教学设计和教学反思之参数方程和普通方程的互化
3.参数方程与普通方程的互化
x= sin cos (2) ( 为 参 数 ). y 1 sin 2
所 以 普 通 方 程 是 y 2 x （ x 1) 3 这 是 以 （1， 为 端 点 的 一 条 射 线 （ 包 括 端 点 ） 1）
( 2)因 为 ： x sin cos 所以x 2, 2
x 3 1 t2 x －3 1 t 2 （ 2） 参 数 方 程 是 或 y 2t y 2t
思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程？
练习: 2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
x t2 A、 4 y t x sin t B、 2 y sin t x t C、 y t x t D、 2 y t
表示（ ） B
（A）双曲线的一支, 这支过点（1,1/2）： （B）抛物线的一部分, 这部分过（1,1/2）： （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2) （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1,1/2)
小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常 见方法有三种： 1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数 2.三角法：利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去。 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注 意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取 值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。
小
普通方程
结
参数方程
引入参数
消去参数
（为参数）
例3
求椭圆
x
2
9
y
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化
参数方程和普通方程是微积分中极其重要的两个概念，它们也是数学家们探索与研究的重点之一。
几个世纪以来，数学家们一直努力地探索参数方程和普通方程之间的联系和关系。
本文主要讨论参数方程和普通方程之间的相互转换关系，并介绍一些用于实现转换的方法。
参数方程和普通方程是密切相关的两个概念，它们之间可以相互转换换。
参数方程可以称为微分方程的另一种表示形式，它的解也可以通过普通方程来定义。
即参数方程的解也可以看成是普通方程的解。
一般来说，当参数方程的参数被给定时，可以将参数方程转换为普通方程；当普通方程的参数被给定时，可以将普通方程转换为参数方程。
普通方程和参数方程之间的转换可以通过曲线积分法和线性变
换法来实现。
曲线积分法是以参数形式表示曲线的各种方程，可以将参数方程转换为普通方程，更准确地说是曲线积分方程。
线性变换法是将参数方程的参数进行变换，并由此将参数方程转换为普通方程。
在实际应用中，普通方程和参数方程的转换非常重要。
例如，如果需要求解某个参数方程的解，可以先将该参数方程转换为普通方程，然后再求解普通方程。
此外，参数方程和普通方程之间的转换也可以用来检验普通方程的解，并可用来求解更复杂的参数方程。
总之，通过曲线积分法和线性变换法，可以顺利地实现参数方程和普通方程的相互转换。
这种相互转换的方法为解决复杂的数学问题提供了很大的帮助，也为数学的探索做出了重要的贡献。
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参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化一、引言在数学中，方程是研究数学问题的基础。
方程可以描述物理规律、经济模型、自然现象等各种问题，是数学建模的重要工具。
在代数学中，我们常常用普通方程来表示问题，例如一元一次方程、二次方程等。
然而，在某些情况下，使用普通方程描述问题可能会比较复杂，此时参数方程就能够提供更加简洁的表示方法。
参数方程是一种用参数化变量表示的方程系统，通过引入参数，可以将复杂的方程化简为一系列简单的参数方程。
参数方程与普通方程之间具有相互转换的关系，本文将介绍参数方程与普通方程的互化方法。
二、参数方程的基本概念参数方程是一种常见的数学表达形式，它由一个或多个参数化变量组成。
在参数方程中，每个变量都是独立的，并且可以通过参数的变化来表示方程中的不同解。
例如，我们可以用参数方程来描述一个点在直线上的运动轨迹。
设直线的方程为y = mx + b，参数方程可以表示为：x = t y = mt + b在这个参数方程中，t是一个独立的参数，它的变化可以表达直线上所有的点。
三、参数方程与普通方程的转换参数方程与普通方程之间可以通过参数的消除和引入来进行转换。
下面将介绍几种常见的转换方法。
1. 从普通方程到参数方程的转换如果我们已知一个普通方程，想要将其转换为参数方程，可以通过参数的引入来实现。
具体步骤如下：（1）选取一个或多个参数，用它们表示方程中的变量。
（2）将参数代入普通方程中，得到参数方程。
例如，我们有一个圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，我们希望将其转换为参数方程。
我们可以选取参数θ表示角度，并引入参数方程：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)在这个参数方程中，当θ取遍所有的值时，圆上的所有点都可以覆盖到。
2. 从参数方程到普通方程的转换如果我们已知一个参数方程，想要将其转换为普通方程，可以通过参数的消除来实现。
