等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理 1 / 7 等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：daann1（d为公差）（2n，*nN）注：下面所有涉及n，*nN省略，你懂的。 2、等差数列通项公式：

1(1)naand，1a为首项，d为公差 推广公式：()nmaanmd

变形推广：mnaadmn 3、等差中项 （1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：

2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列 )2(211-naaannn212nnnaaa 4、等差数列的前n项和公式：

1()2nnnaaS1

(1)2nnnad

21

1()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项 12121121212nnnnaaSna



（项数为奇数的等差数列的各项

和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法 等差数列、等比数列知识点梳理 2 / 7 （1） 定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列． （2）等差中项：数列na是等差数列 )2(211-naaannn212nnnaaa （3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。 （4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)naand ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad

是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和

211(1)()222n

nnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为

0。 （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。 （3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp

时，则有2mnpaaa。（注：12132nnnaaaaaa，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系等差数列、等比数列知识点梳理 3 / 7 数之和相等。 （4）na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列 (5) 若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS ，…也成等差数列 (6) 数列{}na为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列 （7）na、{}nb的前n和分别为nA、nB，则2121nnnnaAbB （8）等差数列{}na的前n项和mSn，前m项和nSm，则前m+n项和mnSmn，当然也有,nmaman，则0mna

(9)求nS的最值 法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值． （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值． 或求na中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取

最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为2pqn

注意：1(2)nnnSSan，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当1n的情况。 解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： 等差数列、等比数列知识点梳理 4 / 7 ①基本量法：即运用条件转化为关于1a和d的方程； ②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）

第二节：等比数列的相关公式和性质 1、等比数列的定义：12nnaqqna0，q为公比 2、通项公式： 11nnaaq

，1a为首项，q为公比

推广公式：nmnmaaq， 从而得nmnmaqa 3、等比中项 （1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2Aab

或Aab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列na是等比数列211nnnaaa

4、等比数列的前n项和nS公式： (1) 当1q时，1nSna

(2) 当1q时，11111nnnaqaaqSqq 11''11nnnaaqAABABAqq

（,,','ABAB为常数）

5、等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa

或为常数，{}na等差数列、等比数列知识点梳理 5 / 7 为等比数列 （2） 等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列 （3） 通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列 （4） 前n项和公式： '',,','nnnnSAABSABAABAB或为常数

{}na

为等比数列

6、 等比数列的证明方法 依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1nnaqa{}na为等比数列 7、等比数列相关技巧： （1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：11nnaaq

如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q，中间项用a表示）；注意隐含条件公比q的正负 8、等比数列的性质： (1) 当1q时

①等比数列通项公式1110nnnnaaaqqABABq是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n项和111111''1111nnnnnnaqaaqaaSqAABABAqqqq，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 等差数列、等比数列知识点梳理 6 / 7 (2) 对任何m,n*N,在等比数列{}na中,有nmnmaaq,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若mnst(,,,mnst*N),则nmstaaaa。特别的,当2mnk时,得2nmkaaa 注：12132nnnaaaaaa (4) 列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab (k为非零常数) 均为等比数列。 (5) 数列{}na为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列 (6) 如果{}na是各项均为正数的等比数列,则数列{log}ana是等差数列 (7) 若{}na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列 (8) 若{}na为等比数列,则数列12naaa,122nnnaaa,

21223nnnaaa成等比数列 (9)①当1q时，②当1q0

110{}0{}{nn

aaaa，则为递增数列

，则为递减数列, 110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列。 (10)在等比数列{}na中,当项数为2n (n*N)时,1SSq奇偶,。 (11)若{}na是公比为q的等比数列,则nnmnmSSqS