导数积分练习题
导数积分练习题
1．若2
22212311
11
,,,x S x dx S dx S e dx x
===??
?则123,,S S S 的大小关系为（ ）
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3
2
t 2＋2t ，那
么速度为零的时刻是( )
A ．0秒
B ．1秒末
C ．2秒末
D ．1秒末和2秒末
3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )
A ．(-∞，12)∪(12,2)
B ．(－∞，0)∪(1
2，2)
C ．(－∞，12∪(12，＋∞)
D ．(－∞，1
2
)∪(2，＋∞)
4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )
A ．有最大值152
B ．有最大值－15
2
C ．有最小值152
D ．有最小值－15
2
5．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）
A ．
4
3
B ．2
C ．83
D
7．设函数()()()()()2
2
2,2,0,8
x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ）
A ．有极大值,无极小值
B ．有极小值,无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
8．已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则（ ）
A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值
B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值
C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值
D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值
9．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a A ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) D ．f (x )g (x )>f (b )g (a ) 10将和式的极限)0(....... 321lim 1>+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?1 C ．dx x p ?10)1 ( D ．dx n x p ?10)( 11．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．3 2 0gt B ．2 0gt C ．22 0gt D ．6 2 0gt 12．若S 1＝??121 x d x ，S 2＝??12(ln x ＋1)d x ，S 3＝??1 2x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 3＜S 1＜S 2 二、填空题 1．已知函数f(x)＝alnx ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 2．f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 3.函数f(x)＝x 3－3x,则y ＝f(x)过点P(1，－2) 的切线方程为 4.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)f '=______________ 5．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 6.将和式)21.........2111( lim n n n n +++++∞→表示为定积分 7．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 8.一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功为 ． 9.0 =? 三．解答题 1．设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数.若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; 2．设()( )2 56l n f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. (1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 3.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ (1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值. 4．设L 为曲线C:ln x y x = 在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 5.已知2 1()22 f x ax x = +，()ln g x x =， (1)求函数()2y xg x x =-的单调区间。 (2)如果()y f x =在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围。 (3)是否存在0a >，使方程 ()()(21)g x f x a x '=-+在区间1 (,)e e 内有且只有两个不相等的实数根，若存在求出a 的取值范围，不存在说明理由。 6.已知函数x k x x f ln )(-=，（x>0）,常数k >0. (Ⅰ)试确定函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ)若对于任意1≥x ，)(x f ＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围； 7.已知函数2 ()ln 20)f x a x a x = +-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数 ()y f x =的单调区间； （Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞，()2(1)f x a >-恒成立，试求a 的取值范围； 8.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值 是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ） 恒成立，求实数x 的取值范围. 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立． 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y = 与m x x f y ++'= 5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 导数与微积分 导函数 导函数的概念涉及：的对于区间( , )上任意点处都可导，则在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作。 一、基本函数的导函数 C'=0(C 为常数) (x A n)'=nx A(n-1) (n € Q) (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (eAx)'=eAx (aAx)'=(aAx)*lna [log(a,x)]' = 1/(x*lna) [lnx]'= 1/x 二、和差积商函数的导函数 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)A2] 三、复合函数的导函数 设y=u(t) ，t=v(x) ，则y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x) 例：y = tA2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x 一般定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量△(点仍在该邻域内)时， 相应地函数取得增量△；如果△与△之比当△时的极限存在，贝y称函数在点处可导，并称 这个极限为函数在点处的导数，记为，即 也可记作，或。 邻域 数学分析的定义 以a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作U(a) 设3是任一正数，则在幵区间(a- 3, a+3 )就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a 的3邻域，记作U(a, 3 )，即U(a, 3 )={x|a- 3 导数微积分公式 导数、微分、积分公式总结 【导数】 （1）（u ± v）′＝u′±v′ （2）（u v）′＝u′v＋ u v′（记忆方法：u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前） ╭ｕ╮′u′v－ u v′ （4）│——│＝———————（ v ≠ 0 ） ╰ｖ╯v2 【关于微分】 左边：d打头 右边：dx置后 再去掉导数符号′即可 【微分】 设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有： （1）d（u ± v）＝ du ± dv （2）d（u v）＝ du·v ＋ u·dv ╭ｕ╮du·v － u·dv （3）d│——│＝———————（ v ≠ 0 ） ╰ｖ╯v2 （5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy ——＝f′（u）·φ′（x） dx 其中y ＝ f（u），u ＝φ′（x） （6）反函数的导数： 1 [ fˉ1（y）]′＝————— f′（x） 其中，f′（x）≠ 0 【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c）′＝ 0 （2）x的α次幂： ╭【α】╮′【α － 1】 │ｘ│＝αｘ ╰╯ （3）指数类： ╭【x】╮′【x】 │ａ│＝ａ lna（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） ╰╯ ╭【x】╮′【x】 │ｅ│＝ｅ ╰╯ （4）对数类： ╭╮′ 1 1 │logｘ│＝——log ｅ＝———（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） ╰a╯ x a xlna 1 （lnx）′＝—— x （5）正弦余弦类： （sinx）′＝ cosx （cosx）′＝－sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC ＝ 0 （2）x的α次幂： 【α】【α － 1】 dｘ＝αｘdx （3）指数类： 【x】【x】 dａ＝ａ lnadx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） 【x】【x】 dｅ＝ｅ dx 导数大题练习 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1-成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥ +恒成立，求实数k 的取值范围． 第五章 定积分 (A 层次 ) 1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2 a 2 x 2 dx ； 3 ． 3 dx ； a 1 x 2 1 x 2 1 4． 1 xdx ； 4 5． 5 4x 1 dx ； 1 dx ； x 1 6． 3 1 x 1 4 e 2 7． 1 dx ； dx ； 9 ． 1 cos2xdx ； 8 ． x 2 2x 2 x 1 ln x 2 10． x 4 sin xdx ； 11 ． 2 4 cos 4 xdx ； 12 ． 3 sin 2 x dx ； 5 x 2 5 x 4 2x 2 1 13． 3 x dx ； 14 ． 4 ln x dx ； 15 ． 1 xarctgxdx ； 2 1 4 sin x x 16． 2 e 2x cosxdx ； 17 x sin x 2 dx ； 18 e ． 0 ． 1 sin ln x dx ； 0 19． 