具体步骤如下：（1）从一个参数方程中解出一个参数。
（2）将解出的参数代入另一个参数方程中，得到普通方程。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y 2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.(1)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t＋e －t)y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B.(2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二 直线的参数方程的应用【例2】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t)2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.。
高考数学复习 参数方程与普通方程互化教案-人教版高三全册数学教案
（1）圆 参数方程 （ 为参数）
（2）圆 参数方程为： （ 为参数）
（3）椭圆 参数方程 （ 为参数）
（4）双曲线 参数方程 （ 为参数）
（5）抛物线 参数方程 （t为参数）
（6）过定点 倾斜角为 的直线的参数方程
（ 为参数）
典型例题
1、将下列参数方程化为普通方程
（1） （2）
方法指导与拓展评价
一、复习引入：
（1）圆的参数方程
（2）椭圆的参数方程
二、讲解新课：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数
（2）三角法：利用三角恒等式消去参数
（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为 ：在消参过程中注意变量 、 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定 和 值域得 、 的取值范围。
求△F1F2的重心G的轨迹的普通方程。
例3、已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是 轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
变式训练3：
已知 为圆 上任意一点，求 的最大值和最小值。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。
课题
参数方程与普通方程互化
总第课时
教学
目标
知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
本课第课时
过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程
课型:
态度情感价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识
重点
2.1.3参数方程与普通方程的互化
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), （2） y = g (t ). 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 并且对于 的每一个允许值, 由方程组 所确定的点 的每一个允许值 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数
如下图,圆 的半径为 的半径为2,P是圆上的动 例2:如下图 圆O的半径为 是圆上的动 如下图 轴上的定点,M是 的中点 的中点.当 点,Q(6,0)是x轴上的定点 是PQ的中点 当P 是 轴上的定点 在圆上作匀速圆周运动时,求点 求点M的轨迹的参 在圆上作匀速圆周运动时 求点 的轨迹的参 y 数方程. 数方程
2 2
x = 2 cos α 解：x + y = 4的参数方程为{ (α 为 y = 2sin α
2 2
参数) 参数)
∴ x − y = 2 cos α − 2sin α = 2 2 cos(α + ) 4 ∴最大值为2 2
π
4、P( x, y )是曲线{
2
x = 2 + cos α y = sin α
2 2
将(1)代入(2)得8 x − 16 x + 7 = 0
2
7 ∴ x1 + x2 = 2, x1 x2 = 8 由弦长公式得 d = 1+ k
2
( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
参数方程与普通方程互化
VS
误差分析
在验证过程中，需要对误差进行分析，以 评估转化过程的精度和准确性，并根据需 要调整和改进转化方法。
转化后方程的简化与化简
简化方程进行简化，以使其更易于理解和分析。简化的步骤可 能包括合并同类项、消去某些变量等。
= a(t)t$、$y = b(t)$，其中 $t$ 是参数。
三角函数法
要点一
总结词
利用三角函数的性质，将普通方程转化为参数方程。
要点二
详细描述
利用三角函数的周期性、有界性等性质，将普通方程转化为 参数方程。例如，将普通方程 $x = acostheta$、$y = bsintheta$ 转化为参数方程 $theta = theta(t)$、$x = acostheta(t)$、$y = bsintheta(t)$，其中 $t$ 是参数。
详细描述
三角函数法的基本思想是利用三角函数的性质，如三角恒等式、周期性等，将 参数方程转化为普通方程。这种方法适用于与三角函数有关的参数方程。
代数法
总结词
通过代数运算，将参数方程转化为普通方程 的方法。
详细描述
代数法的基本思想是通过代数运算，如加减、 乘除、乘方等，将参数方程转化为普通方程。 这种方法适用于参数不易消去或与三角函数 无关的参数方程。
03 普通方程转化为参数方程 的方法
