向量知识点与公式总结
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
向量公式知识点总结
向量公式知识点总结一、向量的定义在空间直角坐标系中，向量是一个由起点和终点确定的有向线段。
向量常用a、b、c等字母表示，一般写作a = (a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x、y、z轴的投影。
二、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|a|，计算公式为|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的方向向量的方向由向量的起点指向终点的方向确定。
3. 零向量零向量是模为0的向量，通常表示为0。
4. 向量的方向余弦向量a的方向余弦分别表示为cosα、cosβ、cosγ，其中α、β、γ为向量a与x、y、z轴的夹角。
三、向量的运算1. 向量的加法向量a和向量b的和记作a + b，计算公式为a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2. 向量的数乘向量a和标量k的乘积记作ka，计算公式为ka = (ka1, ka2, ka3)。
3. 向量的减法向量a和向量b的差记作a - b，计算公式为a - b = a + (-1)b。
四、线性相关性1. 线性相关对于n个向量a1、a2、...、an，存在一组不全为0的实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则称这n个向量线性相关。
2. 线性无关如果向量a1、a2、...、an不线性相关，则称它们线性无关。
五、内积1. 内积的定义向量a和向量b的内积记作a·b，计算公式为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2. 内积的性质(1) 对称性：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 数乘结合：(ka)·b = k(a·b)(4) 对于非零向量a和b，a·b = 0当且仅当a与b垂直六、外积1. 外积的定义向量a和向量b的外积记作a×b，计算公式为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
单招涉及的向量知识点总结
单招涉及的向量知识点总结一、基本概念1. 向量的定义向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量通常用一个由其分量构成的数组来表示。
2. 向量的加法和减法向量之间的加法和减法是按分量进行对应相加或相减的运算。
例如，对于两个向量 a=(a1, a2) 和 b=(b1, b2)，它们的和是 c=(a1+b1, a2+b2)，差是 d=(a1-b1, a2-b2)。
3. 向量的数量积向量的数量积又称点积，是指两个向量相乘后相加的结果。
具体计算方式是将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量。
例如，对于向量 a=(a1, a2) 和 b=(b1, b2)，它们的数量积是 a·b=a1b1+a2b2。
4. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、分配律和结合律等性质，即 a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c，(ka)·b=k(a·b)。
这些性质使得向量的数量积在计算过程中更加方便和灵活。
5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其大小可以通过向量的数量积来计算。
具体的计算公式是cosθ=a·b/|a||b|，其中 a 和 b 分别是两个向量，θ 是它们的夹角。
6. 向量的叉积向量的叉积又称向量积，是指两个向量相乘得到一个新的向量。
具体计算方式是根据右手法则，逆时针方向相互垂直的两个向量相乘，得到一个新的向量，该新的向量垂直于原来的两个向量。
二、向量的应用1. 向量的平移在空间中，可以通过将一个向量加到另一个向量上，从而实现向量的平移。
这种方法在几何问题中经常会用到，可以方便地求解各种几何关系。
2. 向量的力学应用在物理学中，向量经常被用来描述力和速度等物理量。
力可以用向量来表示，根据牛顿第二定律 F=ma，力和加速度之间的关系可以用向量表示。
3. 向量的几何应用在几何学中，向量经常被用来描述对象的位置、方向和大小等几何特征。
数学向量公式知识点总结
数学向量公式知识点总结1. 向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量，通常用于表示力、速度、位移等物理量。
向量可以用有序对(a,b)来表示，也可以用a\*i+b\*j的形式来表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
向量的大小通常用绝对值来表示，方向则用角度或者方向余弦来表示。
2. 向量的加法当两个向量进行加法运算时，可以用平行四边形法则。
即将两个向量的起点连接起来，然后以它们的终点为对角线构造平行四边形，连接对角线的交点即为它们的和的终点。
向量的加法可以用下面的公式表示：c=a+b即c的分量为a与b的分量分别相加。
3. 向量的减法当两个向量进行减法运算时，可以用向量的加法和相反数的概念。
即a-b=a+(-b)。
向量的减法可以用下面的公式表示：c=a-b即c的分量为a与b的分量分别相减。
4. 向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，它是两个向量的数量乘积再进行求和。
向量的数量积满足交换律和分配律，即a·b=b·a和a·(b+c)=a·b+a·c。
向量的数量积可以用下面的公式表示：a·b=|a||b|cosθ其中|a|和|b|分别为a和b的大小，θ为a与b的夹角。
5. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积或外积，它是两个向量的数量乘积再进行叉乘。
向量的向量积不满足交换律，即a×b=-b×a。
向量的向量积可以用下面的公式表示：|a×b|=|a||b|sinθn其中|a×b|为a与b的向量积的大小，n为a与b的法向量方向，θ为a与b的夹角。
以上就是数学向量的一些公式知识点的总结，希望对大家的学习有所帮助。
在学习数学向量时，大家不仅要掌握这些公式知识点，还要多做题、多练习，以加深对向量的理解。
同时，还要了解向量在几何、物理等领域的应用，以更好地理解向量的意义和作用。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结一、基础概念向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。
向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。
模为0的向量称为零向量。
向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。
二、向量的加法向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。
可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。
