运筹学___整数规划习题
第8章_整数规划(带答案)
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
18
二、背包问题（补充）
背包可装入 8 单位重量， 10 单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
4
§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米) 195 273 1365
每件重量 (百千克) 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运 4 件，问两种货物各托运多 少件，可使获得的利润最大。
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
第2个地区建一个（地区1、2、6都解决了）
第4个地区建一个（地区3、4、5都解决了）
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。
整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。
整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。
然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。
一、近似算法的概念近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。
在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。
二、近似算法的分类近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。
1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。
该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。
然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。
该算法在每一步都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。
然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。
3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。
在解决整数规划问题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而节省计算资源和时间。
三、近似算法的应用案例近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍近似算法的应用。
假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法近似算法在运筹学中整数规划问题的解决中起着重要的作用。
整数规划问题是指决策变量为整数的最优化问题，它在实际问题中具有广泛的应用，如物流配送、生产调度以及网络优化等领域。
然而，由于整数规划问题的困难性，寻求精确解的方法可能需要耗费大量的时间和计算资源。
因此，近似算法成为一种有效的求解整数规划问题的方式。
一、整数规划问题的定义与特点整数规划问题可以定义为在约束条件下，目标函数为整数线性函数的最优化问题。
它与线性规划问题相比，多了一个要求决策变量为整数的限制条件。
这使得整数规划问题的解空间不连续，增加了问题的难度。
二、整数规划问题的近似算法分类在运筹学领域，有多种近似算法被提出来解决整数规划问题。
根据算法的思想和方法，这些算法可以分为以下几类：1. 分支定界算法分支定界算法是一种广泛运用于整数规划问题求解的近似算法。
该算法的基本思想是通过将整数规划问题分解为多个子问题，并对每个子问题进行线性规划求解。
通过对每个子问题的目标函数值进行判断和优化，最终得到整数规划问题的近似解。
2. 近似拉格朗日算法近似拉格朗日算法是一种基于拉格朗日乘子法的近似算法。
该算法的核心思想是通过求解相应的拉格朗日松弛问题来逼近整数规划问题的最优解。
这种方法可以有效地简化整数规划问题的复杂度，提高问题求解的效率。
3. 启发式算法启发式算法是一种利用经验或专业知识来指导求解过程的近似算法。
它不保证可以找到问题的最优解，但可以快速找到较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。
三、近似算法的优缺点近似算法在解决整数规划问题中具有以下优点：1. 时间复杂度低：与精确算法相比，近似算法可以大大减少计算时间，加快问题的求解速度。
2. 解的质量较高：虽然近似算法不能保证找到问题的最优解，但通常能够找到接近最优解的较好解。
然而，近似算法也存在一些缺点：1. 解的质量不能保证：近似算法在求解整数规划问题时，无法提供问题的最优解。
运筹学第3版熊伟编著习题答案
运筹学（第3版）习题答案第1章线性规划 P36第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304第12章 多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页第1章 线性规划1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．表1－23产品 资源 A B C 资源限量 材料(kg) 1.5 1.2 4 2500 设备(台时) 3 1.6 1.2 1400 利润(元/件)101412根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：表1－24 窗架所需材料规格及数量型号A 型号B 每套窗架需要材料长度（m ） 数量(根)长度(m) 数量(根)A 1：2 2B 1：2.5 2 A 2：1.53 B 2：23需要量（套）300400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解】 第一步：求下料方案，见下表。
方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A21.5120 2 3 900 余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 010.5第二步：建立线性规划数学模型设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
