非惯性系中的机械能守恒定律
高中物理必修二机械能守恒定律
机械能守恒定律【学习目标】1．明确机械能守恒定律的含义和适用条件．2．能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒． 3．熟练应用机械能守恒定律解题．4．知道验证机械能守恒定律实验的原理方法和过程．5．掌握验证机械能守恒定律实验对实验结果的讨论及误差分析． 【要点梳理】 要点一、机械能 要点进阶：(1)物体的动能和势能之和称为物体的机械能．机械能包括动能、重力势能、弹性势能。
(2)重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统．(3)机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)．(4)机械能具有相对性，因为势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性． 只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．(5)重力势能是物体和地球共有的，重力势能的值与零势能面的选择有关，物体在零势能面之上的势能是正值，在其下的势能是负值．但是重力势能差值与零势能面的选择无关． (6)重力做功的特点：①重力做功与路径无关，只与物体的始、未位置高度筹有关． ②重力做功的大小：W ＝mgh ．③重力做功与重力势能的关系：P G W E =-△．要点二、机械能守恒定律 要点进阶：(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内动能和势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律． (2)守恒定律的多种表达方式．当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：①1122k P k P E E E E +=+，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和． ②P k E E =-△△或P k E E =-△△，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量． ③△E A ＝-△E B ，即A 物体机械能的增加量等于B 物体机械能的减少量．后两种表达式因无需选取重力势能零参考平面，往往能给列式、计算带来方便． (3)机械能守恒条件的理解．①从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化②从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：a ．只有重力做功的物体，如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒．b ．只有重力和系统内的弹力做功．如图(a)、(b)、右图所示．图(a)中小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．图(b)中A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B 组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．如下图，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．要点三、运用机械能守恒定律解题的步骤要点进阶：(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．4．机械能守恒定律与动能定理的区别(1)机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点．(2)机械能守恒定律的研究对象是物体组成的系统，动能定理的研究对象是一个物体(质点)．(3)机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力和弹力做功；而动能定理的成立没有条件的限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功．(4)机械能守恒定律着眼于系统初、末状态的机械能的表达式，动能定理着眼于过程中合外力做的功及初、末状态的动能的变化．要点四、如何判断机械能是否守恒要点进阶：(1)对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．(2)对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化(3)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．