图论及其应用论文
图论在多播生成树快速算法的应用 摘要：为了有效地支持多播通信,路由(路径)选择是一个关键问题。路由选择负责对源与目的结点间的多条可行路径根据某种目标加以选择、例如网络资源消耗最低化就是路由选择的重要目标。解决多播路由的方法涉及到“树”的构造,如果能构造出合理的多播树,就可以在满足业务需要的前提下,尽量少占用网络资源。
本篇论文以图论为基础，主要探讨和研究了多播生成树问题。主要探讨了单约束的单树多播这种情况，介绍了经典的Dijkstra算法，并在此基础上提出了动态最短路径树算法。
关键词: 图论 路由 最短路径 多播树 Dijkstra算法 1.多播生成树问题的提出
随着Internet的爆炸性发展，在Internet上产生了许多新的应用，其中有很多是高带宽的多媒体应用，这就带来了带宽的急剧消耗和网络拥挤问题。为了缓解这一问题，人们提出了IP多播技术。多播技术是一种允许一个或多个发送者（多播源）发送单一的数据包到多个接收者的网络技术。该技术有助于缓解当前Internet上膨胀的业务量而导致的拥塞问题。
为了有效地支持多播通信,路由(或路径)选择是一个需要讨论的关键问题。路由选择负责对源与目的结点间的多条可行路径根据某种目标加以选择。路由选择算法是计算机网络中的一个重要研究课题,它直接关系到网络效率、传输延迟和吞吐量等通信网络的主要技术性能指标。路由选择算法的设计一般包括以下内容:首先对一个网络的链路进行准确描述,定义链路代价函数(一般可由信道容量、信道利用率或报文延迟时间这几种因素确定),计算最短路径,建立路由选择表或路由数据库。根据网络拓扑和子网款式选择适当算法,并设计出实现算法的过程,模拟测试和运行。其中计算最短路径是整个设计过程中较为关键的一环。
多播路由选择要保证实现的目标是,数据能够到达所有的接收者。同时,在整个通信网络的任何一条链路上数据最多传送一次。在一条链路上是否传输数据依赖于此链路上是否有该数据的接收者。多播之所以能节约带宽,就是因为在网络的任何一条链路上数据最多传送一次。要实现这个目标,多播的传输就不能像单播一样点到点地传输,而要采用树的传输方式。一般采用多播生成树来描述多播数据包在网络中经过的路径。将多播路径基于树结构有两点理由: (1)信息可以沿着树枝并行地传送到不同的目的地; (2)仅在树叉处复制信息,传送信息的拷贝数最小,从而使网络流量最低,占用的网络资源最少。
多播树的质量评价一般有两个尺度,最短路径和最小代价。最短路径和最小代价可以被表述为不同的函数,如最小代价可以表述为使用缓冲区的数量、占用信道的所需交纳的费用,包丢失率等;最短路径可以表述为传输、处理、排队时延的结合。多播生成树算法沿着优化这两个尺度(最短路径和最小代价)的方向,己经有了很大的发展。
2.多播生成树问题的图论基础
2.1.树 给定一个图G=(V,E),如果它不含任何回路,我们就叫它是林,如果G又是连通的,即这个林只有一个连通支,就称它是树。树是图论中最重要的概念之一,在自然和社会科学中的许多领域都有广泛的应用。
定义1一个不含任何回路的连通图称为树,用T表示。T中的边称为树枝,度为1的结点称为树叶。
树的每条边都不会属于任何回路。这样的边叫割边。 定义2设e是图G的一条边,若G`=G-e比G的连通支数增加,则称e是G的一条割边。 显然,图G删去割边=e（u,v)之后,结点u和v分属于不同的连通支。 定理1 e=(u,v)是割边,当且仅当e不属于G的任何回路。 定理2设T是结点数为n≥2的树,则下列性质等价: 1.T连通且无回路。 2.T连通且每条边都是割边。 3.T连通且有n-1条边。 4.T有n-1条边且无回路。 5.T的任意两结点间有唯一道路。 6.T无回路,但在任两结点间加上一条边后恰有一个回路. 定理3树T中一定存在树叶结点。 定义3如果T是图G的支撑子图,而且又是一棵树,则称r是G的一棵支撑树,或称生成树,又简称为G的树。
2.2.多播网络模型
为简化对问题的讨论,我们通常将一个通信网络表示为一个带权无向图G=(V，E，C)，其中V代表网络中结点(Node)的集合;E是一组边(edge)的集合,|V|和|E|分别代表结点和边的数目。每条边用对应的两个结点u,v来表示:(u,v)一对结点对应的两条边u(,v)和(v,u)费用相等,即这两条边对称;C是各边对应费用(cost)的集合。图G中结点v的度(degree)是指与v关联的边的条数。
