(完整)高二上学期数学期末测试题
高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)
镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。
东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
注意事项：1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题是符合题目要求的．1. 直线1:10l ax y ++=与直线()2:2320l x a y +−+=平行，则a 的值为（ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据12l l //求解出a 的值，然后再进行检验是否重合，由此求解出a 的值.【详解】因为12l l //，所以()3120a a ×−−×=，解得1a =或2a =， 当1a =时，1:10l x y ++=，2:2220l x y ++=，此时12,l l 重合，舍去； 当2a =时，1:210l x y ++=，2:220l x y ++=，此时12l l //满足， 故选：D.2. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ） A. 36 B. 60C. 72D. 78【答案】D 【解析】【分析】将“宫”看为特殊元素，分类讨论：“宫”为首音节、“宫”不为首音节，由此求解出总的排法数. 【详解】①若“宫”为首音节，可排成的音序有44A 24=种，②若“宫”不为首音节，从“宫”“羽”之外的三个音阶中选一个作为首音节有13C 种选法， 再安排“宫”音阶有13C 种排法，剩余三个音阶可以全排列有33A 种排法，所以②一共有113333C C A 54××=种排法， 由分类加法计数原理可知，一共有245478+=种排法， 故选：D.3. 已知点()5,0A ，点B 在圆22(1)4x y −+=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ） A. 22680x y x +−+= B. 22650x y x +−+= C. 22680x y x +++= D. 22650x y x +++=【答案】A 【解析】【分析】设出,B M 的坐标，利用相关点法求解出M 的轨迹方程. 【详解】设()()00,,,B x y M x y ，由题意可知005202x x y y+ =+ = ，所以00252x x y y =− = ， 又因为()220014x y −+=， 所以()()2225124x y −−+=， 化简可得22680x y x +−+=，所以M 的轨迹方程为22680x y x +−+=， 故选：A.4. 已知直线0ax y +=是双曲线2221(0)4x y a a −=>的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线方程求出a 值，求出半焦距，判断选项.【详解】由0ax y +=是双曲线22214x y a −=()0a >的一条渐近线，则2a a=，解得a =故222246c a b =+=+=,则c =故选：A5. 将4名志愿者分别安排到,,A B C 三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A 社区，不同的安排方法有（ ）种 A. 6 B. 9C. 12D. 36【答案】C 【解析】【分析】根据A 社区的志愿者人数进行分类讨论，然后由分类加法计数原理求解出结果. 【详解】①若A 社区仅有志愿者甲，则剩余3名志愿者需要分成2组并分配到,B C 社区，此时安排的方法数为：1232C A 6×=种； ②若A 社区还有另外一名志愿者，则先选出这名志愿者有13C 种方法， 再将剩余2名志愿者分配到,B C 社区有22A 种方法，根据分步乘法计数原理可知②的安排方法数为：1232C A 6×=种， 所以一共有6612+=种安排方法， 故选：C.6. 已知B 是椭圆2213x y +=的上顶点，点M 是椭圆上的任意一点，则MB 的最大值为（ ）A. 2B.C.D.92【答案】C 【解析】【分析】设出M 点坐标，利用坐标表示出MB 并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出MB 的最大值.【详解】设()00,M x y ，()0,1B ，且220013x y +=，所以MB =，又因为[]01,1y ∈−，所以当012y =−时取最大值，所以max MB = 故选：C.7. 一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（ ） A.17B.37C.18D.38【答案】B 【解析】【分析】先分析试验的基本事件总数，然后考虑“有一次正面朝上”的基本事件数，再分析“另外两次都是反面朝上”的基本事件数，根据基本事件数的比值可求结果.（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反），共8个， 有正面朝上的基本事件有：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），共7个， 其中有两次都是反面朝上的基本事件有： （正反反），（反正反），（反反正），共3个， 故所求概率为37， 故选：B.8. 已知抛物线2:8E x y =，直线:360l ax y a +−−=，过抛物线的焦点F 作直线l 的垂线，垂足为P ，若点Q 是拋物线E 上的动点，则FQ PQ +的最小值为（ ）A. 3B. 4C.72D.172【答案】C 【解析】【分析】通过直线l 过定点A ()3,6，得到P 在以AF 为直径的圆上，将Q 到P 的距离转化为到圆心的距离，再结合抛物线的定义即可求出FQ PQ +的最小值.【详解】因为直线:360l ax y a +−−=，即()-360a x y +−=，过定点()3,6，记作点A ， 因为FP l ⊥，垂足为P ，所以90FPA ∠=°，又()0,2F ， 故点P 的轨迹为以FA 为直径的圆，半径1522rFA =，圆心为3,42，记作点B ， 又因为Q 在抛物线2:8E x y =上，其准线为=2y −， 所以FQ 等于Q 到准线的距离，过点Q 做准线的垂线，垂足为R ，要使FQ PQ +取到最小，即RQ PQ +最小， 此时，,,P Q R 三点共线，且三点连线后直线PR 过圆心B ，如图所示，此时()min574222FQ PQBR r +=−=+−=. .二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ） A. 3名男生必须相邻的排法有144种 B. 3名男生互不相邻的排法有72种 C. 甲在乙的左边的排法有360种 D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种【答案】ACD 【解析】【分析】A ：利用捆绑法分析；B ：利用插空法分析；C ：先考虑6人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D ：先选2人与甲乙捆绑在一起，然后再看成3个元素全排列. 【详解】对于A ：将3名男生捆绑在一起看成一个元素，所以排法有3434A A 144×=种，故A 正确；对于B ：将3名男生放入到3名女生形成的4个空位中，所以排法有3334A A 144×=种，故B 错误； 对于C ：3名男生和3名女生全排列，排法有66A 720=种， 其中甲在乙的左边的排法占总数的12，所以有17203602×=种排法，故C 正确； 对于D ：先选2人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余2人全排列，所以有排法223423A A A 144××=种，故D 正确； 故选：ACD.10. 二项式61)x−的展开式中（ ） A. 前三项的系数之和为22 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 常数项为15D. 所有项的系数之和为64 【答案】BC 【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，选项A 中根据通项求前三项系数之和即可；选项B 中二项式系数6C k(0,1,2,,6)k =…中最大的是36C ；选项C ，常数项满足通项中x 的指数为0，可得2k =；选项D 中将1x =代入即可.【详解】二项式61)x−展开式的通项为：()()36321661C 1C 0,1,2,,6kk kk kkk T x k x −−+ =⋅−=−=…； 对于选项A ，前三项的系数之和为：()()()0120126661C 1C 1C 10−+−+−=，A 错误；对于选项B ，二项式系数6C k (0,1,2,,6)k =…中最大的是36C ，恰好是第4项，B 正确；对于选项C ，常数项时，通项公式中满足3302k −=，得2k =，即3T =()22061C 15x −=，C 正确； 对于选项D ，将1x =代入，可得所有项的系数之和，结果为0，D 错误； 故选：BC.11. 盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（ ）A. ()1123P A B =B. ()212P B =C. ()2113P A B = D. ()2134P B A =【答案】AD 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出()1P B ，()11P A B ，()2P B ，()21P A B ，()1P A ，()12P A B ，再利用条件概率公式即可判断各个选项.【详解】对A ，()193==124P B ，()1161==122P A B ，所以()()()111112==3P A B P A B P B ,故A 正确； 对B ，事件2B =“第2次取球，取到正品”，()2119392212A A A 3A 4P B +==，故B 错误； 对C ，事件21A B =“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有65+62+36+32=66××××种情况，()21212661=A 2P A B =，故C 错误； 对D ，事件12A B =“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有65+63+26+23=66××××种情况，()12212661=A 2P A B =，又因为()182==123P A ，()()()122113==4P A B P B A P A ,故D 正确； 故选：AD.12. 设12,F F 分别是双曲线22214x y b−=的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，12AF F △的内心为I ，则下列结论正确的是（ ） A. 若1ABFB. 若直线OA 交双曲线的左支于点D ，则1//F D ABC. 若1,F H AI H ⊥为垂足，则2OH =D. 12AF F △的内心I 一定在直线4x =上 【答案】ABC 【解析】【分析】A ：利用等边三角形性质以及双曲线定义得到,a c 关系式，则离心率可知；B ：利用双曲线的对称性以及三角形的全等关系进行证明；C ：根据角平分线的性质结合双曲线的定义求解出OH ；D ：利用切线性质以及双曲线的定义进行求解.【详解】对于A ：若1ABF 为正三角形，则AB x ⊥轴，由22221x c x y ab = −= 得2x cb y a = =± ，所以222b AF BF a ==， 由等边三角形性质可知：21222b AF AF a==，所以2122b AF AF a a −==， 所以22222a b c a ==−，所以2223c e a==，所以e =A 正确； 对于B ：由双曲线的对称性可知OA OD =，如下图，又因为1212,OF OF DOF AOF =∠=∠，所以1DOF 与2AOF △全等， 所以12ODF OAF ∠=∠，所以1//F D AB ，故B 正确； 对于C ：延长1F H 交AB 延长线于G ，如下图所示，由角平分线的性质可知1F AH GAH ∠=∠，且190,AHF AHG AH AH °∠===，所以1AHF 与AHG H GH =，所以H 为1F G 中点， 又因为O 为12F F 中点，所以212212222AG AF AF AF OH GF a −−=====，故C 正确； 对于D ：设三个切点为,,M N P ，连接,,MI NI PI ，如下图，由切线性质可知：1122,,AM AN F M F P F PF N ===， 设OP x =，因为12121224AF AF F M AM AN F N F P F P a −=+−−=−==，所以()4c x c x +−−=，所以2x =， 所以12AF F △的内心I 一定在直线2x =上，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线性质的综合运用，涉及离心率、双曲线的对称性、焦点三角形的内切圆相关问题，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较大.其中CD 选项在分析时，不仅要考虑内切圆的性质，同时需要考虑双曲线的定义，二者结合解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某人忘记了他在一个网络平台的账户密码，而平台只允许试错三次，如果三次都试错，则账户就会锁定，无法继续试验．假设该用户每次能试中的概率为0.1，记试验的次数为X ，则()3P X ==______．【答案】0.81##81100【解析】【分析】试验次数为3X =，表示该用户前两次均试错，再利用相互独立事件的概率公式进行求解即可.【详解】试验的次数为3X =，表示该用户前两次均试错，所以()30.90.9=0.81P X ==×.故答案为：0.81.14. 已知抛物线2:8E y x =，焦点为,F A 在抛物线上，B 在y 轴上，且2=FA AB ，则AF =______． 【答案】83【解析】【分析】根据抛物线方程可知焦点坐标，根据向量共线可求A x ，结合焦半径公式可求AF . 【详解】因为2:8E y x =，所以()2,0F ，因为2=FA AB ，所以()22A B A x x x −=−， 因为B 在y 轴上，所以0B x =，所以23A x =， 所以282233A p AF x =+=+=， 故答案为：83. 的15. 某商店成箱出售玻璃杯，每箱装有10只．假设在各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.6，0.25，0.15，顾客随机取出一箱，并从中取出4只查看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为______． 【答案】45##0.8 【解析】【分析】顾客买下这箱玻璃杯有3种情况：该箱中无残次品、该箱中有1只残次品、该箱中有2只残次品，然后由互斥事件的概率公式和全概率公式求解出结果.【详解】记事件B 为顾客买下该箱玻璃杯，事件i A 为取出的该箱中有i 只残次品，0,1,2i =，所以()()()0123130.6,0.25,0.155420P A P A P A ======， 且()()()4498012441010C C 311,,C 5C 3P B A P B A P B A =====， 由全概率公式可得：()()()()()()()001122P B P A P B A P A P B A P A P B A =++31331415452035=×+×+×=， 故答案为：45.16. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 为椭圆C 的下顶点，直线1BF 交椭圆C 于另一点P ，且260PF B °∠=，则椭圆C 的离心率为______．##【解析】【分析】利用余弦定理先求解出1PF ，然后再利用相似关系求解出P 点坐标，将坐标代入椭圆方程可求结果.【详解】设()10PF x x =>，由题意可知12BF BF a ==， 所以2,2PB a x PF a x =+=−， 在2PBF 中由余弦定理可知：22222222cos 60PB PF BF PF BF °+−××，化简可得252ax a =，所以25x a =， 过P 作PQ x ⊥轴交于Q 点，如下图，易知1PQF △∽1BOF ，所以111125PQ QF PF OBOF BF ===， 所以122,55PQ b QF c ==，所以72,55P c b−， 将P 代入椭圆方程可得222249412525c b a b +=， 所以22237c e a ==，所以e =，. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17. 已知(2)n x +展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ．（1）求01a a +的值；（2）求0123(1)1112482n n na a a a a −−+−++ 的值． 