等差等比数列知识点梳理及经典例题
A 、等差数列知识点及经典例题 一、数列
由n a 与n S 的关系求n a
由n S 求n a 时,要分n=1和n ≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段
函数的形式表示为1
1
(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?。
〖例〗根据下列条件,确定数列{}n a 的通项公式。
分析:(1)可用构造等比数列法求解; (2)可转化后利用累乘法求解;
(3)将无理问题有理化,而后利用n a 与n S 的关系求解。
解答:(1
)
(2)
…
…
累乘可得
,
故
(3)
二、等差数列及其前n 项和 (一)等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,1()(2)n n a a d n --=≥常数,第二种是利用等差中项,即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。
(1)通项法:若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数,即n a =An+B,则{n a }是等差数列;
(2)前n 项和法:若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式(A ,B 是常数),则{n a }是等差数列。
注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足1111
20(2),2
n n n n S S S S n a ---+=≥= (1)求证:{
1
n
S }是等差数列; (2)求n a 的表达式。
分析:(1)1120n n n n S S S S ---+=→
1n S 与1
1n S -的关系→结论; (2)由
1
n
S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答:(1)等式两边同除以1n n S S -得11n S --1n S +2=0,即1n S -11n S -=2(n ≥2).∴{1n S }是以11S =1
1a =2
为首项,以2为公差的等差数列。
(2)由(1)知
1n S =1
1
S +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n ,当n ≥2时,n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。
又∵112a =,不适合上式,故1
(1)
2
1(2)
2(1)
n n a n n n ?=??=?
?≥-??。
【例】已知数列{a n }的各项均为正数,a 1=1.其前n 项和S n 满足2S n =2pa 2n +a n -p (p ∈R),则{a n }的通项公式为________.
∵a 1=1,∴2a 1=2pa 21+a 1-p ,
即2=2p +1-p ,得p =1.
于是2S n =2a 2n +a n -1.
当n ≥2时,有2S n -1=2a 2n -1+a n -1-1,两式相减,得2a n =2a 2n -2a 2
n -1+a n -a n -1,整理,得2(a n +a n -1)·
(a n -a n -1-1
2
)=0.
又∵a n >0,∴a n -a n -1=12,于是{a n }是等差数列,故a n =1+(n -1)·12=n +1
2
.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式n a =1a +(n-1)d 及前n 项和公式11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+,共涉及五个量1a ,n a ,d,n, n S ,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而1a 和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
注:因为
11(1)222
n S d d d
n a a n n =+-=+-,故数列{n S n }是等差数列。
〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3,通项2(,,)n n x p nq n N p q *=+∈为常数,且1x ,4x ,5x 成等差数列。求:
(1),p q 的值;
(2)数列{n x }的前n 项和n S 的公式。
分析:(1)由1x =3与1x ,4x ,5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ;(2)通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答:(1)由1x =3得23p q +=……………………………………①
又454515424,25,2x p q x p q x x x =+=++=且,得5532528p q p q ++=+…………………② 由①②联立得1,1p q ==。 (2)由(1)得,n x n n +=2
(三)等差数列的性质 1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d ,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质:略
典型例题
1.等差数列{}n a 中, 若100,252==n n S S ,则=n S 3225;
2.(厦门)在等差数列{}n a 中, 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 ( A ) A .18 B 27 C 36 D 9
3、(全国卷Ⅰ理) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++= 24
4、等差数列{a n } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ,且7453
n n A n B n +=
+,则使得n n a
b 为整数的正整数n 的个数是( D )
A .2
B .3
C .4
D .5
6、在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2a n +3(n ≥1),则该数列的通项a n =________.
由a n +1=2a n +3,则有a n +1+3=2(a n +3),
即
a n +1+3
a n +3
=2. 所以数列{a n +3}是以a 1+3为首项、公比为2的等比数列,即a n +3=4·2n -
1=2n +
1,所以a n =2n +
1-3.
7、已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为1
4
的等差数列,则|m -n |的值等于________.
如图所示,易知抛物线y =x 2-2x +m 与y =x 2-2x +n 有相同的对称轴x =1,它们与x 轴的四个交点依
次为A 、B 、C 、D .
因为x A =14,则x D =7
4.
又|AB |=|BC |=|CD |,所以x B =34,x C =5
4.
故|m -n |=|14×74-34×54|=1
2
.
8、在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
设公差为d ,则11(-3+4d )=5(-3+7d )-13, ∴d =59
.
