高中数学学习双曲线.ppt
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人教版高中数学课件：8.4双曲线的几何性质
x a
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
高中数学(理)一轮复习课件：第9章 第53讲 双曲线
双曲线的定义
【例1】 1 在 ABC中， BC ＝4，sinB－sinC＝ sinA，若 2 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建 立直角坐标系，则求动点A的轨迹方程．
【解析】依题意由正弦定理得： 1 AC － AB ＝ BC ＝2，即顶点 2 A的轨迹是以B，C为焦点，实 轴长等于2的双曲线的一支(除 去该支的顶点)． 建立如图所示直角坐标系，则C (－2,0)，B 2,0 ， 由2a＝2，得a＝1，又c＝2，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3， y 所求轨迹方程为x － ＝1 x 1． 3
2
2
x y 解析：设所求的双曲线方程为 1， 16 k 4 k 18 4 又双曲线过(3 2，，所以 2) 1，解得k 16 k 4 k 4或k 14. 又16 k 0, 4 k 0，所以 4 k 16， 所以k 4， x2 y 2 故所求的双曲线方程为 1. 12 8
4 2
2 3 所以e 2，所以应舍去e＝ ，所以e＝2. 3
本题是一道求圆锥曲线离心率的大小 ( 或范围 ) 的典型题，求解的关键在于根据 条件列出关于该曲线的基本量 a ， c的齐次 方程(或不等式)，再解方程(或不等式)，进 而求得离心率的值 ( 或范围 ) ．值得注意的 是，本题极易忽视题设中的条件“ 0<a<b”， 从而出现增解．
面积为 12 .
解析:设 PF1 3k，则 PF1 PF2 3k 2k k 2 ，则 PF1 6， PF2 4， | F1 F2 | 2 3，故VPF1 F2是直 角三角形，则其面积等于12.
x y 4.与双曲线 1共焦点，且过(3，的 2) 16 4 x2 y 2 1 双曲线的方程是 12 8
高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
新疆库车县第三中学人教A版高中数学选修2-1课件：23双曲线(第5课时)(共21张PPT)
3 为（ ）
A. x 2 y 2 1 34
x2 C.
y2
1
52
B. x2 y2 1 43 x2 y2
D. 1 25
小结： 1、求直线被双曲线截得的弦长、弦的中点
问题，通常先消去一个变量转化成一元二次 方程，结合判别式、根与系数的关系，求弦 长和中点.
2、能用弦长公式处理直线与双曲线相交所 得的弦长问题.
解: 分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
由
y=kx－1 消去y整理得 x2-y2=4
(1－k2) x2+2kx －5=0
(1)当1－k2≠0且△=(2 k)2 －4 (1－k2) (－5)=0时
即k=k
5时,
2
方程组有一解
(2)当1－k2=0时, 即k=±1 方程组有一解 此时,直线有何
作业
案例学习法 P235. 12、13
作业：
1.过双曲线
x 2 的y3 2 左 1焦点F1，倾斜角为
的弦A6 B，求弦长|AB|.
2.求双曲线 9x21被6y2点1A4(84，3)平分的弦
MN所在直线的方程.
3.(2002全国) 设点P到点M(-1,0),N(1,0)的 距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2， 求m的取值范围.
的基本思路: （1）通过联列方程组，消去一个变量
转化成一元二次方程，结合根与系数的
经过双曲x2线 y2 2
1的右焦F点 2作直线 l，
交双曲线A， 于B两点，A若B4，则这样
的直线有几条？
若AB2, 3， 5,则这样的弦分别？有
练习2. 已知双曲线中心在原点，且一个焦点为
FM( N，的7 0中)，点直的线横y坐=标x-1为与2 其相，交则于此M双、曲N线两的点方，程
A. x 2 y 2 1 34
x2 C.
y2
1
52
B. x2 y2 1 43 x2 y2
D. 1 25
小结： 1、求直线被双曲线截得的弦长、弦的中点
问题，通常先消去一个变量转化成一元二次 方程，结合判别式、根与系数的关系，求弦 长和中点.
2、能用弦长公式处理直线与双曲线相交所 得的弦长问题.
解: 分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
由
y=kx－1 消去y整理得 x2-y2=4
(1－k2) x2+2kx －5=0
(1)当1－k2≠0且△=(2 k)2 －4 (1－k2) (－5)=0时
即k=k
5时,
2
方程组有一解
(2)当1－k2=0时, 即k=±1 方程组有一解 此时,直线有何
作业
案例学习法 P235. 12、13
作业：
1.过双曲线
x 2 的y3 2 左 1焦点F1，倾斜角为
的弦A6 B，求弦长|AB|.
2.求双曲线 9x21被6y2点1A4(84，3)平分的弦
MN所在直线的方程.
3.(2002全国) 设点P到点M(-1,0),N(1,0)的 距离之差为2m，到x轴，y轴的距离之比为2， 求m的取值范围.
的基本思路: （1）通过联列方程组，消去一个变量
转化成一元二次方程，结合根与系数的
经过双曲x2线 y2 2
1的右焦F点 2作直线 l，
交双曲线A， 于B两点，A若B4，则这样
的直线有几条？
若AB2, 3， 5,则这样的弦分别？有
练习2. 已知双曲线中心在原点，且一个焦点为
FM( N，的7 0中)，点直的线横y坐=标x-1为与2 其相，交则于此M双、曲N线两的点方，程
高中数学一轮复习课件 第8章 椭圆双曲线双曲线
(a>0,b>0),其中c =a +b ,
2 2 2
焦点坐标为(0,±c). 确定一个双曲线的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的 位置)和两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法、待定系数法,有
高中数学一轮复习课件
时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
是: 第一,作判断:根据条件判断双曲线焦点在x轴上还是在y轴上,还是不 确定在哪个坐标轴上.
高中数学一轮复习课件
1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹叫作双曲线,这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦 点F1,F2间的距离叫做双曲线的焦距. (1)定义的数学表达式为:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (2)在双曲线的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当|F1F2|
y 要把双曲线方程写成 x =λ y 是 ± =0, - ,再根据已知条件确定λ的值,
2
x a
2
求出双曲线方程.若求得λ>0,则焦点在x轴上,若求得λ<0,则焦点在y 轴上.
b
a2
b2
5.双曲线相关问题,如中点弦、弦长、与直线的位置关系等,要牢牢
抓住方程组思想、消元法、根与系数之间的关系、弦长公式等方法.
关于x轴、y轴、原点对称 顶点(0,±a) (0,±c) 实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b |F1F2|=2c
c ∈(1,+∞) e= a
c2=a2+b2
高中数学一轮复习课件
一般而言:
①双曲线有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段 的中垂线. ②双曲线都有两个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. ③离心率反映双曲线开口的程度,当离心率越大,双曲线的开口越大.