【答案】（1）112 （2）24332【解析】【分析】（1）先根据二项式系数的性质求出n ，进而可求出答案； （2）令12x =−，即可得解 【小问1详解】因为(2)n x +展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等， 所以23C C n n =，所以5n =， 则5(2)(2)n x x +=+，所以05145501C 2C 2112a a =⋅+⋅=+； 【小问2详解】 令12x =−， 则()501235522(1)11124324823n a a a a a x −−+−+++== ， 即0123(1)111243248232n n na a a a a −−+−++= . 18. ABC 的顶点()()1,0,2,0,A B ABC −△的垂心（三条高交点）为()1,1H ． （1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC 的外接圆方程． 【答案】（1）()1,2（2）22115222x y −+−=【解析】【分析】（1）设(),C m n ，根据,BC AH AC BH ⊥⊥，结合斜率公式即可得解；.（2）设ABC 的外接圆方程为()()()2220x a y b r r −+−=>，利用待定系数法求出2,,a b r 即可. 【小问1详解】 设(),C m n ，由题意得,BC AH AC BH ⊥⊥，1,12AH BH k k ==−， 所以112211BC AH AC BHn k k m n k k m=⋅=− − =−=− +，解得12m n = = ，所以顶点C 的坐标为()1,2； 【小问2详解】设ABC 的外接圆方程为()()()2220x a y b r r −+−=>，则()()()()()()2222222221212a b r a b r a b r −−+−=−+−=−+−=，解得2121252a b r= = =， 所以ABC 的外接圆方程为22115222x y −+−=. 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AP AD ==E ，F 分别是,AP BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求平面CDE 与平面FDE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程见详解； （2【解析】【分析】（1）取PB 的中点G ，由面面平行的判定定理证明平面//EFG 平面PCD ，再由面面平行的性质定理可得//EF 平面PCD ；（2）由,,AB AD AP 两两垂直建立空间直角坐标系，分别求出平面CDE 与平面FDE 的法向量,m n，设平面CDE 与平面FDE 夹角为θ，由公式cos cos ,m nm n m nθ⋅==⋅即可得出结果. 【小问1详解】取PB 的中点G ，连结,EG FG ，因为E ，F 分别是,AP BC 的中点，所以//EG AB ，//FG PC ， 又因为//AB CD ，所以//EG CD ，又因为EG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//EG 平面PCD ； 同理可得//FG 平面PCD ，又因为平,,EG FG G EG FG ∩=面EFG ，所以平面//EFG 平面PCD ， 又因为EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面PCD .，【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设4=AD ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，()0,0,1E ，()2,2,0F ， ()2,0,0CD =− ，()0,4,1DE=− ，()2,2,0DF=−设平面CDE 的法向量(),,m x y z = ，所以2040CD m x DE m y z ⋅=−= ⋅=−+=， 取0,1,4x y z ===，所以()0,1,4m =； 设平面FDE 的法向量(),,n a b c = ，所以22040DF n a b DE n b c ⋅− ⋅=−+=， 取1,1,4a b c ===，所以()1,1,4n =， 设平面CDE 与平面FDE 夹角为θ，cos cos ,m n m n m nθ⋅∴===⋅， 故平面CDE 与平面FDE20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点()1,1M −到焦点F直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，设直线,MA MB 斜率分别为12,k k ． （1）求p ；（2）若121k k +=−，证明直线l 过定点，并求出满足条件的定点坐标． 【答案】（1）2p =（2）证明见解析，定点坐标()1,0 【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式表示出MF ，由此可求p 的值；（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，斜率存在时，通过联立直线与抛物线得到横坐标的韦达定理形式，然后化简条件等式，得到,k m 的关系式即可求解出所过定点坐标，斜率不存在时直接分析即可. 【小问1详解】 因为,02p F，()1,1M −，所以MF =，解得2p =；【小问2详解】当直线l 的斜率存在时，由题意可知直线l 的斜率不为0，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立24y kx m y x =+ =可得()222240k x km x m +−+=， 且()2222440km k m ∆=−−>，即1km <，所以212122242,km m x x x x k k−+==， 所以1212121212111111111y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−+=+=+=−++++， 所以1212121111211111kx k m k kx k m k m k m kk x x x x ++−−++−−−−−−+=++=−++++，所以()()()()()12122111120k x x m k x x ++++−−++=， 所以()()()()121212211120k x x x x m k x x +++++−−++=， 代入韦达定理化简可得：()()40m k m k −++=， 当0m k +=时，:l y kx k =−，即():1l y k x =−过定点()1,0， 当40m k −+=时，():14l y k x =+−过定点()1,4−−； 当直线l 的斜率不存在时，设:l x n =，由24x n y x == 得x n y = =±，所以121k k +=−，解得1n =，所以:1l x =，此时l 过点()1,0；综上，由l 的斜率存在和斜率不存在的两种情况可知，l 过定点()1,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：（1）若设直线方程为y kx m =+或x ky m =+，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为,m k 之间的线性关系，再用m 替换k 或用k 替换m 代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.21. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为211,,323，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为23，第二次抽中选择继续抽奖的概率为14，且每次是否抽中互不影响． （1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；（2）设小李所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列． 【答案】（1）727（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；（2）先分析X 的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求X 的分布列. 【小问1详解】记小李第i 次抽中为事件()1,2,3i A i =，则有()()()123211,,323P A P A P A ===，且123,,A A A 两两互相独立，记小李第一次抽中但奖金归零为事件A ， 则()()()12123221221117113323324327P A P A A P A A A =+=××−+××××−= ； 【小问2详解】由题意可知X 的可能取值为：0,10,40,90，()()21601327P X P A ==+−= ，()222101339P X ==×−= ，()2211140133246P X ==×××−= ， ()221111903324354P X ==××××=， 所以X 的分布列为：22.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>()2,2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）圆224x y +=的切线l 与双曲线C 相交于,A B 两点． （ⅰ）证明：OA OB ⊥； （ⅱ）求OAB 面积的最小值．【答案】（1）22124x y −=（2）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）4 【解析】【分析】（1）待定系数法求解双曲线方程；（2）（ⅰ）考虑切线l 斜率为0和不为0两种情况，设出切线方程x my t =+，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出0OA OB ⋅=得到垂直关系；（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，求出当切线l 的斜率为0时的三角形面积，再得到切线l 的斜率不为0时OAB 面积表达式，求出其取值范围，得到面积的最小值. 【小问1详解】由题意得ca =()2,2代入双曲线中得22441a b−=， 又222c a b =+，解得222,4a b ==， 故双曲线C 的标准方程为22124x y −=；【小问2详解】（ⅰ）当切线l 的斜率为0时，方程为2y =±，不妨设2y =，此时222124x −=，解得2x =±，不妨设()()2,2,2,2A B −，则()()2,22,2440OA OB ⋅=−⋅=−+= ，所以OA OB ⊥；当切线斜率不为0时，设为x t =，2=，故2244t m =+，联立x my t =+与22124x y −=得，()222214240m y mty t −++−=， 则()()22222210Δ16424210m m t t m −≠=−−−> ，又2244t m =+，解得m ≠ 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,2121mt t y y y y m m −−+==−−， 故()()()2212121212x x my t my t m y y mt y y t =++=+++，故()()22121212121x x y y y O O m y m B t t A y y ⋅=+=++++的()222222222222222222442424421212121t m t t m t m m t m t t m t m m m −−+−−+−=+−+=−−− 22244021t m m −−=−， 故OA OB ⊥；（ⅱ）当切线l 斜率为0时，OAB的面积为11422OA OB =×=， 当切线斜率不为0时，AB=， 因为2244t m =+，点O 到切线AB 的距离为2，故122OAB S AB =×= 当2210m −>时，令2210m t −=>，则212t m +=，故OAB S = ， 因为0t >，所以4OAB S => ， 同理，当0t >时，4OAB S >，综上，OAB 面积的最小值为4. 的【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析
成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。
高二数学上学期期末测试试题 文 试题(共7页)
2021--2021学年度上学期(xuéqī)期末测试题高二数学〔文〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．抛物线方程为，那么该抛物线的焦点坐标为 ( )2．设，那么“〞是的〔〕A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．曲线点处的切线的方程为〔〕A． B． C． D．4．假设，那么函数的导函数等于〔〕A. B． C． D．A． B． C． D6．命题:"假设,那么",那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A． B． C． D．7．假设函数，那么〔〕A． B． C． 1 D． 08．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，那么该抛物线的准线(zhǔn xiàn)方程为〔〕A． B． C． D．9．双曲线的一条渐近线为，那么实数a的值是〔〕A． B． 2 C． D． 410．方程的曲线为椭圆,实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．11．函数：的单调递增区间是A． B． C． D．二、填空题〔每一小题５分，一共20分〕13．命题“,〞的否认是__________.14．准线方程为的抛物线HY方程为_______15．假设函数，那么__________．三、解答题17．〔10分〕求以下函数的导函数．(1) y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2) .18．〔12分〕求合适以下(yǐxià)条件的曲线的HY方程〔１〕求焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线的HY方程；〔2〕求经过点的抛物线的HY方程；19．〔12分〕函数，求：〔1〕函数的图象在点处的切线方程；〔2〕的单调递减区间．20．〔12分〕设P：方程有两个不等的实根，不等式在R上恒成立，假设为真，为真，务实数的取值范围. 21．〔12分〕函数．〔1〕求函数的单调(dāndiào)区间； 〔2〕求在区间上的最大值和最小值．22．〔１２分〕直线经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.〔1〕假设，求点A 的坐标；〔2〕假设直线l 的倾斜角为，求线段AB 的长.ABF yxO高二数学〔文〕答案一、选择题：CBDDC BBDDD CB 二、填空题：13、 14、．15、2 16、4三、解答(ji ěd á)题：17 (1)由题意结合导数的运算法那么可得：y ′＝18x 2－4x ＋9. (2)由题意结合导数的运算法那么可得：y ′＝(x ＋1)e x . 18、１〕解：焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得，．∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．2〕解：由于点P 在第三象限，所以抛物线方程可设为：或者在第一种情形下，求得抛物线方程为： ；在第二种情形下，求得抛物线方程为：19、〔1〕∵()32392f x x x x =-++-∴，∴，又，∴函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为，即。
高二数学上学期期末试题A 试题(共6页)