(4)一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒． 要点五、实验：验证机械能守恒定律 要点进阶：1．实验原理 通过实验，分别求做自由落体运动物体的重力势能的减少量和相应过程动能的增加量．若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律：△E P ＝△E k ．2．实验器材打点计时器及电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、带有铁夹的铁架台、导线． 3．实验步骤(1)如图所示装置，将纸带固定在重物上，让纸带穿过打点计时器．(2)用手握着纸带，让重物静止在靠近打点计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由落下，纸带上打下一系列小点．(3)从打出的几条纸带中挑选打的点呈一条直线且点迹清晰的纸带进行测量，记下第一个点的位置O ，并在纸带上从任意点开始依次选取几个计数点1、2、3、4、…，并量出各点到O 点的距离h 1、h 2、h 3、…，计算相应的重力势能减少量mgh n ，如图所示．(4)依步骤(3)所测的各计数点到O 点的距离h 1、h 2、h 3、…，根据公式1102n n h h v T+--=计算物体在打下点1、2、…时的即时速度v 1、v 2、…．计算相应的动能212n mv ． (5)比较212n mv 与n mgh 是否相等． 4．实验结论在重力作用下，物体的重力势能和动能可以互相转化，但总的机械能守恒． 5．误差分析重物和纸带下落过程中要克服阻力，主要是纸带与计时器之间的摩擦力，计时器平面不在竖直方向，纸带平面与计时器平面不平行是阻力增大的原因，电磁打点计时器的阻力大于电火花计时器，交流电的频率f 不是50 Hz 也会带来误差，f ＜50Hz ，使动能E k ＜E P 的误差进一步加大f ＞50 Hz ，则可能出现E k ＞E P 的结果．本实验中的重力加速度g必须是当地的重力加速度，而不是纸带的加速度a．【典型例题】类型一、对守恒条件的理解例1、下列说法中正确的是()A．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳的拉力对物体做功，机械能守恒B．做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒C．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒D．用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，机械能守恒【思路点拨】本题考察机械能守恒的条件。
笫四章机械能守恒
关。以力心为原点，质点运动由近至远，引力做负功；反
之做正功。
20
3、弹性力作功
如图，o点为平衡位置，拉长到P点时，伸长量为x：
F kxi
m
F
dW F dr kxdx
0
xx
W
dW
xb xa
kxdx
1 2
kxa2
1 2
kxb2
在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的初终位置决定
，而与形变的过程无关。弹簧形变程度加强，弹性力做负功，
F mg
根据质点动能定理得
Mg
1mg
2
m
M
gL
0
1 2
Mv
2
①
N
1mg
L
l
0
1 2
mv
2
②
f
解得 L Mv 2 2M m 1mg
l v2 21 g L
mg
15
解法二（用质点系动能定理求解）
视卡车与木箱为一质点系.外力F做功 2M mgL ，
内力做功等于力与相对位移的标积，即 1mgl
1 2
mv
2 a
mgha
1 2
mv
2 b
1 2
kxb2
1 2
mv
2 a
1 2
kxa2
24
1 2
mv
2 b
G
Mm rb
1 2
mv
2 a
G
Mm ra
上述结论表明，保守力场中质点的运动存在一个“不变量” 已有定义的动能一量与尚未命名的一个新量之和。鉴于 新量与动能项处于平等地位，它的空间特性仅由质点位置决定 ，与质点运动的径迹无关，故称其为势能或位能，记作 E。p
3 动能定理 功能原理 机械能守恒定理
注意 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 .
动能 能量守恒定律
质点系统动能定理
每一个质点都满足动能定理，则有
A1 12 m 1v12 12m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左右分别相加
对称性与守恒定律
F1
m2
都有这一特点
A
B
C
保守力作的功，是位置的单值函数；
D
