培优反比例函数辅导专题训练含详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP的解析式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC?AR+ OC?PS
= ×3×4+ ×3×1= ，
∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，
设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，
联立，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）解：∠PAQ=∠PBQ．
理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．
当y=0时， x+ ﹣1=0，
解得：x=c﹣4，
∴D（c﹣4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED．
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ．
【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ
交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
2．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式；
（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．
【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，
∴A的坐标是（2，3），
代入y= 得3= ，
解得：k=6
（2）解：OD=2+2=4，
在y= 中令x=4，解得y= ．
则C的坐标是（4，）．
设AC的解析式是y=mx+n，
根据题意得：，
解得：，
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB?AB= ×2×3=3；
直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD?CD= ×4× =3．
在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）?BD= （3+ ）×2= ．
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
3．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵
坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．
【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，
∴OA= =2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB?sin∠BOD= ，OD= OB=1，
∴B点坐标为（﹣1，），
将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，
∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上
（3）解：由y=﹣得xy=﹣，
∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，
∴m2+2 m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是，
∴OM?QM= ，
∵m＜0，∴mn=﹣1，
∴m2n2+2 mn2+n2=0，
∴n2﹣2 n=﹣1，
∴n2﹣2 n+9=8．
【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由
△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣，
∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，
∴﹣2m=﹣6，
∴m=3，
∴B（3，﹣2），
∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，
设点Q（n，﹣），
∴﹣ =﹣n+c，
∴c=n﹣，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，
∴P（1，n﹣﹣1），
∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，
∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），
∴AB2=50，
∵AB=PQ，
∴50=2（n﹣1）2，
∴n=﹣4或6，
∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．
5．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，
使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．
【答案】（1）（3，0）
（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．
∵点E（2，m）在直线AC上，
∴m=﹣ ×2+ = ，
∴点E（2，）．
∵反比例函数y= 的图象经过点E，
∴k=2× =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．
在y= 中，当x=3时，y=1，
∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴，解得，
∴y=﹣ x+ ．
设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，
代入M（3，﹣0.5），得：c=1，
∴y=﹣ x+1．
当x=1时，y=0.5，
∴点P（1，0.5）．
同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．
【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案为（3，0）；
【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解
析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接
EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．
6．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．
（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；
（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；
（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．
【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：
正方形ABCD的边长为．
（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：
设正方形边长为a，易得3a= ，
解得a= ，此时正方形的边长为．
∴所求“伴侣正方形”的边长为或
（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，
易证△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵点D的坐标为（2，m），m＜2，
∴DE=OA=BF=m，
∴OB=AE=CF=2﹣m．
∴OF=BF+OB=2，
∴点C的坐标为（2﹣m，2）．
∴2m=2（2﹣m），解得m=1．
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开
口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶
点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；
b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，
c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在
d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶
点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；
e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D
的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；
f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；
故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+
【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．
（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．
7．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；
（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．
【答案】（1）3；
（2）﹣4
（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），
；
②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，
由得，即点M（﹣，），
由得：，即点N（﹣，），
则﹣≤x≤﹣，
图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），
即图形W与图形N之间的距离为d，
d=
=
=
∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，
即图形W和图形N之间的距离．
【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，
故答案分别为：3，；
（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，
∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，
由得，即点F（﹣，），
则OF= = ，
∴OE=OF+EF=2 ，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，
则有OG=EG= OE=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
故答案为：﹣4；
【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；
（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.
（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；
②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.
8．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．
（1）k的值是________；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=
图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形
CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．
【答案】（1）﹣2
（2）3
【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，
n+2），
依题意得：，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BO∥CE，
∴△AOB∽△AEC．
又∵ = ，
∴ = = ．
令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，
∴BO=b；
令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，
解得：x= ，即AO= ．
∵△AOB∽△AEC，且 = ，
∴．
∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．
∵OE?CE=|﹣4|=4，即 b2=4，
解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．
故答案为：3 ．
【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；
（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出
==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
9．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA?PB= ，求点M的坐标．
【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）
∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）
∵顶点在直线y=x+3上，
∴﹣2+3=m﹣1，
得m=2；
（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为： a2+a+2，
即点N（a， a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，
∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，
=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，
而NB2=（ a2+a+2）2，
=（ a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2，
NF=NB
（3）解：连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，
∴∠MAF=∠MFA，
∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，
∴MA∥NB，
∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，
∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，
∵∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠FBA+∠FAB=90°，
又∵∠FAB+∠MAF=90°，
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，
又∵∠FPA=∠BPF，
∴△PFA∽△PBF，
∴ = ，PF2=PA×PB= ，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，
PG= = ，
∴PO=PG+GO= ，
∴P（﹣，0）
设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，
∴直线PF：y= x+ ，
解方程 x2+x+2= x+ ，
得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），
当x=﹣3时，y= ，
∴M（﹣3，）．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2，即可得出到NF=NB。
（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。
10．如图，过原点O的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线于点P.