高二上学期(xuéqī)期末考试数学试题本试题分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,满分是:150分,考试时间是是: 120分钟.第一卷 (选择题一共60分)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕１．设是等差数列的前n项的和，那么A. B. C. D.2 过点和的直线与直线平行，那么的，值为〔〕A B C D3．在△ABC中，假设，那么与的大小关系为〔〕A. B. C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定４．假设集合那么是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．边长为的三角形的最大角与最小角的和是〔〕A B C D６．有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位(dānwèi)cm〕，那么该几何体的外表积及体积为〔〕A. 24πcm2，12πcm3B. 15πcm2，12πcmC. 24πcm2，36πcm3D. 以上都不正确７圆：及第六题图直线，当直线被C截得的弦长为时，那么〔〕A B C D{}a的前n项和，第k项满足〔〕nA．９Ｂ．８Ｃ．７Ｄ．６9 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，那么异面直线与所成的角等于〔〕A B C D10．假设，那么x+2y的最小值是A． B 8 C．10 D．12m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下四个命题：①假设，，那么②假设，，，那么③假设，，那么④假设，，那么其中正确命题的序号是A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④12 等差数列(děnɡ chā shù liè),的前项和分别为,,假设,那么=〔〕A B C D第II卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4分，每一小题5分，一共20分13．一个体积为的正方体的顶点都在球面上，那么球的外表积是．过点且垂直于直线的直线方程为.假设变量满足约束条件那么的最大值为在△ABC中，假设，那么的值是_________三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明或者演算步骤17．(此题满分是10分)(1)求b的值；(2)(2).18．(此题满分(mǎn fēn)是12分)如图，圆内有一点为过且倾斜角为的弦。
高二上学期数学期末考试试卷(基础试题)
高二上学期数学期末考试试卷(时间：120分钟满分：150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.82.等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.43.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于()A. 1B.2C.4D.84.若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2，则a2等于()A.4B.2C.1D.－26.等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和是()A.81B.120C.168D.1927.设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值8.已知数列{a n}满足递推关系：a n＋1＝a na n＋1，a1＝12，则a2 017＝()A.12 016 B.12 017 C.12 018 D.12 019二、多选题。
（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.(多选)若椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则m的值可以为()A.14B.12C.2D.4 10.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( ) A.(－∞，－2)B.(3，＋∞)C.(－6，－2)D.(－3，＋∞) 11.（多选）已知数列{a n }的通项公式为n a =11-2n,则下列各数中是数列{a n }中的项的是（ ）A.0B.3C.6D.712.（多选）设等差数列{a n }的前n 项和为S n 。
甘肃高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．椭圆的长轴长为（ ）22152x y +=A ．BC ．4D ．2【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.【详解】由椭圆，得，，22152x y +=25a =a =2a =故选：A ．2．在等比数列中，，公比（ ） {}n a 623a=q =10a =A ．6 B ．C ．12D ．【答案】A【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】.41062963a a q ==⨯=故选：A ．3．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为()1,2A 10x y -+=2270x y -+=（ ）A ．B ． ()()229122x y +++=()()2225128x y -+-=C ． D ． ()()2225128x y +++=()()229122x y -+-=【答案】B【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 2270x y -+=702x y -+=则两条平行线之间距离，即圆的半径d ==r =所求圆的方程为：. ∴()()2225128x y -+-=故选：B.4．在等差数列中，，则（ ） {}n a 2610120a a a ++=6a =A ．70 B ．60C ．50D ．40【答案】D【解析】根据等差数列的性质，得到，即可求解． 63120a =【详解】根据等差数列的性质，可得， 21062a a a +=因为，即，可得． 2610120a a a ++=63120a =640a =故选：D.5．已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为1l 220x y --=θ2l 2θ2l y 3，则直线的一般式方程为（ ） 2l A ． B ． C ． D ．30x y +-=4390x y -+=3430x y -+=230x y +-=【答案】B【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴， 1l 220x y --=θ121tan 2θ=∵直线的倾斜角为，∴斜率为， 2l 2θ22tan 4tan 21tan 3θθθ==-∴的方程为，即. 2l 433y x =+4390x y -+=故选：B ．6．等比数列的前n 项和，则（ ） {}n a 32nn S a b =⋅-2ab -=A ．-2 B ．C ．0D ．32-32【答案】C【分析】由计算出，，，从而根据等比中项列出方程，求32nn S a b =⋅-132a a b =-26a a =318a a =出，得到答案.2a b =【详解】，当时，，32nn S a b =⋅-1n =132a a b =-当时，，故， 2n =1292a a a b +=-26a a =当时，， 3n =123272a a a a b ++=-从而，318a a =由于是等比数列，故，解得，{}n a ()()262138a a b a =-⋅2a b =故． 2022a ab b --==故选：C ．7．已知点，，，且满足，点D 为AB 的中点，则的最大值()1,0A x ()10,B y ()6,8C 22114x y +=CD 为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【分析】设D 点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D 的轨迹，利用点与圆的位()00,x y 22001x y +=置关系，即可求得的最大值.CD 【详解】解：根据题意可得，设D 点坐标，可知，，则，，()00,x y 102x x =102yy =102x x =102y y =又，代入得，即，可得D 点是在以点为圆心，半径为1的22114x y +=2200444x y +=22001x y +=()0,0圆上，.max 111CD OC r =+=故选：C ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 右支交于A ，B 两点．，，则双曲线C 的离心率为（ ） 222AF BF =1260F AF ∠=︒A ．2BC D【答案】C【分析】令，结合双曲线定义用表示、、，再在、中分别2BF m =m 2AF 1AF 1BF 1ABF A 12AF F △用余弦定理列式计算作答.【详解】依题意，设，，由双曲线的定义得，，2BF m =22AF m =122AF a m =+12BF a m =+在中，，由余弦定理，1ABF A 1260F AF ∠=︒22211112||||||2||||cos BF AF AB AF AB F AF =+-∠得，解得，即，222(2)(22)93(22)a m a m m m a m +=++-+3a m =1268AF m m m =+=设双曲线的焦距为2c ，在中利用余弦定理有，解得， 12AF F △22224(8)416c m m m =+-c =所以双曲线的离心率为． c e a ===故选：C二、多选题9．下列直线中，与圆相切的有（ ） 224x y +=A ． BC ．D ．2x y +=40y +-=x y +=80x +=【答案】BC【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可. 【详解】圆的圆心为，半径．224x y +=()0,02r =对于选项A ，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；2d <对于选项B ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；2d 对于选项C ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；2d 对于选项D ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．42d ==>故选：BC.10．已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） {}n a 12n n a a +=A ．若，则B ．数列为等比数列12a =2n n a ={}n a C ．若，则数列的前n 项和为 D ．若，则数列单调递减 11a ={}n a 21n -11a =-{}n a 【答案】ACD【分析】由题知时，数列为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可. 10a ≠{}n a 【详解】解：对于A 选项，当时，由得，所以数列为等比数列，12a =12n n a a +=12n na a +={}n a ，故A 选项正确；2n n a =对于B 选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B 选项错误； 10a =0n a ={}n a 对于C 选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 11a =12n n a a +=12n na a +={}n a 所以，数列的前n 项和为，故C 选项正确；{}n a ()()112121211221n n n ⨯-⨯-==---对于D 选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 11a =-12n n a a +=12n na a +={}n a 所以，，所以数列单调递减，故D 选项正确．12n n a -=-1112220n n n n n a a --+-=-+=-<{}n a 故选：ACD11．如图，抛物线C ：的焦点为F ，过抛物线C 上一点P （点P 在第一象限）作准()220y px p =>线l 的垂线，垂足为H ，为边长为8的等边三角形．则（ ）PHF AA ．B ．2p =4p =C ．点P 的坐标为D ．点P 的坐标为((【答案】BD【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.【详解】由题意可得：抛物线C 的焦点为，准线为，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2p x =-设抛物线C 的准线与x 轴的交点为Q ，在中，则，， Rt △HFQ 60HFQ PHF ∠=∠=︒QF p =可得，解得，故A 错误，B 正确；28cos QFHF p HFQ===∠4p =∵P 的横坐标为，且点P 在第一象限， tan HQ QF HFQ =∠=826PH OQ -=-=故点P 的坐标为，故C 错误，D 正确． (故选：BD.12．已知以坐标原点为中心，焦点在坐标轴上的双曲线C 过点，且其中一条渐近线的倾)3-斜角为，则下列结论正确的是（ ） 5π6A ．CB ．双曲线C 与椭圆有相同的焦点2213620y x +=C ．直线与C 有两个公共点0x +=D ．直线经过C 的一个顶点()()23200k x ky k k -++=≠【答案】BD【分析】A 选项，求出一条渐近线，设出双曲线方程为，代入得到双曲线方223x y λ-=)3-程，得到离心率；B 选项，求出椭圆的焦点坐标，作出判断；C 选项，联立直线和双曲线方程，由的正负作出判断；D 选项，求出直线所过定点坐标，从而得到D 正确. ∆【详解】由题意得到双曲线的一条渐近线的斜率为5πtan 6=故双曲线C的一条渐近线为． y x =设C ：．代入，得．223xy λ-=)3-4λ=-因此双曲线C 的方程为，焦点在y 轴上，且，，则，221412y x -=2a =216c =4c =故离心率，故A 项不正确；2ce a==椭圆的焦点坐标为和，故B 项正确；2213620y x +=()0,4()0,4-联立，整理得，则，2214120y x x ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩280y-+=(2Δ480=--⨯=所以直线 与C有且只有一个公共点，故C 项不正确；0x +=直线，，即，，()2320k x ky k -++=R k ∈()()2320k x k y -++=R k ∈该直线必过点，即过双曲线C 的下顶点，故D 项正确． ()0,2-故选：BD三、填空题13．直线l 过点，若l 的斜率为3，则直线l 的一般式方程为______． ()2,1【答案】350x y --=【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程.【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. ()132y x -=-350x y --=故答案为：350x y --=14．已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则此椭圆的离心率33x y +=()222210x y a b a b+=>>______．e =【分析】由题知为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点，进而根据椭圆的性质求解即可. ()1,0()0,3【详解】解：∵直线与轴、轴的交点坐标分别为，33x y +=x y ()()1,0,0,3椭圆的焦点在轴上，()222210x y a b a b+=>>x ∴为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点， ()1,0()0,3∴，， 1c =3b =a =c e a ==15．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面l 宽米.【答案】米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 2x my =将A （2，-2）代入， 2x my =得m=-2，∴，代入B 得 22x y =-()0,3x -0x =故水面宽为 【解析】抛物线的应用16．已知各项均为正数的递增等差数列，其前n 项和为，公差为d ，若数列也是等差{}n a n S 数列，则的最小值为______． 182a d ++【答案】3【分析】根据为等差数列，求出{}n a 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭等差数列通项公式的特征，得到，从而利用基本不等式求出答案. 12da =【详解】因为为等差数列，且， {}n a 0d >故， 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为等差数列，即要能化成一个关于n 的一次函数， 则有，，102d a -=12da =则， 18828111322222d d a d d d ++=+=+-≥==+++当且仅当，时，等号成立， 2822d d +=+2d =故的最小值为3. 