图论及其应用论文

图论在多播生成树快速算法的应用

摘要：为了有效地支持多播通信,路由(路径)选择是一个关键问题。路由选择负责对源与目的结点间的多条可行路径根据某种目标加以选择、例如网络资源消耗最低化就是路由选择的重要目标。解决多播路由的方法涉及到“树”的构造,如果能构造出合理的多播树,就可以在满足业务需要的前提下,尽量少占用网络资源。

本篇论文以图论为基础，主要探讨和研究了多播生成树问题。主要探讨了单约束的单树多播这种情况，介绍了经典的Dijkstra算法，并在此基础上提出了动态最短路径树算法。

关键词: 图论路由最短路径多播树Dijkstra算法

1.多播生成树问题的提出

随着Internet的爆炸性发展，在Internet上产生了许多新的应用，其中有很多是高带宽的多媒体应用，这就带来了带宽的急剧消耗和网络拥挤问题。为了缓解这一问题，人们提出了IP 多播技术。多播技术是一种允许一个或多个发送者（多播源）发送单一的数据包到多个接收者的网络技术。该技术有助于缓解当前Internet上膨胀的业务量而导致的拥塞问题。

为了有效地支持多播通信,路由(或路径)选择是一个需要讨论的关键问题。路由选择负责对源与目的结点间的多条可行路径根据某种目标加以选择。路由选择算法是计算机网络中的一个重要研究课题,它直接关系到网络效率、传输延迟和吞吐量等通信网络的主要技术性能指标。路由选择算法的设计一般包括以下内容:首先对一个网络的链路进行准确描述,定义链路代价函数(一般可由信道容量、信道利用率或报文延迟时间这几种因素确定),计算最短路径,建立路由选择表或路由数据库。根据网络拓扑和子网款式选择适当算法,并设计出实现算法的过程,模拟测试和运行。其中计算最短路径是整个设计过程中较为关键的一环。

多播路由选择要保证实现的目标是,数据能够到达所有的接收者。同时,在整个通信网络的任何一条链路上数据最多传送一次。在一条链路上是否传输数据依赖于此链路上是否有该数据的接收者。多播之所以能节约带宽,就是因为在网络的任何一条链路上数据最多传送一次。要实现这个目标,多播的传输就不能像单播一样点到点地传输,而要采用树的传输方式。一般采用多播生成树来描述多播数据包在网络中经过的路径。将多播路径基于树结构有两点理由:

(1)信息可以沿着树枝并行地传送到不同的目的地;

(2)仅在树叉处复制信息,传送信息的拷贝数最小,从而使网络流量最低,占用的网络资源最少。

多播树的质量评价一般有两个尺度,最短路径和最小代价。最短路径和最小代价可以被表述为不同的函数,如最小代价可以表述为使用缓冲区的数量、占用信道的所需交纳的费用,包丢失率等;最短路径可以表述为传输、处理、排队时延的结合。多播生成树算法沿着优化这两个尺度(最短路径和最小代价)的方向,己经有了很大的发展。

2.多播生成树问题的图论基础

2.1.树

给定一个图G=(V,E),如果它不含任何回路,我们就叫它是林,如果G又是连通的,即这个林只有一个连通支,就称它是树。树是图论中最重要的概念之一,在自然和社会科学中的许多领域都有广泛的应用。

定义1一个不含任何回路的连通图称为树,用T表示。T中的边称为树枝,度为1的结点称为树叶。

树的每条边都不会属于任何回路。这样的边叫割边。

定义2设e是图G的一条边,若G`=G-e比G的连通支数增加,则称e是G的一条割边。

显然,图G删去割边=e（u,v)之后,结点u和v分属于不同的连通支。

定理1 e=(u,v)是割边,当且仅当e不属于G的任何回路。

定理2设T是结点数为n≥2的树,则下列性质等价:

1.T连通且无回路。

2.T连通且每条边都是割边。

3.T连通且有n-1条边。

4.T有n-1条边且无回路。

5.T的任意两结点间有唯一道路。

6.T无回路,但在任两结点间加上一条边后恰有一个回路.

定理3树T中一定存在树叶结点。

定义3如果T是图G的支撑子图,而且又是一棵树,则称r是G的一棵支撑树,或称生成树,又简称为G的树。

2.2.多播网络模型

为简化对问题的讨论,我们通常将一个通信网络表示为一个带权无向图G=(V，E，C)，其中V代表网络中结点(Node)的集合;E是一组边(edge)的集合,|V|和|E|分别代表结点和边的数目。每条边用对应的两个结点u,v来表示:(u,v)一对结点对应的两条边u(,v)和(v,u)费用相等,即这两条边对称;C是各边对应费用(cost)的集合。图G中结点v的度(degree)是指与v关联的边的条数。

在多播网络中数据包由源结点s∈V生成,并发送给所有的多播组成员,多播组成员结点他称为端结点)的集合M⊆V。由无向图G=(V,E,C)中生成一棵有向树T=(V t,E t)若满足以下三个条件则称其为多播生成树:

1)V t⊆V,E t⊆E。

2)源结点s到每一个端结点都有通路,并且s的入度为0。,树中其余结点的入度为1。

3)端结点的出度大于或等于0,其余结点的出度均大于或等于1。

一棵多播树T的总费用是指树T中各边费用之和。

定义1最小代价多播生成树是所有生成树中,总费用最小的生成树。多播树中源结点s和端结点M以外的结点称为Steiner结点。

定义2最短路径:结点u,v ⊆V之间的最短路径是指从u到v代价最小的路径,用P(u,v)表示。结点u到树的最短路径是指该结点到树的各结点最短路径中代价最小的那条,该路径用PS(u,v)表示(u∈V−V t v∈V t),其中结点v被称为结点u的最小接应结点。结点到树的最短路径也被称为树到结点的最短路径,结点到树最短路径的代价称为结点到树的最小距离。

定义3最短路径(最小时延)多播生成树是所有生成树中,源结点:到所有端结点的路径都是最短路径的生成树。即在给定的带权无向图G=(V,E,C)中,G的关于结点s的最短路径树是具有以下性质的G的一个子图T=(V′,E′,C′)。

1 V=V′。

2 T是连通且无回路的。

结点s到T中的其余结点(即V-s)的路径都是带权无向图G中的最短路径。