3选修3-4 第十一章 机械振动-单摆-教案

教学过程

一、复习预习

在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，知道了什么是简谐振动、简谐振动的特点及描述简谐振动的物理量和图像。日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢？本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。

二、知识讲解

课程引入：

1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。

本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。

考点/易错点1、单摆的周期公式、单摆的周期与哪些因素有关

1．单摆的定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。

秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢？

①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆； ②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆；

③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆； ④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆；

绳绕在杆上

⑤第五种摆是单摆。

单摆是实际摆的理想化模型：线的伸缩和质量可以忽略──使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上。线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，此时悬线的长度就是摆长，实际单摆的摆长是从悬点到小球的球心。单摆的运动忽略了空气阻力，实际的单摆在观察的时间内可以不考虑各种阻力。

考点/易错点2、单摆做简谐运动

（1）单摆的回复力

摆球受到的重力G 和悬线拉力F ＇，在单摆振动时，一方面要使单摆振动，另一方面还要提供摆球沿圆弧的运动的向心力。在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示。

因为Ｆ＇垂直于v ，所以，我们可将重力G 分解到速度v 的 方向及垂直于v 的方向。且

G 1=G sin θ=mg sin θ，G 2=G cos θ=mg cos θ。

重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1=mg sin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。

F=G 1=mg sin θ

（2）单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin θ≈L x

′ 2

又回复力Ｆ=m g sin θ 所以单摆的回复力为

x L mg

F -

=

（其中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，L 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反）

对确定的单摆，m 、g 、L 都有确定的数值，L mg

可以用一个常数表示，上式可以写成

kx F -=

可见：在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。

考点/易错点3、单摆振动的周期

伽利略发现了单摆运动的等时性，荷兰物理学家惠更斯（1629～1695）研究了单摆的摆动，定量得到： 单摆的周期

g l

T π

2=，即单摆振动时具有如下规律：

① 单摆的振动周期与振幅的大小无关——单摆的等时性。 ② 单摆的振动周期与摆球的质量无关。

③ 单摆的振动周期与摆长的平方根成正比。其中L 为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。

④ 单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比。单摆周期公式中的g 是单摆所在地的重力加速度． ⑤ 单摆的周期

g l T π

2=为单摆的固有周期，相应地l g

f π

21

=

为单摆的固有频率．

⑥ 单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式

k m T π

2=，以l mg

k =

代入而得到．

⑦ 单摆的周期公式在最大偏角＜5°时成立（达5°时，与实际测量值的相对误差为0.01％）．

考点/易错点4、单摆的应用

（1）利用单摆可测定当地的重力加速度g ：

① 原理：由单摆周期公式

g l T π2=得：2

24T l g π=． ② 测量：用米尺（最小分度为lmm ）测出摆长L （悬点到摆球中心的距离）；

用秒表测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t 得到T ，摆长一般为1m 左右，测周期的计时以摆球经过平衡位置时开始．

（2）摆钟问题：

① 单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

② 在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n 与频率f 成正比（n 可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

l l g f n 121∝=

∝π

③ 摆钟是靠调整摆长而改变周期, 使摆钟的走时与标准时间同步 ④ 周期为2s 的单摆叫做秒摆

三、例题精析

【例题1】

【题干】关于单摆，下列说法正确的是( )

A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力

B．摆球在运动中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的

C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置

D．摆球经过平衡位置时，加速度为零

【答案】B

【解析】单摆摆动过程中的回复力是重力沿切线的分力，故A选项错误；摆球在同一位置时有相同的回复力，即有相同的加速度，故B选项正确；摆球摆动中，除了有回复力以外，还有向心力，指向圆心，即有回复加速度和向心加速度，摆球的加速度是时刻变化的，在平衡位置时，摆球受到向心力指向圆心，加速度不为零，故C、D选项错误．

【例题2】

如下图所示，用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )

A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同

B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同

C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同[来源:Z+xx+https://www.360docs.net/doc/c68346864.html,]