182a d ++故答案为：3四、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为． {}n a 12a =3d ={}n a n n S (1)求和； n a n S (2)设，求数列的前项和． nn S b n={}n b n n T 【答案】(1)，； 31n a n =-232n n nS +=(2).2354n n nT +=【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解； （2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解. n b 【详解】（1）根据题意，易知；()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-. ()()2113132222n n n n n n nS na d n --+=+=+=（2）根据题意，易知，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数312n n b +=132n n b b +-={}n b 32列，故． ()213524n n n b b n nT ++==18．已知圆的方程为． C 22460x y x y m +-+-=(1)求实数的取值范围；m(2)若圆与直线交于M ，N 两点，且，求的值． C :30l x y ++=MN =m 【答案】(1) 13m >-(2) 8m =-【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； C 130m +>（2）利用弦长公式求得的值. MN =r =m 【详解】（1）方程可化为， 22460x y x y m +-+-=22(2)(3)13x y m -++=+∵此方程表示圆，∴，即，即. 130m +>13m >-()13,m ∈-+∞（2）由（1）可得圆心，半径 (2,3)C -r =则圆心到直线的距离为(2,3)C -:30l x y ++=d ==由弦长公式及，得，MN =MN ==r =∴，得．r =8m =-19．在数列中，已知，且． {}n a 11a =-()*1234N n n a a n n +=+-∈(1)求证：数列是等比数列． {}13n n a a +-+(2)求数列的通项公式． {}n a 【答案】(1)证明见解析(2)()1*231N n n a n n -=-+∈【分析】（1）令，推出，证明出结论； 13n n n b a a +=-+()12113232n n n n n n b a a a a b ++++=-+=-+=（2）在（1）的基础上，求出，结合求出通项公式.1132n n n a a -+-+=()*1234N n n a a n n +=+-∈【详解】（1）令，13n n n b a a +=-+∴，()()12111323142343232n n n n n n n n b a a a n a n a a b +++++=-+=++---++=-+=∵，故， 21213a a =-=-12131b a a =-+=∴数列是公比为2的等比数列，{}n b 即数列是公比为2的等比数列．{}13n n a a +-+（2）由（1）易知，即，得， 12n n b -=1132n n n a a -+-+=123432n n n a n a -+--+=即．()1*231N n n a n n -=-+∈20．已知抛物线C ：过点．()220y px p =>()1,2A (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长度． 【答案】(1)，准线方程为 24y x ==1x -(2) 163【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案.AB 【详解】（1）∵过点，()220y px p =>()1,2A ∴，解得，24p =2p =∴抛物线C ：，准线方程为； 24y x ==1x -（2）由（1）知，抛物线焦点为，()1,0设直线AB ：，，， )1y x =-()11,A x y ()22,B x y由，得：，则，)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩231030x x -+=12103x x +=则． 121016233AB x x p =++=+=21．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.C ()2,0)（1）求双曲线的方程；C（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原:=+l y kx C A B 2OA OB ⋅>O 点)，求实数取值范围.k【答案】（1）－y 2＝1 23x （2）(－1∪，1) 【详解】(1)设双曲线C 的方程为－＝1(a>0，b>0)． 22x a 22y b由已知得ac ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为－y 2＝1． 23x (2)将y ＝kx代入－y 2＝1中，整理得(1－3k 2)x 2－－9＝0， 23x 由题意得，()()()2222130{36133610k k k -≠∆=+-=->故k 2≠且k 2<1 ①． 13设A(x A ，yA )，B(xB ，y B )，则x A ＋x B x A x B ＝， 2913k --由·>2得x A x B ＋y A y B >2， OA OB x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx AB＝(k 2＋1)x A x B k(x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·k·2913k --＋2＝， 223731k k +-于是>2，即>0，解得<k 2<3 ②． 223731k k +-223931kk -+-13由①②得<k 2<1， 13所以k 的取值范围为(－1∪1)． 22．已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点. 22:12x C y +=l C A B 11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭AB (1)求直线的方程；l (2)若为坐标原点，求的面积.O OAB A 【答案】(1)2230x y +-=【分析】（1）由题意，直线的斜率存在，设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理即l l 可求出斜率，从而即可得答案；k （2）根据弦长公式求出弦的长，由点到直线的距离公式求出高，然后由三角形的面积公式即AB可求解.【详解】（1）解：由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，即l l ()112y k x -=-，， 12y kx k =+-()()1122,,,A x y B x y 由得，221212y kx k x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()222242484430k x k k x k k ++-+--=因为点为线段的中点，所以，解得， 11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 2122842142k k x x k -+==⨯+1k =-直线的方程为，即； l ()()1112y x -=-⨯-2230x y +-=（2）解：由（1）知，， 122x x +=21224435642k k x x k --==+所以AB ===到直线的距离 Old 所以1122OAB S AB d ===A。
浙江高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（ ） ()()22153x y -++=A ．B ． ()1,5-()1,5-C ．D ．()1,5,3-()1,5,3-【答案】B【分析】直接利用圆的标准方程得到答案. 【详解】圆的标准方程为 ()()22153x y -++=则圆心为()1,5-故选：B2．双曲线的渐近线方程为（ ）2212y x -=A ．B ．C ．D ． 2y x =±12y x =±y =y =【答案】C【分析】根据双曲线方程，求得，即可直接写出渐近线方程.,a b【详解】对双曲线，焦点在轴上，且，故，2212y x -=y 222,1a b ==1a b ==则其渐近线方程为：. y =故选：C.3．若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ） 1l 2l ()1,2,2a =-()2,3,2b =- 1l 2l A ． B ．C ．、相交不垂直D ．不能确定12l l ⊥12l l //1l 2l 【答案】A【分析】由题可得，即可判断.0a b ⋅=【详解】由题意，直线、的方向向量分别为，， 1l 2l ()1,2,2a =-()2,3,2b =- ，2640a b ⋅=-+-=∴与的位置关系是. 1l 2l 12l l ⊥故选：A.4．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A ．x-2y-1=0 B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0【答案】A【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．5．三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝，用，，OA a OB b OC c a b表示，则等于（ ）cNM NMA ．B ．()12a b c -++ ()12a b c +- C ．）D ．()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】()1122OM ON O NM A OB OC =-=+- . ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B6．已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（ ）212323n a a a na n +++⋅⋅⋅+=n n b na =11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭A ．B ．C ．D ．20224045404640474044404520234047【答案】D【分析】根据题意得到，再利用裂项法求和即可.21n b n =-【详解】由题知：数列满足，设，212323n a a a na n +++⋅⋅⋅+=n n b na =所以的前项和为，则.{}n b n n T 2n T n =当时，，1n =111T b ==当时，， 2n ≥()221121-=-=--=-n n n b T T n n n 检验：当时，，符合. 1n =111b T ==所以. 21n b n =-令，前项和为. ()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n S 则. 202311111111202311233540454047240474047S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D7．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区[0,1]间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四1[0,]32[,1]3段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了1[0,]921[,]9327[,]398[,1]9三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或n (,)a b (,]a b [,)a b 的区间长度均为）[,]ab b a -A ．B ．C ．D ．11(3n-21(3n-12(31n-⨯12()32n-⨯【答案】B【分析】根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，可得第次操作剩余区间的长度和，即可得解.n 【详解】解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得： [],a b b a -每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，()13b a -13第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，()13b a -()23b a -第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， ()19b a -()49b a -第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， ()127b a -()827b a -第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为， ()181b a -()1681b a -⋯⋯第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为， n 12n -()13n b a -()23nn b a -所以； ()23nn na b a =-设定义区间为，则区间长度为1，[]0,1所以第次操作剩余区间的长度和为，n 23nn n b =则去掉的区间长度和为.213nn -故选：B8．已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆C 的离心率2222:1(0)x y C a b a b +=>>()()12,0,,0F c F c -C 为“黄金椭圆”．O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，A 和B 分别为椭圆C e =的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（ ） A ．a ，b ，c 成等比数列 B ．190F AB ∠=︒C ．D ．若轴，则222111a b c +=1PF x ⊥OP AB ∥【答案】D【分析】对于A,根据离心率公式，验证即可; 2b ac =对于B, 根据勾股定理以及离心率公式判断B 是否正确； 对于C,根据A 的结论，即可验证;对于D, 根据结合斜率公式以及离心率公式判断D 是否正确；=PO AB k k【详解】对于A,, c e c a ===22222b ac a ⎫=-=-⎪⎪⎭,故a,b,c 成等比数列,故A 正确; 22,ac b ac ==∴=对于B, 因为，所以即，， e 2b ac =()22222b a c a c =+--所以，故，故B 正确；2222()a c a a b +=++190F AB ∠=︒对于C,要证，只需证，只需证，即，222111a b c +=222111b c a =-222221a c b a c =-22221b b a c =只需证，由A 得，显然成立，故C 正确;22411b ac =对于D ，轴，且，所以，，1PF x⊥PO AB ∥2(,)b P c a -=PO AB k k 所以，解得，所以D 不正确． 2b c a b a =--b c =e =故选：D ．二、多选题9．已知为直线l 的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项v1n u r 2n u u r 中，正确的是（ ）A ．∥⇔α∥βB ．⊥⇔α⊥β 1n u r 2n u u r1n u r 2n u u rC ．∥⇔l ∥αD ．⊥⇔l ∥αv 1n ur v 1n ur 【答案】AB【解析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可.【详解】解：为直线l 的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， v1n u r 2n u u r 则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l ⊥α，⊥⇔l ∥α或l ⊂α.1n u r 2n u u r 1n u r 2n u u r v 1n u r v 1n ur 因此AB 正确. 故选：AB.10．设等差数列的前n 项和为，其公差，且，则（ ）． {}n a n S 1d >7916+=a a A ． B ． 88a =15120S =C ． D ．11a <22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为，所以，解得：.故A 正确； 7916+=a a 978216a a a +==88a =对于B ：.故B 正确；()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=对于C ：因为，所以，所以.88a =178a d +=187a d =-因为，所以.故C 正确；1d >11a <对于D ：因为，所以，所以. 88a =268a d +=286a d =-因为，所以.