4.差分方程2

假设与建模
• 种群按年龄大小等分为 个年龄组，记i=1,2,… , n 种群按年龄大小等分为n个年龄组 个年龄组， • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等， • 第i 年龄组 雌性个体在 时段内的繁殖率为bi 年龄组1雌性个体在 时段内的繁殖率 雌性个体在1时段内的繁殖率为 • 第i 年龄组在 时段内的死亡率为 i, 存活率为si=1- di 年龄组在1时段内的死亡率为 存活率为 时段内的死亡率为d
*
~ 各年龄组种群 各年龄组种群 数量不变
稳态分析
3）λ=1时 Lx = x ） 时
* *
x = [1 s1, s1s2 ,Ls1s2 Lsn−1] ,
*
T
b 1 s 1 L= 0
b2 0
L bn−1 0 O 0 O sn−1
k *
s2
bn 0 M 0
~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比 存活率
) 比较） （与si 的定义 xi+1 (k +1 = si xi (k) 比较）
讨论题目
我国人口的预测 CUMCM2007 A题 题
稳定状态分析的数学知识
• L矩阵存在正单特征根λ1， 矩阵存在正单特征根 矩阵存在正单特征根λ
*
λk ≤ λ1 , k = 2,3,Ln
T
s1 s1s2 s1s2 Lsn−1 λ1 的特征向量 x = 1, , 2 , L, n−1 λ1 λ1 λ1 • 若L矩阵存在 i, bi+1>0, 则 λk < λ1 , k = 2,3,L, n 矩阵存在b 矩阵存在
离散 形式
yk ~某种群第 代的数量 人口 某种群第k代的数量 人口) 某种群第 代的数量(人口
yk yk +1 − yk = ryk (1− ), k = 1,2,L N y*=N 是平衡点 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N
讨论平衡点的稳定性， →∞, 讨论平衡点的稳定性，即k→∞ yk→N ？ →∞
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820 … 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
b=3.45 0.2000 0.5520 0.8532 0.4322 … 0.4327 0.8469 0.4474 0.8530 0.4327 0.8469 0.4474 0.8530 0.4327 0.8469
b=1.7 0.2000 0.2720 0.3366 0.3796 … 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118 0.4118
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049 … 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
平衡点
x = f (x) = bx(1− x)
1 x = 1− b
*
b = r +1
另一平衡点为 x=0 稳定性
f ′( x* ) = b(1− 2x* ) = 2 − b
f ′(x* ) < 1
f ′(0) = b > 1
不稳定 x* 稳定
1< b < 3
x* 不稳定
b > 3 ( f ′(x* ) > 1)
b2 L bn−1
bn x(k) = [x (k), x (k),Lx (k)]T 1 2 n 0 0 0 ~按年龄组的分布向量 按年龄组的分布向量 O x(k +1) = Lx(k) s2 0 M k x(k) = L x(0) O sn−1 0 预测任意时段种群 按年龄组的分布 ~Leslie矩阵 矩阵 矩阵(L矩阵 矩阵 矩阵)
*
记b = r +1
(1)的平衡点 *=N 的平衡点y 的平衡点
r 1 = 1− (2)的平衡点 x = 的平衡点 r +1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识
一阶非线性差分方程 xk+1 = f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 的平衡点 代数方程 的根 (1)的近似线性方程 的近似线性方程 稳定性判断
lim
x(k)
k λ1
k →∞
= Pdiag(1,0,L0)P−1x(0) = cx*
稳态分析——k充分大 充分大 稳态分析 种群按年龄组的分布
lim k →∞
x(k)
k λ1
= cx*
1) x(k) ≈ cλ x
k
*
~ 种群按年龄组的分布趋向稳定， 种群按年龄组的分布趋向稳定， 称稳定分布, 与初始分布无关。 x*称稳定分布 与初始分布无关。
2) x(k +1) ≈ λx(k) ~ 各年龄组种群数量按同一 倍数增减， xi (k +1) ≈ λxi (k) 倍数增减， λ称固有增长率
与基本模型
x(k +1) = Lx(k) 比较
T
3）λ=1时 x(k +1) ≈ x(k) ≈ cx* ） 时
x = [1, s1 , s1s2 ,Ls1s2 Lsn−1 ]
假设 与 建模
b1 s 1 L= 0
xi(k)~时段 第i 年龄组的种群数量 时段k第 时段
x1 (k +1) = ∑bi xi (k) (设至少 个bi>0) 设至少1个 设至少
i =1
n
xi+1 (k +1) = si xi (k), i =1,2,L, n −1
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk yk +1 − yk = ryk (1− ) (1) N
变量 代换
r yk+1 = (r +1) yk 1− yk (r +1)N
r xk = yk (r +1)N
xkk+1 = bxk (1− xk ) (2) +
一阶(非线性 差分方程 一阶 非线性)差分方程 非线性
xk+1 = bxk (1− xk ) 的平衡点及其稳定性
xk+1 = bxk (1− xk ) (2)
(1) 1 < b < 2
1 x = 1− b
*
x* =1−1/ b <1/ 2
xk （单调增） x →
*
y
b/ 4
y=x
y = f (x)
x1
0
x1 x2x* 1/ 2 x0
1
x
xk+1 = bxk (1− xk ) 的平衡点及其稳定性
b1 + b2s1 +L+ bns1s2 Lsn−1 =1
~ 1个个体在整个存活 个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1 期内的繁殖数量为
4) x(k) ≈ cλ x ,
x = [1, s1 , s1s2 ,L, sn−1 ]
*
T
xi+1(k) ≈ si xi (k), i = 1 2,L, n −1 ,
(2) 2 < b < 3
(3) b > 3
y
x =1−1/ b >1/ 2
*
y=x
b/ 4
y
b/ 4
y=x
y = f (x)
y = f (x)
0
x0
x1
1/2
0 x0
x1 1/ 2
x*
x2
1
*
x
x* x2
*
1
… 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
差分方程模型
差分形式的阻滞增长模型 按年龄分组的种群增长
差分形式的阻滞增长模型
模型) 连续形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型 模型
x & x(t) ~某种群 t 时刻的数量 人口 人口) x(t ) = rx(1− ) 某种群 时刻的数量(人口 N 大小无关) t→∞ x→N, x=N是稳定平衡点 与r大小无关 →∞, →∞ → 是稳定平衡点(与 大小无关
且 lim 解 释
x(k) (k
k λ1
k
k →∞
是由b 是由 决定的常数 = cx* , c是由 i, si, x(0)决定的常数
−1
x(k) = L x(0) L对角化 L = P[diag (λ1,Lλn )]P 对角化
k Lk = P[diag (λ1 ,Lλk )]P−1 n
P的第 列是 * 的第1列是 的第 列是x
*
b=3.3, x→两个 → 极限点 b=3.45, x→4个 → 个 极限点 b=3.55, x→8个 → 个 极限点
的收敛、 xk+1 = bxk (1− xk ) 的收敛、分岔及混沌现象
按年龄分组的种群增长
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律 建立差分方程模型，
xk +1 = f ( x* ) + f ′( x* )( xk − x* ) (2)
x*也是(2)的平衡点 x*也是(2)的平衡点 也是 x*是(2)和(1)的稳定平衡点 是 和 的稳定平衡点 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点 是 和 的不稳定平衡点
′(x* ) <1 f
f ′(x* ) >1