导数与定积分基础训练题

导数与定积分基础训练题

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导数与定积分基础练习

2011．３

一、选择题

1.设正弦函数y=siｎx在x＝０和x=错误!附近的瞬时变化率为k1，k２，则k１,ｋ２的大小关系为

A.k１>k２Ｂ.ｋ１

2.下列求导数运算正确的是

A.(x

+

１

x

)′＝1+错误!Ｂ.(log２x)′＝错误!Ｃ.(3x)′=3xｌｏg3e D.(x2ｃos ｘ）′＝-2x sin x

3.已知函数f(ｘ)＝sｉｎx＋ln x,则f′(1）的值为

Ａ.1－cos1 B.1＋cos1 C.cos1－1 Ｄ.-１－ｃos１

4．若曲线2

y x ax b

=++在点(0,)b处的切线方程是10

x y

-+=，则

A.1,1

a b

==Ｂ．1,1

a b

=-= C.1,1

a b

==- D．1,1

a b

=-=-

5．一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为ｓ＝＼f(1,3)t3－＼f(3，２)t2+２t,那么速度为零的时刻是

Ａ.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和２秒末

6.函数x e

x

x

f)3

(

)

(-

=的单调递增区间是?

A．)2,

(-∞B．（0,3） C.（1,４）Ｄ. )

,2(+∞

7．已知二次函数ｆ（x)的图象如图所示,则其导函数ｆ′(x)的图象大致形状是Ｂ

8.若函数()

y f x

=的导函数

．．．在区间[,]

a b上是增函数,则函数()

y f x

=在区间[,]

a b上的图象可能是

????

A Ｂ C D

9.函数ｆ(x)的定义域为开区间(a，b）,导函数ｆ′（ｘ)在

(a，b)内的图象如图所示，则函数ｆ(x)在开区间（a,b）

内有极小值点的个数为

A．１ B．2 C.3 D.4

1０.设函数2

()()

f x

g x x

=+,曲线()

y g x

=在点(1,(1))

g处的切线方程

a

b

a

b

a

o

x

o

x

y

b

a o x

y

o

x

y

b

y

为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为?

?

A ．4

B ．14-

C ．2

D ．1

2

-

11.函数f (ｘ)＝

错误!e x

(si ｎx ＋cos x )在区间[0，错误!]上的值域为( )

A ．[＼f(1，2），错误!e 错误!] B.(错误!，错误!e 错误!） C.［1，ｅ错误!] D.(1,e 错误!)

１2．

=+?-dx e e x x )(10（ ) A ．

e e 1+ Ｂ. e 2 C. e 2 Ｄ. e e 1- 13.给出下列三个类比结论.

①(a ｂ)n ＝a n b n 与(ａ+b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a ｎ+b n ；

②lｏg a (xy )＝log a x ＋ｌog a ｙ与sin(α＋β)类比，则有ｓｉｎ(α＋β)=ｓi ｎαsin β； ③(ａ＋b )2=a ２＋2ab ＋b 2与(a +b )2类比，则有（ａ+ｂ)2=a 2+2a ·b +b 2. 其中结论正确的个数是( )

A ．0 Ｂ．1 C.2 D ．3 １4.下列几种推理过程是演绎推理的是( )

Ａ.两条直线平行,同旁内角互补，如果∠Ａ与∠B 是两条直线的同旁内角,则∠Ａ+∠B ＝180° B.某校高三(1）班有5５人，（2)班有54人，(３)班有５2人，由此得高三所有班人数均超过50人

C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D ．在数列｛a n }中，a １=１，a ｎ＝错误!（ａn －1＋错误!

)(n ≥2),由此归纳出｛a n ｝的通项公式

二、填空题

15．f （x )＝x （ｘ-c )２在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为___＿_＿＿_．

16.若曲线f (x ）=ax 2+ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数ａ的取值范围是______＿_.

17.已知函数y ＝ｆ(x )的图象在点Ｍ(1,f (1))处的切线方程是y =错误!

x ＋2,则f (1）+f ′（1)=_＿____＿_.

１８．设等差数列{a ｎ}的前n 项和为Ｓn ,则Ｓ４，S 8－S 4,Ｓ12－Ｓ8,Ｓ16－S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{ｂn }的前n 项积为T n ，则T 4,_＿＿_____，___＿____,错误!成等比数列．

三、解答题

19.设函数f (x )＝ax -错误!