故D 错误. 1d >22a <故选：ABC11．已知圆与圆，则下列说法正确的是()()221:1311C x y -+-=2222:2230C x y x my m ++-+-=（ ）A ．若圆与轴相切，则 2C x 2m =B ．若，则圆C 1与圆C 2相离3m =-C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为()246220x m y m +-++=D ．直线与圆C 1始终有两个交点 210kx y k --+=【答案】BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线过定点以及在圆C 1内判断即可.210kx y k --+=()2,1()2,1【详解】因为，，221:(1)(3)11C x y -+-=222:(1)()4C x y m ++-=对A ，故若圆与x 轴相切，则有，故A 错误；2C ||2m =对B ，当时，B 正确； 3m =-1262C C ==>>对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C 24(62)20x m y m +-+-=错误；对D ，直线过定点，而，故点在圆210kx y k --+=()2,122(21)(13)511-+-=<()2,1内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D 正确.221:(1)(3)11C x y -+-=210kx y k --+=1C 故选：BD12．数列中，，则下列结论中正确的是（ ） {}n a ()()*122110,1,N 2n n n a a a a a n ++===+∈A ． B ．是等比数列 01n a ≤≤{}1n n a a +-C ． D ．8109a a a <<9108a a a <<【答案】ABD【分析】由题意可得到，得到是等比数列，进而得到()21112n n n n a a a a +++-=--{}1n n a a +-，再利用累加法得到，然后逐项判断. 1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】因为数列中，， {}n a ()()122110,1,2n n n a a a a a n *++===+∈N 所以，即， ()()2112n n n n a a a a +++-=--()21112n n n n a a a a +++-=--则是以1为首项，以为公比的等比数列，{}1n n a a +-12-所以，故B 正确；1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由累加法得， 01211111111212112223212n n n n a a ---⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+-++-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ 所以， 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当n 为奇数时，是递增数列，所以，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1302n a a ≤=<当n 为偶数时，是递减数列，所以，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2213n a a <≤=所以，故A 正确； 01n a ≤≤又，所以，故C 不正确，D 正确，810798921212111,13232,32a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9108a a a <<故选：ABD三、填空题13的倾斜角是___________．10y -+=【答案】（或） 60︒π3【分析】先求出直线斜率，再求出直线倾斜角即可.【详解】的倾斜角为（）， 10y -+=α0180α︒≤<︒化为斜截式得：，10y -+=1y =+∴该直线的斜率，tan k α==∵， 0180α︒≤<︒∴.60α=︒故答案为：（或）. 60︒π314．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺. 【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项. 【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为{}n a d ，解得 14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-= 101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺. 6.5故答案为：6.515．已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直2212x y +=11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AB 线的方程是__________. l 【答案】2230x y +-=【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，AB 【详解】设，由题意得，1122(,),(,)A x y B x y 222212121,122x x y y +=+=两式相减化简得，而是中点，得， 1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-P AB 12122,1x x y y +=+=代入得，故直线方程为，即，12121y y k x x -==--AB 1(1)2y x -=--2230x y +-=点在椭圆内，故直线与椭圆相交， P 故答案为：2230x y +-=16．如图，正方体的棱长为4，点P 在正方形的边界及其内部运动.平面区1111ABCD AB C D -ABCD 域W 由所有满足的点P 组成，则四面体的体积的取值范围_________.14A P ≤≤1P A BC -【答案】 1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】连接，由线面垂直的性质得到，再由勾股定理求出，即可得到AP 1A A AP ⊥0||2AP ≤≤P 以为圆心2为半径的圆面上，再根据得到当在边上时四面A 141111,3P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅A P AD 体的体积最大，当在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范P AB 围.【详解】连接，如图所示，AP因为平面，平面，所以，1A A ⊥ABCD AP ⊂ABCD 1A A AP ⊥∵，由；14A A =14A P ≤≤0||2AP ≤≤所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，P A 1411113P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅A 所以当在边上时，四面体的体积的最大值是. P AD 1P A BC -1132444323⨯⨯⨯⨯=所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时， P AB PBC S A 14242PBC S =⨯⨯=△所以四面体的体积的最小值是，所以，1P A BC -1164433⨯⨯=11632,33P A BC V -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：. 1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】思路点睛：求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，13V Sh =通常会有以下两种：①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.四、解答题17．已知是等差数列的前项和，，. n S {}n a n 15a =-340a a +=(1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，求的值. 40n S =n 【答案】(1) 27n a n =-(2) 10【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解； （2）先求前项和，再建立方程求解即可.n 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， {}n a d 15a =-所以. ()()3411123251050a a a d a d a d d +=+++=+=-+=解得.2d =所以.()1127n a a n d n =-=-+（2）. ()252762n n n S n n -+-⋅⎡⎤⎣⎦==-因为，所以，解得或. 40n S =2640n n -=10n =n =-4因为，所以.*n ∈N 10n =18．已知圆C ：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P （4，－1），过点P 作直线l . (1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 【答案】(1)x ＝4或3x ＋4y-8＝0.(2)【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C 的圆心为（2，3），半径r ＝2 当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，此时圆C 与直线l 相切； 当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k （x －4），即kx －y －4k －1＝0，则圆心到直线的距离为，解得，d r =234k =-所以此时直线l 的方程为3x ＋4y-8＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝4或3x ＋4y-8＝0.（2）当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y-3＝0，圆心到直线l 的距离d故所求弦长为：.==19．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. 22y px =0p >F ()02,A y 4AF =(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. l y x m =+P Q OP OQ ⊥m 【答案】(1) 28y x =(2) 8-【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；0(2,)A y 4AF =（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 1122(,),(,)P x y Q x y 28y x my x =+⎧⎨=⎩OP OQ ⊥0OP OQ ⋅= 【详解】（1）由抛物线过点，且， 22(0)y px p =>0(2,)A y 4AF =得 2442pp +=∴=所以抛物线方程为；28y x =（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，l y x m =+P Q 设，联立 1122(,),(,)P x y Q x y 28y x my x =+⎧⎨=⎩得，22(28)0x m x m +-+=所以，()22Δ28464320m m m =--=->所以，2m <所以2121282,x x m x x m +=-=因为，OP OQ ⊥所以，0OP OQ ⋅=则， 2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，即，222(82)0m m m m ∴+-+=280m m +=解得或，0m =8m =-又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合， 0m =O 不符合题意，故舍去； 所以实数的值为.m 8-20．如图，正三棱柱的棱长都为2，D 为的中点．111ABC A B C -1CC（1）求证：平面；1AB ⊥1A BD （2）求直线与平面所成角的大小； 1CC 1A BD （3）求点C 到平面的距离． 1A BD 【答案】（1）详见解析；（2）；（34π【分析】（1）以BC 的中点O 为原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，由11,,AB BD BA证明；1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=（2）由（1）知：是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，(11,2,AB =1A BD 1CC 1A BD θ由求解； 1111sin AB CC AB CC θ⋅=⋅（3）根据，由求解. ()2,0,0BC =-11AB BC d AB ⋅=【详解】（1）以BC 的中点O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，(()()()(11,1,0,0,1,1,0,1,2,0,A B D B A -所以，(()(111,2,,2,1,0,AB BD BA ==-=-因为，且， 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=1BD BA B = 所以平面；1AB ⊥1ABD （2）由（1）知：是平面的一个法向量，又，(11,2,AB = 1A BD ()10,2,0CC =设直线与平面所成角为，1CC 1A BD θ则，sin θ=因为，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦所以；4πθ=（3）因为，()2,0,0BC =-则点C 到平面的距离为1A BD 11AB BC d AB ⋅== 21．已知数列的前项和为，，且.{}n a n n S 123a =-220++=n n S a (1)求数列的通项公式，{}n a (2)设数列满足（），求数列的前项和为 {}n b ()230n n b n a +-=*n ∈N {}n b n n T 【答案】(1)1(2)(3n -⨯(2)331()()4243nn n T =---【分析】(1)利用与的关系，分和讨论，得到数列为等比数列，即可求解； n S n a 1n =2n ≥{}n a (2)结合（1）的结论，利用错位相减法即可求出数列的前项和为. {}n b n n T 【详解】（1）因为，220++=n n S a 当时，，解得：，1n =11220++=S a 123a =-当时，则有，2n ≥11220--++=n n S a 两式相减可得：，所以，120n n n a a a -+-=113n n a a -=因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，1203a =-≠{}n a 23-13所以数列的通项公式为.