那么，我们就可以引入仅是位置的单
B
值函数的能量，叫作保守力的势能，
也叫作位能。
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
五 势能
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
A (mgzB mgzA )
引力功
A
(G
械能的改变。
动能 能量守恒定律
九 机械能守恒定律 功能原理
对称性与守恒定律
A外 A非 保 内 E
当 A外 A非 保内 0 时，有 E1 E2
机械能守恒定律： 只有保守内力作功的情况下，质 点系的机械能保持不变 .
注意： 1、机械能守恒是有条件的。从初态到末态的每一个微元 过程中，外力和非保守内力所做的元功的代数和均为零， 则机械能守恒。
9/4
4dy 9.125J
1
动能 能量守恒定律
对称性与守恒定律
例：质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体和桌面的摩 擦系数为 ，物体在外力作用下沿半径为R圆由a运动 到b，移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦力的功。
这是力的大小不变，物 体沿曲线运动的例子
高中物理第七章机械能守恒定律超导永动机课件新人教版必修
王洪成骗局：中国哈尔滨人王洪成曾在 1984年提出一个永动机方案，他利用他设计 的永动机驱动自家的洗衣机、电扇等装置运 转，不久骗局被揭穿，他制作的永动机模型 是用隐藏的钮扣电池驱动的一个电动马达， 而供应洗衣机、电扇运转的则是暗藏在地下 的电线。1998年，王洪成的另一个骗局“水 变油”被揭穿，他本人也因此入狱。
超导永动机 永流机
题记：永动机是一个艰难的话题，能 量守恒定律与热力学第二定律已将其判 定为不可能实现。但是，宇宙不就是一 台活生生的永动机吗？构成物质的基本 粒子，如分子原子，它们不也是在永不 停息地运动作吗？为什么自然界能有 “永动机”而我们人类就不能制造出永 动机呢？为此，仍有不少的人为之不断 努力、不断奋斗。
人们至今未能找到永磁体磁疗器的能源,但它输出磁能对人 体作功是事实。 永磁体好象是『白白』输出能量的。又一永 动机!•它满足第一类永动机定义【不消耗任何能量就能永远作 功的机器】的条件。可称它为:•『永动磁疗器』──【事实永 动机之二】。(简称【磁疗器】)
【③永动供磁机:】 实际上,永磁体常常扮演『白白』输出能量的角色。
结语
永动机理论赋予动态平衡孤立系统的意义不再
是死灭而是可永远作功(•克劳修斯提出热寂说的推
理过程可看为归谬法。证明【死灭状态的孤立系不 可能作功】为谬误)。【传统的发动机利用改变状态 的物系输出的能作功,而永动机利用状态不变的动态 平衡物系能作功】(因而熵、焓理论的修正也势在必 行)。
【宇宙】的机械效率无穷大乃因其内每点滴能量
我们也来为此梦想献一份绵薄之力，对与否望 各位同仁指正。
原理：超导体具有超流性，即电流在超导体 中流动时没有能量损失。那么将超导线圈与 一合适的电容器组成一闭合回路，如图所示
给电容器C充好电后，使其通过超导线圈放 电，则在此LC回路中就应当形成一交变电流， 在线圈周围就会有一交变磁场。
2牛顿定律与守恒定律
t0
t
F1
二、质点系的动量定理 以两个质点组成的质点系为例 内力(成对出现) 外力
F2
m1
I P P0 t I Fi dt表示质点系的合外力的冲量 t0 i P0 mi vi 0 ， P mi vi表示初、末时刻质
m m x l
M
T ( x x)
x
T ( x) (m) g T ( x x)
T ( x)
T T ( x x) T ( x)
O
x
x x
m, l
mg ( m ) g x (m) g l M T ( x x) mg x dT dx l Mg l mg （ x l 时， ） T Mg dT dx T x l
p mv
矢量 单位：kg m / s
b.低速情况下 (v c) ，m为常量
dp d (mv ) dv F m ma dt dt dt dp F ma dt
c.高速情况下(v接近c)，m为与速度v有关 的变量
(4)牛顿第二定律只适用于质点的运动 合外力 F 与加速度 a 之间是瞬时对应关系
A A
合力的功等于各分力的功的代数和
4．功率 W (1)平均功率 P
t
dW 功率 P dt
(2)描述了做功的快慢 (3) dW F dr cos
dt dt (4)单位： 1W 1J / s
P
Fv cos F v
练习：质量为m的质点在外力F的作用下沿x 轴运动，已知t=0时质点位于原点，且初 速度为零。设外力F随距离线性地减小，且 x=0时，F=F0；x=L时，F=0。求质点 从x=0运动到x=L处的过程中力F对质点 所做的功。 F0 解一：
理论力学简答题
答：在非惯性系中a =a—65x r f简答题答案1、说明科里奥利加速度产生的原因。