（1）当m＝2时，求n的值；
（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；
（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求△PBE的面积.
【答案】（1）解：∵点A（m，n）在双曲线y＝上，
∴mn＝6，
∵m＝2，
∴n＝3；
（2）解：由（1）知，mn＝6，
∵m＝3，
∴n＝2，
∴A（3，2），
∵OD：OE＝1：2，
设OD＝a，则OE＝2a，
∵点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，
∴D（a，0），E（0，﹣2a），
∴直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，
∵点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，
∴6﹣2a＝2，
∴a＝2，
∴直线DE的解析式为y＝2x﹣4①，
∵双曲线的解析式为y＝②，
联立①②解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或，
∴P（﹣2，﹣3）；
（3）解：∵AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），∴E（0，﹣n），D（ m，0），
∴直线DE的解析式为y＝ x﹣n，
∵mn＝6，
∴m＝，
∴y＝ x﹣n③，
∵双曲线的解析式为y＝④，
联立③④解得，
∴（点A的横纵坐标，所以舍去）或，
∴P（﹣2m，﹣2n），
∵A（m，n），
∴直线AB的解析式为y＝x⑤.
联立④⑤解得，（点A的横纵坐标，所以舍去）或
反比例函数培优生试题讲义
第六章反比例函数培优生试题讲义 （资料编辑：薛思优） 1．如图，函数y=与y=﹣kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（） A．B．C．D． 2．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图 象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（） A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变 3．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（） A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2 4．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（） ①常数m＜1； ②y随x的增大而减小； ③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=； ④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上． A．①②③B．①③④C．①②③④D．①④ 5．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C， 过点D作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF=；④方程 2x2﹣2x﹣k=0有解． 其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．反比例函数的图象上有两点M，N，那么图中阴影部分面积最大的是（） A．B．C．D．
7．如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=（k1≠0）过B点，反比例函数y=（k2 ≠0）过C、D点，OC=BC，B（2，3），则D点的坐标为（） A．（，）B．（，）C．（，）D．（，） 8．如图，直线y=﹣x+b与双曲线交于点A、B，则不等式组的 解集为（） A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或x＞2 C．﹣1＜x≤1 D．﹣1＜x＜1 9．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 10．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，﹣2），当自变量x＞1时，函数值y的取值范围是（）A．y＞1 B．y＜1 C．y＞2 D．0＜y＜2 11．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、 D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF 与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（） A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2 13．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（） A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4） 14．若直线y=2x﹣1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣2，﹣3）D．（2，12） 15．如图，反比例函数y=﹣（x＞0）图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连接EF、OE、OF，则△OEF的面积是（） A．B．C．D．
中考数学培优专题复习反比例函数练习题附答案.doc
中考数学培优专题复习反比例函数练习题附答案 一、反比例函数 1．如图，已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A，曲线 DE 是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，记作 G1，且 D（ 3， m）、 E（12， m﹣3），将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位，得到抛物线 G2． （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为 ________； （3）点（ 6，n ）为 G1与 G2的交点坐标，求 a 的值． （4）解：在移动过程中，若G1与 G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于M、 N 两点，若MN ＜，直接写出 a 的取值范围． 【答案】（1）把 D（ 3， m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得，解得， 所以双曲线的解析式为y=； （2） 2 （3）解：把（ 6， n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（ 6， 2），抛物线 G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9， 把（ 6， 2）代入 y=﹣（ x﹣ a）2 +9 得﹣（ 6﹣ a）2+9=2，解得 a=6 ±， 即 a 的值为 6±； （4）抛物线 G2 的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9， 把 D（ 3，4）代入 y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣或 a=3+ ； 把 E（ 12， 1 ）代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 12﹣ a）2+9=1，解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ； ∵G1 2 与 G 有两个交点， ∴3+ ≤ a ≤﹣12 ， 设直线 DE 的解析式为y=px+q，