交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。
四、向量的数量积向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为ka 。
向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。
夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。
五、向量的叉积向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。
向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。
六、平面向量平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。
标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。
平面向量加减的公式与三维向量相同。
七、空间向量空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。
空间向量加减的公式与平面向量相同。
空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。
八、向量的应用平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。
投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
必修一数学向量知识点总结
必修一数学向量知识点总结一、向量的概念向量是有大小和方向的量，它可以表示为有向线段。
向量的大小叫做向量的模，用 | | 表示；向量的方向叫做向量的方向角，用α 表示。
通常情况下，向量用小写字母表示，如 a 或 b。
二、向量的表示1. 向量的表示方法：向量可以用坐标表示，也可以用分解表示。
（1）坐标表示：一个向量可以表示为（x，y），其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
在二维平面直角坐标系中，向量 a 在 x 轴的分量为a₁，在 y 轴的分量为a₂，那么向量 a 可以表示为a = (a₁，a₂)。
（2）分解表示：如果直角坐标系中的向量 a 的终点为 P（x₁，y₁），那么向量 a 可以表示为 a = xi + yj，其中 i 和 j 分别表示 x 轴和 y 轴上的单位向量。
2. 向量的相等条件：如果两个向量 a 和 b 的对应分量相等，则向量 a 等于向量 b，即 a = b 当且仅当a₁ = b₁ 且a₂ = b₂。
三、向量的运算1. 向量的加法和减法：两个向量 a 和 b 的和可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a + b。
两个向量的差可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a - b。
2. 向量的数乘：一个向量 a 与一个实数 k 的数乘可以表示为以向量 a 为一边，同向并且长度是原来的 k 倍的有向线段的向量，即 ka。
3. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积，也叫点积或内积，可以表示为 a·b =|a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模，θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
4. 向量的向量积：两个向量 a 和 b 的向量积，也叫叉积或外积，可以表示为 a×b =|a||b|sinθn，其中 n 表示与向量 a 和向量 b 共面的法向量。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结必修4 平⾯向量知识点⼩结⼀、向量的基本概念1.向量的概念：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，注意向量和数量的区别.向量常⽤有向线段来表⽰.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提⽰：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的⽅向是任意的；3.单位向量：长度为⼀个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且⽅向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平⾏向量（也叫共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量a r、b r 叫做平⾏向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平⾏.注：①相等向量⼀定是共线向量，但共线向量不⼀定相等；②两个向量平⾏与与两条直线平⾏是不同的两个概念：两个向量平⾏包含两个向量共线，但两条直线平⾏不包含两条直线重合；③平⾏向量⽆传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等⽅向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平⾏四边形.（4）若ABCD 是平⾏四边形，则AB DC =u u u r u u u u rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5）⼆、向量的表⽰⽅法1.⼏何表⽰：⽤带箭头的有向线段表⽰，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；2.符号表⽰：⽤⼀个⼩写的英⽂字母来表⽰，如a r ，b r，c r等； 3.坐标表⽰：在平⾯内建⽴直⾓坐标系，以与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平⾯内的任⼀向量a r可表⽰为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表⽰.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平⾯向量的基本定理定理设12,e e r r 同⼀平⾯内的⼀组基底向量，a r是该平⾯内任⼀向量，则存在唯⼀实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核⼼：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯⼀；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平⾯内所有向量基底的是 B(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ??=-r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC u u u r可⽤向量,a b r r 表⽰为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是⼀个向量，记作a λr，它的长度和⽅向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=?r r；（2）⽅向：当0λ>时，a λr 的⽅向与a r 的⽅向相同，当0λ<时，a λr的⽅向与a r的⽅向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平⾯向量的数量积1.