{}n a 1211()((2)()333n nn a -=-⨯=-⨯（2）由可得：，2(3)0+-=n n b n a 1(3)(3nn b n =-所以23111111(2)(1)()0((4)((3)()33333n nn T n n -=-⨯+-⨯+⨯++-⨯+-⨯ 2341111111(2)()(1)()0((4)()(3)(333333n n n T n n +=-⨯+-⨯+⨯++-⨯+-⨯ 两式相减可得： 23412211111((()()(3)()3333333n n n T n +-=+++++--⨯ ()1111193211113133232313n n nn n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+--⨯=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以.331()()4243nn n T =---【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平π面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为2222:1(0)x y C a b a b +=>>2πC （1）求椭圆的标准方程；C（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A 关于轴的对称点为(4,0)P x l C AB 、y ，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，M B N P M N 、、l 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线恒过定点.22:14x C y +=(1,0)-【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得C 2c 2222:1(0)x y C a b a b+=>>2π，求出，即可求出椭圆的标准方程；2ab ππ=a b ，C （2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与:l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y M N :l x my t =+椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将C 12y y +12y y ⋅P M N 、、PM PN k k =，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.12y y +12y y ⋅m t ，l 【详解】（1）椭圆的面积等于，，2222:1(0)x yC a b a b+=>>2π2ab ππ∴=，椭圆的焦距为2ab ∴=C 2c ∴， 22222,2,1a b c ab c a b =⎧⎪=∴+=⎪⎩==⎨ 椭圆方程为∴22:14x C y +=（2）设直线，，则，，三点共:l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 11(,)M x y -22(,)N x y --P M N 、、线，得121244PM PN y y k k x x =⇒=--+，1221(4)(4)0y x y x ∴+++=直线与椭圆交于两点,, :l x my t =+C A B 、11x my t =+22x my t =+1221(4)(4)0y my t y my t ∴+++++=，，()()1212240my y t y y ∴+++=由，得，， 2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(4)240m y mty t +++-=∴122212224440mt y y m t y y m ⎧+=-⎪+⎪-⎪⋅=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩，代入中，12221222224444m t mt y y m t y y m ⎧+=-⎪+⎪-⎪∴⋅=⎨+⎪⎪⎪⎩+>()()1212240my y t y y +++=，，()2224240424t mt m m m t --⎛⎫∴++⎝++= ⎪⎭()()()220424m t t mt ∴--++=8(1)0m t ∴+=当，直线方程为，则重合，不符合题意； 0m =l x t =M N 、当时，直线,所以直线恒过定点.1t =-:1l x my =-l (1,0)-。
高二数学上学期期末考试试题 理含解析 试题(共15页)
HY黄陵中学(zhōngxué)高新部2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，12小题一共60分〕1.设，，，那么以下命题为真命题的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】对A，时不成立；对B，时不成立；对C，正确；对D，时不正确，应选C.2.假设是真命题，是假命题，那么A. 是真命题B. 是假命题C. 是真命题D. 是真命题【答案】D【解析】试题分析：因为p是真命题，q是假命题，所以是假命题，选项A错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选是真命题，选项B错误，p项D正确，应选D.考点：真值表的应用.【此处有视频，请去附件查看】3.双曲线的离心率(xīn lǜ)，且其右焦点,那么双曲线的方程为〔 〕 A. B. C.D.【答案】B 【解析】由双曲线2222:1x y C a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，可得，所以，所求双曲线的方程为221169x y -=，应选B ．4.曲线在处的切线方程是〔 〕A. B. C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出导数，再把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．【详解】解：由题意知，， 在处的切线的斜率，那么在(1,1)处的切线方程是：，即210x y --=，应选(yīnɡ xuǎn)：．【点睛】此题考察了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于根底题．5.假设，那么等于〔〕A. 0B. 1C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由导数的定义可得答案．【详解】解：根据题意，假设，那么，即；应选：．【点睛】此题考察导数的定义，掌握导数与极限的关系即可．6.以下各式正确的选项是()A. (a为常数)B.C. D.【答案】C【解析】由根本的求导公式可得：(a 为常数(chángshù))； ； ；.此题选择C 选项. 7.函数，其导函数的图象如以下图所示，那么()y f x =〔 〕A. 在上为减函数B. 在处取极小值C. 在上为减函数D. 在处取极大值【答案】C 【解析】 分析】根据导函数图象可断定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点． 【详解】解：根据导函数图象可知当时，，在时，，∴函数在和()4,+∞上单调递减，在(),0-∞和上单调递增，、为函数()y f x =的极大值点，2x =为函数()y f x =的极小值点，那么正确的为C . 应选：C ．【点睛】此题主要考察了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值等有关知识，属于中档题．8.假设(jiǎshè)函数在处获得极值，那么〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】【分析】由在2x=-时获得极值，求出得，解出a值．【详解】解：，；又()f x在2x=-时获得极值，；．应选：B．【点睛】此题考察了应用导数求函数极值的问题，是根底题．9.〔〕A. B. C. D. 【答案】C【解析】，应选C.10.由“，，〞得出：“假设且，那么〞这个推导过程使用的方法是〔〕A. 数学归纳法B. 演绎推理C. 类比推理D. 归纳推理【答案】D【解析】根据局部成立的事实(shìshí)，推断出一个整体性的结论，这种推理是归纳推理中的不完全归纳法，所以选D ． 11.函数()y f x =在点取极值是的〔 〕 A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 必要非充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】函数可导，取极值时导数为0，但导数为0并不一定会取极值．【详解】解：假设函数()y f x =在点0x 处可导，且函数()y f x =在点0x 取极值， 那么，假设0()0f x '=，那么连续函数()y f x =在点0x 处不一定取极值，例如：．应选：．【点睛】此题考察了函数的极值与导数之间的关系，属于根底题． 12.函数的定义域为，其导函数在(),a b 的图象如下图，那么函数()f x 在(),a b 内的极小值点一共有( )A. 个B. 2个C. 个D. 个【答案(dá àn)】C 【解析】 【分析】根据极小值点存在的条件，可以判断出函数()f x 的极小值的个数． 【详解】根据极小值点存在的条件，①②在的左侧()0f x '<，在0x x =的右侧()0f x '>，可以判断出函数()f x 的极小值点一共有1个，应选C ．【点睛】此题主要考察函数图象的应用以及利用导数判断极值点． 二、填空题〔4小题一共20分)时，第一步验证时，左边应取的项是 ． 【答案】【解析】 在等式中，当1n =时，，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故1n =时，等式左边的项为1234+++，故答案为1234+++. 14.函数一共有________个极值.【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导，结合导数(dǎo shù)的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．【详解】解：由题知()f x的导函数，，恒成立．∴函数32=-+在上是单调递增函数，y x x x22∴函数没有极值．故答案为：．【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值，属于根底题．15.表示虚数单位，那么______.【答案】1【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数的乘法计算可得．【详解】解：且，，，，……故答案为：1【点睛】此题考察复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于根底题.16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案：那么(nà me)第个图案中有白色地面砖块.【答案】4n+2【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+〔n-1〕×4=6+4n-4=4n+2．故答案为4n+2．三、解答题〔6小题一共80分)17.a，b是正实数，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】因为，，要证明这个不等式，可将不等式两边同时平方，即可得证.【详解】证明：要证明87510+>+，只需证明，即，只需证明，即，这显然(xiǎnrán)成立.这样，就证明了87510+>+.【点睛】此题考察分析法证明不等式，属于根底题.18.点为椭圆上一点，以点P以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，那么点P的坐标是？【答案】，，，.【解析】【分析】根据，点P是椭圆22154x y+=上的一点，以点P以及焦点1F，2F为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边，我们易求出P点的横坐标，进而求出P点的纵坐标，即可得到答案．【详解】1F、2F是椭圆22154x y+=的左、右焦点，，那么，，设椭圆上一点，由三角的面积公式可知：，即，将1y=代入椭圆方程得：，解得：，∴点P的坐标为15⎫⎪⎪⎝⎭，15⎛⎫⎪⎪⎝⎭，151⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，151⎫-⎪⎪⎝⎭.【点睛(diǎn jīnɡ)】此题考察的知识点椭圆的HY 方程，椭圆的简单性质，其中判断出以点P 以及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的底边12||2F F ，是解答此题的关键．与直线所围图形的面积．【答案】． 【解析】【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数． 试题解析：由解得．从而所求图形的面积．考点：定积分． 20.复数，.〔1〕求及并比拟大小； 〔2〕设，满足条件的点的轨迹是什么图形？【答案(dá àn)】(1) 1z =2, 2z =1, (2) 以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环〔包含圆周〕 【解析】 【分析】〔1〕利用复数的模的计算公式求出1z 、2z 即可解答. 〔2〕根据的几何意义及〔1〕中所求的模1z 、2z 可知的轨迹.【详解】解：〔1〕，，∴12z z >.〔2〕由21z z z ≤≤及〔1〕知.因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的间隔 ，所以表示所表示的圆外部所有点组成的集合，表示所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环〔包含圆周〕，如下图．【点睛】此题考察复数的模及其几何意义，属于根底题. 21.曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;⑵假设直线, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.【答案(dá àn)】〔1〕〔2〕【解析】【详解】本试题主要是考察了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．首先根据条件，利用导数定义，得到点P 0的坐标，然后利用1l l ⊥，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P 0得到结论． 解：〔1〕由y=x 3+x-2，得y′=3x 2+1， 由得3x 2+1=4，解之得x=±1． 当x=1时，y=0； 当x=-1时，y=-4． 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0的坐标为〔-1，-4〕； 〔2〕∵直线 l⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为-1/ 4 ，∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为〔-1，-4〕 ∴直线l 的方程为y+4=〔x+1〕即x+4y+17=0．22.函数，当1x =时，有极大值3.〔1〕求该函数的解析式； 〔2〕求函数的单调区间. 【答案】(1)(2) 单调递增区间为，单调递减区间为(),0-∞，.【解析】 【分析(fēnxī)】 〔1〕求出，由1x =时，函数有极大值3，所以代入和中得到两个关于a 、b 的方程，求出a 、b 即可； 〔2〕令解出得到函数的单调增区间，令得到函数的单调减区间；【详解】解：〔1〕∵32y ax bx =+， ∴.由题意得：当1x =时，，.即，解得，，∴函数的解析式为：3269y x x =-+. 综上所述，结论为：3269y x x =-+. 〔2〕由题〔1〕知3269y x x =-+，，令得， 令得或者，∴函数的单调递增区间为()0,1， 函数的单调递减区间为(),0-∞，()1,+∞.【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性、函数的极值，属于根底题，准确求导，纯熟运算是解决该类问题的根底． 23.曲线〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】〔1〕；〔2〕或者440x y --=．【解析(jiě xī)】 【分析】〔1〕根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P 的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；〔2〕设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到〔1〕求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可. 【详解】解：〔1〕∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为，即440x y --=．〔2〕设曲线与过点()2,4P 的切线相切于点，那么切线的斜率，∴切线方程为，即． ∵点()2,4P 在该切线上，∴，即，∴，∴，∴，解得或者．故所求切线方程为440x y --=或者20x y -+=．【点睛】此题考察学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线〞，还是“过某点的切线〞；同时解决“过某点的切线〞问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.内容总结（1）HY黄陵中学高新部2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，12小题一共60分〕1.设，，，那么以下命题为真命题的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】对A，时不成立（2）又在时获得极值，。
