(完整)高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练

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1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，

当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||

x g x x =（

[,0)(0,]x e e ∈-），求证：当1a =-时，1|()|()2

f x

g x >+；

2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：

()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln x e x ϕ=（其中e 为自然对数的底数）．

(1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值；

(2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012

=--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1

2)(2+-=x m

x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),(

),(βμ

λμβ

λααf f f ++的大小；

②证明.|||)()(|βαμ

λλβ

μαμλμβλα-<++-++f f

4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值.

（I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；

（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -<

21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．

5．若函数()()2

ln ,f x x g x x x

==-

（1）求函数()()()()x g x kf x k R ϕ=+∈的单调区间；

（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

6、已知函数.2

3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；

（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3

1

,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围

7.已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式

ln 1ln 21⎛+-≤- ⎝．

8.已知函数2

1()ln 2

f x x x =

+. （1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数3

2()3

g x x =的图象的下方； （3）求证：[()]()n

n

f x f x ''-≥22(n

n -∈N *）.

9.已知函数)0()(,ln )(<==a x

a

x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。 （Ⅰ）求F （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2

1≤

k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1

2(

2

-++=m x a g y 的图象与)1(2

x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数2

1()2,()log 2

a f x x x g x x =

=－（a ＞0，且a ≠1）

，其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）

． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1

021

()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．

参考答案

1．解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--，因此，函数()f x 的解析式为

ln()

(0)

()ln (0)

ax x e x f x ax x

x e ---≤<⎧=⎨

+<≤⎩；

（Ⅱ）当[,0)x e ∈-时，11

()ln()()ax f x ax x f x a x x

-'=--⇒=-=

： ①若10a e

-≤<，则11111

()0f x a x e x e e

'=-

≥--≥-+=⇒()f x 在区间[,0)e -上是增函数，故此时函数()f x 在区间[,0)e -上最小值为()()ln 3f e a e e -=--=，得4

a e

=-，不符合

10a e -≤<，舍去。②若1a e <-，则令1()0(,0)f x x e a '=⇒=∈-，且()f x 在区间1,e a ⎡

⎤-⎢⎥⎣

⎦上

是减函数，而在区间1,0a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，故当1x a =时，min 11[()]1ln f x f a a ⎛⎫⎛⎫

==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

令21131ln 3f a e a a ⎛⎫⎛⎫

=⇒--=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

综上所述，当2a e =-时，函数()f x 在区间[,0)e -上的最小值是3．

（Ⅲ）证明：令1

()|()|()2

F x f x g x =--

。当0x e <≤时，注意到ln x x >（设h(x)=x-lnx ，利用导数求h(x)在0x e <≤的最小值为1，从而证得x-lnx >1），故有

ln 1ln 1

()|ln |ln 22

x x F x x x x x x x =--

-=---．

①当02x <<时，注意到1ln x x -≥，故

1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫

=-+->-+--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭；

②当2x e ≤≤时，有2222

11ln 1ln 421ln 2

()10x x x x F x x x x x

---+--+'=--=≥>，故函数()F x 在区间[2,]e 上是增函数，从而有

ln 213

()2ln 2(1ln 2)0222F x ≥--

-=->。 因此，当0x e <≤时，有1

|()|()2

f x

g x >+。

又因为()F x 是偶函数，故当0e x -≤<时，同样有()0F x >，即1|()|()2

f x

g x >+．

综上所述，当1a =-时，有1

|()|()2

f x

g x >+

；