实验四 离散时间信号与系统分析

实验四离散时间信号与系统分析实验四离散时间信号与系统分析一、实验目的1、理解离散信号及系统的时频域分析方法2、掌握Matlab进行信号的卷积、z变换及逆z变换的方法。

3、掌握Matlab进行离散系统时频域的分析方法二、实验时数：2学时三、实验相关知识（一）离散信号的卷积利用函数(,)可以计算离散信号的卷积和，c conv a b即c(n)=a(n)*b(n)，向量c长度是a，b长度之和减1。

若a(n)对应的n的取值范围为：[n1, n2]；b(n)对应的n的取值范围为：[n3, n4]，则c(n)=a(n)*b(n)对应的n的取值范围为：[n1+n3, n2+n4]。

例4-1：已知两序列：x(k)={1,2,3,4,5;k=-1,0,1,2,3},y(k)={1,1,1;k=-1,0,1}，计算x(k)*y(k)，并画出卷积结果。

解：利用conv()函数进行离散信号的卷积，注意卷积信号的k 值范围k_x = -1:3;x=[1,2,3,4,5];k_y = -1:1;y=[1,1,1];z=conv(x,y);k_z= k_x(1)+k_y(1):k_x(end)+k_y(end); stem(k_z,z);（二）离散信号的逆z 变换离散序列的z 变换通常是z 的有理函数，可表示为有理分式的形式，因此可以现将X(z)展开成一些简单而常用的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得到X(z)的逆变换x(n)。

设离散信号的z 变换式如下，120121212()()1()m m n n b b z b z b z num z X z a z a z a z den z ------++++==++++在Matlab 中进行部分分式展开的函数为residuez ()，其调用形式如下：[r,p,k] = residuez(num,den)其中num=[b0, b1, …, bm]表示X(z)有理分式的分子多项式为12012m m b b z b z b z ---++++；den=[a0, a1, …, am]表示X(z)有理分式的分母多项式为12012m m b b z b z b z ---++++，注意分子分母多项式均为按z -1的降幂排列的多项式，缺项应补零。

p 为X(z)的极点向量，而r 为对应极点部分分式的系数向量，k 为常数项和z=0极点的系数向量。

若X(z)为互异的极点，则相应参数的关系如下： 1111()()(1)(2)()()()1(1)1(2)1()(1)(2)(1)m n num z r r r n H z den z p z p z p n z k k z k m n z ------==+++---++++-+ 若X(z)中含有重极点，设s 阶重极点为p(j)，则对应的p(j)= p(j+1)=…= p(j+s-1)，相应的部分分式为：1121()(1)(1)[1()][1()][1()]s r j r j r j s p j z p j z p j z ---++-+++--- 例：已知系统函数为12318()1834F z z z z ---=+--，求部分分式展开式 解：num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)运行结果如下：r=0.3600 0.2400 0.4000p=0.5000 -0.3333 -0.3333k=[] 因此F(z)的部分分式展开式为：11120.36000.24000.4000()(10.5)(10.3333)(10.3333)F z z z z ---=++--- 因此()0.3600(0.5)0.2400(0.3333)0.4000(0.3333)()n n n f n n u n ⎡⎤=⨯+⨯-+-⎣⎦（三）、离散时间系统的时域分析1、离散时间系统任意激励下的零状态响应大量的LTI 离散时间系统都可用如下线性常系数差分方程描述00[][]n m ij i i a y k i b f k j ==-=-∑∑其中f[k],y[k]分别表示系统的输入和输出，n 是差分方程的阶数。

已知差分方程的n 个初始状态和输入f[k]，就可以通过编程由下式迭代计算出系统的输出。

0010[]()[]()[]n m i j i j y k a a y k i b a f k j ===--+-∑∑在零初始状态时，MATLAB 信号处理工具箱提供了一个filter 函数，计算由差分方程描述的系统的响应。

其调用方式为y=filter (b , a , f)式中b=(b0,b1,b2,…,bM), a=(a0,a1,a2,…,aN)分别是差分方程左、右端的系数系数向量。

注意输出序列的长度和输入序列的长度。

例：受噪声干扰的信号为[][][]f k s k d k =+，其中[](2)0.9k s k k =是原始信号。

d[k]是噪声。

已知M 点滑动平均（moving average ）系统的输入输出关系为 101[][]M n y k f k n M -==-∑解：系统的输入信号f[k]含有有用信号s[k]和噪声信号d[k] 。