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设正项等比数列{}n a 满足4336a a -=，26a =，则1a =（）A ．3B ．12C ．2D ．13【正确答案】C【分析】本题可设公比为q ，然后根据4336a a -=得出26q q -=，通过计算求出3q =，最后通过21aa q=即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4336a a -=，26a =，所以22236a q a q -=，即26636q q -=，26q q -=，解得3q =或2-（舍去），3q =，则21623a a q ===，故选：C.2．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴“k 是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选：A ．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3．如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【正确答案】D【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D4．过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】B【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A ，B 坐标，即可由抛物线定义求得,AF BF ，得出所求.【详解】由题可得()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，（12x x >），直线l 的倾斜角为60 ，∴则直线l 的方程为)1y x =-，联立)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，由抛物线的定义可得12414,13AF x BF x =+==+=，则||3||AF BF =.故选：B.5．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．0C ．1D ．2π【正确答案】A【分析】先利用诱导公式把()f x 化简为()cos f x x x =，再利用常见函数的导数公式和函数乘积的导数的运算法则求出()f x '，代入2π可得所求的导数值.【详解】()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()cos sin f x x x x '=-，所以22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：A.本题考查诱导公式及导数的运算，注意函数乘积的导数的运算法则的正确应用，本题属于基础题.6．若2()24ln f x x x x =--,则()0f x ¢>的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【正确答案】C【详解】()242220,0,x x f x x x x --'=-->()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值为10，则=a （）A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【正确答案】C【分析】根据函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，可知f '（1）0=和f （1）10=，可求出a .【详解】由322()f x x ax bx a =+++，得2()32f x x ax b '=++，函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，∴411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-，∴在1x =处不存在极值；当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11(3x ∴∈-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴符合题意.故选：C本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，则BF =（）A ．9或6B ．6或3C ．9D ．3【正确答案】D设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，进而可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，由韦达定理可求得点B 的横坐标，进而可求得BF .【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，10y >，则由题意可得：点()2,0F ，126AF x =+=，则14x =，由2118y x =，得1y =，所以42AB k ==-AB 方程为)2y x =-，将直线AB 的方程代入28y x =化简得2540x x -+=，所以21x =，所以223F x B =+=，故选：D ．结论点睛：过抛物线()220y px p =>焦点F 的弦AB ，点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ.（1）1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+；（2）22sin pAB θ=；（3）112AF BF p+=.二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线【正确答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.【详解】A.当π4α=时，ππsin cos 44=22x y +=，即为圆的方程，故A 错误；B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；D.当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是（）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+-【正确答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项；对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-，即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对；对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++，即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++，故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ++=，公比为2的等比数列，故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【正确答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A 正确；证明平面11//AB D 平面1BDC ，即知//DP 平面11AB D ，B 正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C 错误D 正确即可.【详解】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，由选项A 知，1//BC 平面11AB D ，同理//DB 平面11AB D ，而1BC BD B = ，1,BC BD ⊂平面1BDC ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B正确；对于C ，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =---，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=-不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= --⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c =，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（）A ．()()1e 0f f <B ．()()1e 0f f >C ．()()e ln 221f f <D ．()()e ln 221f f >【正确答案】BC 【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2ln e 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错.故选：BC.三、填空题13．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x =-，则()f x 的单调递增区间为______．【正确答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出()0f x ¢>的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x =-,则()2cos f x x '=令()2cos 0f x x '=>,即cos x <且()0,πx ∈所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为___________．【分析】取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，证得1//CC 平面1D EF ，把1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，利用面面垂直的性质定理，证得1C M ⊥平面1D EF ，过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，得到1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，证得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，求得1C M 的值，即可求解.【详解】解：如图所示，取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，所以1//CC EF ，又EF ⊂平面1D EF ，1CC ⊄平面1D EF ，所以1//CC 平面1D EF ，所以直线1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，因为平面1D EF ⊥平面1111D C B A ，且1C M ⊂平面1111D C B A ，所以1C M ⊥平面1D EF ．过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，则1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，则四边形1MPNC 是矩形，可得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，由11111C MD F D C C F ⋅=⋅，所以1111111·2D C C F C M D F ⨯===故点P 到直线1CC15．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是__________【正确答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到1111(1)n n n a na +-=+，利用等差数列的通项公式化简得1(1)n a n n =+，把不等式2410nta n n++≥，转化(4)(1)n n t n ++≥-恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，可得1111(1)n n n a na +-=+，且112a =，所以数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，所以111=+(1)1n n n na a -=+，所以1(1)n a n n =+，又由2410n ta n n++≥恒成立，即(4)(1)n n t n ++≥-对n N *∈恒成立，因为(4)(1)44(5)(25)9n n n n n n n++-=-++≤-⋅+=-，当且仅当2n =时取等号，所以9t ≥-，即实数t 的取值范围是[9,)-+∞.16．已知正项数列{}n a 满足递推关系11(2)21n n n a a n a --=+，且114a =，数列{}n b 满足21n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12231n b b bn ++⋅⋅⋅+=+________.【正确答案】226n n +【分析】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项114a =，公差为2的等差数列，可求14(1)222n n n a =+-⨯=+，继而求出4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，这说明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，又首项114a =，公差为2，所以14(1)222nn n a =+-⨯=+，于是2214(1)n n b n a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，于是4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，故212(1)84262312n b b b n n n n n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=++.故答案为.226n n+本题考查等差数列的推导证明以及等差数列的求和问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最大值．【正确答案】(1)215n a n =-+(2)49【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式；（2）由113a =，2d =-，利用等差数列的求和公式，化简得到2(7)49n S n =--+，结合二次函数的性质，即可得到答案.【详解】（1）解：选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.（2）解：由113a =，2d =-，所以2213(215)14(7)492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值为49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)()()221225x y -+-=；(2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=．（2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N ===，则3d =．当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=，所以3d =，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=．综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n n S ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32n a n =-，3n n b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;(2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可.【详解】（1）因为232-=n n n S ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为nc 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332n n c n =--，则()()()122313132333333143213222n n n n n n n n T n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=--所以123332n n n n T +-+-=．20．