答：(1)质点具有相对速度B时，致使质点在活动参考系中的位置发生变化,从而改变了速度的大小；(2)质点跟随活动参考系转动时，相对速度方向的变化2、试推导出质点在非惯性系中的动力学方程，并说明方程中各项的含义。
动力学方程为ma'=ma—m(6x r'一m6x(6x r')—2m6x v fma表示外力；m6x r'是由非惯性系的加速转动引起的，与非惯性系的角加速度有关；m6x(6x r')成为惯性离心力；2m6x v'科里奥利惯性力。
3.试举两例说明由于地球自转而产生的力学效应,并简述其原因.答：①如物体的重力随地理纬度的增大而增大，这是地球自转产生惯性离心力的影响。
②自由落体的偏东。
地球上物体的运动方程为：X的正方向向南，y的正方向向东，Z的正方向竖直向上。
自由落体的运动方向mx=F+2m6y sin九x<my=F—2m6(x sin九+z cos九)mz=F—mg+2m6y cos九z向着z轴的负方向，'小于零，从运动方程知，物体向东方向受到附加的科里奥利力的作用，即自由落体的偏东。
4.为什么落体会偏东答：地球上物体的运动方程为：d d t-dr')r x m iii"dT 丿—艺r'x F(e)+r xCiii—1艺m rd d tM ‘—dL 1dtmx —F +2m W ysin 九x<my —F —2m 3(x sin 九+z cos 九)mz —F —mg +2m W ycos 九zX 的正方向向南，y 的正方向向东，Z 的正方向竖直向上。
自由落体的运动方向向着Z 轴的负方向，z小于零，从运动方程知，物体向东方向受到附加的科里奥利力的作用，即自由落体的偏东。
5、应用非惯性系动力学方程导出质点组对质心的角动量定理．答：在非惯性系中d 2r '--二m L —F （e）+F （i）+（—m r ）id t 2iiiC工r 'x F(e)iii —1艺mr '—0iii—16、分别说明质点组动量守恒定律、动量矩守恒定律、机械能守恒定律成立条件。
惯性坐标系与非惯性坐标系
惯性坐标系与非惯性坐标系相对于惯性系作加速运动的参考系就是非惯性系。
在非惯性系中,牛顿运动定律不能适用的。
惯性系：相对于地球静止或作匀速直线运动的物体。
非惯性系：相对地面惯性系做加速运动的物体。
平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。
例如：在平直轨道上加速运动的火车。
转动参考系：相对惯性系转动的物体。
例如：转盘在水平面匀速转动。
关于牛顿力学有关惯性系的概念，爱因斯坦有这样的批评：“古典力学想要说明一个物体不受外力，必须证明它是惯性的，想要说明一个物体是惯性的，有必须证明它不受外力。
”从而犯了逻辑循环的错误。
上面讲话的意思是，古典力学要想知道一个物体的受力状态，就要预先知道它的运动状态，而要想知道一个物体的运动状态，就必须预先知道其受力状态，但由于古典力学无法预先确定两者中的任何一个，另一个也就同样无法确定。
不过，这个批评很明显地不符合事实，因为这段话的前半部分虽然还看不出有什么错误，牛顿正是由于行星绕太阳的非惯性运动，才判定各行星受到力的作用的，但后半段则是完全不顾事实的，在谈论这个问题时应以事实为根据。
科学的历史告诉我们，在牛顿力学问世以前，人类早已对太阳系内各大天体的运动状态有了基本了解，并建立了哥白尼系统的宇宙图形。
人们取得如此的成就依靠的并不是力学定律和力学实验，而是长期的天文观测数据。
人们是在对太阳系内各天体的运动状态已有了基本了解后才找到牛顿的力学定律的。
所以“古典力学对天体运动状态的了解要取决于对天体受力状态的了解”这个论断是完全违背事实的。
当然，牛顿力学的建立使人们对天体的运动规律有比较以前更为深刻的理解，但无论如何，天文观测的数据总是第一位的，而不是开普勒三定律和牛顿定律创造了这些数据。
牛顿力学问世后，曾有人利用力学计算的方法预计了海王星的存在，似乎是先知道力学定律，然后才知道星体运动的。
但是不能忘记，这些计算方法所依据的原理是从已知星体运动归路总结出来的，所以总的来说，人们是先知道天体的受力状态的。
专题06 机械能守恒定律-备战2018年高考物理之纠错笔记
一、对功的判断和计算易出现以下错误1．对功的概念理解不透，误认为有力，有位移就有功；2．判断功的正负可根据力和位移的夹角，也可根据力和速度的夹角，还可根据能量的变化，长错误地认为某一力做的功的大小与物体受到的其他力的大小有关，与物体的运动状态有关；3．易误认为摩擦力总是做负功，一对滑动摩擦力大小相等，方向相反，做的总功为零；4．功的计算公式中，s为力的作用点移动的位移，它是一个相对量，与参考系选取有关，通常都取地球为参考系，这一点也是学生尝尝忽视的，要引起注意。
二、求解变力功求解变力做功时，容易把变力当成恒力来计算。
直接求解变力做功通常都比较复杂，但若通过转换研究对象，有时可转化为恒力做功，然后用W=Fs cos α求解。