在多播网络中数据包由源结点s∈V生成,并发送给所有的多播组成员,多播组成员结点他称为端结点)的集合M⊆V。由无向图G=(V,E,C)中生成一棵有向树T=(𝑉𝑡,𝐸𝑡)若满足以下三个
条件则称其为多播生成树:
1)𝑉𝑡⊆𝑉,𝐸𝑡⊆𝐸。
2)源结点s到每一个端结点都有通路,并且s的入度为0。,树中其余结点的入度为1。 3)端结点的出度大于或等于0,其余结点的出度均大于或等于1。 一棵多播树T的总费用是指树T中各边费用之和。 定义1最小代价多播生成树是所有生成树中,总费用最小的生成树。多播树中源结点s和端结点M以外的结点称为Steiner结点。
定义2最短路径:结点u,v ⊆V之间的最短路径是指从u到v代价最小的路径,用P(u,v)表示。结点u到树的最短路径是指该结点到树的各结点最短路径中代价最小的那条,该路径用PS(u,v)表示(u∈V−𝑉𝑡v∈𝑉𝑡),其中结点v被称为结点u的最小接应结点。结点到树的最短路径也被称
为树到结点的最短路径,结点到树最短路径的代价称为结点到树的最小距离。
定义3最短路径(最小时延)多播生成树是所有生成树中,源结点:到所有端结点的路径都是最短路径的生成树。即在给定的带权无向图G=(V,E,C)中,G的关于结点s的最短路径树是具有以下性质的G的一个子图T=(𝑉′,𝐸′,𝐶′)。
1 V=𝑉′。
2 T是连通且无回路的。 结点s到T中的其余结点(即V-s)的路径都是带权无向图G中的最短路径。 定义4路径结点:结点u(u∈V−𝑉𝑡)到生成树的最短路径上,结点与最小接应结点之间的Steiner
结点称为该结点的路径结点。
定义5卫星结点:在生成树中,一个端结点与邻近端结点之间的Steiner结点称为该端结点的卫星结点。
3.多播生成树基本算法
构建最短路径树和最小生成树在图论中最基本的算法是Dijkstra算法和Prim 算法,这两个经典算法几乎是所有其他单约束的单树多播算法的源泉和理论基础，本文主要介绍了Dijkstra算法。
Dijkstra算法 给定个一个带权无向图G=(V，E，C),源结点为s,构建最短路径树可以采用图论中的Dijkstra算法实现。
Dijkstra是解决关于带权图的最短路径问题的一种贪心算法,它要一个个地找出从源结点(s)出发到所有其他结点的最短路径。Dijkstra算法的本质特征是能够确定路径顺序,按照加权长度顺序首先找出最短路径,直至最后找出从源结点到所有结点的最短路径中最长的那一条最短路径。
首先,引进一个辅助向量D,它的每个分量D[i]表示当前所找到的从源点s到每个终点𝑣𝑖的最短路径的长度。它的初态为:若从s到𝑣𝑖有弧,则D[i]为弧上的权值;否则置D[i]为∞。显然长度为
D[j]=min{D[i] | 𝑣𝑖∈𝑉} 的路径就是从s出发长度最短的一条最短路径。此路径为(s,𝑣𝑗)。
假设改次最短路径的终点是𝑣𝑘,则可想而知,这条路径或者是(s,𝑣𝑘),或者是(s,𝑣𝑗,𝑣𝑘)。它的
长度或者是从s到𝑣𝑘的弧上的权值,或者是D[j]和从𝑣𝑗到𝑣𝑘的弧上的权值之和。
一般情况下,假设T为已求得最短路径的终点的集合,则可证明:下一条最短路径(设其终点为x)或者是弧(v,x),或者是中间只经过T中的顶点而最后到达顶点x的路径。
在一般情况下,下一条长度次短的最短路径的是 D[j]=min{D[i] | 𝑣𝑖∈𝑉−𝑇} 其中, D[i]或者是弧(s,𝑣𝑖)上的权值,或者是D[k](𝑣𝑘∈T)和弧(𝑣𝑘,𝑣𝑖)上的权值之和。
根据以上分析,可以得到如下描述的算法: (1)设用带权的邻接矩阵arcs来表示带权图,arcs[i][j]表示弧(𝑣𝑘,𝑣𝑗)上的权值。若(𝑣𝑖,𝑣𝑗)不存在,
则置arcs[i][j]为∞(在计算机上可用允许的最大值代替)。T为已找到从s出发的最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。那么,从s出发到图上其余各顶点(终点)v,.可能达到的最短路径长度的初值为:
D[i]=arcs{Locate Vex(G,v)}[i] 𝑣𝑖∈𝑉 (2)选择𝑣𝑗,使得 D[j]=min{D[i] | 𝑣𝑖∈𝑉−𝑇} 𝑣𝑗
就是当前求得的一条从s出发的最短路径的终点。令T=T∪{j}
(3)修改从s出发到集合V-T上任一顶点𝑣𝑘可达的最短路径的长度。如果
D[j]+arcs[𝑗][k]则修改D[k]为 D[k]=D[j]+arcs[𝑗][k] (4)重复操作(2)、(3)共n-1次。由此求得从s到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。
