北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
北师大版-八年级上-第二章-实数-全章复习-知识点总结与各考点习题(精) (2)
第二章：实数例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值. 例3.（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 一、平方根、算数平方根和立方根注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
1、41a +有意义，a 的值可以为（ ）. 2、A.0 B.-2 C.-1 D.-43、若m 是16的平方根，n=()24，则m ，n 的关系是（ ）.4、A.m=±n B. m=n C. m=-n D.m n ¹5、一个正数的平方根为x+3与2x-6，则x= ，这个正数是 .6、等式1112-⋅+=-x x x 成立的条件是（ ） A. 1≥x B.1-≥x C. 11≤≤-x D. 1≥x 或1-≤x 5、使等式2()x x --=成立的x 的值（ ） A.是正数 B.是负数 C.是0 D.不能确定 6、若x x +-有意义，则1x +=7、如果3325+a +2=0，则a+17的平方根是____________ 8、若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 9、已知5,14,0.063a b ===则( ) A.10ab B.310ab C.100ab D.3100ab 10、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、41- D 、110、下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根11.若41664==n m ，则nm = 3.当m <0时，则2m ＋33m 的值为_____ 12.若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -=与数轴，绝对值，相反数等相结合1、a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a - B 、ab C 、b a + D 、a b -2、实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图2-C-1，求a+2a b c b c +---的值。
北师大版八年级数学上册实数基础知识点及练习题讲解
北师大版八年级数学上册实数基础知识点
及练习题讲解
本文档旨在为八年级学生提供关于北师大版数学上册实数基础知识点以及相应的练题讲解。
以下是一些关键的知识点和题解答。
实数的定义
实数是指有理数和无理数的集合。
有理数包括整数、分数和十进制无限循环小数，而无理数是指非循环无穷小数。
实数的运算
实数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算。
以下是一些实数运算的例子：
- 加法：a + b = c
- 减法：a - b = d
- 乘法：a * b = e
- 除法：a / b = f
实数的性质
实数具有许多重要的性质，例如：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c
实数的应用
实数在数学中有广泛的应用。
例如，实数可以用来表示物体的长度、时间的流逝以及温度的变化等。
实数的概念也常常在代数和几何中使用。
题解答
以下是一些题的解答，供同学们练：
1. 计算：3 + 4 = ?
答案：7
2. 计算：5 * 6 = ?
答案：30
3. 计算：10 - 7 = ?
答案：3
请同学们仔细阅读每个题，并尝试独立解答。
如果有任何问题，请随时向老师请教。
以上是关于北师大版八年级数学上册实数基础知识点及练习题
讲解的内容。
希望对同学们的学习有所帮助！。
北师大版八年级上册数学第二章实数知识点总结及经典习题(无答案)
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
(完整版)北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结一、知识归纳（一）平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于a ；那么这个数就叫做a 的平方根.即a x =2；x 叫做a 的平方根.2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示；a 叫做正平方根；也称为算术平方根；a -叫做a 的负平方根.⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数2省略） 0有一个平方根；为0；记作00= ；负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算.a a =2⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =20≥a ⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位；它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位. 区分：4的平方根为____4的平方根为________4=3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294*若0>>b a ；则b a >（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ；呢么这个数叫做a 的立方根；记作3a .2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根.正数的立方根是一个正数.负数的立方根是一个负数.０的立方根是０. 3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算.()a a =33a a =33 33a a -=- （a 取任何数）*０的平方根和立方根都是０本身.（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ；这个数就叫做a 的n次方根.当n 为奇数时；这个数叫做a 的奇次方根. 当n 为偶数时；这个数叫做a 的偶次方根.２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n ；负数没有偶次方根.