此法尝尝应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中，采用本法解题的关键是根据题设情景，发现将变力转化为恒力的等效替代关系，然后再根据几何知识球出恒力的位移大小，从而求出变力所做的功。
三、对于机车启动过程的求解1．易误将机车的功率当成合力功率；2．易误将匀加速启动过程的末速度当成机车能达到的最大速度；3．机车启动分两种方式，而以恒定加速度启动过程又分为两个阶段，因为有时易将P=Fv中的常量和变量弄混。
四、对动能定理的理解和应用易出现以下错误1．易误将相对其他非惯性系的速度当作对地速度代入动能定理公式中；2．动能定理中的功是合力做的功，易误将某个力的功当作合力的功或者将研究对象对外做的功也算入总功之中；3．易错误地将动能定理当成矢量式，列分方向的动能定理；4．利用动能定理解决多过程问题时，常常使合力做功对应的过程和初末动能对应的过程不统一造成错误。
五、重力势能的相对性与其变化的绝对性理解1．重力势能是一个相对量，它的参数值与参考平面的选择有关。
在参考平面上，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值。
2．重力势能变化的不变性（绝对性）尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量却与参考平面的选择无关，这体现了它的不变性（绝对性）。
非惯性系弹簧谐振子振动周期的计算
非惯性系弹簧谐振子振动周期的计算王耘涛;冯立芹【摘要】通过引入等效势能,给出了非惯性系机械能守恒定律.分三种情况,利用机械能守恒对处于匀加速运动参考系中的弹簧谐振子周期进行了分析计算,并给出了正确的结果.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(028)001【总页数】3页(P11-13)【关键词】等效势能;非惯性系;机械能守恒;弹簧谐振子【作者】王耘涛;冯立芹【作者单位】内蒙古民族大学物理与电子信息学院,内蒙古通辽028043【正文语种】中文【中图分类】O321弹簧谐振子作为研究简谐振动的典型例子，很多教材和文献对其在惯性系和非惯性系中的振动周期的计算给出了不同的分析方法〔1～3〕.但对于非惯性系中弹簧谐振子周期的计算很少有用能量法进行分析的.本文采用能量守恒法，对相对于惯性系作匀加速直线运动的非惯性系中弹簧谐振子的周期进行分析和计算.1 匀加速平动参照系中的等效势能势能是物理学中的重要概念，是针对保守力做功与路径无关而引入的.常见的保守力有万有引力（包括重力）、弹簧的弹性力、静电场力，相应的系统势能增量是用成对保守内力作功之和的负值来定义，规定势能零点，势能是体系内相对位置或相对形变的函数而与参照系的选择无关.若所研究的问题不需要去分析成对内力，在某特定参照系中某些作用力具有保守力性质（作功与路径无关），同样可以引入相应的势能〔4〕.假设有一沿x轴作匀加速运动的参照系，其加速度为a⇀=ai⇀，则在该系中运动的质点所受惯性力为F⇀=-mai⇀.显然该力的旋度▽×F⇀=0,不难看出，在该参照系中,惯性力对质点所作的功与质点在该参照系中移动的路径无关.由于惯性力没有反作用力,所以惯性力势能不能称之为系统的势能，但在特定的参照系中,惯性力又具有有势力的特点,故称之为等效势能，用表示.可以将等效势能的零点选取在原点，则积分常数C=0.此时有若加速度与x轴方向相反，仍将等效势能的零点选取在原点，则此时等效势能为2 匀加速平动参照系中机械能守恒定律引入等效势能后，在非惯性系中，如果质点受到的相互作用力为保守力（包括惯性力）,且其对应的势能不显含时间，则此质点在非惯性系中的机械能守恒〔5〕.此时式中E、Ek、Ep分别为质点相对非惯性系的机械能、动能、等效势能和真实保守力的势能.3 运用机械能守恒求解非惯性系简谐振子振动周期3.1 竖直匀加速系统中的弹簧谐振子周期将一弹簧振子竖直悬挂在以加速度a→匀加速上升的电梯中，如图1所示，设弹簧劲度系数为k，振子质量为m，求振动系统的周期.升降机为非惯性系，振子受弹簧弹力、竖直向下的重力和惯性力.三力均为保守力，系统机械能守恒.设弹簧伸长l0时，振子相对升降机处于平衡状态，则以平衡位置为原点，向下为正建系ox.设原点为重力势能和等效势能的零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则振子在任意位置x处，由机械能守恒可得将上式两边同时对时间t求导并整理可得m（5）（6）两式联立可得令，则可得周期图1 竖直弹簧谐振子Figure 1 The upright spring harmonic oscillator图2 水平弹簧谐振子Figure 2 The level spring harmonic oscillator图3 任意方向弹簧谐振子Figure 3 The any direction spring harmonic oscillator3.2 水平方向加速系统中的弹簧谐振子周期将一弹簧振子水平放置在以加速度a→匀加速行驶的小车内，车内表面无摩擦，如图2所示，设弹簧劲度系数为k，振子质量为m，求振动系统的周期.