,曲线y =f （x )在点(2，f (2)）处的切线方程为7ｘ－4ｙ－12＝0.

(1)求f (x ）的解析式;

(2)证明：曲线ｙ＝ｆ(x )上任一点处的切线与直线ｘ=0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

2０.已知函数ｆ(ｘ)=ｘ

3

+x-16．

（1)求曲线ｙ=f (x )在点(2，－6)处的切线的方程;

(２)直线l 为曲线y =f (x )的切线，且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标；

（3)如果曲线ｙ＝f（x)的某一切线与直线y=-＼ｆ(1,4)ｘ+3垂直，求切点坐标与切线的方程. 21.设函数f(x)＝lnｘ－2ａx.

(1）若函数y=f(x)的图象在点(１，f（1))处的切线为直线l,且直线l与圆(ｘ+1)2＋y2=1相切，求a的值；

(2)当a>０时，求函数f(x)的单调区间.

22.已知函数ｆ(ｘ)=x3-＼ｆ(3,2）ａx2+ｂ（a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为１，最小值为-2．

（1)求ｆ（ｘ）的解析式;

(２）若函数g(x)=f(x）－ｍｘ在区间[－2,2]上为减函数,求实数m的取值范围.

2３．已知函数f(x）=lｎ（x+１)＋ａx．

（1)当ｘ=０时，函数f(x)取得极大值,求实数a的值;

(2)若存在x∈［1,2]，使不等式ｆ′(x）≥2x成立，其中f′(x)为f（x)的导函数，求实数a

的取值范围; (3）求函数f(x）的单调区间.

24.已知函数,a>0，

（1）讨论的单调性; (2)设a＝3,求在区间[1，］上值域。

25. 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根,且22)(+='x x f 。 (1）求)(x f y =的表达式;

(2)求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积;

(3)若直线t x -=（10<

2６.等差数列{a n ｝中,公差为ｄ，前n 项的和为S ｎ,有如下性质：

（1)通项ａn ＝a m ＋(n -m )d ； (2)若m ＋n ＝p ＋q ,m 、n 、p 、q ∈N *

,则a m +ａｎ＝a p +a q ； (3)若m ＋n =2ｐ,则a ｍ＋a ｎ＝2ａp ； (4)S ｎ,S 2n -Ｓn ，S 3n -S 2n 构成等差数列． 请类比出等比数列的有关四条性质．

导数与定积分基础练习

答案

Ａ B Ｂ A D Ｄ B A Ａ A A Ｄ B A

15. ｃ=６ 16. (－∞，0） １7． 3 1８ ：T 8

Ｔ4

错误!

19. 错误! f （ｘ）＝x －错误! ;定值为6

20. y ＝13ｘ－32;直线ｌ的方程为y ＝13x ，切点坐标为（－2，－26）;（１,-14),(-1，－18)

y ＝4x －1８或y =4x -14．

21． a =错误!；x ∈(0,错误!)时，ｆ（ｘ)=ln x －２ax 是增函数; 在x ∈（＼ｆ(1,2ａ),+∞)时,f (x )=l ｎx －2ａx 是减函数. ２２. f (ｘ)＝ｘ3-2x 2+1, m ≥20． ２3. a ＝－１；a ≥＼f(3,２)；当ａ≥0时,函数f (x )递增区间是(－1，+∞)；当a <0时,函数f (x )递增区间是(－1，－错误!－1)，递减区间是(－错误!－1,+∞). 24. 综上①当022a <<时, ()f x 在(,0)(0,)-∞+∞及上都是增函数.②当22a <时，

()f x 在2288(

,)22a a a a --+-上是减函数,在2288

(,0)(0,)(,)22

a a a a --+--∞+∞及上都是增函数.又(1)0,(2)2320f f ln ==-<2222()50f e e e

=-

-> ∴函数()f x 在2

1,e ????上的值域为2

2223n 2,5l e e ??---????

２5． ｆ（x )＝x ２＋2x +1, ｓ=

1

3

， ｔ=312

26. 解:等比数列｛a n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可以推出以下性质：

(1)a n ＝a ｍq n －m ;

(2)若m +n =p +q ,m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ·ａn ＝a p ·ａq ; （3)若m +n ＝2p ,则a ｍ·a n =ａp 2；

(４)当ｑ≠-1时,Ｓn ,S ２n －S n ，S ３ｎ-S 2n 构成等比数列