正数的奇次方根为正.０的奇次方根为０.负数的奇次方根为负.（四）实 数1. 实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按属性分类： ② 按符号分类2. 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一 一对应；即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况： ①尺规可作的无理数；如2②尺规不可作的无理数 ；只能近似地表示；如π；1.010010001…… 思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道是一个无理数；那么－1在哪两个整数之间？（3）15的整数部分为a,小数部分为b ；则a= , b= . （4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由.① 无限小数都是无理数. ( )② 无理数都是无限小数. ( ) ③ 带根号的数都是无理数. ( ) ④ 有理数都是实数；实数不都是有理数. ( ) ⑤ 实数都是无理数；无理数都是实数. ( )⑥ 实数的绝对值都是非负实数. ( ) ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式. ( ) 3. 实数大小比较的方法一、平方法： 比较23和3的大小 23____3 二、根号法： 比较32和23的大小 32____23三、求差法： 比较215-和1的大小 215-____14.实数的三个非负性及性质(1)在实数范围内；正数和零统称为非负数. (2)非负数有三种形式①任何一个实数a 的绝对值是非负数；即|a|≥0； ②任何一个实数a 的平方是非负数；即a 2≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数；即a≥0. （3）非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0；则每个非负数都等于0.二、题型解析题型一、有关概念的识别【例1】下面几个数：.1.23；1.010010001…；；3π；；；其中；无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4【变式1】下列说法中正确的是（）A．的平方根是±3 B. 1的立方根是±1C．=±1 D. 是5的平方根的相反数题型二、计算类型题【例2】设；则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【例3】计算：【例4】先化简；再求值：a；其中a=a；b=a．【例5】若312-a和331b-互为相反数；求ba的值.题型三、实数非负性的应用【例6】已知实数a、b、c满足；2b c+2)21(-c=0；求a+b+c的值. 【例7】若111--+-=xxy；求x；y的值.【例8】已知：=0；求实数a, b 的值【变式1】522y 2++-+-=x x x ；求xy 的平方根和算术平方根.【变式2】已知(x-6)2++|y+2z|=0；求(x-y)3-z 3的值.题型四、数形结合题【例9】如图；实数a 、b 在数轴上的位置；化简 ：222()a b a b ---类型五、实数应用题【例10】有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ；宽为8cm 的矩形；要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形；问边长应为多少.类型六、拓展提升 【例11】已知的整数部分为a ；小数部分为b ；求a 2-b 2的值.【例12】把下列无限循环小数化成分数：①②③。
北师大版八年级数学上册 第二章实数知识点及经典例题讲解 (学案)
初二数学上册实数知识点及经典例题讲解一、平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 二、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的平方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（32(3)0y +=，则x -y 的值为（ ） A 、1 B 、-1 C 、7 D 、-7（4）若a 、b 为实数，且满足20a -=，则b -a 的值为（ ）A 、2 B 、0 C 、-2 D 、以上都不对（5）2)3(-的算术平方根是 。
（6）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结
第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根。
即 x2 a ，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数 a 的平方根用 a 表示， a 叫做正平方根，也称为算术平方根， a 叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根： a （根指数2省略）0 有一个平方根，为0，记作0 0 ；负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数 a 的平方根的运算。
a2a a 020 ）a ==a a（aa a 0⑷ a 的双重非负性a0且a0（应用较广）例：x 4 4 x y 得知 x 4, y 0⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分： 4 的平方根为____4 的平方根为____4____完全平方类4＝2933.计算 a 的方法非完全平方类＝77精确到某位小数* 若a b 0 ，则a b（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于 a ，呢么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a.2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.3.开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
333 a3a3a3 a （a取任何数）aa*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广：n 次方根１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做 a 的奇次方根。
