平面向量的直角坐标运算(中职优秀教案)#精选.

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8.3.1 平面向量的直角坐标及其运算

【教学目标】

知识目标：

1．了解向量坐标的概念，了解向量加法，减法及数乘向量线性运算的坐标表示；

2．理解向量的坐标表示法，掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；

3．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示。

4．理解向量坐标与其始点和终点坐标的关系。

能力目标：

培养学生理解向量的坐标表示如何将“数”的运算处理“形”的问题，将向量线性运算的几何问题代数化；培养学生应用向量的坐标进行运算的能力。

【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则。

【教学难点】对平面向量的坐标表示的理解。

采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键。【教学方法】类比，数形结合，启发式等

【课型】新授课

【教学过程】

一、温故知新：

1.向量加法 ：=+AC OA

=+OB OA （结合图形） 2.向量减法:=-OB OA =-OA OB （结合图形） 3.数乘向量：

()

=≠a b b a ，使知，存则由平行平行与若λ

,0 导入：在平面直角坐标系中，每一个点都有一对有序实数（坐标）来表示；任意一个向量，它的始点和终点也可用坐标表示；那么向量能否用坐标表示？ 二、讲解新课： 1．平面向量的直角坐标

如图，在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位．．

向量．．

i 、j 则AB =AC +CB =3i +2j

（+=） 如下图，平面直角坐标系xOy 中的任意一个向量a

，有且只有一对实

数1a ，2a 使得 a

=1a i +2

a

j

则：（1a ，2a ）叫做向量a

的坐标，记作a

=（1a ，2a ）

提问：i =(1,0) j

=(0,1) 0=(0,0)

由定义可知：a

=（1a ，2a ），b =（1b ，2b ）则：

a =b

等价于1a =1b 且2a =2b

提问：设a

=（1a ，2a ），则所有与a

相等的向量的坐标均为（1a ，2a ），

与他们的位置有无关系？求EF =3i +2j

= (3,2)验证。

如图：作向量OA =a

=（1a ，2a ），则向量OA 的终点A 的坐标是什么？也是（1a ，2a ）；反之，点A 的坐标是（1a ，2a ），则向量OA 的坐标也是（1a ，2a ）。

练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

a=(2)(1,2)

(1)(1,2)

b=-

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例1.用向量i , j 分别表示向量

a,b,c,d,并求出它们的坐标.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4A

B

i j

1

2-2

-1

O x

y a

b

c

d

45323(2,3)

AB i j =+=23(2,3)

b i j =-+=-()23(2,3)

c i j

=-+-=--()23(2,3)

d i j =+-=-

试一试

如图：请用向量i 、j

分别表示向量AB 、CD 、EF 、GH ,并求它

们的坐标。

解：AB =i +2j =（1,2） CD =2j

=（0,2） EF =3i - 2j =（3，-2） GH = -4i -j

=（-4，-1）

2．平面向量的直角坐标运算

（1）若a =（1a ，2a ），b =（1b ，2b ）则：a

=1a i +2

a

j ，b =1b i +2b j

于是：a +b

=（1a i +2

a

j ）+（1

b i +2b j ） =（1a +1b ）i +（2a +2b ）j

=（1a +1b ，2a +2b ）

即a +b =（1a ，2a ）+（1b ，2b ）=（1a +1b ，2a +2b ）

同理：a -b

=（1a ，2a ）-（1b ，2b ）=（1a -1b ，2a -2b ）

λa

=λ（1a ，2a ）=（λ1a ，λ2a ）

后面的2个法则学生自主推导。 语言表述如下：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差； 数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。 学生自主推导向量坐标与点的坐标的联系：

在平面直角坐标系xOy 中，若点A(1x ，1y )，点B （2x ，2y ）则：

AB =OB -OA

=（2x ，2y ）- (1x ，1y )

=（2x -1x ，2y -1y ）

即：平面直角坐标系中，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的对应坐标。

例2 已知a =（4，-3），b =（-6,8），求：a +b ，a -b ，2a

-3b

解：学生口答。

比一比： ()()求：

2,1,4,3==.,,

学生口答。教师点评。

例3.已知点A （3，-2），B （-5，-1），且AM =2

1AB 求点M 的坐标。

解：设点M 的坐标为（x,y ），因为AM =

2

1AB

所以（x,y ）-（3，-2）=2

1

[（-5，-1）-（3，-2）]=(-4，2

1

) 即 （x,y ）=(-4，2

1) +（3，-2）=（-1，-2

3） 所以点M 的坐标为（-1，-2

3

）。

学以致用： 学生解答，教师点评。 三．课堂小结：

学生自主总结并回答。 教师引导补充并强调。 四．布置作业： P 73 4題. 7題. 五【教学后记】

()().

1221的坐标，求点，，，B A -=