噪声信号d[k]可以用rand 函数产生，将其叠加在有用信号s[k]，即得到受噪声干扰的输入信号f[k]。

下面的程序实现了对信号f[k]去噪，取M=5。

%program3_3 Signal Smoothing by Moving Average FilterR = 51;% 信号的长度% d为[-0.5,0.5]均匀分布的随机噪声d = rand(1,R)-0.5;k = 0:R-1;s = 2*k.*(0.9.^k);f = s+d;figure;% 绘制离散信号包络线plot(k,d,'x-',k,s,'*-',k,f,'o-');xlabel('Time index k');legend('d[k]','s[k]','f[k]');M=5;b = ones(M,1)/M;a = 1;y = filter(b,a,f);figure;plot(k,s,'x-', k,f,'o-.', k,y,'*-')xlabel('Time index k');legend('s[k]','f[k]', 'y[k]');2、离散时间系统单位脉冲响应和单位阶跃响应在MATLAB中，求解离散时间系统单位脉冲响应，可应用信号处理工具箱提供的函数impz，其调用形式为h=impz(b, a, k)式中b=(b0,b1,b2,…,bM), a=(a0,a1,a2,…,aN)分别是差分方程左、右端的系数系数向量。

求解离散时间系统单位阶跃响应的函数为stepz()，其调用形式与impz()类似。

例：用impz函数求离散时间系统+-+-=的单位脉冲响应h[k],并与理y k y k y k f k[]3[1]2[2][]论值[](1)2(2),0k kh k k=--+-≥比较。

解：%program3_4 Impulse response of discrete systemk = 0:10;a = [1 3 2];b = 1;h = impz(b, a, k);subplot(2, 1, 1)stem(k, h)title(‘单位脉冲响应的近似值’)hk = -(-1).^k+2(-2).^k’subplot(2, 1, 2)stem(k, hk)title(‘单位脉冲响应的理论值’)(四)离散系统的频域分析1、离散系统零极点分析用MATLAB 分析系统函数H(z)的零极点与系统特性的关系如果系统函数H(z)的有理多项式表示形式为 11(1)(2)...(1)()(1)(2)...(1)m m n n b z b z b m H z a z a z a n --++++=++++那么系统函数的零点和极点可以通过MATLAB 函数roots 得到，也可以借助函数tf2zp()或tf2zpk()得到，其调用形式为[z,p,k]=tf2zp(num, den)或tf2zpk(num, den) 其中tf2zp()用于计算z 的有理分式表示的系统函数的零极点，而tf2zp()则用于计算z -1的有理分式表示的系统函数的零极点。

若要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可以直接应用zplane 函数，其调用形式为zplane(num, den)式中num, den 分别为H(z)分子多项式和分母多项式的系数向量。

它的作用是在z 平面画出单位圆、零点与极点。

注意此时H(z)应表示为z -1的有理分式形式。

例：已知一离散因果LTI 系统的系统函数为1231232()10.50.0050.3z z z H z z z z ------++=--+，求该系统的零点、极点，并绘制相应零极点图。

解：将系统函数改写为23221()0.50.0050.3z z H z z z z ++=--+，用tf2zp 函数求系统的零极点，程序如下 num = [1 2 1];den = [1 -0.5 -0.005 0.3];[r,p,k]=tf2zp(num, den)程序运行结果为r = -1 -1p = 0.5198 + 0.5346i 0.5198 - 0.5346i -0.5396k = 1表明H(z)有一个二阶重零点z = -1，有三个一阶极点：p1=0.5198 + 0.5346i, p2=0.5198 - 0.5346i, p3 = -0.5396。

绘制其零极点图，此时1231232()10.50.0050.3z z z H z z z z ------++=--+num = [0, 1, 2, 1];den = [1, -0.5, -0.005, 0.3];zplane(num, den)2、离散系统的频响特性分析所谓离散系统频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response），是指系统在正弦序列激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

Matlab中用系统函数分子和分母多项式系数行向量来表示系统。

相应的频率特性函数为：[h,w] = freqz(num,den)：num,den分别为离散时间系统的系统函数H(z)的分子分母z-1多项式的系数向量（Coefficients vector），返回的频率响应在各频率点的样点值（复数）存放在h 中，系统默认的频率样点数目为200点；例：若离散系统函数H(z)为()0.5z H z z =-，分别绘制系统的零极点图和频率响应。