两个向量的夹⾓：对于⾮零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹⾓.当0θ=时，a r ，b r 同向；当θπ=时，a r ，b r 反向；当2πθ=时，a r，b r垂直.2.平⾯向量的数量积：如果两个⾮零向量a r ，b r，它们的夹⾓为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?r r ，即||||cos ab a b θ?=?r r r r. 规定：零向量与任⼀向量的数量积是0.注：数量积是⼀个实数，不再是⼀个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ?=u u u r u u u r _________. 结果：9-.（2）已知11,2a ??=r ，10,2b ??=- r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹⾓为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ?=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个⾮零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹⾓为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是⼀个实数，但不⼀定⼤于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ?=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ?r r 的⼏何意义：数量积a b ?r r 等于a r 的模||a r 与b r 在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个⾮零向量a r，b r ，其夹⾓为θ，则：（1）0a b a b ⊥??=r r r r；（2）当a r、b r 同向时，||||ab a b ?=?r r r r ，特别地，22||||a a a a a =?=?=r r r r r ||||a b a b ?=?r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||a b a b ?=-?r r r r ，||||a b a b ?=-?r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐⾓时，0a b ?>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ?>r r 是θ为锐⾓的必要不充分条件；当θ为钝⾓时，0a b ?、b r 不反向；0a b ?（3）⾮零向量a r，b r 夹⾓θ的计算公式：cos ||||a b a b θ?=r r r r ；④||||a b a b ?≤r r r r .举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹⾓为锐⾓，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；取值范围是_________. 结果：,43ππ??；（3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满⾜|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①⽤k 表⽰a b ?r r ；②求a b ?rr 的最⼩值，并求此时a r 与b r 的夹⾓θ的⼤⼩.结果：①21(0)4k a b k k +?=>r r ；②最⼩值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.⼏何运算（1）向量加法运算法则：①平⾏四边形法则；②三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平⾏四边形法则只适⽤于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正⽅形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r . 结果：（3）若O 是ABC △所在平⾯内⼀点，且满⾜2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC △的形状为. 结果：直⾓三⾓形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平⾯内有⼀点P ，满⾜0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外⼼，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC △的内⾓C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)ab x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--rr . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第⼀、三象限的⾓平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作⽤在点(1,1)A 的三个⼒1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合⼒123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即⼀个向量的坐标等于表⽰这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3 -. （4）平⾯向量数量积：1212ab x x y y ?=+rr. 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹⾓；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=?r r 的最⼤值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+?=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹⾓为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平⾯斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同⽅向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆⼼，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的⽅程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λµλµ=r r，a b b a ?