反比例函数培优习题精选
反比例函数习题精选 1、如图1，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x 1 y = 于点A ，连结OA 。 （1） 如图1，当点P 在x 轴的正方向上运动时，Rt △AOP 的面积大小是否变化若不变， 请求出Rt △AOP 的面积；若改变，请说明理由。 （2）如图2，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x 1 y =于 点B ，连结BO 交AP 于点C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是 。 （3）如图3，AO 的延长线与双 曲线x 1 y =的另一个交点是F ， FH ⊥x 轴，垂足为H ，连接AH ，PE ，试证明四边形APFH 的面积是一个常数。 ； 2、如图2，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点c 在y 轴上， 点B 在函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上，点P(m,n)是函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂中足分别是E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部份的面积为S 。 （1）求B 点的坐标和k 的值。 （2）当S=2 9 时，求点P 的坐标。 （3）写出S 关于m 的函数关系式。 ￥
3、如图3，直线2x 2 1 +分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥ x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9。 （1）求点P 的坐标。 （2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 和△AOC 相似时，求点R 的坐标。 # 4、如图4，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数x m y = 的图象交于A 、B 两点。 （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。 】 5、如图5，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=x k (k ≠0) 的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B 。 （1）求实数k 的取值范围。 (2)若△AOB 的面积为24，求k 的值。 ! 6、已知如图6，反比例函数x 8 y -=与一次函数y=-x+2的图象交于A 、B 两点，求： （1）A 、B 两点的坐标。
南京备战中考数学反比例函数(大题培优易错试卷)
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于 D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值； （2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得， 所以一次函数解析式为y= x+ ， 把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2； （3）解：如下图所示： 设P点坐标为（t，t+ ）， ∵△PCA和△PDB面积相等， ∴? ?（t+4）= ?1?（2﹣t﹣），即得t=﹣，
∴P点坐标为（﹣，）． 【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到? ?（t+4）= ?1?（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标． 2．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点 C． （1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标． （2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标． （3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）． 【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3， ∴y= ， ∵B（3，y2）在反比例函数的图象上， ∴y2= =1， ∴B（3，1）， ∵直线y=ax+b经过A、B两点， ∴解得， ∴直线为y=﹣x+4， 令y=0，则x=4， ∴P（4，O）
反比例函数培优专题
反比例函数 1．函数y ax a =-与a y x = （a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 2．已知反比例函数1 y x = ，下列结论不正确．．．的是 (A)图象经过点(1,1) (B)图象在第一、三象限 (C)当1x >时，01y << (D)当0x <时，y 随着x 的增大而增大 3．反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是(▲) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 4．如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2- =交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 5．函数y 1＝x （x ≥0），y 2＝4 x （x>0）的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ②当x >2时，y 2>y 1； ③直线x ＝1分别与两函数图象相交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④当x 逐渐增大时，y 1的值随x 的增大而增大，y 2的值随x 的增大减少． 其中正确的是（ ） A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④ y y 1＝x y 2＝4x x 第5题图
6．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x = 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 （ ） A ． 等于2 B ．等于 3 4 C ．等于 245 D ．无法确定 7．如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB ＝18，BC ＝12，AC ＝9，对 角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图像上的是（ ） A ．点G B ．点E C ．点D D ．点F ． 8．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC .若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为（ ） A ．1y x = B ．y = C ．y = D ．y = （第7题）
初三数学中考培优试题
初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