当n 为偶数时，这个数叫做 a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：n a ；０的偶次方根为０：n 0 0 ；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
（四）实数1.实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按属性分类：② 按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为 1 的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如2②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001⋯⋯思考：（ 1）－a2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？（ 2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15 的整数部分为a, 小数部分为 b，则 a=, b=。
北师版八年级上册数学第二章实数（一）知识点及练习题
北师版⼋年级上册数学第⼆章实数（⼀）知识点及练习题学易佳教育中⼼⼋年级上册第2章实数⼀、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限⼩数和⽆限循环⼩数实数负有理数正⽆理数⽆理数⽆限不循环⼩数负⽆理数2、⽆理数：⽆限不循环⼩数叫做⽆理数。
在理解⽆理数时，要抓住“⽆限不循环”这⼀时之，归纳起来有四类：（1）开⽅开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三⾓函数值，如sin60o等⼆、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时⼀对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成⽴。
2、绝对值在数轴上，⼀个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本⾝，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成⽴。
倒数等于本⾝的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺⼀不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是⼀⼀对应的，并能灵活运⽤。
5、估算三、平⽅根、算术平⽅根和⽴⽅根1、算术平⽅根：⼀般地，如果⼀个正数x的平⽅等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平⽅根。
特别地，0的算术平⽅根是0。
表⽰⽅法：记作“”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平⽅根都只有⼀个，零的算术平⽅根是零。
2、平⽅根：⼀般地，如果⼀个数x的平⽅等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平⽅根（或⼆次⽅根）。
表⽰⽅法：正数a的平⽅根记做“”，读作“正、负根号a”。
性质：⼀个正数有两个平⽅根，它们互为相反数；零的平⽅根是零；负数没有平⽅根。
北师大八年级上册第二章实数实数知识点整合与训练
第二章实数知识点整合及习题1. 无理数：2. 算术平方根： 算术平方根具有 即3. 平方根：4. 平方根的性质：一个正数有 ， ，5. 立方根：6. 立方根的性质：正数的 ， ， 7，估算的方法一般是8. 实数：9.实数的两种分类：11.数轴上的点与 是一一对应的。
7. 二次根式：8. 最简二次根式：9.两个规律：10.实数a 的相反数，倒数，绝对值分别表示为 ， ， 。
一、填空题(1)把下列各数填入相应的集合中(只填序号)：①3.14 ②2π- ③179- ④3100 ⑤0 ⑥ 212212221.1 ⑦3 ⑧0.15 有理数集合：｛ …｝正数集合｛ …｝无理数集合：｛ …｝负数集合｛ …｝ (2) 21-的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。
(3) 满足32<<-x 的整数x 是 .(4) 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27,则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .(5). 若误差小于10, 则估算200的大小为 .(7) 比较大小:216- 212+.(填“>”或“<”) (8). =-2)4( . =-33)6( , 2)196(= .(9)．一个数的平方根与立方根相等，这个数是______;立方根等于本身的数是_________. 平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是_____________.大于0小于π的整数是_________； (10).._______a ,2)2(2的取值范围是则若a a -=-( (11)使________x 11的值是在实数范围内有意义的-+-x x (12)已知._______19191=-+-xx x 有意义，则 二、 选择题：1. 边长为1的正方形的对角线长是( )A. 整数B. 分数C. 有理数D. 不是有理数2. 在下列各数中是无理数的有( )-0.333…, 4, 5, π-, 3π, 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成). A.3个 B.4个 C. 5个 D. 6个3. 下列说法正确的是( )A. 有理数只是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D.3π是分数 4. 下列说法错误的是( )A. 1的平方根是1B. –1的立方根是-1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5. 若规定误差小于1, 那么60的估算值为( )A. 3B. 7C. 8D. 7或86. 下列平方根中, 已经简化的是( )A. 31B. 20C. 22D. 1217． 81的平方根是( )A. 9B. ±9C. 3D. ±38． 下列说法正确的是( )A. 无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数C. 