4.网络最短路径的动态算法(DMDT)
通信网络中,一个结点到另一个结点最短路径的计算是许多路由算法的基础,该算法的优劣直接关系到最终路由选择的成败和优劣,对整个网络的性能有重要的影响。目前一般采用Dijkstra算法计算网络中点到点的最短路径。作为一种静态算法,Dijkstra算法无疑是现有算法中最优的。但当网络环境动态变化时,若仍然采用Dijkstra算法重新计算最短路径,会带来以下两方面的问题:一是计算复杂性较高,浪费大量的CPU时间。二是由于网络中有可能存在费用相同的两条或两条以上最短路径。完全重新计算有可能带来不必要的网络路由变化,使路由器频繁改变其路由表,造成网络状态的不稳定。
针对动态变化的网络环境,可以对Dijkstar算法进行改进,提出一种快速的动态最短路径算法DMDT。随机网络模型的仿真结果表明,用DMDT算法计算得到的最短路径与Dijkstra算法相同,但它计算所需的时间大大低于Dijkstra算法,其时间复杂度一般为O(mn),其中n为网络中结点数,m一般远小于n。DMDT算法所得到的最短路径树相对稳定,最大程度的利用了网络环境变化前已计算的最短路径树,避免了网络中路由表的频繁变化,使网络处于不稳定的状态。
动态最短路径算法的基本过程如下:
数学与应用数学论文范文
数学与应用数学论文范文摘要：本文旨在探讨数学与应用数学在现代社会中的广泛应用及重要性。
通过分析数学在物理学、计算机科学、经济学等领域的具体应用案例，阐述数学作为基础学科对于推动科技进步和社会发展的关键作用。
同时，对数学模型在解决实际问题中的构建和应用方法进行了研究，强调了培养数学思维和应用能力的重要性。
关键词：数学；应用数学；数学模型；实际应用一、引言数学作为一门古老而深邃的学科，其发展历程源远流长。
从古希腊时期的欧几里得几何，到现代的微积分、线性代数等，数学不断地拓展着人类认知世界的边界。
而应用数学则是将数学理论与实际问题相结合，为解决各种现实难题提供了有力的工具。
二、数学在物理学中的应用物理学与数学之间有着密不可分的联系。
例如，牛顿运动定律的表述和推导离不开微积分的应用。
在研究物体的运动轨迹、速度和加速度等问题时，微积分能够精确地描述这些变化量之间的关系。
爱因斯坦的相对论中，张量分析和黎曼几何等数学工具发挥了至关重要的作用。
通过复杂的数学运算和推理，揭示了时间和空间的相对性，颠覆了传统的牛顿力学观念。
量子力学中的薛定谔方程，也是基于数学中的偏微分方程理论建立起来的。
这些数学方程为物理学家理解微观世界的粒子行为提供了理论基础。
三、数学在计算机科学中的应用在计算机科学领域，数学的应用更是无处不在。
算法设计是计算机程序的核心，而算法的优劣往往取决于其背后的数学原理。
数据结构的设计和分析，如链表、栈、队列、树等，都需要运用数学中的集合论、图论等知识。
密码学中的加密和解密算法，如 RSA 算法，基于数论中的大素数分解难题，保障了信息的安全传输。
人工智能领域的机器学习和深度学习，离不开线性代数、概率论和统计学等数学知识。
神经网络的训练过程本质上是一个优化问题，需要运用梯度下降等数学方法来求解。
四、数学在经济学中的应用经济学研究中，数学模型的应用越来越广泛。
例如，在微观经济学中，消费者的需求函数和生产者的成本函数可以通过数学函数来表示，从而分析市场的供求关系和均衡价格。
数学毕业论文题目汇总
数学毕业论文题目汇总一、引言数学作为一门基础学科，在现代社会中具有重要的地位和作用。
数学毕业论文作为学生毕业的重要要求之一，要求学生在特定的领域或问题上进行深入研究，探索数学的新理论、新方法和新应用。
本文汇总了一些适合作为数学毕业论文的题目，旨在为即将毕业的学生提供一些启示和参考。
二、概率与统计1. 随机过程在金融衍生品定价中的应用研究主要研究基于随机过程的金融衍生品的定价模型，以及在金融市场中的应用。
2. 高维数据分析方法与应用探索高维数据分析的新方法，研究高维数据的降维、特征选择及模式识别等问题。
3. 贝叶斯统计在医学试验中的应用研究着重研究贝叶斯统计在医学试验设计和数据分析中的应用，探索其优势和局限性。
三、微分方程与动力系统1. 非线性偏微分方程的解析与数值方法研究综述非线性偏微分方程的解析解和数值解法，并进行其应用的案例研究。
2. 哈密顿系统的周期解及稳定性分析研究哈密顿系统的周期解的存在性和稳定性，并对其在动力学中的应用进行讨论。