=?r r r r ；2.结合律：()a b c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=?=?r r r r r r ；3.分配律：()a a a λµλµ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ??=??r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ?=?r rr r 则a c =r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a=r rr r r ；⑧222()a b a b ?=?rr r r ；⑨222()2a b a a b b -=-?+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地⽅也有区别：对于⼀个向量等式，可以移项，两边平⽅、两边同乘以⼀个实数，两边同时取模，两边同乘以⼀个向量，但不能两边同除以⼀个向量，即两边不能约去⼀个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满⾜结合律，即()()a b c a b c ??≠??r r r r r r，为什么？⼋、向量平⾏(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ=?-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且⽅向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥- ? ? ? ?????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直⾓三⾓形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.⼗、线段的定⽐分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意⼀点，若存在⼀个实数λ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的⽐λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定⽐为λ的定⽐分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ?>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ?<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ?-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的⽐为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的⽐为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的⽐为34，则A 分BP u u u r所成的⽐为 . 结果：73-. 3.线段的定⽐分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，则定⽐分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+?=??+≠-?+?=?+?. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +?=+?=?? 说明：（1）在使⽤定⽐分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定⽐λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. ⼗⼀、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移⾄(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+??'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. ⼗⼆、向量中⼀些常⽤的结论1.⼀个封闭图形⾸尾连接⽽成的向量和为零向量，要注意运⽤；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r rr r r.（1）右边等号成⽴条件： a b rr 、同向或 a b rr 、中有0r||||||a b a b ?+=+rrr r ；（2）左边等号成⽴条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ?-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+r r r r r r.3.三⾓形重⼼公式在ABC △中，若A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重⼼的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重⼼的坐标为 .结果：24,33??-. 5.三⾓形“三⼼”的向量表⽰（1）1()3PG PA PB PC G =++?u u u ru u u r u u u r u u u r为△ABC 的重⼼，特别地0PA PB PC G++=?u u u r u u u r u u u rr为△ABC 的重⼼.（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂⼼.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内⼼；向量(0)||||AB AC AB AC λλ??+≠ ? ???u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内⼼. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，若M为平⾯内的任⼀点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点12MP MPMP +?=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平⾯直⾓坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满⾜12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
向量知识点总结投影
向量知识点总结投影一、向量的概念1. 向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以表示空间中的位移、速度、力等物理量，也可以表示数量和方向都有意义的信息。
2. 向量的表示在数学中，向量通常用有序数对或者坐标来表示。
如果给定一个点A(x1, y1)，另一个点B(x2, y2)，则点A到点B之间的向量可以表示为向量AB=(x2-x1, y2-y1)。
3. 向量的运算(1) 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加来实现。
