初高中数学衔接第一课绝对值
数学初高中衔接知识教案1 (相反数绝对值)
第一课时 相反数与绝对值教学目的：1．理解相反数与绝对值的定义及基本运算 2．能解相反数与绝对值有关的问题教学过程：一、知识点回顾：1.相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（2）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
（3）在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
2.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．4.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离5.取绝对值得几种方法：（1）平方法；（2）讨论法二、应用拓展：典型例题：1、（教材变型题）若4x -=，则x ＝__________；若30x -=，则x ＝__________；若31x -=，则x ＝__________.2、（易错题）化简(4)--+的结果为___________3、（教材变型题）如果22a a -=-，则a 的取值范围是 （ ）A 、0a >B 、0a ≥C 、0a ≤D 、0a <4、（创新题）代数式23x -+的最小值是 （ ）A 、0B 、2C 、3D 、55、(章节内知识点综合题)已知a b 、为有理数，且0a <，0b >，a b >，则 （ ）A 、a b b a <-<<-B 、b a b a -<<<-C 、a b b a -<<-<D 、b b a a -<<-<三、课后作业高一课后作业一（相反数）一、选择题1.有理数的绝对值一定是（ ）A.正数B.整数C.正数或零D.自然数2.绝对值等于它本身的数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.无数个3.下列说法正确的是（ ）A.—|a|一定是负数 B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C.若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数4.下列说法正确的是（ ）A.一个数的绝对值的相反数一定不是负数B.一个数的绝对值的相反数是负数C.一个数的绝对值一定是正数D.一个数的绝对值一定是非负数5.下列结论正确的是（ ） A.a 一定是正数 B.—c 一定是负数 C.—a 一定是正数 D.—a 一定是非正数6.如果a ＋b =0，则a 与b 的大小关系是（ ）A.a=b=0B.a 与b 不相等C.a 与b 互为相反数D.a.b 异号7.下列各数中，互为相反数的是（ ）A ．│－32│和－32 B.│－23│和－32 C ．│－32│和23 D.│－32│和32 8.下列几组数中是互为相反数的是 ( )Ａ ―17和0.7 B 13和―0.333 C ―(―6)和6 D ―14和0.25 9.一个数在数轴上所对应的点向左移6个单位后,得到它的相反数的点,则这个数是( )A 3B － 3C 6D －610.一个数是7,另一个数比它的相反数大3.则这两个数的和是 ( )A －3B 3C －10D 11二、填空1.如果a 的相反数是最大的负整数,b 的相反数是最小的正整数,则a+b= .2.a －2的相反数是3,那么, a= .3.一个数的相反数大于它本身,那么,这个数是 .一个数的相反数等于它本身,这个数是 ,一个数的相反数小于它本身,这个数是 .4. .a － b 的相反数是 .5.若果 a 和 b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的数和 b所对应的点相距6个单位长度,如果a=－2,则b的值为 .6、-（-3）的相反数是＿＿＿。
初中升高中数学.第一章 数与式 1.3 绝对值
1.3绝对值
衔接归纳
绝对值是中学阶段一个重要的概念,它的代数意义是:正数和0的绝对值是它本身,夫数的绝对值是它的相反数。
在数轴上,一个数对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,这是它的几何意义.含绝对值的问题常包括:含一个或多个绝对值的方程、函数、不等式等.处理绝对值问题的关键是去掉(或添加)绝对值,有时也利用它的几何意义加以解决。
基础知识
1.绝对值的概念
(1)绝对值的定义:
(2)几何意义:一个数的绝对值表示这个数对应的点到原点的距离。
根据这样的几何意义,我们可以得到以下结论:设a是正数,则
，
2.含绝对值的方程、函数、不等式的处理方法
(1)解含绝对值问题的基本思想:
含绝对值的方程、函数、不等式不含绝对值的方程、函数、不等式
(2)脱去绝对值符号的方法有:
①化归法:|x|=a(a>0)化为x=±a;|a+b|=c(c>0)化为ax+b=±c;
②零点分段法:找绝对值为零的点,分段讨论;
③数形结合法;
④平方法:化为不含绝对值的方程或不等式
(3)解绝对值不等式常用以下等价变形: 1. 设a是正数,则
2.
3.
例题精讲
例1如果
求
例2
例3
变式训练1
例4
变式训练2
A. a>1
B.a<1
C.
D.。
2019年初升高数学衔接之数与式的运算
01数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：. 高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2-【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：+＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(2a ba b-+-ba b-)÷a2ba b-+，其中高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：22442x xy yx y-+-÷（4x2－y2）【能力提升】已知：112a b-=，则abbababa7222+---的值等于多少？专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a22．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x34．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a65．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a +b ）2＝a 2+b 2 A ．2道 B ．3道C ．4道D ．5道 6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．57．下列计算中，正确的是A ．24±=B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a9．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ）①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．411．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________．13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．14．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a 2﹣b 2＝_____． 15．已知关于x 、y 的方程组31223x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x •9y ＝___． 16．计算：（x ﹣y ）2•（y ﹣x ）3+（y ﹣x ）4•（x ﹣y ）＝_____．17．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝319．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值． 20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n 个等式，并证明该等式成立．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
最新[课件]初高中数学衔接教材-绝对值
![最新[课件]初高中数学衔接教材-绝对值](https://img.taocdn.com/s3/m/82efeca8a216147916112889.png)
绝对值
初中知识回顾
1. 绝对值的代数意义：
a , a 0, | a | 0 , a 0,
a , a 0.
2. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值，是数轴上表示它的 点到原点的距离．如 a 1 a 1
高中知识衔接
a b 表示数轴上a,b两点间的距离.
x a x b 表示数轴上x到a的距离与x到b的距 离之和.
分析：
由绝对值的意义可知，已知 x 3, y 4 ，
可求得 x 3, y 4 ， 从而进一步求出 x y 的值.
解：因为 x 3, y 4 ，所以 x 3, y 4 . 当 x 3, y 4 时， x y 3 4 7 ； 当 x 3, y 4 时， x y 3 (4) 1； 当 x 3, y 4 时， x y (3) 4 1； 当 x 3, y 4 时， x y (3) (4) 7.
变式训练1：解不等式： x 3 1.
解不等式 x 1 x 3 4
找零点，分范围
为了利用绝对值的定义去绝对值符号， 要判断两个绝对值符号内数值的正负，可以 找出它们的临界点（零点），按零点将数轴 分段，再在各段内进行分类讨论.
巩固训练：| 2x 1| | x 2 | 4
例3. 已知： x 3, y 4 ，求 x y 的值.
分析：
当 a 为正数时，a a 1；当 a 为负数时，a a 1.
aa
a a
b 、 c 的情况类似.本题应根据 a 、b 、 c 所有可能出现 的符号情况进行讨论.
Hale Waihona Puke 本讲内容到此结束。 谢谢大家！
结束语
谢谢大家聆听！！！
18
小结
在解答某些数学问题时，有时会遇到 多种情况，这时需要对各种情况加以分类， 并逐类求解，然后综合得解，这就是分类 讨论．分类讨论是一种重要的数学思想， 同时也是一种重要的解题策略.
数学 初高中衔接 学案 第一讲 绝对值
第一讲 绝对值【学习目标】1．借助数轴，理解绝对值的概念.2. 理解绝对值的代数意义，能根据条件化简绝对值.3. 通过图形的探索理解绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想.【重点难点】绝对值的代数意义与几何意义应用，解含有绝对值的方程和不等式.【自主学习过程】知识提炼：1. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ,0的绝对值是 . 即⎪⎩⎪⎨⎧=a2. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到 的距离．3.绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是 ，即|x|≥0，绝对值最小的数是 .2. 任何数都有唯一的绝对值，并且任何数都不大于它的绝对值，即x |x|.3. 若两个数的绝对值相等，则这两个数 .【典例分析】例1 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b变式训练1 已知a ＜-2＜0＜b ＜2，去掉下列各式的绝对值符号： .1)3(,)2(,2)1(++-a bb a a例2 解不等式：|1|4x ->变式训练2 解不等式：(1) |5|5x +<(2) |3|20x -+>例3 解方程：|1||3|4x x -+-=变式训练3（1.） 如果||||5a b +=，且1a =-，则b = ；若|1|2,c -=则c = . （2.）解方程|2||4|8x x -++=.【课堂达标评价】1、 下列说法不正确的是（ ）.A. 有理数的绝对值一定是正数B. 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远C. 一个有理数的绝对值一定不是负数D. 两个互为相反数的绝对值相等2. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. a a 1> D. 01>+a3. 已知数轴上的三点A,B ，C 分别表示有理数a ,1,-1,那么1+a 表示（ ）.A. A,B 两点的距离B. A,C 两点的距离C. A,B 两点到原点的距离之和D. A,C 两点到原点的距离之和4. 如果有理数y x ,满足012)1(2=+-+-y x x ，则=+22y x .5. 解下列方程或者不等式：（1）512=+x ； （2）021=+--x x ； （3）32≥-x .第一讲 绝对值 课后作业1. 已知a 为有理数，下列式子一定正确的是（ ）.A ．︱a ︱＝aB ．︱a ︱≥aC ．︱a ︱＝－aD ． 2a ＞02. 下列不等式变形正确的是（ ）.A.由a<b ，得a-2>b-2B.由a<b ，得-2a>-2bC.由a<b ，得∣a ∣<∣b ∣D.由a<b ，得a 2<b 2 3. x =y ，那么x 和y 的关系 .4. 已知=+-=-==b a a b b a b a 那么且,,3,5 .5. 解下列方程或者不等式：（1）713=-x ； （2）135≤+x ； （3）238=+--x x .6. 化简：(1)|x+1|+|x-2|; (2)|1-3x|+|1+2x|．。
初高中数学衔接知识总汇
初高中数学衔接知识总汇(总68页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。
4.两个重要绝对值不等式：a x a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a问题导入：问题1：化简：（1）：12-x （2) : 31-+-x x问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x ; （2）: 5223=--x问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和3.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______ 4.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x5.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。
6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。
初高衔接课程1 绝对值、二次根式、分式运算