引入参数法
总结词
通过引入参数，将普通方程转化为参数方程 ，参数通常表示方向或时间。
详细描述
在普通方程中引入一个或多个参数，将普通 方程中的变量表示为参数的函数，从而将普 通方程转化为参数方程。例如，将普通方程 $x = a(t)t$、$y = b(t)t$ 转化为参数方程 $x
3参数方程和普通方程的互化
3参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程是数学中两种表示曲线的方式。
参数方程是由参数表示自变量和因变量之间的关系，而普通方程则直接由自变量和因变量之间的关系表示。
在这篇文章中，我们将详细讨论这两种表示方法，并介绍如何将一个方程转化为另一个方程。
首先，我们来讨论参数方程。
参数方程是一种将自变量和因变量表示为参数的函数形式。
其中，自变量和因变量通常用参数t表示。
例如，一个曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过改变t的值，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。
参数方程的优点之一是可以很容易地描述一些复杂的曲线，如椭圆、双曲线和抛物线等。
通过适当选择参数和函数，可以方便地控制曲线的形状。
此外，参数方程还可以轻松地描述一些在直角坐标系中很难表示的曲线，如极坐标方程中的螺线。
然而，参数方程也存在一些局限性。
首先，由于参数方程是通过两个独立的函数表示的，所以我们必须同时处理这两个函数。
这在解析和计算上可能会变得复杂。
另外，通过参数方程来表示曲线时，很难直观地推断出曲线的形状和特征。
因此，在一些情况下，我们更倾向于使用普通方程来描述曲线。
普通方程是通过将自变量和因变量之间的关系直接表示为一个等式来描述曲线的方法。
普通方程通常是以自变量或因变量的形式表示的。
例如，曲线方程可以写成y=f(x)，其中f(x)是一个关于x的函数。
通过将不同的x值带入方程，我们可以得到对应的y值，从而得到曲线上的各个点的坐标。
普通方程的优点之一是它直观地展示了曲线的形状和特征。
我们可以通过观察等式中的参数和函数来推断曲线的表达式和性质。
此外，由于普通方程是单一的等式，所以在解析和计算上会比参数方程更简单。
然而，普通方程也有一些局限性。
首先，普通方程有时很难表示一些复杂的曲线，如椭圆和双曲线等。
即使可以表示，通常需要进行一定的代数运算才能得到与参数方程相等的表达式。
另外，普通方程在描述一些非线性和非常规曲线时可能会变得很麻烦。
参数方程与普通方程的互化
x y 例4 求椭圆 1 的参数方程。 9 4
2
2
(1)设x=3cos，为参数；
cos 2 sin 2 1 法二： x y 令 cos , sin 3 2 x 3cos 为参数 y 2sin
(2)设y=2t，t为参数.
(2)设y=2t，t为参数.
(
D
)
A、相交但不过圆心，B、相交且过圆心 C、相离，D、相切
6、设直线的参数方程为{
x 1 t y 2 2t
(t为参数)
4 x2 y 2 它与椭圆 1的交点为A和B，求线段 9 9 AB的长度。
解：将直线的参数方程 化为普通方程得 2 x y 4 0, 得到y 2 x 4.......... 1) ...( 椭圆化为4 x 2 y 2 9 0.......... .........( ) 2 将(1)代入(2)得8 x 16x 7 0 7 x1 x2 2, x1 x2 8 由弦长公式得
（
D ）
a 1 x (t ) 2 t (2) （4） b 1 (t为参数，a、b为常数) y (t ) 2 t
3、将下列参数方程化为普通方程： x 2 3cosθ x sinθ (3) (2) (1) y 3sinθ y cos2θ
x 4t （2）把y 2t代入椭圆方程，得 1 9 4 于是x 9(1 t ), x 3 1 t
2 2 2 2 2 2 2
x y 所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 { x 3 1 t y 2t
2
(t为参数)和{
x 3 1 t y 2t
2
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教学设计和教学反思之参数方程和普通方程的互化
一、教学目标
(一)知识目标
了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化法则．
(二)能力目标
掌握消去参数的基本方法，能熟练地将常见参数方程化为普通方程并正确解
决其等价性问题(即x、y的范围)．
(三)情感目标
方法论在研究和解决问题中的作用．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式
的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．
二、教学重点难点：
1．教学重点：参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法．
2．教学难点：整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x、y
的范围)．
三、教学方法：引导启发式
四、教学手段：多媒体辅助教学
五．教学过程
（一）．思考探究：
1.列举学过的曲线的标准方程。
2.参数方程1tytx（t为参数）表示什么曲线上点的轨迹？
（二）参数方程转化为普通方程
1. 代入消元法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数
引例：⑴把参数方程tytx211（t为参数）化为普通方程。
变式1.把参数方程 化为普通方程，并说明表示什么曲线
（1）22211tytx（t为参数） （2） （t为参数）
注：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.
