互检组内成员演练成果及自行修正. ②观察大黑板展演成果，组长快速查找问题并指导其全班互动型展
示：
①演练问题大
搜索；
②问题纠错后
的自主性展
示，拓展性展
示；
③针对大黑板
纠错后的问
（20min） 黑板自主板演. （3min） 纠正；
③交流新思
路、新解法、
新拓展.
(4min)
题，老师指派
一名同学总结
该类题的解题
思路和规范
性，并将同类
演练的答案规
范的完成在导
学稿上.
（13min）
训练课（时段：晚自习 ， 时间： 30分钟）
“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评：
基础题：
1、函数65)(2xxxf的零点是( )
.A 3,2 .B 3,2
.C 3,2 .D 3,2
2、函数xxxf2ln)(零点所在的大致区间是( )
.A )2,1( .B (2,3)
.C )1,1(e和)4,3( .D ),(e
发展题：
1、求函数673xxy的零点；
提高题：
1、已知函数1)2()(2xpxxf，求满足下列条件p的取值范围：
（1）函数)(xf没有零点； （2）函数)(xf只有一个零点； （3）函数)(xf有两个零点；
培辅课（时段：大自习 附培辅单）
1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
1、病题诊所：
2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！