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠====== ，平面1CC D ⊥平面11ACC A （1）求证：1AC DC ⊥；（2）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，易得1CC AC ⊥，又平面1CC D ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的性质定理证明即可；（2）由1AA ⊥平面111A B C ，且90BAC ∠= ，建立空间直角坐标系，求得平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，证明AM n ⊥ 即可；【详解】（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，∴1CC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ,且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，又AC ⊂ 平面11ACC A ,∴AC ⊥平面1CC D ，又1DC ⊂平面1CC D ，∴1AC DC ⊥（2）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，而1111,A B A C ⊂平面111A B C ∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥，又90BAC ∠= ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,,,2,0,1,0,0,1,2A C C B B D ，所以()()12,0,0,1,1BB BD =-=- ，设平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,n = ，∵M 为1DC的中点，则12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0AM n ⋅= ，所以AM n ⊥ ，又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB .方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．21．已知函数32()f x x ax x b =-++在1x =处取得极值.（1）当2b =-时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数b 的取值范围.【正确答案】（1）20x y --=（2）4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】先对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处取得极值，求出a ；（1）将2b =-代入()f x 解析式，再由导数的方法求出其在0x =处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数()f x 有三个零点，等价于方程322x x x b -+=-有三个不等实根，也即是函数()322g x x x x =-+与直线y b =-有三个不同的交点，由导数的方法研究函数()322g x x x x =-+的极值，即可得出结果.【详解】解：()2'321f x x ax =-+，由题意知()'10f =，所以3210a -+=，即2a =.所以()322f x x x x b =-++.（1）当2b =-时，()3222f x x x x =-+-，()2'341f x x x =-+，所以()'01f =，()02f =-，所以()f x 在0x =处的切线方程为()20y x --=-，即20x y --=.（2）令()0f x =，则322x x x b -+=-.设()322g x x x x =-+，则()y g x =与y b =-的图象有三个交点.()()()2'341311g x x x x x =-+=--，所以当x 变化时，()g x ，()'g x 的变化情况为x 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()'g x +0-0+()g x 增函数极大值减函数极小值增函数所以14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =.又当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞，所以4027b <-<，即4027b -<<.所以b 的取值范围是4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.22．如图，在六面体PABCD 中，PAB 是等边三角形，二面角P AB D --的平面角为30°，4PC AB ====.(1)证明：AB PD ⊥；(2)若点E 为线段BD 上一动点，求直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面θ，满足sin θ=利用换元法结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,PM DM ，因为,PA PB DA DB ==，所以,PM AB DM AB ⊥⊥，且PM DM M = ，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB PD ⊥.（2）连接CM ，则CM AB ⊥，由4AC BC AB ===，可得2CM =，于是22216CM PM PC +==，所以PM CM ⊥，又,PM AB AB CM M ⊥⋂=，所以PM ⊥平面ABC ，以M 为原点，,,MC MB MP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,M C B P ，由120CMD ∠= ，可得(D -，平面PAB 的法向量为()1,0,0n = ，设([]1,,0,1BE BD λλλ==--∈，则()2,22,CE CB BE λλ=+=--- ，设CE 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,n CE θ=令[]2,2,3t t λ+=∈，则sin θ令()[]248368,2,3f t t t t=-+∈，由对称轴138t =知，当138t =，即23λ=时，min 5()4f t =，max (sin )5θ==，于是max (tan ) 2.θ=直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值为2.。
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高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题 一、选择题：1．不等式212xx的解集为（ ） A.,10,1 B.1,01, C.1,00,1 D.,11, 2．0c是方程 cyax22 表示椭圆或双曲线的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要 3.若,20当点cos,1到直线01cossinyx的距离为41,则这条直线的斜率为（ ）
A.1 B.－1 C.23 D.－33 4.已知关于x的不等式01232axax的解集是实数集 R，那么实数a的取值范围是（ ） A.[0，916] B.[0, 916） C.（916,0） D.38,0
5.过点（2，1）的直线l被04222yxyx截得的最长弦所在直线方程为：( ) A. 053yx B. 073yx C. 053yx D. 013yx 6.下列三个不等式：①;232xx②2,0,baababRba时、；③当0ab时，.baba其中恒成立的不等式的序号是（ ）A.①② B.①②③ C.① D.②③ 7.圆心在抛物线xy22上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A．041222yxyx B．01222yxyx C．01222yxyx D．041222yxyx 8.圆C切y轴于点M且过抛物线452xxy与x轴的两个交点，O为原点，则OM的长是（ ） A．4 B．2.5 C．22 D．2 9.与曲线1492422yx共焦点，而与曲线1643622yx共渐近线的双曲线方程为（ ）
A．191622xy B．191622yx C．116922xy D．116922yx 10.抛物线xy42上有一点P，P到椭圆1151622yx的左顶点的距离的最小值为（ ） A．32 B．2+3 C．3 D．32 11.若椭圆)1(122mymx与双曲线)0(122nynx有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则21PFF的面积是（ ）A．4 B．2 C．1 D．0.5 12.抛物线pxy22与直线04yax交于两点Ａ¸Ｂ，其中点Ａ坐标为（1，2），设抛物线焦点为Ｆ，则|FA|+|FB|=（ ）Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4 二、填空题13. 设函数,2)(axxf不等式6|)(|xf的解集为(-1,2)，则不等式1xfx的解集为
14.若直线)0,0(022babyax始终平分圆014222yxyx的圆周，则ba11的最小值为______ 15．若曲线15422ayax的焦点为定点，则焦点坐标是 . 16.抛物线xy22上的点M到焦点F的距离为3，则点M的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222babyaxC经过点)221(，M，其离心率为22，设直线mkxyl：与椭圆C相交于BA、两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l与圆3222yx相
切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；（Ⅲ）以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足OPOQuuuruuur（O为坐标原点），求实数的取值范围．
19．已知圆C关于y轴对称，经过抛物线xy42的焦点，且被直线xy分成两段弧长之比为1：2，求圆C的方程.
20. 平面内动点P（x，y）与两定点A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于-1/3，若点P的轨迹为曲线E，过点Q(1,0)作斜率不为零的直线CD交曲线E于点CD、．（1）求曲线E的方程； （2）求证：ACAD；（3）求ACD面积的最大值．
21．已知直线l与圆0222xyx相切于点T，且与双曲线122yx相交于A、B两点.若T是线段AB的中点，求直线l的方程.
22、设椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆与x轴正半轴QP、两点，且PQAP58 （I）求椭圆离心率e； （II）若过A,F,Q三点的圆恰好与直线033:yxl相切，求椭圆方程 答案 一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52x}; 14. 4 ; 15.（0，±3）; 16．（－5,25）.
三、17．解：由062322xxxx，得0)2)(3()2)(1(xxxx
.3,21,2.32,120)3)(2)(1)(2(A
xxxxxx或
.3,21,1.8,1.819101:31BA
B
xxxx得又由
18．（Ⅰ）椭圆方程为2212xy；（Ⅱ）见解析（Ⅲ）22且0．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知离心率为22，可得等式222ba；又因为椭圆方程过点2(1)2M，可求得21b，22a，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线l与圆2223xy相切，可得m与k的等式关系即222(1)3mk，然后联立直线l与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmxxk，21222212mxxk，进而求出21yy222212mkk
，所以由向量的数量积的定义可得OBOA的值为0，即结论得证；
（Ⅲ）由题意可分两种情况讨论：（ⅰ）当0m时，点A、B关于原点对称；（ⅱ）当0m
时，点A、B不关于原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数的取值范围即可.
试题解析：（Ⅰ）22222ceabcaQ离心率，，222ab 222212xybb椭圆方程为，将点2(1)2M，代入，得21b，22a
所求椭圆方程为2212xy．
（Ⅱ）因为直线l与圆2223xy相切，所以2||631mk，即222(1)3mk 由22,22ykxmxy，得222(12)4220kxkmxm． 设点A、B的坐标分别为11(,)Axy、22(,)Bxy， 则122412kmxxk，21222212mxxk， 所以1212()()yykxmkxm=221212()kxxkmxxm=222212mkk， 所以1212OAOBxxyyuuuruuur=222212mk222212mkk=22232212mkk=0，故OAOB， （Ⅲ）由（Ⅱ）可得121222()212myykxxmk， 由向量加法平行四边形法则得OAOBOPuuuruuuruuur，OPOQuuuruuurQ，OAOBOQuuuruuuruuur （ⅰ）当0m时，点A、B关于原点对称，则0 此时不构成平行四边形，不合题意． （ⅱ）当0m时，点A、B不关于原点对称，则0，
由OAOBOQuuuruuuruuur，得12121(),1().QQxxxyyy 即224,(12)2.(12)QQkmxkmyk Q点Q在椭圆上，有222242[]2[]2(12)(12)kmmkk，
化简，得222224(12)(12)mkk． 2120kQ，有2224(12)mk． ①
又222222164(12)(22)8(12)kmkmkmQ， 由0，得2212km． ② 将①、②两式，得2224mm 0mQ，24，则22且0． 综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数的取值范围是22且0．
19.解：设圆C的方程为)(2ayx22r, 抛物线xy42的焦点0,1F
221ra ①
又直线xy分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线xy的距离等于半
径的,21 即22ra ② 解①、②得2,12ra 故所求圆的方程为 2)1(22yx
20．（1）223144xy(2)x；（2）略；（3）1.
【解析】试题分析：（1）根据题意可分别求出连线PA，PB的斜率PAk，PBk，再由条件斜率之积为13-列出方程，进行化简整理可得曲线E的方程，注意点P不与点,AB重合.根据
斜率的计算公式可求得2PAykx=+，2PBykx=-，所以()12223yyxxx?-贡+-，化简
整理可得曲线E的方程为223144xy(2)x； （2）若要证ABAC^，只要证0ABAC?uuuruuur，再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC的方程为1myx=+，()()1122,,,CxyDxy，联立直线与椭圆的方程消去x，可得关于y的一元二次方程032)3(22myym，由违达定理知33,32221221myymmyy，则()12122623xxmyym+=+-=-+，212122
43113mxxmymym
，又()112,ACxy=+uuur，()222,ADxy=+uuur，所以
121212121222240ACADxxyyxxxxyyuuuruuur，从而可以证明
ABAC^；
（3）根据题意可知221212122114914223ACDmSAQyyyyyym△，
又222224943333mmmm，故当0m时，ACD△的面积最大，最大面积为1. 试题解析：（1）设动点P坐标为(,)xy，当2x时，由条件得： 1223yyxx，化简得223144xy，
故曲线E的方程为223144xy(2)x. 4分（说明：不写2x的扣1分） （2）CD斜率不为0，所以可设CD方程为1xmy，与椭圆联立得：032)3(22myym设),(),,(2211yxDyxC， 所以
33,32221221myymmyy，. 6分
01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211mmmmyymyymyxyx，
所以ACAD 8分 （3）ACD面积为2222221)3(334394||21mmmmyy， 10分 当0m时ACD△的面积最大为1. 12分[ 考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.