中考数学专题复习之圆的基本性质练习题及答案
中考数学复习 圆 第29讲 圆的基本性质试题(含解析).doc
第29讲 圆的基本性质1. (2012，河北)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC ＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB ＝90°，∠DAE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△CBE .∴D 选项正确．2. (2015，河北)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 相交于点F .下列三角形中，外心不是点O 的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3. (2016，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)第3题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确.针对训练1 如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接OD，则∠DOC＝70°－45°＝25°，∠AOD＝160°－70°＝90°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠A＝45°.∵∠ADO＝∠B＋∠DOB，∴∠B＝45°－25°＝20°.训练1答图针对训练2 如图，点P在线段AB上，PA＝PB＝PC＝PD.当∠BPC＝60°时，∠BDC的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】 如答图，连接BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于点Q ，则点Q 即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－1，0)，点B 的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C ，使A ，B ，C 三点确定一个圆，且使AB 为圆的直径，则点C 的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】 如答图，连接AC ，CB .根据题意可证得△AOC ∽△COB ，∴OC OA ＝OB OC ，即OC 2＝OA ·OB .∴OC 2＝1×3＝3.解得OC ＝ 3.故点C 的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】对于甲，易知ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形．进而易知EM为CD的垂直平分线．∴点O为两垂直平分线的交点，即点O为△CDE的外心．∴点O为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC，QD为此圆的直径．∴PC与QD的交点O为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，C 是优弧AB 上一点(不与点A ，B 重合)，则cos C 的值为(D)例3题图A. 43B. 34C. 35D. 45【解析】 如答图，作直径AD ，连接BD .∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝10，AB ＝6，∴BD ＝102－62＝8.∴cos D ＝BD AD ＝810＝45.∵∠C ＝∠D ，∴cos C ＝45.例3答图针对训练5 (2018，石家庄模拟)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】如答图，作直径CF，连接BF，则∠FBC＝90°.∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC ＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF.∴弧DE＝弧BF.∴BF＝DE＝6.∴BC＝CF2－BF2＝8.训练5答图针对训练6 (2018，通辽)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】 如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD ＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，安顺，导学号5892921)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C) A. 2 5 cm B. 4 5 cm C. 2 5 cm 或4 5 cm D. 2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝ 4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)．∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．当点C 的位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm.∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．∴在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝25(cm)．综上所述，AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC. 若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)第1题图A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°【解析】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°.∴∠AOC＝2∠B＝50°.∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为弧AB的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(D)第2题图A. 12B. 5C. 532D. 53 【解析】 如答图，连接OA ，OC ，OC 与AB 相交于点E .∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝ 60°.由AB 为弦，C 为弧AB 的中点，易知OC ⊥AB ，AE ＝BE .在Rt △OAE 中，AE ＝OA · sin ∠AOC ＝5×32＝532，∴AB ＝2AE ＝5 3.第2题答图3. (2018，白银)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接DC.∵C(3，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝ 3.∴∠DCO＝30°.∴∠OBD＝∠DCO＝30°.第3题答图4. (2018，南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠OAC ＝32°.∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠B ＝ 90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，盐城)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】由圆周角定理，得∠ABC＝∠ADC＝35°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°.7. (2018，苏州)如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°－40°＝140°.∴∠D＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，青岛)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°C. 35.5°D. 35°【解析】 如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】 如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长是(D)第10题图 A. 3 cm B. 6 cm C. 2.5 cm D. 5 cm【解析】 如答图，连接OB .∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO ，BD ＝8，∴BE ＝DE ＝4.∵AE＝2，∴在Rt △OEB 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即OE 2＋42＝(OE ＋2)2.解得OE ＝3.∴OB ＝3＋2＝5.∴EC ＝5＋3＝8.在Rt △EBC 中，BC ＝BE 2＋EC 2＝42＋82＝4 5.∵OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠CEB ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△OFC ∽△BEC .∴OF BE ＝OC BC ，即OF 4＝545.解得OF ＝ 5.所以OF 的长是 5 cm.第10题答图二、 填空题11. (2018，广东)在同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.【解析】 由圆周角定理，得弧AB 所对的圆周角为50°.12. (2018，大连模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm ，油的深度DC 为30 cm ，则油面宽度AB 是120 cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD ＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD ＝120 cm.13. (2018，烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．第13题图【解析】如答图，连接AB，CB，作AB，CB的垂直平分线，相交于点D.所以点D是过A，B，C三点的圆的圆心．所以点D的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，嘉兴)如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（533）cm.第14题图【解析】 如答图，连接OC ，OD ，OC 与AD 相交于点E .∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC －OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB .∴AC AB ＝AD AC. ∴AD ＝AC 2AB ＝325＝95(cm)．(2)当E 是AC 的中点时，直线ED 与⊙O 相切． 理由：如答图，连接OD . ∵DE 是Rt △ADC 的中线， ∴ED ＝EC .∴∠EDC ＝∠ECD . ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD .∴∠EDO ＝∠EDC ＋∠ODC ＝∠ECD ＋∠OCD ＝∠ACB ＝90°. ∴ED ⊥OD .∴直线ED 与⊙O 相切．第15题答图16. (2018，宜昌，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AC＝AB，∴四边形ABFC 是菱形． (2)解：如答图，连接BD . ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15.∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝ 30°，则弦BC 的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】如答图．∵OA⊥BC，∴CH＝BH，弧AB＝弧AC.∴∠AOB＝2∠CDA＝60°.∴BH＝OB·sin∠AOB＝ 3.∴BC＝2BH＝2 3.第1题答图2. (2018，杭州)如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O 于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝ 30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA ＝60°.∴∠DFA ＝30°.3. (2018，温州，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC . ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC .∵∠ABD ＝∠AED ， ∴∠ABD ＝∠ACD . ∴AB ＝AC . ∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2， ∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ， ∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13. ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3， ∴BC ＝3 2.第3题答图。
2018届中考总复习数学：第24课时圆的基本性质(Word版)含答案
第六单元 圆第二十四课时 圆的基本性质基础达标训练1. (2017兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB ＝( )A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°第1题图 第2题图2. (2017长郡教育集团二模)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D ＝32°，则∠OAC ＝( )A. 64°B. 55°C. 72°D. 58°3. (2017泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( ) A. 7 B. 27 C. 6 D. 8第3题图 第4题图4. (2017周南中学一模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 45. (2017宜昌)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( )A. AB ＝ADB. BC ＝CDC. AB ︵＝AD ︵D. ∠BCA ＝∠DCA第5题图 第6题图6. (2017广州)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥C D ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( )A. AD ＝2OBB. CE ＝EOC. ∠OCE ＝40°D. ∠BOC ＝2∠BAD7. (2017广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB＝45，BD ＝5，则OH 的长度为( )A. 23B. 56C. 1D. 76第7题图 第8题图8. (2017金华)如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm9. (2017重庆B 卷)如图，OA ，OC 是⊙O 的半径，点B 在⊙O 上，连接AB ，BC .若∠ABC ＝40°，则∠AOC ＝________度．第9题图第10题图10. (2017青竹湖湘一二模)如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC＝140°，则∠CBD＝________度．11. (2017大连)如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.第11题图第12题图12. (2017长沙中考模拟卷三)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC. 若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为________．