3. 离散动力系统的混沌行为研究探索离散动力系统中的混沌现象，研究其混沌边界、混沌吸引子等特征。
四、代数与几何1. 使用代数几何方法研究曲面的分类问题基于代数几何的理论，对曲面的分类问题进行研究，归纳整理曲面的分类结果。
2. 拓扑流形的同调与同伦不变量研究探讨拓扑流形的同调群和同伦群等不变量的计算方法及其应用。
3. 代数编码理论在通信中的应用研究研究代数编码理论的基本原理和方法，并将其应用于通信系统中的纠错编码和加密通信等方面。
五、数论与密码学1. 模运算在分布式密码算法中的应用分析模运算在分布式密码算法中的应用，研究其安全性和效率。
2. 整数分解算法的改进和应用研究整数分解算法的改进策略，提高其分解大整数的效率，并探索其在加密算法中的应用。
3. 素数分布规律的研究探究素数的分布规律，研究和验证数学家们提出的各种猜想和定理。
六、应用数学1. 图论在物流网络优化中的应用以图论为基础，研究物流网络中的路径规划、资源分配及效率优化等问题。
最短路径算法及其应用
湖北大学本科毕业论文（设计）题目最短路径算法及其应用姓名学号专业年级指导教师职称2011年 4月 20 日目录绪论 (1)1 图的基本概念 (1)1.1 图的相关定义 (1)1.2 图的存储结构 (2)1.2.1 邻接矩阵的表示 (2)1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3)2 最短路径问题 (3)2.1 最短路径 (4)2.2 最短路径算法 (4)2.2.1Dijkstra算法 (4)2.2.2Floyd算法 (5)3 应用举例 (5)3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5)3.1.1 实际问题描述 (5)3.1.2 数学模型建立 (5)3.1.3 实际问题抽象化 (6)3.1.4 算法应用 (6)3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7)3.2.1 问题描述与数学建模 (7)3.2.2 实际问题抽象化 (7)3.2.3 算法应用 (8)参考文献 (10)附录 (11)最短路径算法及其应用摘要最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。
最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。
最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。
经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。
本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。
【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论Shortest path algorithms and their applicationsAbstractThe research about the shortest path is a hot issue in computer science. It has both important theoretical significance and important utility value. The shortest path problem has broad application area, such as transport system, rescue system, electronic navigation system and so on. The shortest path problem can be extended to the problem of the fastest path problem and the minimum cost problem. But their core algorithms are all both the shortest path algorithms. The classical algorithms for the shortest path——Dijkstra and Floyd are the theoretical basis for solving the problems of the shortest path. The article mainly through the demonstration and analysis of the Dijkstra and Floyd algorithms, then use the algorithms to solve the two simple practical problems.