开方开不尽的数是无理数D.π是无理数, 故无理数也可能是有限小数 9． 方根等于本身的数是( )A. –1B. 0C. ±1D. ±1或010． ππ--14.3的值是( )A. 3.14-π2B. 3.14C. –3.14D. 无法确定11． a 为大于1的正数, 则有( )A. a a =B. a a >C. a a <D. 无法确定12． 下面说法错误的是( )A. 两个无理数的和还是无理数B. 有限小数和无限小数统称为实数C. 两个无理数的积还是无理数D. 数轴上的点表示实数13.下列说法中不正确的是( )A.42的算术平方根是4B. 24的算术平方根是C.332的算术平方根是D.981的算术平方根是 14. 121的平方根是±11的数学表达式是( )A. 11121=B.11121±=C. ±11121=D.±11121±=15.如果,162=x 则x=( )A.16B.16C.±16D.±1616. 364的平方根是( ) A.±8 B.±2 C.2 D.±417.下列说法中正确的是( ) A.±64的立方根是2 B.31271±的立方根是 C.两个互为相反数的立方根互为相反数 D.(-1)2的立方根是-118、-38-的平方根是( ) A.±√2 B.-√2 C.±2 D.219、估计的大小应在76( )A.7～8之间B. 8.0～8.5之间C. 8.5～9.0之间D.9.0～9.5之间20、在实数范围内，下列说法中正确的是( )b a b a D b a b a C b a b a B ba b a A >>======则若则若则若则若,.,.,..,.223322三、 化简:①44.1-21.1; ②2328-+; ③92731⋅+; ④0)31(33122-++.⑤)31)(21(-+. ⑥2)52(-;⑦2)3322(+. ⑧)32)(32(-+五、解答题1. 在数轴上作出3对应的点.。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习（附答案） 一．平方根1．已知一个数的平方根是2a +5与﹣3a +25，求这个数．2．（1）若5a +1和a ﹣19是数m 的两个不同的平方根，求m 的值． （2）如果y ＝+3，试求2x +y 的值．二．算术平方根3．已知实数a ，b ，c 满足：b ＝+4，c 的平方根等于它本身．求的值．4．若一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， 是5的算术平方根，求x +5y 的平方根．三．非负数的性质：算术平方根 5．已知：（x +2）2与互为相反数，求（x +y ）2018的平方根．6．若+（1﹣y ）2＝0．（1）求x ，y 的值； （2）求+++…+()()202220221++y x 的值．四．立方根 7．已知M ＝是m +3的算术平方根，N ＝是n ﹣2的立方根，求：M ﹣N 的值的平方根． 五．计算器—数的开方8．（1）观察下表，你能得到什么规律？n 0.008 8 8000 80000000.2220200（2）请你用计算器求出精确到0.001的近似值，并利用这个近似值根据上述规律，求出和的近似值．六．无理数9．在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个七．实数10．把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，负整数集合：（…）；负分数集合：（…）；无理数集合：（…）．八．实数的性质11．若|a|＝，则﹣的相反数是．12．已知|x﹣1|＝，求实数x的值．九．实数与数轴13．如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P 在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）AB＝；t＝1时，点Q表示的数是；当t＝时，P、Q两点相遇；（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；（3）如图3，若点M为线段AP的中点，点T为线段BQ中点，则点M表示的数为；点T表示的数为；MT＝．（用含t的代数式填空）十．实数大小比较14．先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝，y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；（3）试比较与a的大小．十一．估算无理数的大小15．阅读下面文字，然后回答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用﹣1表示．由此我们得到一个真命题：如果＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝﹣1．请解答下列问题：（1）如果＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝，b＝；（2）如果﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝，d＝；（3）已知2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．十二．实数的运算16．（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2．17．（1）计算：（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8十三．二次根式的定义18．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是．十四．二次根式有意义的条件19．使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．十六．最简二次根式21．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有个．十七．二次根式的乘除法22．化简：（b＜0）．十八．化简分母中的二次根式23．计算：＝．24．阅读下面计算过程：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．求：（1）的值．（2）（n为正整数）的值．（3）+++…+的值．十九．可以合并的二次根式25．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为．26．若最简二次根式和是可以合并的二次根式．（1）求x，y的值；（2）求的值．二十．二次根式的加减法27．计算：+的结果为．28．化简．29．化简：（）2﹣＝．二十二．