第11节 导数的简单应用

第11节导数的简单应用

课时训练练题感提知能【选题明细表】

一、选择题

1.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是( D )

(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)

(C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1)

解析:y′=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3),

由y′>0⇒x2+2x-3<0⇒-3

∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).

故选D.

2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )

(A)11或18 (B)11

(C)18 (D)17或18

解析:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,

∴f(1)=10,且f′(1)=0,

即解得或

而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.

∴f(x)=x3+4x2-11x+16,

∴f(2)=18.故选C.

3.(2012年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A )

(A)-2或2 (B)-9或3

(C)-1或1 (D)-3或1

解析:∵y′=3(x+1)(x-1),

∴当x=-1或x=1时取得极值,

由题意得f(1)=0或f(-1)=0,

即c-2=0或c+2=0,

解得c=2或c=-2.

故选A.

4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f′(x)的图象不可能是( D )

解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f′(x)的图象不可能是D.

5.(2013福建厦门质检)若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是( C )

(A)(-,1) (B)[-,1)

(C)[-2,1) (D)(-,-2]

解析:f′(x)=3x2-3=0,

得x=±1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.

函数f(x)在区间(a,6-a2)上,

则函数f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内,

即实数a满足a<1<6-a2且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.

解a<1<6-a2得,-

不等式a3-3a≥f(1)=-2,

即a3-3a+2≥0,

即a3-1-3(a-1)≥0,

即(a-1)(a2+a-2)≥0,

即(a-1)2(a+2)≥0,

即a≥-2.

故实数a的取值范围是[-2,1).

故选C.

6.(2013乐山市高三第三次调研)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,

下列关于函数f(x)的命题:

①函数f(x)是周期函数;

②函数f(x)在[0,2]是减函数;

③如当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;

④当1

其中正确的命题个数是( D )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:由f(x)的定义域为[-1,5]知函数f(x)不是周期函数,由导函数y=f′(x)的图象知f(x)在[0,2]是减函数.当x∈[-1,t]时,f(x)最大值为2,那么t的最大值为5,由于f(2)是函数的一个极小值,且f(2)的值未知,所以当1

7.(2014自贡模拟)若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( C )

(A)[-1,+∞) (B)(-1,+∞)

(C)(-∞,-1] (D)(-∞,-1)

解析:由题意可知f′(x)=-(x-2)+≤0,

在x∈(1,+∞)上恒成立,

即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立,

由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),

故只要b≤-1即可.

8.(2013石室中学高三模拟)已知函数f(x)=|xe x|,方程

f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则t的取值范围为( B ) (A)(,+∞) (B)(-∞,-)

(C)(-,-2) (D)(2,)

解析:f(x)=|xe x|=

x≥0时,

f′(x)=e x+xe x=(1+x)e x>0,

x<0时,

f′(x)=-e x-xe x=-(1+x)e x,

当-1≤x<0时,f′(x)<0,x≤-1时,f′(x)>0,

又因f(0)=0于是函数f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上为单调增函数,在(-1,0)上为减函数,其大致图象如图所示,

由题意知关于f(x)的方程f2(x)+tf(x)+1=0有两正实

根,f(x1),f(x2),

不妨设f(x1)

则0,

所以t<-.故选B.

二、填空题

9.已知向量a=(e x+,-x),b=(1,t),若函数f(x)=a²b在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为.

解析:f(x)=e x+-tx,x∈(-1,1),f′(x)=e x+x-t,函数在(x1,x2)⊆(-1,1)上单调递增,

故e x+x>t,x∈(x1,x2)时恒成立,故e+1>t.

答案:(-∞,e+1)

10.(2013眉山模拟)若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是.