【keywords】shortest path Dijkstra algorithm Floyd algorithm graph绪论随着知识经济的到来，信息将成为人类社会财富的源泉，网络技术的飞速发展与广泛应用带动了全社会对信息技术的需求，最短路径问题作为许多领域中选择最优问题的基础，在电子导航，交通旅游，城市规划以及电力，通讯等各种管网，管线的布局设计中占有重要的地位。
图的染色问题
图的染色问题应锡娜06990213@（浙江师范大学初阳学院，浙江金华321004）摘要：本文介绍了图染色问题的提出、应用及意义，主要对已取得的研究成果及当今的研究状况进行了阐述。
关键词：图；染色；色数一、引言图染色问题起源于著名的“四色猜想”[1]问题。
早在一百多年前的1852年，英国Guthrie提出了用四种颜色就可对任意一张地图进行染色的猜想。
即对世界地图或任何一个国家的行政区域地图，最多用四种颜色就可以对其染色，使得凡是相邻的国家或相邻的区域都着以不同的颜色。
二、研究与发展“四色猜想”提出后，一些数学家着手研究这个猜想，力图给出证明。
时隔二十七年后，1879年Kempe给出了“四色猜想”的第一个证明，又过了十一年，1980年Hewood发现Kempe的证明是错误的。
但他指出，Kempe的证明方法虽然不能证明“四色猜想”，却可以证明用五种颜色就够了。
此后，“四色猜想”一直成为数学家们感兴趣而未能解决的世界数学难题。
直到1976年6月美国数学家伊利诺斯大学教授Appel与Haken宣布：他们用计算机证明了“四色猜想”是正确的。
因此，从1976年以后，就把“四色猜想”改称为“四色定理”了。
[2] 值得指出的是，Appel与Haken的证明，计算机运行了1200个小时。
诚然用计算机证明数学难题实在是一个伟大的尝试或创举，但是，世界数学家们仍期待着用常规的数学方法证明“四色定理”。
目前仍有许多数学家在潜心研究，寻求常规的证明方法。
地图的特点在于，多个区域位于同一平面上，每个区域可以是毫无规则的各种形状，任意两个区域可以有公共边界，但不能有公共区域。
于是人们开始研究所谓“平面图”。
人们把地图中的每一个区域称为一个“面”，地图染色就是对“面”染色。
进一步研究之后人们把地图中的每个区域的“面”视为一个点，若两个“面”相邻接，即地图中的两个区域有一段或几段公共边界，则在表示这两个区域的点之间连线，该连线可以是直线也可以是任意形状的曲线，并称之为边。
鸽笼原理及其应用3
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊鸽笼原理及其应用刘士龙（伊犁师范学院数学系新疆伊宁835000）摘要：本文介绍了鸽笼原理的产生、发展情况，并举例说明鸽笼原理在生活中和数学上的广泛应用。
关键词：鸽笼原理；鸽笼制造；拉姆齐定理一、鸽笼原理的产生及发展情况鸽笼原理是关于由某种规划安排离散结构的存在性判断的一个基本原理，也是图论中研究某种结构的图的存在性所需的数学工具。
它起源于19世纪德国数学家狄利克雷（Peter G..L.Dirichlet,1805-1858）他运用鸽笼原理证明了著名的Dirichlet定理，所以鸽笼原理又叫“Dirichlet原理”，或鸽巢原理，鞋盒原理，重迭原理，邮箱原理，在中国鸽笼原理多被称为抽屉原理。
在狄利克雷之后德国数学家敏古斯基也运用鸽笼原理得到一些结果。
到20世纪初期杜尔在不知道狄利克雷和敏古斯基的工作的情况下，很机巧的利用鸽笼原理来解决不定方程的有理数解的问题，有12篇论文用到了这个原理。
后来西根利用杜尔的结果发现了现在成为西根引理的东西，这条引理是在研究超越数时是最基本的工具。
而最近著名的美国群论专家Zassenhaus教授就利用“鸽笼原理”解决了几年前一位同行提出的难题。