二次根式的化简求值30．若x，y是实数，且y＝++，求（x+）﹣（+）的值．参考答案一．平方根1．解：∵一个数的平方根是2a+5与﹣3a+25，∴2a+5+（﹣3a+25）＝0，解得a＝30，∴2a+5＝2×30+5＝65，∴这个数是：652＝4225．2．解：（1）∵5a+1和a﹣19是数m的两个不同的平方根，∴5a+1+a﹣19＝0，解得a＝3，所以，5a+1＝3×5+1＝16，m＝162＝256；（2）由题意得，x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，所以，x2≥4且x2≤4，所以，x2＝4，解得x＝±2，又∵x+2≠0，∴x≠﹣2，所以，x＝2，y＝3，所以，2x+y＝2×2+3＝7．二．算术平方根3．解：∵﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3把a代入b＝+4得：∴b＝4∵c的平方根等于它本身，∴c＝0∴＝．4．解：∵一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， ∴2a ﹣1﹣a +2＝0，解得：a ＝﹣1． ∴2a ﹣1＝﹣3， ∴x ＝（﹣3）2＝9． ∵是5的算术平方根，∴3×9﹣2y ﹣9＝2，解得：y ＝8． ∴x +5y ＝49．∴x +5y 的平方根是±7． 三．非负数的性质：算术平方根 5．解：因为：（x +2）2与互为相反数，所以：（x +2）2+＝0，又因为：（x +2）2≥0，≥0， 所以 x +2＝0，x +2y ＝0， 所以x ＝﹣2，y ＝1， 所以（x +y ）2018＝1，所以（x +y ）2018的平方根是±1． 6．解：（1）根据题意得，解得；（2）原式＝+++…+202320241＝1﹣+﹣+﹣+…+20231﹣20241＝1﹣20241＝20242023． 四．立方根 7．解：∵M ＝是m +3的算术平方根，∴m ﹣4＝2，解得m＝6，∴M＝＝3；∵N＝是n﹣2的立方根，∴2m﹣4n+3＝3，即12﹣4n+3＝3，解得n＝3，∴N＝＝1，∴M﹣N＝3﹣1＝2，∴M﹣N的值的平方根是±．五．计算器—数的开方8．解：（1）被开方数的小数点每向右（左）移动3位，立方根的小数点向相同的方向移动1位；（2）∵，∴，．六．无理数9．解：3.14159，＝4，0，是有理数，1.010010001…，﹣，是无理数，共有3个，故选：C．七．实数10．解：在﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，中，负整数集合是：（﹣（﹣2）2，﹣|﹣2|，…）；负分数集合是：（﹣0.101001，﹣0.，…）；无理数集合是：（0.202002…，，…）．八．实数的性质11．解：∵|a|＝，∴a2＝6，∴﹣＝﹣＝﹣2，﹣2的相反数是2．故本题的答案是2．12．解：∵|x﹣1|＝，∴x﹣1＝±．解得：x＝+1或x＝﹣+1．∴x的值为1﹣或1+．九．实数与数轴13．解：（1）AB＝9﹣（﹣6）＝15，t＝1时，BQ＝3，OQ＝6，设t秒后相遇，由题意（2+3）t＝15，t＝3，故答案为15，6，3（2）答：MN长度不变，理由如下：∵M为AP中点，N为BP中点∴MP＝AP，NP＝BP，∴MN＝MP+NP＝（AP+BP）＝AB＝7.5．（3）则点M表示的数为t﹣6；点T表示的数为9﹣t；MT＝15﹣t；故答案为t﹣6，9﹣t，15﹣t；十．实数大小比较14．解：（1）x＝0.1，y＝10；（2）①根据题意得：≈31.6；②根据题意得：b＝10000m；（3）当a＝0或1时，＝a；当0＜a＜1时，＞a；当a＞1时，＜a，故答案为：（1）0.1；10；（2）①31.6；②10000m十一．估算无理数的大小15．解：（1）∵＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，2＜＜3，∴a＝2，b＝﹣2；（2）∵﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，2＜＜3，﹣3＜﹣＜﹣2，∴c＝﹣3，d＝3﹣；（3）∵2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，∴m＝4，n＝﹣2，则|m﹣n|＝|4﹣+2|＝6﹣．故答案为：2，﹣2；﹣3，3﹣，6﹣．十二．实数的运算16．解：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2＝1﹣2+3﹣5﹣2＝﹣6+．17．解：（1）原式＝5﹣4+2＝3；（2）开立方得：x﹣5＝﹣2，解得：x＝3．十三．二次根式的定义18．解：∵8＝22×2，∴n的最小值是2．故答案为：2．十四．二次根式有意义的条件19．解：由题意，得3﹣x≥0，且x≠0，解得x≤3且x≠0，故答案为：x≤3且x≠0．十五．二次根式的性质与化简20．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式＝|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c＝3a+b﹣c．十六．最简二次根式21．解：，是最简二次根式，故答案为：2．十七．二次根式的乘除法22．解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式＝•（﹣b）•（a）÷3＝﹣3a2b÷3＝﹣3a2b×（﹣）＝a2b2×＝ab．十八．化简分母中二次根式23．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．24．解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝﹣；（3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9．十九．可以合并的二次根式25．解：∵最简二次根式与是可以合并的二次根式，∴2a﹣3＝5，解得：a＝4．故答案为：4．26．解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．二十．二次根式的加减法27．解：原式＝+＝+2＝．故答案为：．28．解：＝﹣＝﹣＝﹣＝+4﹣﹣1＝3．二十一．二次根式的混合运算29．解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．二十二．二次根式的化简求值30．解：∵x，y是实数，且y＝++，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝，∴（x+）﹣（+）的值．＝2x+2﹣x﹣5＝x﹣3＝﹣3＝﹣．。