2 cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ； 4 0 1 sin x 0 1 cos 2 x 1 1 x 1 x 2 2 x ln dx ； 23 ． 24 ． 2 ln sin xdx ； 22． 0 1 x 1 x 4 dx ； 0 25． dx dx 0 。 1 x 2 1 x (B 层次 ) y t x 所决定的隐函数 对 的导数 dy 。 1．求由 cos 0 y x e dt tdt dx 2．当 x 为何值时，函数 I x x te t 2 dt 有极值？ 3． d cos x 2 dt 。 cos t dx sin x 4．设 f x x 1, x 1 2 ，求 f x dx 。 1 2 , x 1 0 2 x x arctgt 2 5． lim 0 dt 。 x 2 x 1 高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数0 ()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ B ） A 不连续 B 连续但不可导 C 二阶可导 D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B 12 C 12e D 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B 2e C 2 e D e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ C ） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a ' 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 0 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''= 2 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01 l i m ()n n f x n →∞ + = 4、 曲线2 28y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____ 处的切线与x 轴正向的交角为 4 π。 x=1 23=x 5、 d = x e dx - x e -- 三、解答题 1、（7分）设函数()()() ,()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a ' ) ()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ???????=-+=-+==-=连续在又 2、（7分）设函数 ()a a x a x a f x x a a =++，求()f x ' 设a a m = a x n = x a t = a a a a aax a x a x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a a t n m t n m x a a ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(1 1 1+++=++=++=---x a a x a a a a a aax a x a x f x a a *ln ln )('21 1 +++=-- 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6t π = 处的切线方程和法线方程 ∵sin cos 2x t y t =?? =? ∴122 +-=x y 6π=t 时 x=21 21=y 高中导数大题专题复习 一、导数的基本应用 （一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法 【例题】（2008北京理18/22）已知函数2 2()(1)x b f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的 单调区间． 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】（2009北京文18/22）设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 【例题】（2009天津理20/22）已知函数2 2 ()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈. （II ）当2 3 a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 【例题】（2008福建文21/22）已知函数3 2 ()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值. 【例题】（2009安徽文21/21）已知函数2 ()1ln f x x a x x =-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性; (II)设a=3，求()f x 在区间[1，2 e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围 基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题】（2008湖北文17/21）已知函数3 2 2 ()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值．．．．9． ． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程． 【例题】（2009四川文20/22）已知函数3 2()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1 ()()3 g x f x mx =+ ，若．()g x 的极值存在．．．．．，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. 1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 导数练习题（Ｂ)答案 １.（本题满分１2分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值; （II)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数 ) (x f 的解析式; （III ）在（II)的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的 图象有三 个不同的交点，求m 的取值范围． ２．（本小题满分１２分) 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （Ｉ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3 若函数]2 )('[3 1)(23m x f x x x g ++=在区间 (1，3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3．(本小题满分1４分) 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I ）求实数a 的取值范围； (I Ｉ)若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式; （I ＩI)对于(I Ｉ)中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . ４．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （Ｉ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >; （II)讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. ５.(本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I)当1k =时,求函数()f x 的最大值; （I Ｉ)若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．(本小题满分１2分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e )． （I)求实数a 的值; (II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7．(本小题满分14分) 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?. 导数大题专题训练 2g(x)－ax，＝－x1．已知f(x)＝xlnx的取值范围；，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数2，－ a(Ⅰ)对一切x∈(0＞1lnx＋＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＝－(Ⅱ)当a成立． 的单调区垂直，求函数y=f (x)f (1)）处的切线与直线y=x+2P.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点（1，2、已知函数a=1当R）.g (x)=f (x)+x―b（b∈成立，试求间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)a的取值范围；（Ⅲ）记1―.，e]上有两个零点，求实数b的取值范围在区间时，函数g (x)[e a=0，求函数f (x)[1，e]（Ⅰ）若af (x)=lnx+(x3．设函数－a)，∈R.在2上的最小值；在 上存在单调递增区间，试求实数（Ⅱ）若函数f (x)a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点. 、已知函数.4设，若对任意，均存在，使得，求的)Ⅲ(求的单调区间；)Ⅱ(若曲线在和处的切线互相平行，求的值；)Ⅰ( 取值范围. 5、已知函数 (Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围； (Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围． 6、已知函数． (1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值， 即，所以. (Ⅱ)当，，由得. ①当时，在上，在上 因此，在处取得极小值，也是最小值. . 由于因此， ②当，，因此上单调递增，所以， ……9分 (Ⅲ)证明：问题等价于证明 由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得， 设，则，易知，当且仅当时取到， 但从而可知对一切，都有成立. 2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2） （Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立， 所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是. （Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函－1.所以b的取值范围是[e，e]上有两个零点，所以.解得.数.又因为函数在区间，e]上是增函数，∞）. 因为，所以f (x)在[103．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（，+ e]上的最小值为1.所以f (x)在[1，f (x)当x=1时，取得最小值f (1)=1.2注意到抛. ，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立2ax+1（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x―2物线g (x)=2x―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以， 所以实数a的取值范围是. 所以.又因为x＞0，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x―2ax+1＞0成立.解法二： . 2，高等数学公式导数基本公式
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