反比例函数培优-含答案
专题11 双曲线 阅读与思考 形如(0)k y k x =≠的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中. 反比例函数的基本性质有： 1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交； 2. k 的正负性，决定双曲线大致位置及y 随x 的变化情况； 3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y x =及y x =-. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同. 反比例函数k y x =中k 的几何意义是：k 等于双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图： （1）12AOB S k =△； （2）ACOB S k =矩形. 求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到. 求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标. 解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性. 反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识. 例题与求解 【例1】（1）如图，已知双曲线(0)k y x x =>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = . （兰州市中考试题）
反比例函数培优试题
反比例函数培优试题 1、如图1，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x 1 y = 于点A ，连结OA 。 （1） 如图1，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变， 请求出R t △AOP 的面积；若改变，请说明理由。 （2）如图2，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x 1 y =于 点B ，连结BO 交AP 于点C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系 是 。 （3）如图3，AO 的延长线与双 曲线x 1 y =的另一个交点是F ， F H ⊥x 轴，垂足为H ，连接AH ，PE ，试证明四边形APFH 的面积是一个常数。 2、如图2，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点c 在y 轴 上，点B 在函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上，点P(m,n)是函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂中足分别是E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部份的面积为S 。 （1）求B 点的坐标和k 的值。 （2）当S=2 9 时，求点P 的坐标。 （3）写出S 关于m 的函数关系式。
3、如图3，直线2x 2 1 +分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，P B ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9。 （1）求点P 的坐标。 （2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 和△AOC 相似时，求点R 的坐标。 4、如图4，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数 x m y =的图 象交于A 、B 两点。 （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。 5、如图5，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=x k (k ≠0) 的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B 。 （1）求实数k 的取值范围。 (2)若△AOB 的面积为24，求k 的值。 6、已知如图6，反比例函数x 8 y -=与一次函数y=-x+2的图象交于A 、B 两点，求： （1）A 、B 两点的坐标。 （2）求△AOB 的面积。 7、如图7，一次函数的图象经过一、二、三象限，且与
北师大版九年级数学 反比例函数 培优专题训练(有答案)
北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】 （1）反比例函数y＝的图象位于（） A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限 （2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（） A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2 （3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（） A.-4 B.4 C.-2 D.2 图Z3-4-1 图Z3-4-2 （4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（） A.S1＝S2+S3 B.S2＝S3 C.S3>S2>S1 D.S1S2 （5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝ （m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线， 垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ） A.-7 B.-8 C.8 D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝ 的图象相交于A ，B 两点，则 使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ） A.-2 反比例函数的图像与性质 一、重点难点分析： 1.反比例函数的解析式有三种形式：为常数，） 2.用待定系数法求反比例函数的关系式分两步：一是设，设所求反比例函数的关系式的 ，二是代，把已知的一组x，y的值代入上式，求出反比例系数k，归根结底求反 比例函数关系式就是求比例系数。 3.反比例函数图像是关于原点对称的双曲线，双曲线的位置和增减性由比例系数k决定， 当K＞0，双曲线的两个分支分别位于第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二，四象限，在每一个象限内，y随x 的增大而增大，但两个分支都无限接近但永远不能到达x，y轴。 难点分析： 1.若两个变量之比等于定值（常数），则这两个变量成正比例；若两个变量之积等于定值 （常数），则这两个变量成反比例。 2.反比例函数的比例系数，自变量x的取值范围是x≠0，但在实际问题中，自变量 的取值范围要符合实际意义。 3.反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心为原点），又是轴对称图形（对称轴是 一，三或二，四象限角平分线） 4.过反比例函数图像上的点作一条坐标轴的垂线段，则该点与垂足，原点组成的直角三角 形面积，这一特征可用于解决与反比例函数有关的图形面积问题。很多 人把这叫做k的几何意义。 5.反比例函数是最简单的函数，因为它只有一个字母系数。