高考数学考点归纳之古典概型与几何概型

高考数学考点归纳之古典概型与几何概型

一、基础知识

1•古典概型

(1) 古典概型的特征：

①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等

可能性•

(2) 古典概型的概率计算的基本步骤：

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；

②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；

③利用古典概型的概率公式P(A) = m，求出事件A的概率•

(3) 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型

(2 )几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等•

(3)计算公式：

构成事件A的区域长度面积或体积_________

P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积•

几何概型应用中的关注点

1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率• 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性

A. 3_ 10 考点一古典概型

［典例精析］(1)(2018全国卷n )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界

领先的成果•哥德巴赫猜想是“每个大于

2的偶数可以表示为两个素数的和”， 如30 = 7 + 23.

在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于

30的概率是(

)

C.15

(2)(2019武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次， 得到的点数依次记为 a 和b ,贝U 方

程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率是(

)

7 1 A.36 B.2 19 5 C — D — C.

36

D.

18

［解析］⑴不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个 不同的数，共有 C 1o = 45种情况，而和为30的有7+ 23,11+ 19,13 + 17这3种情况，所以所 求概率P =45=1

_ *

1 < a <6, a € N ,

⑵投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为

1 w b < 6, b € N *,

组合有36种.

若方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解， 贝U △= b 2— 4a > 0，所以 b 2> 4a.

当b = 1时，没有a 符合条件；当 b = 2时，a 可取1;当b = 3时，a 可取1,2 ;当b = 4 时，a 可取 1,2,3,4 ;当 b = 5 时，a 可取 1,2,3,4,5,6 ;当 b = 6 时，a 可取 1,2,3,4,5,6.

满足条件的组合有

19

19种，则方程ax 2 + bx + 1 = 0有实数解的概率 P =--.

36

［答案］(1)C (2)C

［题组训练］

1. (2019 益阳、湘潭调研)已知 a € { — 2,0,1,2,3}, b € {3,5}，则函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为 减函数的概率是(

)

所以a 和b 的

3 2

1

解析：选 C 若函数 f(x) = (a 2— 2)e x + b 为减函数，则 a 2— 2v 0,又 a € { — 2,0,1,2,3},

故只有a = 0, a = 1满足题意，又b € {3,5}，所以函数f(x)= (a 2 — 2)e x + b 为减函数的概率是

2•从分别标有1,2,…，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取1张，则抽到

的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

( )

5 4 A — B —

A.

18

B .9

3•将A , B , C , D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“

A 与

B 相邻且A 与

C 之

间恰好有1名同学”的概率是 ( )

1 A .

2 1 B.4 C 1 C • 6

1

解析：选B A , B , C ,

D 4名同学排成一排有 A 4= 24种排法.当A , C 之间是B 时，

4 + 2 1

有2X 2=4种排法，当A , C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P =-24-=4.

考点二几何概型

类型(一)与长度有关的几何概型

［例1］ (2019濮阳模拟)在［— 6,9］内任取一个实数 m ,设f(x) = — x 2 + mx + m ,则函数f(x) 的图象与x 轴有公共点的概率等于(

)

2

7

A B A.

15 B .

15

3 11

C5 D.亦

［解析］

•/ f(x)=— x 2+ mx + m 的图象与 x 轴有公共点，二 △= m 2+ 4m > 0,. m < — 4 或

m > 0,.••在 ［—6,9］内取一个实 数m ，函数f(x)的图象 与x 轴有公共点的概 率P =

[—4— — 6 ] + 9— 0 = 9——6 — ［答案］D

解析：选C 由题意得，所求概率

5X 4X 2 9X 8

5

9. 11

狗，故选D . 15