13. (8分)(2017麓山国际实验学校一模)如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD.(1)求证：AD＝AN；(2)若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．第13题图能力提升训练1. (2017麓山国际实验学校三模)在半径等于5 cm的圆内有长为5 3 cm的弦，则此弦所对的圆周角为()A. 120°B. 30°或120°C. 60°D. 60°或120°2. (2017长沙中考模拟卷四)如图，点D(0，3)、O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值为()A. 12 B.34 C.45 D.35第2题图第3题图3. (2017云南)如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F 两点，与线段AC交于D点，若∠BFC＝20°，则∠DBC＝()A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°4. (人教九上P122第(3)题改编)如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P＝80°，则∠C＝()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°第4题图第5题图5. (2017荆州)如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是________．6. (9分)已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB 是等腰三角形；(2)若DA ＝7AF ，求证：CF ⊥AB.第6题图拓展培优训练1. (10分)如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点(不是端点)，满足CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，垂足为E ，若CE ＝10，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．第1题图答案1. B 【解析】如解图，连接OC .∵∠BOC 和∠CDB 分别为BC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠BOC ＝2∠CDB ＝50°，∵AB ︵＝BC ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ＝50°.第1题解图2. D 【解析】∵BC 是直径，∠D ＝32°，∴∠B ＝∠D ＝32°，∠BAC ＝90°.∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝∠B ＝32°，∴∠OAC ＝∠BAC －∠BAO ＝90°－32°＝58°.3.B 【解析】连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3，在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝42－32＝7.∵AB ⊥CD ，∴CD ＝2CE ＝27.第3题解图4. C 【解析】根据圆周角定理可知：∠C ＝12∠AOB ＝30°，∴在等腰三角形ABC 中，12BC ＝AC ×cos30°＝2×32＝3，∴BC ＝2 3.5. B 【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵∠BAC 与∠CAD 分别为BC ︵与CD ︵所对的圆周角，∴BC ︵＝CD ︵，∴BC ＝CD ；∵∠B 与∠D 不一定相等，∠B ＋∠BCA ＋∠BAC ＝180°，∠D ＋∠DCA ＋∠DAC ＝180°，∴∠BCA 与∠DCA 不一定相等，∴AB ︵与AD ︵不一定相等，∴AB 与AD 不一定相等．6. D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的非直径的弦，∴AD ＜AB ＝2OB ，故A 错误；如解图，连接OD ，∵AB ⊥CD ，∴∠CEO ＝90°，∠COE ＝∠BOD ＝2∠BAD＝ 40°，∴∠OCE ＝50°，∴∠COE ≠∠OCE ，∴CE ≠EO ，故B 错误；由选项B 知，∠OCE＝50°≠40°，故C 错误；由选项B 知，∠BOC ＝2∠BAD ，故D 正确．7. D 【解析】如解图，连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，点H 是CD 的中点，∴由垂径定理可知：AB ⊥CD ，∵在Rt △BDH 中，cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，∴DH ＝4，∴BH ＝BD 2－DH 2＝52－42＝3，设OH ＝x ，则OD ＝OB ＝x ＋3，在Rt △ODH 中，OD 2＝OH 2＋DH 2，∴(x ＋3)2＝x 2＋42，解得x ＝76，即OH ＝76.8. C 【解析】设弓形高为CD ，则DC 的延长线过点O ，且OC ⊥AB ，∵半径为13，∴OB ＝OD ＝13，∵弓形高为8，∴CD ＝8，在Rt △OBC 中，根据勾股定理得OC 2＋BC 2＝OB 2，∴BC ＝OB 2－OC 2＝132－（13－8）2＝12，由垂径定理得AB ＝2BC ＝24 cm .9. 8010. 70 【解析】设点E 是优弧AC ︵(不与A ，C 重合)上的一点，连接AE 、CE ，∵∠AOC ＝140°，∴∠AEC ＝70°，∴∠ABC ＝180°－∠AEC ＝110°，∴∠CBD ＝70°.11. 5 【解析】如解图，连接OA ，由垂径定理可知AC ＝BC ＝12AB ＝4，在Rt △AOC 中，AC ＝4，OC ＝3，则由勾股定理可得OA ＝5，即⊙O 的半径为5 cm.12. 43 【解析】如解图，作OD ⊥BC 于点D.由题意可得，根据“同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”可得∠BOC ＝2∠BAC ，又∵∠BAC 与∠BOC 互补，∴∠BAC ＋∠BOC ＝3∠BAC＝180°，∴∠BAC ＝60°，∠BOC ＝120°，又∵OB ＝OC ＝4，∴∠OBC＝∠OCB ＝180°－120°＝30°，∴BD ＝BO·cos30°＝4×3＝2 3.由垂径定理可得，BC ＝2BD ＝4 3.13. (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AMC ＝∠AED ＝∠AEN ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BCD ＝∠BAM ，∴∠BAM ＝∠BAD ，在△ANE 与△ADE 中，⎩⎨⎧∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∴△ANE ≌△ADE(ASA )，∴AD ＝AN ；(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD ，∴AE ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，r ＝OD ＝OE ＋ED ＝2x －1， 连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，∵在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝AO 2，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1， ∴(22)2＋(x －1)2＝(2x －1)2，解得x ＝2，∴r ＝2x －1＝3，即⊙O 的半径为3.能力提升训练1. D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，在优弧AB ︵上任取一点E ，连接AE ，BE ，在劣弧AB ︵上任取一点F ，连接AF ，BF ，过O 作OD ⊥AB ，则D 为AB 的中点，∵AB ＝53，∴AD ＝BD ＝53，又∵OA ＝OB ＝5，OD ⊥AB ，∴OD 平分∠AOB ，即∠AOD ＝∠BOD ＝12∠AOB ，∵在Rt △AOD 中，sin ∠AOD ＝AD OA ＝5325＝32，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝120°，又圆心角∠AOB 与圆周角∠AEB 所对的弧都为AB ︵，∴∠AEB ＝12∠AOB ＝60°，∵四边形AEBF 为⊙O 的内接四边形，∴∠AFB ＋∠AEB ＝180°，∴∠AFB ＝180°－∠AEB ＝120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°.2. D 【解析】如解图，连接CD ，在Rt △OCD 中，OD ＝3，OC ＝4，根据勾股定理可得CD ＝OD 2＋OC 2＝32＋42＝5，∴在Rt △OCD中，sin ∠OCD ＝OD DC ＝35.根据“同弧所对的圆周角相等”可得出∠OBD ＝∠OCD ，∴sin ∠OBD ＝s in ∠OCD ＝35.3. A 【解析】∵BC ︵所对的圆周角是∠BFC ，所对圆心角是∠A ，∠BFC ＝20°，∴∠A ＝2∠BFC ＝40°，∵EF 是AB 的垂直平分线，且点D 在EF 上，∴DB ＝DA ，∴∠ABD＝∠A ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝180°－∠A 2＝70°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.4. A 【解析】如解图，连接AO 、BO ，∵PA 、PB分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，又∵∠P ＝80°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－80°＝100°，由圆周角定理得∠C ＝12∠AOB ＝50°.5. 60°或120° 【解析】当D 为优弧AC ︵上一点时，∵∠ADC ＝12∠AOC ＝12∠ABC ，∠ABC＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝120°，∠ADC ＝60°；当D 为劣弧AC ︵上一点时，∠ADC ＝∠ABC ＝120°.综上，∠ADC ＝60°或120°.6. 证明：(1)∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°，∴在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝∠EFA －∠ABC ＝30°，∴∠FBD ＝∠FDB ，∴FB ＝FD ，∴△DFB 是等腰三角形；(2)设AF ＝a ，则AD ＝7a ，AE ＝EF ＝a ，如解图，连接OC ，则△AOC 是等边三角形，由题意得，DF ＝BF ＝2－a ，∴DE ＝DF －EF ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，∵在Rt △ADC 中，DC ＝AD 2－AC 2＝7a 2－1，∴在Rt △DCE 中，tan ∠CDE ＝tan30°＝CE ＝1－a 7a 2－1＝3， 解得：a 1＝－2(舍去)，a 2＝12，在等边△AOC 中，OA ＝1，∴AF ＝12＝12OA ，则根据等边三角形的性质可得CF ⊥OA ，即CF ⊥AB . 拓展培优训练1. 解：如解图，连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°， 又∵CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，∴Rt △CDE ∽Rt △COD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴CE ·CO ＝CD 2，CD 2＝AD ·BD ，∴CE ·CO ＝AD·BD ，设AD ＝a ，DB ＝b ，a ，b 为正整数，则CO ＝a ＋b2，又∵CE ＝10，∴10·a ＋b2＝ab ，整理得：(a －5)(b －5)＝25，∵a ＞b ，∴a －5＞b －5＞0，得a －5＝25，b －5＝1；∴a ＝30，∴AD＝30.。
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∵AH＝2AC＝ 3，
AH ∴OA＝sin60°＝2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠MBC＝60°. ∵BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°. ∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°. ∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM， ∴AB＋BC＝BM.
基础题组
1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2，若 OB＝ 3，则可以得到的正确图形可
能是(A)
2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心作圆．如果⊙A 与线
则∠D＝27°．
基础题组
1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
A︵B
A︵B
2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°.若 P 为 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)
A．30°
3 切，连接 OC，则 tan∠OCB＝ 5 ．
中考数学复习 圆 第29讲 圆的基本性质试题(含解析)
第29讲 圆的基本性质1. (2012，河北)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB＝90°，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE.∴D选项正确．2. (2015，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3. (2016，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)第3题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确.针对训练1 如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接OD，则∠DOC＝70°－45°＝25°，∠AOD＝160°－70°＝90°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠A＝45°.∵∠ADO＝∠B＋∠DOB，∴∠B＝45°－25°＝20°.训练1答图针对训练2 如图，点P 在线段AB 上，PA ＝PB ＝PC ＝PD .当∠BPC ＝60°时，∠BDC 的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】如答图，连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q，则点Q即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C，使A，B，C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】如答图，连接AC，CB.根据题意可证得△AOC∽△COB，∴OCOA＝OBOC，即OC2＝OA·OB.∴OC2＝1×3＝3.解得OC＝ 3.故点C的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】对于甲，易知ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形．进而易知EM为CD的垂直平分线．∴点O为两垂直平分线的交点，即点O为△CDE的外心．∴点O为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC，QD为此圆的直径．∴PC与QD的交点O为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，C是优弧AB 上一点(不与点A，B重合)，则cos C的值为(D)例3题图A. 43B.34C.35D.45【解析】如答图，作直径AD，连接BD.∵AD为直径，∴∠ABD＝90°.在Rt△ABD中，∵AD＝10，AB＝6，∴BD＝102－62＝8.