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第五章整数规划习题5.1考虑以下数学模型min z = fi(Xi) + f2 (x2)且满意约束条件(1) 或 ,或X2 河0：(2) 以下各不等式至少有一个成立：2x〔+ x2 *5+ X2 >15x〔+2x2 215(3) Xi -X2 =0或 5 或10(4) 为No , X2 2 0其中20 + 5xi,如>0fi(xO= 10 ，如=°12 + 6x2,如>0f2(X2)= .0 ，如=0将此问题归结为混合整数规划的模型；minz = 1°y〔* 5xi 十12y2 -6x2（0）xi V yi ,M; x2 y2• M（1）% >10- y3 <MX2 己10 —（1 — y3）• M（2）X1 +xA5- y4M2Xi +X2 2 15- y5MX1 + 2x2 2 15 - yeM第 +y5 + y6 < 2（3）x1 _X2 =0y7 -5y8+5y9 -10y w+ 11yn工y8 + y9 + Yw + y” = 1（4）xi >0，x2 - 0; yi = 0或5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题_ 2 + 3max z - % x2 x3 - x3一 2xi + 3x2 + X3 <3Xj = 0或 1,= 1,2,3)，当=Xs = 1X 22 3又X 〔，Xi 分别与X 、X3等价，因此题中模型可转换为max z = % + y - X3—2xi + 3x2 X3 — 3 y WX2"X3X2 * X3 V y F一Xi ，X2，X3，y 均为 一1 变5.3某科学试验卫星拟从以下仪器装置中选如干件装上；有关数据资料见表5-1表5-1要求：(1)装入卫星的仪器装置总体积不超过 V,总质量不超过 W (2) A 与A 中最多安装一件；(3)氏与4中至少安装一件；(4) As 同玲或者都安上，或者都 担心；总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的试验价值； 试建立 这个问题的数学模型； 解： 6max z = Z CjXj j ='6三 VjXj -V jT解：令y = 故有 x 2x3 =y,I 6£ Wj Xj - w jTXi + x3 -1 X2十X4 Z 1X5 = X61 ，安装Aj仪器X・=< J 0，否就5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探 费用最小；如10个井位的代号为Si , S2, S10,相应的钻探费用为C1 , C2, ,C 10, 并且井位选择上要满意以下限制条件：(1) 或选择S1和S7,或选择钻探S8；(2) 选择了 S3或S4就不能选择S5,或反过来也一样；(3) 在S5,S6,S7,S8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型； 解： 10min z = £ CjXj j=3'10E Xj = 5 jmX1 + X8 = 1 X3 + Xs < 1 X7 〜彘=1 X4 + X5 三 1 X5 + X6 + X7 + X8 M 2，选择钻探第Sj 井‘0 ,否就5.5用割平面法求解以下整数规划问题(a) maxz = 7x 〔 一 9x 2 —q 3x2 — 6 7Xi +x 2 V 35 x 1s x 2, - 0且为整(b) minz =数4对 5x2% +2X2 V Xi -4x2 - 5 3xi + X2 -2 XlJ x 2 20且为整、 I ' £4xi — 4X 2 J 5 -Xi 〜6X2 — 5一 Xi + X2 + X3 -5*,X2，X3,20 且为整 (d) max z = "Xi +4x2(c)max z 一 4xi 6x 2 + 2x3-x〔+2x2 £14 5x1+ 2X2 <16 2xi - X2 三 4KM*。
运筹学课件 第四节 0—1型整数规划
分析：
如果生产第j种产品，xj>0. 约束条件xj<=Mjyj,yj=1; 如果不生产第j种产品， xj=0.约束条件 xj<=Mjyj,yj=1或0。当 yj=1不利于目标函数的最大 化，因此在最优解必然是 yj=0。
件， M 1 100 ,
50 , M
3
34
运 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
产品3
a32
机床2
a33
机床3
运筹学教程
解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有
产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14
运筹学教程
4 求解： 7 C 6 6 6 0 0 0 0 0
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
1 2
运筹学教程
p 个约束条件
a
j 1
p
ij
x j b i ( i 1, 2 ,..., p ) p 个 0 1变量
选择 q 个约束条件，引入
0 , 选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p ) yi 1, 不选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p )
约束条件组
n a ij x j b i My i j 1 st . ( i 1, 2 ,..., p ) p yi p q i 1
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
运筹学课程06-整数规划(胡运权 清华大学)
NEUQ
全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外，系数 和常数也要求取整数（这时引进的松弛变量和剩余变量也必须 是整数）。
混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负整数， 另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
14
NEUQ
3、IP与LP关系：
设整数规划问题如下
c1n c2n cin b c nn
min Z Z b
min Z Z b
，则X 0也是 min Z的最优解 若X 0是 min Z的最优解
24
NEUQ
指派问题的最优解： 若 C中有n 个位于不同行不同列的零元素，则令这
些零元素对应的变量取1，其余变量取零，即得指派问 题的最优解 匈牙利算法：
B1 B2 L Bn A1 c11 c12 L c1n a1 f1 A2 c21 c22 L c2 n a2 f 2 M M M M M M Am cm1 cm 2 L cmn am f m b1 b2 L bn
6
NEUQ
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m； j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
NEUQ
整数规划 Integer Linear Programming
整数规划的难度远大于一般线性规划
1
NEUQ
本章主要内容
整数规划的模型 0－1 整数规划
指派问题
分支定界法 割平面法
2
NEUQ
一、整数规划的模型
1、案例： 某财团有 B万元的资金，经初期考察选中 n个 投资项目，每个项目只能投资一个。其中第 j 个项目需投资金额为 b j ( j 1, 2,L , n) 万元， 预计5年后获利 c j 万元，问应如何选择项目使 得5年后总收益最大？
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第四章 整数规划 4.1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？（只建模不求解） 表4－1 设备 材 料 甲 乙 资源限量
材料A（kg） 2 3 14 材料B（kg） 1 0.5 4.5 利润（元/件） 3 2
解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x1、x2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立模型如下：