D．撤去磁场后，小球摆动周期变大

【答案】A

【解析】小球摆动过程中，洛伦兹力垂直速度，所以回复力不变，所以周期不变，因洛伦兹力不做功，每次通过平衡位置时动能相同，但速度不同，故A正确，B错误；由于通过平衡位置时的速度方向不同，所受洛伦兹力方向不同，丝线的拉力大小不同，故C选项不正确．

【例题3】某学生利用单摆测重力加速度，在以下各实验步骤中，有错误的步骤是( )

A．在未悬挂之前先测定摆长

B．测得摆长为10 cm

C．将摆球拉离平衡位置，摆角约15°后，让其在竖直平面内振动

D．当摆球第一次通过平衡位置时，启动秒表开始计时，当摆球n次通过平衡位置时，制动秒表，记下

时间t，周期为t

n

【答案】ABCD

【解析】应该在悬挂摆球后再测量摆长，因为摆线受到拉力后的长度与悬挂摆球前不受拉力时摆线长度不同，做单摆实验时，摆长不宜过短，因为摆长过小时在摆动中很容易使摆角超过10°，从而就不能认为单摆做简谐运动．完全一次全振动的时间为周期，每个周期内摆球两次经过平衡位置，所以D选项的做法也是错误的．

四、课堂运用

【基础】

1. 在同一地点，单摆甲的周期是单摆乙的周期的4倍，下列说法正确的是( ) A．甲的频率是乙的4倍

B．甲的摆长是乙的16倍

C．甲的振幅是乙的4倍

D．甲的振动能量是乙的4倍

【答案】B

【解析】由单摆的周期公式T＝2πL

g

可知L＝

T2g

4π2

，故B选项正确；甲的频率是乙的频率的

1

4

，故A

选项错误；虽然甲、乙两单摆的摆长有L甲＝4L乙，但两个单摆的摆角不确定，两摆球质量不确定，故C、D选项错误．

2. 一单摆摆长为40 cm，摆球在t＝0时刻正在从平衡位置向右运动，若g＝10 m/s2，则在1 s时摆球的运动情况是( )

A．正向左做减速运动，加速度正在增大[来源:学*科*网Z*X*X*K]

B．正向左做加速运动，加速度正在减小

C．正向右做减速运动，加速度正在增大

D．正向右做加速运动，加速度正在减小

【答案】D

【解析】由T＝2πL

g

，得周期T＝1.256 s，

3T

4

<1 s

大位移处向平衡位置运动过程中，选项D正确．

【巩固】

3. 有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，将在地球表面走时准确的摆钟移到该星球表面，秒针走一圈的实际时间为( ) A.12 min B.22 min C. 2 min D ．2 min 【答案】 B

【解析】由万有引力公式得GMm R2＝mg ，天体表面的重力加速度g ＝GM R2，M ＝43

πR3ρ，所以该天体表

面重力加速度g′是地球表面重力加速度的2倍，即g′＝2g ，由单摆的周期公式T ＝2πL g

，得出T′

＝

2

2

T，秒针走一圈时，完成全振动的次数相同，由于周期不同，所以实际经历的时间不同，该摆钟

在地球上秒针转一圈时间为1 min，在该天体表面秒针转一圈时间为

2

2

min，故B选项正确．

4. 一单摆做小角度摆动，其振动图象如下图所示，以下说法正确的是( )

A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

【答案】D

【解析】由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为0，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为0，正在通过平衡位置速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确．

5. 如下图所示，升降机中有一单摆，当升降机静止时，单摆的周期为T1，当升降机以加速度a 向上匀加速运动时，单摆的周期为T2，则( )

A ．T2＝T1

B ．T2＝T1

g

g ＋a

C ．T2＝T1g ＋a

g

D ．T2＝T1g

g －a 【答案】B

【解析】处于加速上升的升降机中的单摆的周期，T2＝2π

L g ＋a

，升降机静止时的周期T1＝2π

L g

，

T2＝T1

g

g ＋a

，故B 选项正确．