高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印

1 绝对值不等式 绝对值不等式||||||abab，||||||abab

基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5

［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|>2－x；(2)|2x－2x－6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x+1>2－x或x+1<－(2－x) 解得x>12或无解，所以原不等式的解集是{x|x>12} (2)原不等式等价于－3x<2x－2x－6<3x 即 2

222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或

2所以原不等式的解集是{x|2

1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）234xx≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x2-2>x2-3x-4 ① 或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②

解①得：1-2解②得：x>-3 故原不等式解集为｛x｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜

而x2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝

（2）分析 不等式可转化为-1≤234xx≤1求解，但过程较繁，由于不等式

234xx≤1两边均为正，所以可平方后求解. 3

原不等式等价于2234xx≤1 9x2≤(x2-4)2 (x≠±2)

x4-17x2+16≥0

x2≤1或x2≥16

-1≤x≤1或x≥4或x≤-4

注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］（1）由于|x－1|≥0，|x+a|≥0，所以两边平方后有： |x－1|2<|x+a|2 即有2x－2x+1<2x+2ax+2a，整理得(2a+2)x>1－2a

当2a+2>0即a>－1时，不等式的解为x>12(1－a)； 当2a+2=0即a=－1时，不等式无解； 当2a+2<0即a<－1时，不等式的解为x<1(1)2a （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-355>5无解. 当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝. 4

［请你试试4—2］ 1 解关于x的不等式|log(1)||log(1)|aaxx(a>0且a≠1) 解析：易知－1

∴22|lg(1)||lg(1)|xx 于是22lg(1)lg(1)0xx ∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0xxxx

∴21lg(1)lg01xxx ∵－1∴0<1－2x<1 ∴lg(1－2x)<0

∴1lg1xx<0 ∴1011xx 解得0

2．不等式|x+3|-|2x-1|<2x+1的解集为 。 解： 5

|x+3|-|2x-1|=)3(4)213(24)21(4xxxxxx ∴当21x时124xx ∴x>2 当-3 当3x时124xx∴3x 综上72x或x>2 故填),2()72,(。 3．求不等式1331loglog13xx的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 0103xx





，解得03x

又原不等式可化为33loglog31xx (1)当01x时，不等式化为33loglog31xx即33log3log3xx v1.0 可编辑可修改 6 ∴ 33xx ∴ 34x 综合前提得：304x。 (2)当1∴ 2330xx x。 (1) 当23x时，333loglog3log3xx

(2) ∴33xx ∴94x，结合前提得：934x。 综合得原不等式的解集为390,,344 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x的不等式 34422mmmxx ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简

成3|2|mmx，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m的正负进行讨论。

［解题］原不等式等价于 3|2|mmx 当03m即3m时， )3(232mmxmmx或

∴333mxmx或 当03m即3m时， 0|6|x ∴x6 当03m即3m时， xR ［请你试试4—3］ 7

1．解关于x的不等式：0922aaaxx 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当







029929222aaxxaxaaxxax

ax即时，不等式可转化为

abxa173 02992)(222aaxxaxaxaaxax

ax即时不等式可化为当





aaaaxaax6173,32

3,(323故不等式的解集为

或

。 2．关于x的不等式|kx－1|≤5的解集为{x|－3≤x≤2}，求k的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理。

解：原不等式可化为－4≤kx≤6 8

当k>0时，进一步化为46xkk，依题意有4433632kkkk，此时无解。 当k=0时，显然不满足题意。

当k<0时，64xkk，依题意有42263kkk 综上，k=－2。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结

构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。

［解题］解法一 (1)当a≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a>0时，先求不等式|x－4|+|3－x|令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3 ① 当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3

解不等式组474272xaxxa，∴a>1