2123maxxxz
为整数21212121,0,5.45.01432xxxxxxxx
4.2 2197maxxxz
且为整数0,35763.212121xxxxxxts
割平面法求解。（下表为最优表） jc 7 9 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4
9 x2 0 1 7/22 1/22 7/2
7 x1 1 0 －1/22 3/22 9/2 cj－zj 0 0 －28/11 －15/11 解： 线性规划的最优解为： 63max,0,2/7,2/94321zxxxx 由最终表中得：
27221227432xxx ④
将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为；
213221227432xxx
移项后得：
①②③④
①②③ 即： 21221227212212274343xxxx 只要把增加的约束条件加到B问题的最优单纯形表中。 表4－3 jc 7 9 0 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
9 x2 0 1 7/22 1/22 0 7/2 7 x1 1 0 －1/22 3/22 0 9/2 0 x5 0 0 －7/22* －1/22 1 －1/2
cj－zj 0 0 －28/11 －15/11 0 这时得到的为非可行解，用对偶单纯形法进行求解。进行迭代得到： 表4－4 jc 7 9 0 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
9 x2 0 1 0 0 1 3 7 x1 1 0 0 1/7 －1/7 32/7 0 x3 0 0 1 1/7 －22/7 11/7 cj－zj 0 0 0 －1 －8 由计算结果知还没有得到整数解，重新再寻找割平面方程。 由x1行得：
7327171541xxx
将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和：
74476715541xxxx
得到新的约束条件： 74767154xx
747671654xxx
在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解： jc 7 9 0 0 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6
9 x2 0 1 0 0 1 0 3
7 x1 1 0 0 1/7 －1/7 0 32/7 0 x3 0 0 1 1/7 －22/7 0 11/7 0 x6 0 0 0 －1/7* －6/7 1 －4/7
cj－zj 0 0 0 －1 －8 0 9 x2 0 1 0 0 1 0 3 7 x1 1 0 0 0 －1 1 4 0 x3 0 0 1 0 －4 1 1 0 x4 0 0 0 1 6 －7 4 cj－zj 0 0 0 0 －2 －7 则最优解为3,4*2*1xx，最优目标函数值为z*=55。
4.3 max z＝4x1＋3x2＋2x3
10,,13344352.32132321321或xxxxxxxxxxx
ts
隐枚举法 解：（1）先用试探的方法找出一个初始可行解，如x1＝x2＝0，x3＝1。满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数z0＝2。 （2）附加过滤条件 以目标函数0zz作为过滤约束： 2234321xxx 原模型变为： max z＝4x1＋3x2＋2x3
10,,22341334435232132132321321或xxxxxxxxxxxxxx
求解过程如表所示。 点 过滤条件 约束 z值 ④ ① ② ③
4x1＋3x2＋2x3≥2 （0，0，0）T × （0，0，1）T √ √ √ √ 2 （0，1，0）T √ √ × （0，1，1）T √ √ √ √ 5 4x1＋3x2＋2x3≥5 （1，0，0）T × （1，0，1）T √ × （1，1，0）T √ √ √ √ 7 4x1＋3x2＋2x3≥7 （1，1，1）T √ √ √ √ 9
所以该0－1规划最优解为9,1**3*2*1zxxx。 4.4 某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部，有7个点Ai（i＝1，2，…，7）可供选择，要求满足以下条件： （1）在东区，在A1，A2，A3三个点中至多选两个； （2）在西区，A4，A5两个点中至少选一个； （3）在南区，A6，A7两个点为互斥点。 （4）选A2点必选A5点。 若Ai点投资为bi万元，每年可获利润为ci万元，投资总额为B万元，试建立利润最大化的0－1规划模型。 解：设决策变量为
7,,2,1,0,1iAAxii
i点未被选用当
点被选用当
建立0－1规划模型如下：
①②③④ iiixcxcxcxcz71772211max
7,,2,1,100112.52765432171ixxxxxxxxxxBxbtsiiii，或 4.5 某城市消防队布点问题。该城市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15 分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表4－9，请帮助该市制定一个布点最少的计划。 表4－9 消防车在各区间行驶时间表 单位：min 地区1 地区2 地区3 地区4 地区5 地区6 地区1 0 10 16 28 27 20 地区2 10 0 24 32 17 10 地区3 16 24 0 12 27 21 地区4 28 32 12 0 15 25 地区5 27 17 27 15 0 14 地区6 20 10 21 25 14 0 解：引入0－1变量xi作决策变量，令
6,,2,1,0,1iiixi不设消防站表示在地区
设消防站表示在地区
目标函数为 min z＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6 本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站在15分钟行程内。如地区1，由表4－9可知，在地区1及地区2内设消防站都能达到此要求，即 x1＋x2≥1 因此本问题的数学模型为：
min z＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6 x1＋x2 ≥1 x1＋x2 ＋x6≥1 x3＋x4 ≥1 x3＋x4＋x5 ≥1 x4＋x5＋x6 ≥1 x2 ＋x5＋x6 ≥1 xi＝1或0 （i＝1，…，6） 4.7 一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表4－10所示，能携带的最大重量为25 kg，试选择该队员所应携带的物品。 表4－10 序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量kg 5 5 2 5 10 2 3 重要性系数 20 15 16 14 8 14 9
s.t 解：引入0－1变量xi iiixxx不携带物品携带物品0
1 （i＝1，…，7）
则0－1规划模型为： max z＝20x1＋15x2＋16x3＋14x4＋8x5＋14x6＋9x7
s.t. 5x1＋5x2＋2x3＋5x4＋10x5＋2x6＋3x7≤25
xi＝0或1，i＝1，0，…，7