∴cos D＝BDAD＝810＝45.∵∠C＝∠D，∴cos C＝45.例3答图针对训练5 (2018，石家庄模拟)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】如答图，作直径CF，连接BF，则∠FBC＝90°.∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC＋∠BAF ＝180°，∴∠DAE ＝∠BAF .∴弧DE ＝弧BF .∴BF ＝DE ＝6.∴BC ＝CF 2－BF 2＝8.训练5答图针对训练6 (2018，通辽)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】 如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，安顺，导学号5892921)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C)A. 25 cm B. 4 5 cm C. 2 5 cm 或4 5 cm D. 2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)．∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．当点C 的位置如答图②所示时，同理可得OM＝3 cm.∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．∴在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝ 25(cm)．综上所述，AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC. 若∠A ＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)第1题图A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°【解析】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°.∴∠AOC＝2∠B＝50°.∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为弧AB的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(D)第2题图A. 12B. 5C.532D. 53【解析】如答图，连接OA，OC，OC与AB相交于点E.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.由AB为弦，C为弧AB的中点，易知OC⊥AB，AE＝BE.在Rt△OAE中，AE＝OA·sin∠AOC＝5×32＝532，∴AB＝2AE＝5 3.第2题答图3. (2018，白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接DC.∵C(3，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝ 3.∴∠DCO＝30°.∴∠OBD＝∠DCO＝30°.第3题答图4. (2018，南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝32°.∵BC是直径，∴∠CAB＝90°.∴∠B＝90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，盐城)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】由圆周角定理，得∠ABC＝∠ADC＝35°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°.7. (2018，苏州)如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】 ∵∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝180°－40°＝140°.∴∠D ＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，青岛)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°C. 35.5°D. 35°【解析】 如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】 如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长是(D)第10题图A. 3 cmB.6 cm C. 2.5 cm D.5 cm【解析】 如答图，连接OB .∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO ，BD ＝8，∴BE ＝DE ＝4.∵AE ＝2，∴在Rt △OEB 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即OE 2＋42＝(OE ＋2)2.解得OE ＝3.∴OB ＝3＋2＝5.∴EC ＝5＋3＝8.在Rt △EBC 中，BC ＝BE 2＋EC 2＝42＋82＝4 5.∵OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠CEB ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△OFC ∽△BEC .∴OF BE ＝OC BC ，即OF 4＝545.解得OF ＝ 5.所以OF 的长是 5 cm.第10题答图二、填空题11. (2018，广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°.【解析】由圆周角定理，得弧AB所对的圆周角为50°.12. (2018，大连模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm，油的深度DC为30 cm，则油面宽度AB是120 cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD＝120 cm.13. (2018，烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．第13题图【解析】 如答图，连接AB ，CB ，作AB ，CB 的垂直平分线，相交于点D .所以点D 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心．所以点D 的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，嘉兴)如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（533）cm.第14题图【解析】如答图，连接OC，OD，OC与AD相交于点E.∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC －OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB . ∴AC AB＝AD AC.∴AD ＝AC 2AB＝325＝95(cm)． (2)当E 是AC 的中点时，直线ED 与⊙O 相切．理由：如答图，连接OD.∵DE是Rt△ADC的中线，∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD.∴直线ED与⊙O相切．第15题答图16. (2018，宜昌，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．(2)解：如答图，连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15.∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】如答图．∵OA⊥BC，∴CH＝BH，弧AB＝弧AC.∴∠AOB＝2∠CDA＝60°.∴BH ＝OB·sin∠AOB＝ 3.∴BC＝2BH＝2 3.第1题答图2. (2018，杭州)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交⊙O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DFA ＝ 30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA ＝60°.∴∠DFA ＝30°.3. (2018，温州，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC .∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC .∵∠ABD ＝∠AED ，∴∠ABD ＝∠ACD .∴AB ＝AC .∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2，∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ，∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13.∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3，∴BC ＝3 2.第3题答图。
初中数学：圆的基本性质测试题(含答案)
初中数学：圆的基本性质测试题（含答案）一、选择题(每小题4分，共24分)1．如图G －3－1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°2．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等G －3－1G －3－23．如图G －3－2，在两个同心圆中，大圆的半径OA ，OB ，OC ，OD 分别交小圆于点E ，F ，G ，H ，∠AOB ＝∠GOH ，则下列结论中，错误的是( )A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵ C ．∠AOC ＝∠BOD D.AB ︵＝GH ︵4．已知正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．2 35．在如图G－3－3所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船(S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60°C．大于30° D．小于30°G－3－3G－3－46．如图G－3－4，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC 平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( ) A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥C．②③④⑥ D．①③④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)7．如图G－3－5，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A＝________°.G－3－5G－3－68．如图G－3－6，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝________°.9．如图G－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．G－3－7G－3－810．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图G－3－8所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________°.11．如图G－3－9，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC.若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为________．G－3－9图G－3－1012．如图G－3－10，已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O，则B，D 两点间的距离为__________．三、解答题(共52分)13．(12分)如图G－3－11所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．图G－3－1114．(12分)如图G－3－12，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC 的平分线交AD于点E，连结DB.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．图G －3－1215．(12分)作图与证明：如图G －3－13，已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，请完成下列任务：(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；(2)连结BF ，CE ，判断四边形BCEF 的形状，并加以证明．图G －3－1316．(16分)如图G －3－14，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD ︵上任意一点，连结DE ，AE .(1)求∠AED的度数；(2)如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连结AF，AF＝1，AE＝4，求DE 的长．图G－3－14详解详析1．C 2.A 3.D 4.C 5.D6．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，即AD⊥BD，∴①正确；∵OC∥BD，∴∠C＝∠CBD.又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠ABD，∴③正确；∵∠D＝90°，OC∥BD，∴∠CFD＝∠D＝90°，即OC⊥AD，∴AF＝DF，∴④正确；又∵AO＝BO，∴OF是△ABD的中位线，∴OF＝12BD，即BD＝2OF，∴⑤正确．故选D.7．45 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝12(180°－∠C)＝45°.8．509．4 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6，AB＝10，∴AC ＝102－62＝8.∵OD⊥BC于点D，∴DB＝DC.又∵OA＝OB，∴OD＝12AC＝4.10．3611．4 3 [解析] ∵∠BAC＋∠BOC＝180°，2∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°.过点O作OD⊥BC于点D，则∠BOD＝12∠BOC＝60°.∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝OB2－OD2＝42－22＝2 3，∴BC＝2BD＝4 3.12．4 3 [解析] 如图，连结OB，OC，OD，BD，BD交OC于点P，∴∠BOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD ＝120°，BC ︵＝CD ︵， ∴OC ⊥BD . ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝30°. ∵OB ＝4，∴PB ＝OB ·cos ∠OBD ＝32OB ＝2 3， ∴BD ＝2PB ＝4 3.13．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠DCA ＝∠BCD ， ∴AD ︵＝BD ︵， ∴AD ＝BD ，∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝3 2，∴四边形ADBC 的面积＝S △ABC ＋S △ABD ＝12AC ·BC ＋12AD ·BD ＝12×2×4 2＋12×32×3 2＝9＋4 2.故四边形ADBC的面积是9＋4 2.14．解：(1)证明：连结CD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.(2)∵∠BAC＝90°，∴BC是圆的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝BD2＋CD2＝4 2.∴△ABC的外接圆半径为2 2.15．解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O 于点B ，F ，C ，E ，连结AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ，则正六边形ABCDEF 即为所求．(2)四边形BCEF 是矩形．证明：如图②，连结OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝DE ＝DC ＝FE ＝BC ，∴AB ︵＝AF ︵＝DE ︵＝DC ︵，∴BF ︵＝CE ︵，∴BF ＝CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠EDC ＝120°.∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEF ＝∠DEF －∠DEC ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形．16．解：(1)如图①，连结OA ，OD .∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝12∠AOD＝45°.(2)如图②，连结CF，CE，CA，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∠AED＝∠BFC＝45°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°.又∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝AE2＋CE2＝17，∴AD＝22AC＝342.∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝EH，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2＋DH2，∴344＝(4－x)2＋x2，解得x＝32或x＝52，∴DE＝2DH＝3 22或5 22.。