(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．1A 0 C |x －1||x －3|图1．1－1练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)解法二：(3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（11===，1110=，>（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1（22．3．（三）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是 。
初高中数学衔接课程教案3.1绝对值⑴
§3.1 绝对值⑴同学们,大家好:今天和大家一起来学习绝对值第1课.我们在初中学过绝对值的定义,大家还记得吗？绝对值定义:正数的绝对值是正数,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 |a|=⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a<0,如|3.2|=3.2,|－2.9|=2.9,|0|=0. 注意:这里是将a 分成两种情况,a ≥0或a<0,各得到一个结果.不能理解为|a|有两个结果,一定不要写成|a|=±a.我们还学过绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示这个数的点到原点的距离.求解绝对值问题的常用方法:⑴运用绝对值定义分类讨论;⑵根据绝对值的几何意义,或函数的图象,利用数形结合解题;⑶利用平方去绝对值.例1 解方程:⑴|x －2|=3 ⑵|x+1|=|2x －3|解法1(分类讨论):⑴|x －2|=3⇔x －2=3或x －2=－3,∴x 1=5, x 2=－1.⑵|x+1|=|2x －3|⇔x+1=2x －3或x+1=－(2x －3),∴x 1=4, x 2=－23. 解法2(平方法):⑴|x －2|=3⇔(x －2)2=32,整理得x 2－4x －5=0,解此一元二次方程得x 1=5, x 2=－1.⑵|x+1|=|2x －3|⇔(x+1)2=(2x －3)2,整理得3x 2－14x+8=0,解此一元二次方程得x 1=4, x 2=－23. 注:1.绝对值方程解法:⑴|x|=a(a>0)⇔x=a 或x=－a;⑵|f(x)|=a(a>0)⇔f(x)=a 或f(x)=－a;⑶|f(x)|=|g(x)|⇔[f(x)]2=[g(x)]2.这里f(x),g(x)表示含x 的代数式.例2 解不等式:⑴|x|<2⑵|x|≥3解法1(分类讨论): ⑴若x ≥0,则x<2,取0≤x<2;若x<0,则－x<2,即x>－2,取－2<x<0.∴原不等式的解－2<x<2.⑵若x ≥0,则x ≥3;若x<0,则－x ≥3,即x ≤－3,∴原不等式的解x ≤－3或x ≥3. 解法2(利用绝对值的几何意义解题)⑴|x|<2,就是数轴上表示x 的点到原点距离小于2,∴原不等式的解－2<x<2.⑵|x|≥3,就是数轴上表示x 的点到原点距离大于或等于3,∴原不等式的解x ≤－3,或x ≥3.例3 解不等式:⑴|x －1|>3 ⑵|x+1|<|2x －3|⑴解: |x －1|>3⇔x －1<－3或x －1>3,∴原不等式的解x<－2或x>4.⑵分析:因为此题含有两个绝对值,要对绝对值内“整体”的正负进行分类讨论,去掉绝对值.解法1:由x+1=0得,x=－1,由2x －3=0得x=32. 若x<－1,则x+1<0,2x －3<0,原不等式化为－(x+1)<－(2x －3),解得x<4,取x<－1.若－1≤x<32,则x+1≥0,2x －3<0,原不等式化为x+1<－(2x －3),解得x<23,取－1≤x<23. 若x ≥32,则x+1>0,2x －3≥0,原不等式化为x+1<2x －3,解得x>4,取x>4. ∴原不等式的解x<23,或x>4. 分析:此题已知两个绝对值的大小,也可以两边平方,去掉绝对值.解法2: |x+1|<|2x －3|⇔(x+1)2<(2x －3)2,整理得3x 2－14x+8>0,此不等式称为一元二次不等式,我们将在后面专门学习此类不等式的解法.注:2.绝对值不等式解法:⑴|x|<a(a>0)⇔－a<x<a; |x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a⑵|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a; |f(x)|>a(a>0)⇔f(x)<－a或f(x)>a;⑶|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2; |f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.小结:本节课我们一起研究了绝对值的定义、绝对值的几何意义,重点是含绝对值的方程和不等式的解法:1.利用绝对值定义分类讨论:⑴|x|=a(a>0)⇔x=a或x=－a;⑵|f(x)|=a(a>0)⇔f(x)=a或f(x)=－a;2.利用绝对值的几何意义,数形结合求解:⑶|x|<a(a>0)⇔－a<x<a; |x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a⑷|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a; |f(x)|>a(a>0)⇔f(x)<－a或f(x)>a;3.利用平方法,去绝对值:⑸|f(x)|=|g(x)|⇔[f(x)]2=[g(x)]2.⑹|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2; |f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.一定要注意,式子两边要“同正”,才能平方.如|x|=－2,此题无解,但如果两边平方,得x2=4,此式有解,矛盾.错误原因是原式两边异号,是不相等的,平方后,两边同正,反而相等了,导致错解.下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成,下节课我们先讲评练习.。