2. 三角法：利用三角恒等式消去参数
引例：参数方程sin,cosxy（为参数）化为普通方程
变式2.把下列参数方程化为普通方程
（1）3sin,2cosxy （为参数） （2）sin,cos2xy（为参数）
变式3.
：参数方程sincos,1sin2xy化为普通方程，并说明表示什么曲线
3. 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。
引例：参数方程)(11为参数tttyttx化为普通方程，
小结：参数方程化为普通方程的一般步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角变形法，整体消元法)
2、写出定义域（x的范围）
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持
一致。
（三）普通方程化为参数方程
课本P25
练习：P26.练习5
（四）课堂小结：
x=t112yt
为参数）设（为参数。）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos31149422
六．课后作业
优化设计P22 \ 2、3、4、5题
七、巩固与反思
1．本节学习的数学知识
2．本节学习的数学方法
普通方程 参数方程
引入参数
消去参数
教学反思：
这是我这学期的一节公开课教学设计，本节课的教学重点是参数方程与普通
方程的互化法则，常见问题的消参方法，难点是整体元消参的方法，参数方程与
普通方程的等价性(即x、y的范围)．由于课本设计是以几个例题来提供两者互
化的方法和互化原则，对我们学校这些基础比较薄弱的文科学生很难真正掌握，
因此，我经过思考，把课本的例题分化为几种有规律的互化模式，使学生既能够
完成学习任务，又能够在掌握三角函数的基础上快速有效的解决参数方程问题。
在教学中，我首先是和学生一起复习了三角函数的相关知识，在由思考引入
参数方程与普通方程的互化问题。分别由引例介绍代入消元法、三角消元法和整
体消元法，让学生在思考与讨论中掌握三种方法的特点，并设置好配套练习巩固。
学生和听课教师都认为这样设计思路很清晰，教学效果较好。把课本内容分
块教学是这节课的亮点。但经过评课和自我反思，也发现以下问题：
首先，教学基本功不扎实，最明显的就是板书设计，在实际教学中不能够按
照预先的板书设计来规划黑板利用率。上课板书随意性较大。教学中画图经常不
够规范，表达准确性也亟待提高。
其次，对课本的处理能力不足。一节课40分钟处处都想讲到位，但时间不
够，学生消化不了，本节课避免了这种问题，但平时上课此类现象较多。总有种
顾头不顾尾的感觉。
这些问题我也思考并和其他教师讨论过，针对教学基本功问题，我必须做到
教学行为、教学语言和板书规范、实用，我也告诉学生和同时监督、提醒我，相
信学生是使我规范教学行为的最好老师。而教材处理上，我最忽视的问题还是学
生，教学的主体是学生，对本班学生基础知识的掌握程度了解不到位，自然会偏
离教学实际，课本知识想处理完，课外知识想渗透这并不与上课时间相矛盾，我
们在掌握学生学习情况后，对课本知识进行量化处理，放心交给学生预习、讨论、
探究任务，不再一手包办。
虽然这节课我比较满意，但还是存在很多隐性问题，我会在教学中不断反思、
不断改进。