考试出题的话，只能和几何图 形的面积融合在一起。 二、例题精选 例1.对于反比例函数，下列说法正确的是（） A.图形经过（1，-1） B.图像位于二、四象限 C.图像是中心对称图形 D.当x＜0时，y随x增大而增大 例2.如图，D是反比例函数(k＜0)的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=-x+m与y＝?x+2的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为______． 反比例函数培优训练题 1、在函数 1 y x =的图象上有三个点的坐标分别为（1， 1 y）、（ 1 2 ， 2 y）、（3-， 3 y），函数值y1、y2、y3的大小关系是. 2、已知点A（ 11 x y ，）、B（ 22 x y ，）是反比例函数 x k y=（0 > k）图象上的两点，若 2 1 0x x< <，则（） A． 2 1 0y y< 20XX年全国各地中考数学精选反比例函数培优题 （附答案） 1. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分 别平行于坐标轴，点C在反比例函数 221 k k y x ++ =的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为 A．1 B．－3 C．4 D．1或－3 2. （2011四川乐山10，3分）（6），直线6 y x =-交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 4 (0) y x x =>图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF BE ?= A．8 B．6 C．4 D．62 3（2011山东东营，10，3分）, 如图直线l和双曲线(0) k y k x =>交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△B OD面积是S2、△P OE面积是S3、则（） A S1 y x O y x O y x O y x O A B C D 5. （2011浙江台州，9,4分）如图，反比例函数x m y = 的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程 x m =b kx -的解为（ ） A. －3,1 B. －3,3 C. －1,1 D.3，-1 6. （2011河北，12，3分）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ，连接OP,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，x 2 y = ，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90° 图5—2 图5—1 输出y 取相反数 4 2 取倒数 取倒数 输入非零数x P Q M 其中正确的结论是（ ） A ．①②④ B ．②④⑤ C ．③④⑤ D ．②③⑤ 7 （2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=x +2与双曲线y=x m 3 -在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ） 第六章反比例函数培优生试题讲义 (资料编辑：薛思优) 1.如图,函数y＝与ｙ=﹣kx+1(k≠0)在同一直角坐标系中的图象大致为( ) A．?B. C.D． 2.如图,等腰三角形ABC的顶点A在原点,顶点Ｂ在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动,且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（) A.一直不变?Ｂ.先增大后减小 C.先减小后增大?D．先增大后不变 3.函数ｙ＝(m2﹣m）是反比例函数,则( ) A.m≠0?Ｂ.ｍ≠0且m≠1 C．m＝2? D.ｍ=1或2 4.反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论正确的是( ） ①常数m<１； ②y随x的增大而减小； ③若Ａ为x轴上一点，Ｂ为反比例函数上一点，则S△ＡＢC=; ④若P(x,ｙ）在图象上，则P′(﹣ｘ,﹣ｙ)也在图象上. Ａ.①②③?Ｂ．①③④?Ｃ．①②③④D．①④ 5．如图,在直角坐标系中,直线y1=2x﹣２与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y２＝(ｘ>0)交于点C,过点D作CD⊥x轴,垂足为D，且OA=ＡＤ，则以下结论： ①S△ADB＝S△ADC;②当０ 7.如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=(k1≠0）过B点,反比例函数y=(k2≠0）过C、Ｄ点，OC=ＢＣ,B(2,3），则D点的坐标为（) A.(,)?B．(,）?C．（,)?Ｄ．(，) ８.如图，直线y=﹣x+b与双曲线交于点A、B，则不等式组的 解集为( ) Ａ．﹣1＜x<0 Ｂ．x＜﹣1或ｘ＞2?C．﹣1 实用文档反比例函数 a ）a（≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（1．函数与a?y?ax?y x 1?y的是2．已知反比例函数，下列结论不正确．．．x(1,1)图象在第一、三象限(B) (A)图象经过点 y x1y?0?0?xx?1随着时，的增大而增大(C)当时，(D)当 6?y x0??x?x，图象上有三个点，．反比例函数，，其中3)y(x，(x，y))(x，y312123312xyyy) (，▲则的大小关系是， 321yy?y?y?yy?yy?yy?y?y?．C．A ．D．B3121221133322)yx,,y),B(A(x??y)?0y?kx(k 则,与双曲线线4．如图,直交于两点2211xy8x?3xy( ) 的值为1122y y xy＝1Aox4 ＝y2x B x 题图第5 A.-5 B.-10 C.5 D.10 4 x>0）的图象如图所示，下列结论：＝≥0），y（＝5．函数yx（x21x 2）；①两函数图象的交点坐标为A（2，；时，y>yx②当>212的长为；3、1分别与两函数图象相交于BC两点，则线段BC＝③直线x的增大而增大，y的值随x的值随x的增大减少．y④当x逐渐增大时，21其中正确的是（） A．只有①②B．只有①③C．只有②④D．只有①③④ 标准文案． 实用文档 k y x CABABCOAOAOBCAO的底边⊥在的双曲线如图，已知梯形轴上，，过点∥交，6．x OBDOD：DB=△OBCk的值（，则，且 1:2，若）的面积等于3于324 D等于2 B．等于．无法确定 C．等于 A．54y BD题）（第7 xAO题）（第6 ，对＝9＝12，AC⊥OB，OB＝18，BCAC7．如图，已知在直角梯形AOBC中，∥OB，CB为原点，直的中点，以OBD、BC分别是E、F、GCD、角线OC、AB交于点D，点在同一反比例函四个点中与点AD、F为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、线OB ）数图像上的是（．D．点FC．点D GA．点B．点E kBC、，分别与AB0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M＞8．如图，反比例函数y＝(x x 的 值为，则kE．若四边形ODBE的面积为6相交于点D、y E B C D M x OA 4 D．C．3 2 A．1 B．.OABC的面积是x经过点A，菱形直线已知菱形．如图所示，OABC，点C在x轴上，y=92 ），则此反比例函数表达式为（若 九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析 一、反比例函数 1．