因此读者不要小看这个看来简单的原理，它是组合数学的一个基本原理，是处理存在性问题的一个重要方法，许多生活中的问题都可以用它来解释，许多数学问题的解决都要应用它。
二、鸽笼原理及其推广形式首先我们给出鸽笼原理的基本形式及其证明：如果把1n+个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少两个元素的集合，则每个集合至多一个元素，从而n 个集合至多有n个元素，这与共有1n+个元素矛盾，故命题成立。
这是个鲜而易见的道理。
然而，它却有许多重要而有趣的应用和几种不同的表达形式。
下面先介绍鸽笼原理的简单表达形式：鸽笼原理Ⅰ:把1mn+个元素分成n个集合，其中必有一个集合至少含有1m+个元素。
离散数学图论-图的基本概念
对有向图有相同的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系 f
这种对应关系又保持了结点间的邻接关系，
那么这两个图就是同构的
在有向图的情况下， f 不但应该保持结点间的邻接关系，还应
该保持边的方向。
结点数相同边数相同
结点的度相同
但是两个图
不同构
(1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点．
(2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元
素称为有向边，简称边(弧)．
有向图D=<V,E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
边集合E＝｛<v1,v2>,<v2,v1>,
<v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>｝
（与前面的关系的图表示相当）
。
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶
点的n阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且
仅当
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相
邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．
设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶
点，又邻接于其余的 n—1个顶点，则称D是 n 阶有向完全图．
可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶）
子图、生成子
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
运筹学-图论
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点均不相
同的圈；
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 , v7 , v5 )
v1
初等圈： (v1 , v2 , v3 , v5 , v4 , v1 )
图的基本概念
图论中的图是由点、点与点之间的线所组成的。通常， 我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫 做弧。
如果一个图是由点和边所构成的，那么称为无向图，
记作G=(V，E)，其中V表示图G 的点集合，E表示图G的
边集合。连接点vi , vj V 的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向
v2 （3） v3 （3）
（2）
v5
（4）
v1
v4（6）
多重图
以点v为端点的边的个数称为点v的度（次），记 作 d(v), 如 图 5.4 中 d(v1)=3 ， d(v2 )=4 ， d(v3 )=4 ， d(v4 )=3。
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。 悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
郑州
济南 徐州
青岛 连云港
重庆
武汉 南京
上海
图5.3