(2) 向量的数乘向量的数乘指的是一个向量与一个标量相乘，结果是一个新的向量。
数乘可以改变向量的大小，但不改变它的方向。
数乘的结果为常数和向量的积。
(3) 向量的点积向量的点积，也称为数量积，表示为A·B，是一个标量。
它的计算方法是将两个向量对应分量相乘，并将结果相加。
点积的结果可以用来计算两个向量之间的夹角和长度。
(4) 向量的叉积向量的叉积，也称为向量积，表示为A×B，是一个新的向量。
它的计算方法是通过行列式的方法得到结果的三个分量。
叉积的结果可以用来计算两个向量所在平面的法向量和面积。
4. 向量的性质(1) 平行向量若两个向量A和B的方向相同或者相反，则称它们是平行向量。
两个平行向量乘积的绝对值等于两个向量的模的乘积。
(2) 垂直向量若两个向量A和B的点积为0，则称它们是垂直向量。
两个垂直向量的夹角为90°。
(3) 非零向量的模非零向量的模表示为|A|，它表示向量的长度。
(4) 零向量零向量的模为0，任何向量与零向量的点积都为0。
5. 向量的应用向量在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，向量可以表示物体的位移、速度和加速度；在工程学中，向量可以表示力、力矩等；在计算机图形学中，向量可以表示点、直线、平面等。
二、向量的投影1. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影。
向量知识点总结公式高中
向量知识点总结公式高中一、向量的定义向量是具有大小和方向的有序组，可以用箭头表示，表示为a→。
向量有两种表示方法，一种是点表示法，将向量的起点放在坐标原点上，由坐标对(x,y)来确定向量的终点，另一种是分量表示法，将向量的起点放在坐标原点上，向量的终点为(x,y)，则向量a→=(a1,a2)，其中a1为横坐标，a2为纵坐标。
二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法符合三角形法则，即若有三个向量a→，b→和c→，则a→+b→=c→，其中c→为以a→和b→为两条边的三角形的第三条边的向量。
2. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a→-b→=a→+(-b→)=c→，其中-c→为向量b→的反向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
若有向量a→和实数k，则ka→=b→，其中b→的大小为ka的绝对值，方向与a→一致。
4. 基本运算规律：(1) 结合律：a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→；(2) 交换律：a→+b→=b→+a→；(3) 数乘结合律：k(la→)=(kl)a→；(4) 分配律：k(a→+b→)=ka→+kb→。
三、向量的数量积向量的数量积，又叫点积或内积，是数学中的一种运算。
已知有向量a→=（a1，a2）和向量b→=（b1，b2），则a→·b→=a1b1+a2b2，其中a1b1和a2b2分别为向量a→和b→的横坐标和纵坐标乘积之和。
数量积的几何意义是向量a→在向量b→上的投影的长度乘以向量b→的模的长度，即a→·b→=|a→|·|b→|·cosθ，其中θ为向量a→和b→之间的夹角。
数量积还有以下几个重要的性质：1. a→·b→=b→·a→2. (ka→)·b→=k(a→·b→)=a→·(kb→)3. a→·a→=|a→|^24. a→是b→的倍数当且仅当a→·b→=|a→|·|b→|四、向量的叉积向量的叉积，又称外积或向量积，是将两个向量相乘得到一个新的向量的一种向量运算。
高一必修一向量知识点总结
高一必修一向量知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。
向量的大小叫做模，用|a|表示，向量的方向是一个单位向量所指的方向。
在笛卡尔坐标系中，一个向量可以用它在坐标系中的投影来表示，也可以用坐标表示。
一个二维向量可以表示成 (x, y)，一个三维向量可以表示成 (x, y, z)。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)，那么 a + b= (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作向量的加法的逆运算。
如果有两个向量 a 和 b，那么 a - b = a + (-b)。
3. 向量的数量积（点积）向量的数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
如果有两个向量 a 和b，它们的数量积表示为a·b = |a| * |b| * cosθ。
其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
4. 向量的数量积的几何意义向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角或者一个向量在另一个向量上的投影。
如果向量 a 在向量 b 上的投影是 p，那么a·b = |a| * |b| * cosθ = |b| * p。
5. 向量的数量积的性质- 数量积满足交换律：a·b = b·a。
- 数量积满足分配律：a·(b + c) = a·b + a·c。
- 与数量积的夹角θ有关：当θ = 0 时，a与b同向，a·b = |a| * |b|；当θ = π 时，a与b反向，a·b = -|a| * |b|。
6. 向量的向量积（叉积）向量的向量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且方向符合右手定则。
如果有两个向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b = |a| * |b| * sinθ * n。
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向量知识点与公式总结
一、向量
1、定义
向量是给定空间中的有限长度和方向的量，用大写粗体字母表示，如$a$。
2、标量与向量
标量只有大小，没有方向，符号用小写粗体字母表示，如$a$；向量有大
小和方向，符号用大写粗体字母表示，如$A$。
3、分量的概念
向量可以分解为几个分量，每个分量都是标量，如三维空间中的向量
$A=(a_x,a_y,a_z)$，其中$a_x,a_y,a_z$分别是$A$的$x,y,z$坐标分量。
二、基本公式
1、单位向量：
单位向量是模长为1的向量，用$i,j,k$分别代表三维空间中的$x,y,z$坐
标轴上的单位向量。
2、向量加法：
对于两个向量$A(a_x,a_y,a_z)$、$B(b_x,b_y,b_z)$，其和为
$A+B=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$。
3、向量数乘：
对于向量$A(a_x,a_y,a_z)$与标量$k$，其乘积为$kA=(ka_x,ka_y,ka_z)$。
4、向量点积：
对于两个向量$A(a_x,a_y,a_z)$、$B(b_x,b_y,b_z)$，其点积为
$A·B=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$。
5、向量叉积：
对于两个向量$A(a_x,a_y,a_z)$、$B(b_x,b_y,b_z)$，其叉积为
$A×B=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$。