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实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64； 12149； 0.0004； (－25)2； 11.1.44， 0，8， 49100， 441， 196， 10－4（9）(64)2等于多少？(12149)2等于多少？（10） (2.7)2等于多少？（11）对于正数a ，(a )2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 知识点三、【开平方性质】(1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)(2)916⨯=_________，916⨯=_________； (3)94=_________，94=_________；(4)(4)=2516_________，2516=_________.知识点四、【立方根】：1、如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
记做：3a ，读作，3次根号a 。
注意：这里的3表示的是根指数。
一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。
2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例 4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例5.（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。
（2）①a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a -B 、abC 、b a +D 、a b -（3）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1（4）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且b a >，则化简b a a +-2的结果为（ ）A ．b a +2 B.b a +-2 C .b D.b a -2 （5）比较大小(填“>”或“<”).aob-， 76______67，215- 21，（6）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。
（7）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= 。
（8）计算：32278115.041--+ 323811613125.0⎪⎭⎫⎝⎛-+-（9）已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。
基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是（ ） A.0.12••32B.2πC.0D.7222.下列说法中正确的是（ ）A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数3.下列语句正确的是（ ）A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数 4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数D.不能确定6.2)2(-的化简结果是（ ） A.2 B.－2 C.2或－2 D.47.9的算术平方根是（ ） A.±3 B.3 C.±3 D. 3 8.(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 9.下列式子中，正确的是（ ）A.55-=-B.－6.3=－0.6C.2)13(-=13D.36=±610.7－2的算术平方根是（ ） A.71B.7C.41 D.411.16的平方根是（ ） A.±4 B.24 C.±2 D.±2 12.一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+213.下列说法正确的是（ ）A.－2是－4的平方根B.2是(－2)2的算术平方根C.(－2)2的平方根是2D.8的平方根是4 14.16的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.±2 15.169+的值是（ ） A.7B.－1C.1D.－716.下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）17.2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对18.如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m19.若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a二、填空题1.在0.351， －32，4.969696…, 6.751755175551…, 0,－5.2333, 5.411010010001…中，无理数的个数有______.2.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.3.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)5.1214的平方根是_________； 6.(－41)2的算术平方根是_________；7.一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________；8.25的算术平方根是_________； 9.9－2的算术平方根是_________；10.4的值等于_____，4的平方根为_____； 11.(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. 三.判断题1.－0.01是0.1的平方根.( )2.－52的平方根为－5.（ ）3.0和负数没有平方根.（ ）4.因为161的平方根是±41,所以161=±41.（ ）5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）四、解答题1.已知：在数－43，－••24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；2.要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。