例5.2 有六支球队进行足球比赛，我们分别用
点v1 ，…，v6表示这六支球队，它们之间的比赛情 况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队战胜v5队，如此等等。这个胜负
情况，可以用图5.3所示的有向图反映出来
第十四章-图的基本概念(1)
n阶无向完全图， n阶有向完全图， n阶竞赛图的 边数分别为
n(n-1)/2 ，n(n-1) , n(n-1)/2
设G为n阶无向简单图， v V(G)，均有d(V)=k, 则称G为k-正则图；
由定义可知，n阶零图是0-正则图，n阶无向完全图是 (n-1)－正则图，彼得松图是3-正则图。 由握手定理 可知，n阶k-正则图中，边数m=kn/2，因而当k为奇 数时，n必为偶数。
四、 完全图和补图
G=<V , E>为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其 余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图,记作 Kn(n≥1）
D=<V,E>为n阶有向简单图，若D中每一对顶点间均 有方向相反的两边关联,则称D是n阶有向完全图；
D=<V,E>为n阶有向简单图，若D的基图为n阶 无向完全图， 则称D是n阶竞赛图。
解 易知，除(1)中序列不可图化外，其余各序列都可图 化。但除了(5)中序列外，其余的都是不可简单图化的。 (2)中序列有5个数，若它可简单图化，设所得图为G， 则(G)=max{5,4,3,2,2}=5，这与定理4矛盾。所以(2)中 序列不可简单图化。类似可证(4)中序列不可简单图化。
假设(3)中序列可以简单图化，设G=<V，E>以(3)中 序列为度数列。不妨设V={v1，v2，v3，v4} 且 d(v1)= d(v2)=d(v3)=3,d(v4)=1，由于d(v4)＝1，因 而v4只能与v1，v2，v3之一相邻，于是v1，v2，v3 不可能都是3度顶点，这是矛盾的，因而(3)中序列也 不可简单图化。
G[V1]：以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边
组成边集的图，称为V1导出的子图。
G[E1]：以E1为边集，以E1中边关联的顶点组成顶点集
数学中的优秀论文选读推荐
数学中的优秀论文选读推荐在数学领域，优秀的论文对于学术研究和学科发展有着重要的推动作用。
本文将选取数学领域中的几篇优秀论文，推荐给读者，帮助他们深入了解数学领域的前沿研究和重要进展。
第一篇论文：《费马大定理的证明》这篇论文的作者是英国数学家安德鲁·怀尔斯，他在1994年成功证明了费马大定理，这是一个备受关注和研究的数学难题。
费马大定理是指在任何大于2的整数n和非零整数x、y、z之间，不存在满足 x^n + y^n = z^n 的整数解。
怀尔斯的证明通过引入新的方法和理论，填补了数学史上的一个空白。
第二篇论文：《黎曼猜想的证明》黎曼猜想是数论领域一个具有广泛影响力的未解问题，数学家们长期以来都在寻求其证明。
尽管黎曼猜想的证明仍然是个谜，但克雷蒙·黎曼在1859年提出的这个猜想为数论的发展和数学物理的研究都带来了深远的影响。
读者可以通过学习相关的论文，深入了解黎曼猜想的背景和研究进展。
第三篇论文：《博奕论的应用与研究》博弈论是一门研究决策和策略的数学分支。
约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩是博弈论的奠基人，他们在20世纪40年代的论文《博奕论》中系统地介绍了博弈论的基本概念和应用。
这篇论文不仅理论上严谨，而且对实际问题有着广泛的应用价值，如经济学、政治学和生物学等领域。
第四篇论文：《图论中的四色定理》四色定理是图论领域的一个经典问题，即任何平面地图都可以用四种颜色进行着色，相邻的区域颜色不同。
阿尔弗雷德·克雷姆斯基和吉奥尔格·弗朗西斯两位数学家在1976年发表的论文中给出了其证明。
这个定理的证明过程涉及到复杂的图论技巧和算法，对于图论和离散数学的研究具有重要意义。
第五篇论文：《概率论与统计方法的应用》概率论和统计学是数学中非常重要的分支，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
《概率论与数理统计》这本经典教材由埃米尔·布雷、理查德·杰·伯恩斯和米尔顿·亨特尔共同撰写。