初中数学知识点031圆的基本性质真题及答案
、选择题1. （2016甘肃兰州，7, 4分）如图，在O O中，点C是AB的中点，/ A=50°,则/ BOC=（）A. 40° B . 45° C. 50° D . 60°【答案】A【逐步提示】因为半径OA=OB，故可先根据等边对等角求得/ B的度数，再根据三角形内角和定理求得/ AOB 的度数，最后根据等弧所对圆心角相等求得/ BOC的度数.【详细解答】解：因为OA=OB，所以/ B= / A=50 °，所以/ AOB=180 °—/ B-Z A=80°,在O O中，因为点1C 是AB 的中点，所以AC=CB，所以Z BOC= Z AOC，因为Z BOC + Z AOC= Z AOB，所以Z BOC= Z 2AOB=40 °，故选择A .【解后反思】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定；同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等边对等角”及“三线合一”来进行证明和计算.【关键词】圆心角；等弧所对圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理2. （2016甘肃兰州，10, 4分）10.如图，四边形ABCD内接于O O,四边形ABCO是平行四边形，则Z ADC= （）A. 45° B . 50° C. 60° D . 75°【答案】C【逐步提示】先找出同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合平行四边形对角相等得到Z B与Z ADC的倍数关系，最后根据“圆内接四边形对角互补”建立方程求出Z ADC的度数.1【详细解答】解：•••圆周角Z ADC与圆心角Z AOC所对的弧都是ABC ,•••/ ADC= Z AOC，即Z AOC=2 Z ADC ,2•••四边形ABCO 是平行四边形，•••/ AOC= Z B,•••/ B=2 Z ADC ,v四边形ABCD内接于O O,「・Z B +ZADC=180 °，即卩2Z ADC +Z ADC=180°，解得Z ADC =60°,故选择C.【解后反思】看到求与圆有关的角，就想到：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）同弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；（3）圆的内接四边形的对角互补；（4 ）同圆的半径相等，等边对等角等•【关键词】圆周角定理；圆内接四边形性质；平行四边形性质；3. （2016广东茂名，9, 3分）如图，A、B、C是O C上的三点，且Z B=75 °，则Z AOC的度数是（）A . 150°B . 140°C . 130°D . 120【答案】A【逐步提示】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系. 看出，/ AOC 、/ B 分别是O O 中AC 所对的圆心角、圆周角，利用圆周角定理可得/ A0C=2/ B ,代入/ B 的度数即可得/ AOC 的度数.【详细解答】 解：•••/ AOC 、/ B 分别是O 0中AC 所对的圆心角、圆周角，•••/ A0C=2 / B.v/ B=75 °,二/ AOC=150 °，故选择 A .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时， 一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，禾U 用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径 这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一结论. 【关键词】圆周角定理4. （ 2016贵州省毕节市，12, 3分）（2016贵州省毕节市，13, 3分）如图，点 A , B , C 在O O 上，/ A = 36°, / C = 26°，则/ B =（）A.100 °B.72 °C.64 °D.36 °【答案】C【逐步提示】 本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是求出/ O •①根据圆周角定理求出/O ;②根据三角形内角和定理求出/OEC ，进而由对顶角性质求出/ AEB ;③根据三角形内角和定理求出/B .【详细解答】解：如图，设 OB 与AC 交点为E ,因为/ A = 36°,所以，/ O = 72°所以/ AEB = Z OEC = 180-Z O -Z C = 180°— 72° - 28° = 80° 所以，/ B = 180° — / AEB -Z A = 180° — 80° - 36° = 64° 故选择 C.从图形中可以AAC（第12题图）【解后反思】本题易错点是由于不熟悉圆周角定理，不能发现/ A与/ O的关系，导致无法找到/ B与/A、/C的关系.【关键词】圆周角；三角形内角和定理5. （2016湖北省黄石市，8, 3分）如图所示，O O的半径为13，弦AB的长度是24, ON丄AB，垂足为N,则ON = ...................................................................... （）A. 5B. 7C. 9 D . 11【答案】A.【逐步提示】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半.【详细解答】解：因为ON丄AB，所以AN =丄AB = - X 24= 12，/ ANO = 90°在Rt△ AON中，由勾股定理2 2得ON= • OA2 - AN2= ,132 - 122= 5,故选择A .【解后反思】在解答与圆有关的计算问题时，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使用•如图，设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d，弓形高为h，则（空）2• d2= r2，h = r「d，这两个等式是关于四2【关键词】垂径定理；勾股定理.6. （2016湖北宜昌，9，3分）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）（第9题）A. / NOQ42oB. / NOP=32oC. / PON比/ MOQ大D. / MOC比/ MOP互补【答案】C【逐步提示】本题考查了圆心角，解题的关键是识别圆心角度数，弄清始边与终边，正确读出圆心角的度数.【详细解答】解：结合各选项分别判断，选项 A / NOQ=38o，选项B中/ NOP=8o，选项C中，正确，选项D中/ MOC比/ MOF没有互补，故选择C .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，禾U用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件.【关键词】圆心角；量角器；7. （2016江苏省无锡市，6, 3分）如图，AB是O O的直径，AC切O O于点D，若/ C = 70°，则/ AOD的度数为（）A. 70 °B. 35°C. 20°D. 40°【答案】D【逐步提示】本题考查了切线的性质、同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，解题的关键是知道由切线想垂直•本题的思路是由相切得到/ CAB= 90。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题（含答案） 专题1圆的基本性质考点示例1．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)A ．AE>BE B.＝ C ．∠D＝∠AEC D ．△ADE∽△CBEAD ︵ BC ︵ 122．如图，点O 为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，AB ︵ 则∠D＝27°．基础题组1．(2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°.若P 为上一点，AB ︵ AB ︵ ∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°3．(2019·保定二模)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．90°4．(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ︵ AB ＝40 m ，点C 是的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径AB ︵ 为(A)A ．25 mB ．24 mC ．30 mD ．60 m5．(2019·德州)如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°6．(2019·廊坊安次区二模)如图，点A 是量角器直径的一个端点，点B 在半圆周上，点P 在上，点Q 在AB 上，且PB ＝PQ.若点P 对应140°(40°)，则∠PQB 的度数为(B)AB ︵ A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°7．(2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是(B)A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°8．(2018·衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF⊥BC 于点F.若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是(D)A ．3 cm B. cm C ．2.5 cm D. cm659．(2019·宁夏)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为C ，将劣弧沿弦AB 折叠交于OCAB ︵ 的中点D.若AB ＝2，则⊙O 的半径为3．10210．(2019·盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且为50°，则∠E＋∠C＝155°．AB ︵能力提升11．(2019·十堰)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交CB 的延长线于点E.若BA 平分∠DBE，AD ＝5，CE ＝，则AE ＝(D)13A ．3 B ．3 C ．4 D ．223312．(2019·威海)如图，⊙P 与x 轴交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C 的纵坐标为(B)A.＋ B ．2＋ C ．4133232D ．2＋2213．(2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为．1214．(2019·包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC＝120°，弦AC ＝2，弦3BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1)求⊙O 半径的长；(2)求证：AB ＋BC ＝BM.解：(1)连接OA ，OC ，过点O 作OH⊥AC 于点H ，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠AOH＝∠AOC＝60°.12∵AH＝AC ＝，123∴OA＝＝2.AHsin60°∴⊙O 半径的长为2.(2)证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠MBA＝∠MBC＝60°.∵BE＝BC ，∴△EBC 是等边三角形．∴CE＝CB ＝BE ，∠BCE＝60°.∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD.∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°.∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM.∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME.∵ME＋EB ＝BM ，∴AB＋BC ＝BM.专题2与圆有关的位置关系考点示例1．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧分别MN ︵ 交OA ，OB 于点M ，N.(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP′.求证：AP ＝BP′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与相切，求点T 到OA 的距离；MN ︵ (3)设点Q 在优弧上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．MN ︵解：(1)证明：∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB ，OP ＝OP′，∴△AOP≌△BOP′(SAS)．∴AP＝BP′.(2)连接OT ，过点T 作TH⊥OA 于点H.∵AT 与相切，∴∠ATO＝90°.MN ︵ ∴AT＝＝＝8.OA2－OT2102－62∵OA·TH ＝AT·OT ，1212∴TH＝＝＝.AT·OT OA 8×610245∴点T 到OA 的距离为.245(3)10°或170°.(注：当OQ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)基础题组1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径OA 长为，若OB ＝，则可以得到的正确图形可23能是(A)2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为(C)A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条3．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心作圆．如果⊙A 与线段BC 没有公共点，那么⊙A 的半径r 的取值范围是(D)A ．3≤r≤5B ．3＜r ＜5C ．r ＝3或r ＝5D ．0＜r ＜3或r ＞54．(2019·保定莲池区一模)以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P.若点P 的读数为35°，则∠CBD 的度数是(C)A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°5．