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”． （1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围； （3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”， 理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1， ∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大， ∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1， 即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数” （2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a， ∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）， ∴顶点坐标为：（1，a﹣1）， 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上， ∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a， ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即， ∴0≤a≤1 （3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4， ∵y= +2x﹣4 反比例函数 一、例题分析 例1、如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程x m b kx =+的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<- +x m b kx 的解集（请直接写出答案）. 例2、在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)k y k x = ≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若 该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P ，且OP =，则实数k=________ _. 例3、直线y =a 分别与直线x y 2 1= 和双曲线x y 1 =交于A 、D 两点，过点A 、D 分别作x 轴的垂线段，垂足 为点B ，C . 若四边形ABCD 是正方形，则a 的值为 ． 例4、如图，已知△OP 1A 1、△A 1P 2A 2、△A 2P 3A 3、……均为等腰直角三角形，直角顶点P 1、P 2、 P 3、……在 函数4 y x = （x ＞0）图象上，点A 1、A 2、 A 3、……在x 轴的正半轴上， 则点P 2012的横坐标为 . 例5、已知：如图，矩形OABC 的边OA 在x 轴的负半轴 上，边OC 在y 轴的正半轴上，且OA=2OC ，直线 y=x+b 过点C ，并且交对角线OB 于点E ，交x 轴于 点D ，反比例函数x a y = 过点E 且交AB 于点M ， 交BC 于点N ，连接MN 、OM 、ON,若△OMN 的面积 是9 80 ，则a 、b 的值分别为 例6如图，Rt ABO ?中，90,3,ABO AC BC D OA ∠==为中点， 反比例函数经过C 、D 两点，若ACD ?的面积为3，则反比例函数 的解析式为（ ） A 、2y x = B 、2y x =- C 、4y x = D 、4y x =- 例7如图，在直角坐标系中，点P 为菱形OACB 的对角线AB 、OC 的交点，其中点B 、P 在双曲线(x 0)k y x => 上。若点P 的坐标为（1，2）， 则点A 的坐标是（ ） A 、10(1,)3- B 、7 (2,)2- C 、1314(,)99- D 、18(3,)5 - 反比例函数专题综合讲解(解答题) 1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． 【答案】解：（1）∵已知反比例函数经过点， ∴，即∴∴A(1，2) ∵一次函数的图象经过点A(1，2)， ∴∴ ∴反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为。 （2）由消去，得。即,∴或。 ∴或。∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。 由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。 2．（2010江苏徐州）如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的 两个交点，直线AB与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC的面积； (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)． 【答案】 3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象 限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交轴、轴于点C 、D ， 且S △PBD =4， ． （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例 函数的值的的取值范围. 【答案】解：（1）在 中，令 得 ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC ∵ ∴ ∴AP =6 又∵BD = ∴由S △PBD =4可得BP =2 ∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入 与 可得 一次函数解析式为：y =2x +2 反比例函数解析式为： （3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润 为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即 ；②当 时， ，所以当 ＞5时， ； ⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月． 5．（2010 山东）如图,已知直线 与双曲线 交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值； （2）若双曲线 上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； y x P B D A O C y x O y x O y x O y x O 全国各地中考数学精选反比例函数培优题 1.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221 k k y x ++=的 图象上。若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为 A ．1 B ．－3 C ．4 D ．1或－3 2.直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4 (0)y x x =>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。则AF BE ?= A ．8 B ．6 C ．4 D ．62 3 如图直线l 和双曲线(0)k y k x = >交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ） A S1反比例函数培优题
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