行驶中的小车为非惯性系，振子竖直方向合力为零，水平方向的受弹力和惯性力，均为保守力，机械能守恒，设弹簧长l0时，振子处于平衡状态，则可得 kl0=ma （8）以平衡位置为原点，向右为正建系ox.设原点为等效势能的零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则振子在任意位置x处，由机械能守恒可得将上式两边同时对时间t求导并整理可得（8）（9）两式联立可得令，则可得周期3.3 任意方向加速系统中弹簧谐振子的周期如图3所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上有一以恒定加速度a→上行的小车，车厢底部有一理想弹簧振子，即不考虑弹簧的质量和小球与车厢底部的摩擦，已知小车的质量为M，小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，求弹簧振子的周期.小车为非惯性系，振子受沿斜面方向的弹簧弹力、惯性力和竖直向下的重力及斜面支持力.支持力不作功，其他三力均为保守力，系统机械能守恒.设弹簧伸长l0时，振子相对小车处于平衡状态，则以平衡位置为原点，沿斜面向下为正建系ox.设原点为重力势能和等效势能的零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则振子在任意位置x处，由机械能守恒可得将上式两边同时对时间t求导并整理可得（10）（11）两式联立可得令，则可得周期4 结果分析通过引入惯性力势能，即相对势能的概念，将机械能守恒定律应用于非惯性系中，用它来分析和计算处于匀加速运动参考系中的弹簧谐振子的振动周期问题是非常方便的.从三种情况的所得结果可以看到，弹簧谐振子的振动周期与非惯性系的质量、运动加速度大小无关，也与振子的放置方式无关，仅与弹簧谐振子自身的属性有关，进一步说明周期的固有特性.另外，将本文的方法与其他文献〔1，2〕介绍的方法比较便知能量守恒法的优越性.参考文献【相关文献】〔1〕刘永利.弹簧振子在直线加速参考系中的运动分析〔J〕.邢台学院学报,2009,24（4）:116-117.〔2〕许钟城.在非惯性参照系中弹簧振子的运动〔J〕.河池学院学报,1987,（3）：7-11. 〔3〕程守洙,江之永.普通物理学〔M〕（第3册）.北京:高等教育出版社,1998.3-20.〔4〕焦开阳.用等效势能函数讨论有心力问题〔J〕.西北师范大学学报,1993,29（4）：70-72. 〔5〕刘荣万.非惯性系机械能守恒定律〔J〕.大学物理，1990（7）：1-3.。
机械能守恒定律的建立
机械能守恒定律的建立在对钟摆的研究中，惠更斯注意到这样一个事实：“即使除去空气和其他阻力之后，运动中摆的重心在下降和上升之时，必定是描出了相等的弧。
”他的这个见解正是对伽利略早年关于“物体下落所能达到的速度使之跳回原来的高度而不会更高”这一原理在重心问题上的应用。
虽然他们这种见解都还只是表观的，但为建立机械能守恒定律奠定了基础。
1666年，刚成立不久的英国皇家学会在其例会上，曾提出要求物理学家研究一下当时尚属空白的碰撞现象。
到了1668年前后，惠更斯和其他两位科学家对碰撞现象作出了比较正确的解释。
惠更斯认为在这种碰撞(弹性碰撞)中除了动量守恒以外，还有另一个物理量，即当时称之为“活力”的mV2，也是守恒的。
莱布尼茨最早引进了“活力”概念，认为宇宙中“活力守恒”，并替mV2之后，莱布尼茨的发现才得到准确的表述：所作的功等于动能的增加。
1738年，D·伯努利在他的《流体力学》中引入了“势函数”这一概念，提出了实际的下降和位势的升高的等同原理。
他把这一思想用于理想流体的运动，得出了著名的伯努利方程。
这一系列发现，已经突破了“活力守恒”的局限，非常接近于后来所说的机械能守恒原理。
3．机械能守恒定律(1)机械能守恒定律内容在只有重力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但总的机械能保持不变。
这个结论叫机械能守恒定律。
(2)机械能守恒定律的表达式对不同的物理过程可以应用不同的表达形式：①E1=E2；即前后状态系统的机械能守恒。
②ΔE k=-ΔE p；即系统动能的增量等于系统势能的减少量。
③ΔE A=-ΔE B；即A物体增加的机械能等于B物体减少的机械能。
④机械能守恒定律中的V，h都是相对量，速度V必须相对同一惯性参考系，而h零点的选择对机械能守恒的计算不产生影响。
(3)机械能守恒的条件①物体系统只受重力或弹力(此力现阶段仅为弹簧的弹力)时系统机械能守恒。
②物体系统除受重力和弹力外还受其他力作用，但其他力一直对系统不做功，此系统机械能守恒。