(2019·舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为(B)A ．2 B. C. D.32126．(2019·唐山路北区三模)如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E.若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长度为(B)A ．5B ．6 C. D.301127．(2018·石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M ，N ，O 均为格点，点N 在⊙O 上．若过点M 作⊙O 的一条切线MK ，切点为K ，则MK ＝(B)A ．3B ．2C ．5 D.25348．(2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．9．(2019·常州)如图，半径为的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相3切，连接OC ，则tan∠OCB＝．3510．(2019·盐城)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点M ，N ，过点N 作NE⊥AB，垂足为E.(1)若⊙O 的半径为，AC ＝6，求BN 的长；52(2)求证：NE 与⊙O 相切．解：(1)连接DN ，ON ，∵⊙O 的半径为，∴CD＝5.52∵∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴BD＝CD ＝AD ＝5.∴AB＝10.∴BC＝＝8.AB2－AC2∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CND＝90°.又∵BD＝CD ，∴BN＝NC ＝4.(2)证明：由(1)知，BD ＝CD ，∴∠BCD＝∠B.∵OC＝ON ，∴∠BCD＝∠ONC.∴∠ONC＝∠B.∴ON∥AB.∵NE⊥AB，∴ON⊥NE.∵ON 为⊙O 的半径，∴NE 与⊙O 相切．11．(2018·安顺)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D.(1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos∠ABC＝，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．23解：(1)证明：作OE⊥AB 于点E ，连接OD ，OA.∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC 与半圆O 相切于点D ，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE ，即OE 是半圆O 所在圆的半径．∴AB 是半圆O 所在圆的切线．(2)∵AB＝AC ，点O 为BC 的中点，∴AO⊥BC.在Rt△AOB 中，OB ＝AB·cos∠ABC＝12×＝8.23根据勾股定理，得OA ＝＝4.AB2－OB25∵S △AOB ＝AB·OE ＝OB·OA ，1212∴OE＝＝，即半圆O 所在圆的半径为.OB·OA AB 853853能力提升12．(2019·张家口一模)如图，在△ABC 中，BC ＝4，⊙P 与△ABC 的边或边的延长线相切．若⊙P 的半径为2，△ABC 的面积为5，则△ABC 的周长为(C)A ．8B ．10C ．13D ．1413．(2019·唐山滦南县一模)如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为(C)A ．3B ．4C ．3或4D ．不确定3314．(2019·石家庄新乐市二模)如图，在扇形AOB 中，OA ＝OB ＝4，∠AOB＝120°，点C 是上的一个动点(不与点A ，B 重合)，射线AD 与扇形AOB 所在⊙O 相切，点P 在射线AD 上，AB ︵ 连接AB ，OC ，CP.若AP ＝2，则CP 的取值范围是2－4≤PC＜6．37 15．(2019·河池)如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，CF 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点F.(1)若AE ＝DC ，∠E＝∠BCD，求证：DE ＝BC ；(2)若OB ＝2，AB ＝BD ＝DA ，∠F＝45°，求CF 的长．解：(1)证明：∵AE＝DC ，∴＝.AE ︵ DC ︵ ∴∠ADE＝∠DBC.在△ADE 和△DBC 中，{∠ADE ＝∠DBC ，∠E ＝∠BCD ，AE ＝DC ，)∴△ADE≌△DBC(AAS)．∴DE＝BC.(2)连接CO 并延长交AB 于点G ，作OH⊥AB 于点H ，则∠OHG＝∠OHB＝90°.∵CF 与⊙O 相切于点C ，∴∠FCG＝90°.∵∠F＝45°，∴△CFG，△OGH 是等腰直角三角形．∴CF＝CG ，OG ＝OH.2∵AB＝BD ＝DA ，∴△ABD 是等边三角形．∴∠ABD＝60°.∴∠OBH＝30°.∴OH＝OB ＝1.∴OG＝.122∴CF＝CG ＝OC ＋OG ＝2＋.216．(2019·绍兴)在屏幕上有如下内容：如图，△ABC 内接于⊙O，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD 的长．请你解答；(2)以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD ＝1，就可以求出AD 的长．小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连接OC ，就可以证明△ACB 与△DCO 全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线添字母)，并解答．解：(1)连接OC ，∵CD 为切线，∴OC⊥CD.∴∠OCD＝90°.∵∠D＝30°，∴OD＝2OC ＝2.∴AD＝AO ＋OD ＝1＋2＝3.(2)答案不唯一，如：添加∠DCB＝30°，求AC 的长．解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB.∵∠ACO＝∠A，∴∠A＝∠DCB＝30°.在Rt△ACB 中，BC ＝AB ＝1.12∴AC＝BC ＝.33 专题3三角形的内心与外心考点示例1．(2015·河北T6·3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE2．(2016·河北T9·3分)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B) A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心3．(2018·河北T15·2分)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB 平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．24．(2018·河北T23·9分)如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α.(1)求证：△APM≌△BPN；(2)当MN＝2BN时，求α的度数；(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．解：(1)(2)解答过程见本书P68T4(3)∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN 是锐角三角形．∵∠B＝50°，∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°.5．(2019·河北T23·9分)如图，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ＝6，BC ＝DE ，∠B＝∠D＝30°，边AD 与边BC 交于点P(不与点B ，C 重合)，点B ，E 在AD 异侧，I 为△APC 的内心．(1)求证：∠BAD＝∠CAE；(2)设AP ＝x ，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；(3)当AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m ，n 的值． 解：(1)(2)解答过程见本书P68T2(3)如图，设∠BAP＝α，则∠APC＝α＋30°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°－α.∵I 为△APC 的内心，∴AI，CI 分别平分∠PAC，∠PCA.∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA.1212∴∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－(∠PAC＋∠PCA)12＝180°－(90°－α＋60°)12＝α＋105°.12∵0°＜α＜90°，∴105°＜α＋105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°.12∴m＝105，n ＝150.基础题组1．(2019·保定一模)如图，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是(D)A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点2．(2019·廊坊广阳县一模)在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A，B，C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的(D)A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心3．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D，E在BC上，△ADE是等边三角形．若点O是△ABC的内心，则下列说法正确的是(C)A．点O是△ADE的内心 B．点O是△ADE的外心C．点O不是△ABE的内心 D．点O是△ABC的外心【解析】 易知OA平分∠BAC，则OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．4．(2018·石家庄二模)如图1，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN∥AB，如图2，则点O是△ABC的(B)A．外心B．内心C．三条中线的交点 D．三条高的交点 图1 图2 5．(2019·秦皇岛海港区一模)如图是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，AI的延长线与圆相交于点D，连接BI，BD，DC.则下列说法中错误的一项是(D)A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠ABI绕点B顺时针旋转一定能与∠IBC重合D．线段CD绕点C顺时针旋转一定能与线段CA重合6．(2019·石家庄模拟)如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC.若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A)A．174° B．176° C．178° D．180°7．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝44°，点D，点E分别从点B，点C同时出发，在线段BC上做等速运动，到达C点，B点后运动停止．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝BE，求∠DAE的度数；(3)若△ACE的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．解：(1)证明：∵点D，点E分别从点B，点C同时出发，在线段BC上做等速运动，∴BD＝CE.∴BD＋DE＝DE＋CE，即BE＝CD.∵∠B＝∠C＝44°，∴AB＝AC.∴△ABE≌△ACD(SAS)．(2)∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB.∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE.∴∠ADE＝∠AEB.∴∠BAE＝∠ADE.∴∠BAD＋∠DAE＝∠BAD＋∠B.∴∠DAE＝∠B＝44°.(3)∵△ACE 的外心在其内部，∴△ACE 是锐角三角形．∴∠BDA＝∠AEC＜90°.∵∠B＝44°，∴∠BAD＝180°－44°－∠BDA＜90°.∴∠BDA＞46°.∴46°＜∠BDA＜90°.能力提升8．(2019·河北一模)如图，点O 是△ABC 的内心，M ，N 是AC 上的点，且CM ＝CB ，AN ＝AB.若∠ABC＝100°，则∠MON＝(C)A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°9．(2019·唐山路南区三模)如图，O 为锐角三角形ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中E 点在△ABC 的外部，判断下列叙述不正确的是(D)A ．O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心B ．O 是△BEC 的外心，O 不是△BCD 的外心C ．O 是△AEC 的外心，O 不是△BCD 的外心D ．O 是△ADB 的外心，O 不是△ADC 的外心10．(2019·石家庄新华区校级模拟)如图，将Rt△ABC 平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°.使得点C′与△ABC 的内心重合，已知AC ＝4，BC ＝3，则阴影部分的面积为(D)A. B. C. D.25242552252411．(2019·保定一模)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点M 是△ABC 的中线AD 上一点，以M 为圆心作⊙M.设半径为r.(1)如图1，当点M 与点A 重合时，分别过点B ，C 作⊙M 的切线，切点为E ，F.求证：BE ＝CF ；(2)如图2，若点M 与点D 重合，且半圆M 恰好落在△ABC 的内部，求r 的取值范围；(3)当M 为△ABC 的内心时，求AM 的长．解：(1)证明：连接AE ，AF ，∵BE 和CF 分别是⊙M 的切线，∴∠BEA＝∠CFA＝90°.∵AB＝AC ，AE ＝AF ，∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)．∴BE＝CF.(2)过点D 作DG⊥AB 于点G ，∵AB＝AC ＝5，AD 是中线，∴AD⊥BC，BD ＝BC ＝4.12∴AD＝＝3.AB2－BD2∴BD·AD ＝AB·DG.∴DG＝.1212125∴当0＜r ＜时，半圆M 恰好落在△ABC 的内部．125(3)当M 为△ABC 的内心时，如图，过点M 作MH⊥AB 于点H ，作MP⊥AC 于点P ，则有MH ＝MP ＝MD.连接BM ，CM ，∴AB·MH ＋BC·MD ＋AC·MP ＝AD·BC.12121212∴r＝＝＝.AD·BC AB ＋AC ＋BC 8×35＋5＋843∴AM＝AD －DM ＝.53专题4 与圆有关的计算考点示例1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD ＝2.则S 阴影＝(D)3A ．π B ．2π C. D.π233232．如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S 扇形＝4cm 2.3．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝(C)S 阴影S 空白A ．3 B ．4 C ．5 D ．6基础题组1．(2019·长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(C)A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π2．(2019·成都)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，P 为上的一点(点P 不与点D 重合)，DE ︵ 则∠CPD 的度数为(B)A ．30°B ．36°C ．60°D ．72°3．(2019·唐山滦南县二模)边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为(A)A ．24°B ．48°C ．60°D ．72°4．(2019·通辽)如图，等边三角形ABC 内接于⊙O.若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于(C)A. B. C. D ．2ππ32π34π35．(2019·唐山乐亭县模拟)某同学以正六边形三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径，向外作三段圆弧，设计了如图所示的图案．已知正六边形的边长为1，则该图案外围轮廓的周长为(C)A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．(2019·保定竞秀区一模)如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为(D)A ．10B ．9C ．8D ．77．(2019·宁波)如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为(B)A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为cm(结果保留8π3π)．9．(2019·广东)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的与BC 相切于点D ，分别交AB ，ACEF ︵ 于点E ，F.(1)求△ABC 三边的长；(2)求图中由线段EB ，BC ，CF 及所围成的阴影部分的面积．EF ︵解：(1)AB ＝＝2，22＋6210AC ＝＝2，62＋2210BC ＝＝4.42＋825(2)由(1)得AB 2＋AC 2＝BC 2，∴∠BAC＝90°.连接AD ，则AD ＝＝2.22＋425∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形AEF＝AB·AC －π·AD 21214＝20－5π.能力提升10．(2019·大庆)如图，在正方形ABCD 中，边长AB ＝1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为(B)A. B. C ．π D ．2ππ4π211．(2019·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是(异于A ，B)上两点，C 是上一动点，AB ︵ MN ︵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E.当点C 从点M 运动到点N 时，则C ，E 两点的运动路径长的比是(A)A. B. C. D.2π2325212．(2019·保定高阳县模拟)如图，半圆O 的直径AB ＝20，将半圆O 绕点B 按顺时针方向旋转得到半圆O′，A′B 与交于点P ，设旋转角为α(0°＜α＜90°)．AB ︵ (1)如图1，当α＝30°时．①求BP 的长；②求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(2)如图2，在AB 的延长线上有一点C ，使BC ＝OB ，过点C 作CD⊥AC 于点C ，当与12A ′B ︵ CD 相切于点E 时，点O′恰好在上，直接写出的长．AB ︵ BE ︵解：(1)①连接AP ，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠APB＝90°.又由旋转的性质得∠ABP＝30°，∴BP＝AB·cos30°＝20×＝10.323②连接OP.∵AB＝20，∠ABP＝30°，∴OB＝10，∠BOP＝120°.∴S 阴影＝S 半圆O′－(S 扇形BOP －S △BOP )＝π×102－(－×10×sin30°×10)12120×π×102360123＝50π－(－25)100π33＝π＋25.5033(2)的长为＝π.BE ︵ 60×π×1018010313．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围12成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB 时，OC 平分AB)可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．14．(2019·孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝0.14(π取3.14)．万能解题模型(五) 与面积有关的计算 方法指导计算规则图形的面积时，常常直接利用面积公式进行计算．常见的面积公式有：①三角形的面积＝×底×高＝×周长×内切圆的半径；②等边三角形的面积＝×边长的平方；121234③平行四边形的面积＝底×高；④矩形的面积＝长×宽；⑤菱形的面积等于对角线之积的一半；⑥正方形的面积等于边长的平方；⑦圆的面积＝πR 2；⑧扇形的面积＝＝lR ；⑨相似三角形面积的比等于相似比的平方．n πR2360121．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF.若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于(B)A ．2B ．6C ．7D ．102．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点．若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是(A)A. B ．2 C ．2 D ．4333．(2019·保定竞秀区二模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是(C)A ．5∶2B ．3∶2C ．3∶1D ．2∶14．(2019·`乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为 (A)A. B. C. D.16131514类型2 利用和差法间接求面积5．(2019·山西)如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝2，BC ＝2，以AB 的中点O 3为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A.－B.＋ C ．2－π D ．4－534π2534π233π26．(2018·唐山路北区二模)如图为两正方形ABCD ，BPQR 重叠的情形，其中点R 在AD 上，CD 与QR 相交于点S.若两正方形ABCD ，BPQR 的面积分别为16，25，则四边形RBCS 的面积为(C)A. B. C. D ．81722837787．(2019·吉林)如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°.D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是AB ︵ 25π－48(结果保留π)．8．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的点，AD ＝2BD ，BE ＝CE ，设△ADF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.若S △ABC ＝6，则S 1－S 2的值为1．类型3 利用整体思想求阴影部分面积9．(2019·宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(A)A ．6－πB ．6－2πC ．6＋π 333D ．6＋2π3类型4 利用等积变换法间接求面积方法指导当直接求面积较麻烦或根本求不出时，可通过图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件，从而求面积．(1)通过轴对称变换求面积10．(2018·宜昌)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1 B. C. D.121314(2)通过平移变换求面积11．(2017·阿坝州)如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为12．(3)通过旋转变换求面积12．如图，直线a ，b 垂直相交于点O ，曲线C 关于点O 成中心对称，点A 的对称点是点A′，AB⊥a 于点B ，A′D⊥b 于点D.若OB ＝3，OD ＝2，则阴影部分的面积之和为6．(4)利用全等三角形进行转换求面积13．(2019·宜宾)如图，∠EOF 的顶点O 是边长为2的等边△ABC 的重心，∠EOF 的两边与△ABC 的边交于E ，F ，∠EOF＝120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成的阴影部分的面积是(C)A. B. C. D.322353334(5)利用“等底等高等积”进行转换14．(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是(A)A.π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π252。
北京初中中考数学习题精选：圆的基本性质
一、选择题1.〔 2021 北京朝阳区二模〕 5.⊙O 是一个正n 边形的外接圆，假设⊙ O 的半径与这个正n 边形的边长相等，那么n的值为〔 A 〕 3〔B〕4〔C〕5〔D〕6答案 :D2．〔 2021 北京市朝阳区一模〕如图，四边形ABCD 内接于⊙ O， E 为 CD 延长线上一点，假设∠ADE=110 °，那么∠ AOC 的度数是〔 A〕 70°〔 B〕 110°〔 C〕 140°〔 D〕 160°答案 C3 ．〔 2021 北京顺义区初三练习〕如下图圆规，点 A 是铁尖的端点，点 B 是铅笔芯尖的端点，点 A 与点B 的距离是 2cm，假设铁尖的端点 A 固定，铅笔芯尖的端点 B 绕点 A 旋转一周，那么作出的圆的直径是．．A． 1 cm B． 2 cm C． 4 cm D． cm答案： C4.〔2021 北京海淀区二模〕如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是A .GH B.EFC. CDD.AB答案： A5.〔2021北京房山区一模〕如图，在⊙ O中，AC为⊙ O直径，B为圆上一点，假设∠OBC =26 °，那么∠AOB 的度数为CA ． 26°B．52°C． 54° D ． 56°O1A B北京初中中考数学习题精选：圆的基本性质答案 B6．〔 2021 北京市大兴区检测〕如图，⊙ O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5 °， OC=6 ，那么 CD 的长为Ａ． 3Ｂ． 3 2Ｃ． 6Ｄ． 6 2答案 D7.〔 2021 年北京昌平区第一学期期末质量抽测〕如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，∠ A = 50，那么∠ BOC 的大小为A ．40°B ．30°C． 80°D． 100 °答案： D8.〔 2021 北京朝阳区第一学期期末检测〕如图，AB 为⊙ O 的直径， C， D 为⊙ O 上的两点，假设AB=14 ， BC=7.那么∠ BDC 的度数是(A) 15°(B) 30°(C) 45°(D) 60°D CA BO答案： B9. 〔 2021 北京大兴第一学期期末〕如图，点，P 是⊙ O 上的三点，假设AOB 40，A， B则APB 的度数为A.80B.140C.20D.50答案： C10.〔 2021 北京东城第一学期期末〕边长为2的正方形内接于M ，那么M 的半径是A．1B．2C．2D．22答案： C211.〔 2021 北京房山区第一学期检测〕7．如图，在⊙ O 中， AB AC ， ∠ AOB=50°，那么∠ ADC 的度数是A ． 50°B ． 45°C ． 30°D ． 25°答案： D12.〔 2021 北京丰台区第一学期期末〕如图，A ，B 是⊙ O 上的两点，C 是⊙ O 上不与 A ， B 重合的任意一点 . 如果∠ AOB=140 °，那么∠ ACB 的度数为A ．70°B ．110 °OBC ． 140°AD ．70°或 110 °答案： D13.〔 2021 北京怀柔区第一学期期末〕如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠ BOC=100 °，那么∠ A 的大小为〔〕A ． 40B ． 50C ． 80D ． 100答案： B14.〔 2021 北京怀柔区第一学期期末〕某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB 〔如图1〕，测量出 AB=4 分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折局部的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D 〔如图 2〕；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点〔如图3〕；④计算出橡胶棒CD 的长度 .A A AOOOCDCDB第 7 题图 1第 7 题图 2第 7 题图 33小明计算橡胶棒CD的长度为A．2 2 分米B． 2 3 分米C． 3 2 分米D． 3 3 分米答案： B15. 〔 2021北京门头沟区第一学期期末调研试卷〕如图，DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果DCE75 ，那么BAD 的度数是AA．65B．75D OC．85D．105B C E 答案： B16. 〔 2021 北京密云区初三〔上〕期末〕如图，ABC 内接于O ， AOB80，那么ACB 的大小为A.20B.40C.80COD.90答案： B AB17.〔 2021 北京平谷区第一学期期末〕如图，△ABC 内接于⊙ O，连结 OA ， OB ，∠ABO=40°，那么∠ C 的度数是〔 A〕 100°〔 B〕80°〔 C〕 50°〔 D〕 40°答案： C18〔.2021 北京石景山区第一学期期末〕如图，AB 是⊙ O 的直径，点 C、D 在⊙ O 上．假设ACD25 ，那么BOD的度数为〔 A〕 100〔 B〕 120〔 C〕 130〔 D〕 150答案： C19.〔 2021 北京石景山区第一学期期末〕如图，在⊙O 中，弦AB垂直平分半径OC ．假设⊙ O 的半径为4，那么弦AB 的长为〔 A〕23〔B〕4 3〔C〕2 5〔D〕454答案： B20.〔 2021 北京顺义区初三上学期期末〕如图，⊙O 的半径为 6，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为A．5B．25C．27D．10答案： B21〔.2021 北京通州区第一学期期末〕如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C ，D 在⊙ O 上.假设ABD 55 ，那么BCD的度数为〔〕CA O BDA ．25B ．30C．35 D ．40答案： C22.〔 2021北京通州区第一学期期末〕如图，⊙ O 的半径为 4.将⊙O的一局部沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心.〕O 那么折痕AB的长为〔A. 3B. 2 3C. 6D. 4 3答案： D23.〔 2021 北京西城区第一学期期末〕如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，如果∠ ACD=34 °，那么∠ BAD 等于〔〕．A ． 34°B ． 46°C． 56°D． 66°5答案： C24.〔 2021 北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，圆心角∠ AOB=25°，将AB旋转n°得到CD，那么∠COD 等于A ． 25°B． 25°+ n°C． 50° D． 50°+ n°答案： A.二、填空题25.〔 2021北京房山区二模〕如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD AB，垂C足为点E，连结 OC，假设OC=5， CD =8，那么 AE=.答案： 2A BE OABC 中， AB=AC，BC=8.e O D26.〔 2021北京东城区二模〕如图，在△是△ABC的外接圆，其半径为5. 假设点 A 在优弧 BC上，那么tan∠ABC的值为 _____________.答案：227.. 〔 2021 北京西城区二模〕如图，AB 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 相切于点A，弦 BD ∥ OC.假设C 36 ，那么∠DOC=．答案： 5428.〔 2021 北京朝阳区二模〕如图，△ABC 内接于⊙ O，AB 是⊙ O的直径，点 D 在圆O 上，弧 BD=弧 CD ， AB= 10， AC=6，连接 OD 交 BC 于点 E，DE=．6答案： 229.〔 2021 北京昌平区二模〕如图，在圆O 的内接四边形ABCD中， AB=3，A AD=5，∠ BAD=60°，点 C 为弧 BD 的中点，那么 AC 的长是．答案：8 3O3B DC30.．〔 2021 北京延庆区初三统一练习〕如图，AB 是⊙ O 的弦， OC⊥AB，∠ AOC=42°，D那么∠ CDB 的度数为 ____________．OA BC答案： 21°31.．〔 2021 北京西城区九年级统一测试〕如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，BOC 50 ，AD∥OC，AD 交⊙O于点 D ，连接AC，CD，那么ACD__________．DCBA答案： 40O32.〔 2021 北京市朝阳区综合练习〔一〕〕如图，点 A， B，C 在⊙ O 上，四边形OABC是平行四边形， OD⊥ AB 于点 E，交⊙ O 于点 D，那么∠ BAD=度.答案 157第13 题图33.〔2021北京门头沟区初三综合练习〕如图，PC是⊙ O的直径，PA切⊙ O于点P，AO交⊙ O于点B；连接BC，假设∠ C=32°，那么∠ A=_____________ °．P答案26°A B OC34．〔 2021 北京平谷区中考统一练习〕如图，E，假设 AB=10 ，CD =8，那么 BE=．AB是⊙ O的直径，AB⊥弦CD于点答案 235．〔 2021 北京石景山区初三毕业考试〕如图， AB 是⊙O的直径，CD 是弦，C DA O的半径是5，CD 8，那么 AE．于点 E ，假设⊙答案： 236．〔2021 北京丰台区一模〕如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．如果∠ A = 15 °，弦 CD = 4，那么 AB 的长是．8CA O E B答案 837.〔 2021 北京朝阳区第一学期期末检测〕如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙ O，⊙ O 的半径为3，那么正六边形 ABCDEF 的边长为.CDBEOA答案： 3F38.〔 2021 北京大兴第一学期期末〕如图，在半径为5cm的⊙ O中，如果弦 AB的长为 8cm，OC⊥ AB，垂足为 C，那么 OC的长为cm ．答案： 3.39.〔 2021 北京东城第一学期期末〕如图，AB 是O 的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交O 于点D.假设CD=1， AB=4,那么O 的半径是.答案：40.〔 2021 北京东城第一学期期末〕O 是四边形ABCD的外接圆, AC平分∠BAD，那么正确结论的序号是.① AB=AD;② BC=CD;③ AB AD ;④∠ BCA=∠ DCA;⑤ BC CD9答案：②⑤41.〔 2021 北京房山区第一学期检测〕如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦， OC⊥ AB，垂足为E，如果CE=2，那么 AB 的长是．答案： 8ABC的外接圆⊙O 的半径OA的长为2，那么其内切圆半42.〔2021 北京丰台区第一学期期末〕如图，等边三角形径的长为.答案： 143.〔 2021 北京丰台区第一学期期末〕在平面直角坐标系中，过三点A〔 0， 0〕， B〔 2， 2〕，C〔4， 0〕的圆的圆心坐标为.答案：〔 2，0〕44. 〔2021 北京门头沟区第一学期期末调研试卷〕如图，在△ABC 中，∠ A=60°，⊙ O 为△ ABC 的外接圆．如果BC= 2 3 , 那么⊙ O 的半径为 ________.答案： 245.〔 2021 北京平谷区第一学期期末〕13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以A BC算术注? 中提到的“如何求圆的周长和面积〞的方法，即“割圆术〞．“割圆术〞的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1， OC⊥ AB 于点 D，那么圆内接正十二边形的边BC 的长是〔结果不取近似值〕．22答案：11323 2246.〔2021 北京石景山区第一学期期末〕如图，在Rt△ ABC 中， C 90 ，AB=10．假设以点 C 为圆心， CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点 D，那么 AC=________．答案： 5347.〔2021北京通州区第一学期期末〕⊙O 的半径为1△ ABC的边AB2，那么C 的度数为，其内接______________.答案： 45°或 135°48.〔2021北京西城区第一学期期末〕如图，⊙O 的半径等于4，如果弦 AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心 O到弦 AB 的距离等于.答案： 249〔.2021 北京西城区第一学期期末〕如图，⊙ O 的半径为3，A，P 两点在⊙ O 上，点 B 在⊙ O 内，tan APB 4 ，3 AB AP .如果OB⊥OP，那么OB的长为.答案： 150.〔2021北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，AB、AC是⊙ O的弦，OM⊥ AB，ON⊥ AC，垂足分别为 M 、 N．如果MN=2.5 ，那么BC=答案：551.〔2021 北京丰台区二模〕数学课上，老师提出如下问题：△ABC 是⊙ O 的内接三角形， OD⊥ BC 于点 D .请借助直尺，画出△ABC 中∠ BAC 的平分线 .晓龙同学的画图步骤如下：A?〔1〕延长 OD 交BC于点M；〔2〕连接 AM 交 BC 于点 N.O所以线段 AN 为所求△ ABC 中∠ BAC 的平分线 .请答复：晓龙同学画图的依据是.C答案：垂径定理，等弧所对的圆周角相等BD52.〔 2021 北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，量角器的直径与直角三角尺ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 °的速度旋转， CP 与量角器的半圆弧交于点 E，那么第 20 秒点E 在量角器上对应的读数是°答案：120°三、解答题53．〔 2021 北京海淀区第二学期练习〕如图，AB 是⊙O的直径，弦 EF AB 于点C，过点 F 作⊙O的切线交 AB 的延长线于点 D .〔1〕A，求 D 的大小〔用含的式子表示〕；2BE的中点M，连接MF，请补全图形；假设A 30，MF7，求⊙O的半径.〔〕取EBA DO CF解：〔 1〕连接OE，OF．∵ EF⊥ AB ， AB 是O 的直径，∴∠ DOF∠ DOE ．∵∠ DOE2∠ A ，∠ A，∴∠ DOF 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵FD 为O的切线，∴ OF ⊥ FD .∴∠OFD90 .∴∠ D +∠DOF90.D 902．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2〕图形如下图 .连接OM .∵AB 为O的直径，∴ O 为AB中点，AEB 90 ．∵ M 为 BE 的中点，∴OM ∥ AE ，OM =1AE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2∵ A 30 ，∴MOB A 30 ．∵DOF 2 A 60，∴MOF90 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴ OM 2 +OF 2MF 2．设O 的半径为r．∵AEB 90 ， A 30 ，∴ AE AB cos303r .∴1OM =3r ．∵FM = 7 ，1222∴ (3r ) +r( 7) .解得 r =2 ．〔舍去负根〕∴O 的半径为2．EBA DO CFEMA B DCOF⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分54.〔 2021 年北京昌平区第一学期期末量抽〕如，AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB于点E，接AC，BC．〔 1〕求：A BCD ；（2〕假设 AB=10， CD =8，求 BE 的．答案：〔 1〕明：∵ 直径 AB⊥弦 CD ，∴弧 BC=弧 BD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ABCD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2〕解：接 OC∵直径 AB⊥弦 CD ， CD =8，∴CE=ED =4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵直径 AB =10，∴CO =OB=5 .在Rt △ COE 中AOC E DBOE CO 2CE 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴ BE 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分55.〔 2021 北京朝阳区第一学期期末〕如，四形ABCD 是⊙ O 的内接四形，角AC 是⊙ O 的直径， AB= 2，B∠ADB ＝ 45° . 求⊙ O 半径的 .答案： 18．解：∵ AC是⊙ O 的直径，∴∠ ABC =90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1C分∵∠ ADB＝45°，O∴∠ ACB =∠ ADB＝ 45° . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ AB=2，D∴ B C = A B = 2.⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分∴ AC AB 2BC 2 2 2 .⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯4分∴⊙ O 半径的 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分56. 〔 2021 北京大第一学期期末〕：如，⊙ O的直径AB 的5cm， C ⊙ O 上的一个点，∠ACB的平分交⊙O 于点 D，求 BD 的．A答案： 21. 解：∵ AB 直径，C∴ ∠ ADB =90°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分O∵ CD 平分∠ ACB，D∴ ∠ ACD=∠BCD，B⌒ ⌒2∴ AD =BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分∴ AD=BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分3在等腰直角三角形ADB 中，25BD=ABsin45 =5°×2=2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 52∴5 BD=2 . 257.〔 2021 北京大第一学期期末〕：如，AB 半 O 的直径， C 是半 O 上一点，点 C 作 AB 的平行交⊙ O 于点 E，接 AC、BC、 AE， EB. 点C作 CG⊥ AB 于点 G，交 EB于点H.（1〕求：∠ BCG=∠EBG；〔 2〕假设sin CAB 5，求EC的. 5GB答案：明：〔 1〕∵ AB 是直径，∴∠ ACB=90°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..1∵CG⊥ AB 于点 G，∴∠ ACB=∠ CGB=90 °.∴∠ CAB=∠ BCG. .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分..∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ ACE.∴∠ BCG=∠ ACE又∵∠ ACE=∠ EBG∴∠ BCG=∠ EBG. . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分..〔 2〕解：∵ sin5 CAB5∴ tan1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.. CAB2由〔 1〕知，∠ HBG =∠ EBG =∠ACE =∠CAB ∴在 Rt△ HGB中，tan HBG GH 1 .GB2由〔 1〕知，∠ BCG=∠CAB 在Rt△BCG中，tan BCG GB 1. CG 2GH=a， GB=2a， CG=4a.CH=CG－ HG=3a. ⋯⋯⋯⋯⋯6分..∵EC∥ AB，∴∠ ECH =∠ BGH，∠ CEH=∠ GBH∴△ ECH∽△ BGH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分..∴EC CH 3a3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分GB GH a58.〔 2021 北京城第一学期期末〕等腰△ ABC内接于O , AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的角和底角的度数 .解：如 1，当点 A 在弧上，∠ A=50°，∠ ABC =∠ ACB =65°； -------------------- 3 分如 2，当点 A 在劣弧上，∠ A=130°，∠ ABC=∠ ACB=25°.------------------- 5 分12〔2021北京密云区初三〔上〕期末〕如，是O 的弦，O 的半径OD AB垂足C.假设AB 2 3，59.21.ABCD=1 ，求O 的半径.DA CB O答案： 21.解：AB 是O的弦，O的半径 OD AB 垂足C，AB 2 3AC=BC= 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分2DO 半径r，A CB接 OA.OA2AC 2OC 2即 r 2( 3) 2(r 1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分解得： r 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分60.〔 2021 北京平谷区第一学期期末〕如，AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥ AB 于 E，∠ A=15 °， AB=4．求弦 CD 的．答案：解：∵∠ A=15°，∴∠ COB=30°． (1)∵AB=4，∴OC=2． (2)∵弦 CD ⊥ AB 于 E，13∴CE = CD ． ..............................................................................................................2在 Rt△OCE 中，∠ CEO=90°，∠ COB=30°， OC=2，∴CE =1． (4)∴CD =2． (5)61.〔 2021 北京区初三上学期期末〕：如，AB ⊙ O 的直径， CE⊥AB 于 E，BF∥ OC，接 BC，CF．求：∠ OCF=∠ ECB．答案：明：延 CE交⊙ O 于点 G．∵AB ⊙ O 的直径， CE⊥ AB 于 E，∴BC=BG，∴∠ G=∠ 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..2分∵BF∥OC，∴∠ 1=∠F，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又∵∠ G=∠ F，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...5分∴∠1=∠2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分〔其它方法对应给分〕62.〔 2021 北京通州区第一学期期末〕如图，△ABC内接于⊙O .假设⊙O的半径为 6，B 60，求AC的长．答案：63.〔2021北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，A B为⊙ O的直径，弦CD⊥ A B于点E，连接BC ．假设 A B＝ 6 ，∠ B ＝ 30 °，求：弦CD 的长。
中考数学复习圆的基本性质
⌒ ⌒ , AB=8cm,ED=2cm, CD=___ 5 3）若AD= BD
知识回顾
A
垂径定理及其推论
C
O
E
D
1、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
B
2 、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 3、平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对 的弧 4、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦
巩固训练
8.如图,⊙O的直径AB的两侧有定点C和动点P.已 知BC=4,CA=3,点P在弧AB上运动,过点C作CP的垂线, 与PB的延长线交于点Q.
(1)当点P运动到与点C关于AB对称时 ,求CQ的长.
C 3 4 O· D
Q B
A
P
巩固训练
8.如图,⊙O的直径AB的两侧有定点C和动点P.已 知BC=4,CA=3,点P在弧AB上运动,过点C作CP的垂线, 与PB的延长线交于点Q.
1） CD⊥弦AB于E，若AB=8cm,
O D E C
3 CD=10cm，则OE=___
B
2)若AE=BE，若DE=1cm,CD=10cm,则 6 AB=___ 4）若弦AB∥MN, CD⊥弦AB于E ，AB=8、 CD=10、 MN=6，则AB与MN之间 的距离为 _____________ 1或7
B E
C A O
D
圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果
两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中 有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 都相等．
典型例题解析
1 如 图 ， 等 腰 △ ABC 内 接 于 半 径 为 5cm 的 ⊙ O ， tanB ＝ 3
AB＝AC，。求： A （1）BC的长； B D O
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圆的基本性质A级基础题1.下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（）A.4个B. 3个C.2个D. 1个2.（2012年江苏苏州）如图X5 - 1 - 1,已知BD是O O的直径，点A, C在。
O上, 息」HC , / AOB = 60°,则/ BDC的度数是（）A. 20°B. 25° C, 30° D, 40°3.（2011年四川成都）如图X5—1 — 2,若AB是。
的直径，CD是。
的弦，/ ABD = 58°,则/ BCD=（）A. 116°B. 32°C. 58°D. 64°4.（2012年四川广元）如图X5 —1 —3, A, B是。
上两点.若四边形ACBO是菱形，OO的半径为r,则点A与点B之间的距离为（）A.V2rB.V3rC. rD. 2r5.（2011年四川乐山）如图X5- 1-4, CD是。
的弦，直径AB过CD的中点M.若/ BOC = 40°,则/ ABD = （）A. 40°B. 60°C. 70图X5 — 1— 56.（2012年山东泰安）如图X5 -1-5, AB是。
的直径，弦CD LAB,垂足为M,下列结论不成立的是（）A . CM = DM B. [%=公C. /ACD = /ADCD. OM= MD7.（2011年甘肃兰州）如图X5-1-6,。
过点B, C,圆心O在等腰RtA ABC的内部,ZBAC = 90°, OA=1, BC=6,则。
的半径为（）A. 6B. 13C.V13D. 2713图X5 — 1— 6图X5 — 1— 78.（2012年贵州六盘水）当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图X5 —1 — 7（单位：cm）,那么该圆的半径为cm.9.（2011年福建漳州）如图X5—1 —8, AB是。
的直径，AC CD/ COD = 60°.（1）AAOC是等边三角形吗？请说明理由;图X5 - 1 -8（2）求证：OC//BD.10.（2011年湖南长沙）如图X5 —1—9,在。
中，直径AB与弦CD相交于点P,/CAB = 40°, / APD =65°.（1）求/ B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长.*图X5 — 1— 911.（2012年宁夏）如图X5-1-10,在。
O中，直径ABXCD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CFLAD.求/ D的度数.图X5 — 1— 1012.（2012年湖南长沙）如图X5 - 1 - 11, A, P, B, C是半径为8的。
O上的四点，且满足/ BAC = /APC= 60°.（1）求证：△ ABC是等边三角形;（2）求圆心O到BC的距离OD图X5 — 1— 11B级中等题13.（2012年安徽）如图X5 —1 —12,点A, B, C, D在OO上，点O在/ D的内部, 四边形OABC为平行四边形，则/ OAD + /OCD= ______________________ ；.图 X5 — 1 — 12图 X5 —1 —1314. （2011年福建福州）如图X5 —1 —13,在以。
为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点C 若/ AOB=120°,则大圆半径 R 与小圆半径r 之间满足（ ）A. R= V 3rB. R=3rC. R=2rD. R= 2 小r15. （2011 年云南曲靖）如图 X5 — 1—14,点 A, B, C, D 都在。
上，OCXAB, /ADC = 30°.（1）求/ BOC 的度数；（2）求证：四边形AOBC 是菱形.C 级拔尖题16. （2011年江苏南京）如图X5-1-15,在平面直角坐标系中，O P 的圆心是（2, a ）（a >2）,半径为2,函数y=x 的图象被。
P 截得白勺弦AB 的长为2 43,则a 的值是（）图 X5 -1-152 .3 2+出 2 .3 2+ .317. （2011年上海）如图X5 -1- 16,点C, D 分别在扇形 AOB 的半径 OA, OB 的延长 线上，且 OA = 3, AC=2, CD 平行于AB,并与弧 AB 相交于点 M, N.A. B. C. D. 图 X5 - 1 -14(1)求线段OD的长；1(2)右tan/C = 2，求弦MN的长.图X5-1-1618.(2012年上海)如图X5 —1 — 17,在半径为2的扇形AOB中，/AOB=90°,点C是弧AB 上的一个动点(不与点A, B重合)，ODXBC, OEXAC,垂足分别为D, E.(1)当BC=1时，求线段OD的长；(2)在△ DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；(3)设BD = x, ADOE的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域..4 图X5 — 1 — 17圆的基本性质251. B 2c 3.B 4.B 5c 6.D 7c 8石9.解：（1）4AOC是等边三角形，理由如下:.Al: Cb,•./ AOC=/ COD = 60°.•.OA=OC,••.△ AOC是等边三角形.(2)证明：.久=也• ••OCXAD.又「 AB 是OO 的直径，ADB = 90°,即 BDXAD. OC // BD.10 .解：⑴CAB = /CDB (同弧所对的圆周角相等 ),/CAB = 40°,，/CDB = 40°.又・. / APD = 65°, BPD = 115°. 在△ BPD 中，/ B= 180° — / CDB-Z BPD = 25°. (2)如图D54,过点O 作OE^BD 于点E,则OE = 3. . AB 是。
的直径，ADXBD..1. OE // AD. 又O 是AB 的中点，，OE 是^ABD 的中位线. AD=2OE = 6. 11.解：如图D55,连接BD.图D55••• AB 是。
的直径，BDXAD. 又「 CFXAD, BD // CF. ・ ./ BDC = Z C.又・. / BDC = 1/ BOC,2，，-1 ， 一.・・/ C = 2/ BOC.•. ABXCD, .•./ C = 30°, .•./ ADC = 60°.12 .解：(1)在4ABC 中，・. / BAC=Z APC= 60°, /APC = /ABC, .•./ ABC=60°. ・. / ACB=180°-Z BAC-Z ABC = 60°.ABC 是等边三角形.(2)如图D56,连接OB..「△ABC 为等边三角形，O O 为其外接圆， ・•.O 为△ ABC 的外心， BO 平分/ ABC. ，/OBD=30°, ..OD = 8X 1=4. ， 2 13 . 60 14.C15. (1)解：二,点 A, B, C, D 都在。
O 上，OCXAB,图D54图D56.・. / ADC =30°,，/AOC=/ BOC=2ZADC = 60°.・・•/BOC的度数为60°.(2)证明：.我债，.•.AC=BC, AO = BO.・•• / BOC的度数为60°,・•.△ BOC为等边三角形，即BC=BO=CO. AO= BO = AC= BC,，四边形AOBC是菱形.16. B17.解：(1)如图D57, ••• CD //AB, ・ ./ OAB=Z C, / OBA=Z D. •.OA=OB,•./ OAB=Z OBA, . C=/ D,.•.OC=OD.•. OA=3, AC=2, .•.OC=5, OD = 5.(2)过点O作OE^CD,垂足为E,连接OM.图D571在Rt^OCE 中，OC=5, tan/C = 2，设OE = x,则CE=2x.由勾股定理，得x2 + (2x)2=52,解得X I=45, x2=- 75(舍去)，OE= V5.在Rt^OME 中，OM=OA=3, ME =M OM2- OE2=他2_ 木2 = 2.MN= 2ME = 4.•.ODXBC,1 1• . BD= ~BC=— 2BC 2.OD = \/OB2- BD2 =}.(2)如图D59,存在，DE的长度是保持不变的.连接AB,则AB=\/OB2+OA2=2 近•••D和E分别是BC, AC的中点,(3)如图D60设BD = x,彳导 OD = q4—x2.・・ / 1=/ 2, / 3=/ 4, 2+Z 3=45°.过点D作DF，OE ,4_ x2 2贝DF=^~^-，EF = -^-x,・一1 ____ •• y— ?DF OE = 4-x2 + x '—x (0<x<V2).图D591 —- DE= ,AB=隹图D60。