∴数列{a n }为递增数列.
令a n ≤0,∴-3+(n -1)·59≤0,∴n ≤32
5
,
∵n ∈N *.
∴前6项均为负值,∴S n 的最小值为S 6=-29
3
.
6.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且满足
73
3n n S n T n +=
+,则88
a b = 6 .
7.(北京卷)(16)(本小题共13分)
已知{}n a 为等差数列,且36a =-,60a =。 (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列{}n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求{}n b 的前n 项和公式 解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差d 。 因为366,0a a =-= 所以1126
50
a d a d +=-??
+=? 解得110,2a d =-=
所以10(1)2212n a n n =-+-?=- (Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-
所以824q -=- 即q =3
所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-==--
★等差数列的最值:
若{}n a 是等差数列,求前n 项和的最值时,
(1)若a 1>0,d>0,且满足1
0n n a a +≥??≤?,前n 项和n S 最大;
(2)若a 1<0,d>0,且满足10
n n a a +≤??
≥?,前n 项和n S 最小;
(3)除上面方法外,还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意n N *
∈。 〖例〗已知数列{}n a 是等差数列。
(1)若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 (2)若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求
解答:设首项为1a ,公差为d , (1)由,m n a n a m ==,1n m
d m n
-=
=-- ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++-=+?-=
(2)由已知可得11
(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d -?
=+???
-?=+??解得221.2()n m mn m n a mn m n d mn ?++--=???-+?=?? 1()(1)
()()2
m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++
=-+
【例】已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =1
log 3a n ·log 3a n +1
,前n 项和为T n ,求证:对于任意的正整数n ,总有T n <1.
(1)解 ①当n =1时,由2S n =3a n -3得,2a 1=3a 1-3, ∴a 1=3.
②当n ≥2时,由2S n =3a n -3得, 2S n -1=3a n -1-3.
两式相减得:2(S n -S n -1)=3a n -3a n -1,即2a n =3a n -3a n -1, ∴a n =3a n -1,又∵a 1=3≠0,∴{a n }是等比数列,∴a n =3n . 验证:当n =1时,a 1=3也适合a n =3n . ∴{a n }的通项公式为a n =3n .
(2)证明 ∵b n =1log 3a n ·log 3a n +1=1
log 33n
·log 33n 1
=1(n +1)n =1n -1n +1, ∴T n =b 1+b 2+…+b n
=(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)
=1-1
n +1
<1.
等差数列习题
1. 设{a n }为等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,S 7=7,S 15=75,已知T n 为数列{S n
n
}的前n 项数,求T n . 2.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,12,633==S a . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求
n
S S S 1
1121+
++ . 12.解:设数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+1
2
n (n -1)d .
∵S 7=7,S 15=75,∴???7a 1+21d =7 15a 1+105d =75, ∴???a 1=-2d =1
∴S n n =a 1+12 ·(n -1)d =-2+1
2
·(n -1) ∴
S n +1n +1 -S n n =12 ∴数列{S n n }是等差数列,其首项为-2,公差为1
2
, ∴T n =n ·(-2)+
n (n -1)
2
·12 =14 n 2-9
4
n .
14.解:(1)设数列{}n a 的公差为d,由题意得方程组??
?
??=?+=+1222
336
211d a d a ,解得 ??
?==2
2
1d a ,∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=,即n a n 2=. (2)∵n a n 2=,∴)1(2
)
(1+=+=
n n a a n S n n . ∴
n S S S 11121+
++ )1(1321211+++?+?=n n 1
11)111(
)3
12
1()2
11
1
(+-=+-++-+-=n n n . B 、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n 项和 (一)等比数列的判定 判定方法有: (1)定义法:若
11
()()n n n n a a
q q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2,则{}n a 是等比数列; (2)中项公式法:若数列{}n a 中,2120()n n n n a a a a n N *++≠=∈且,则数列{}n a 是等比数列; (3)通项公式法:若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *=∈均为不为的常数,,则数列{}n a 是等比数列;
(4)前n 项和公式法:若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠为常数且,则数列{}n a 是等比数列;
注:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定;(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列{}n a 中,112,431,n n a a a n n N +==-+∈*。 (1) 证明数列{}n a n -是等比数列; (2) 求数列{}n a 的前n 项和n S ;
(3) 证明不等式14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。
解答:(1)由题设1431,n n a a n +=-+得1(1)4(),n n a n a n n N *+-+=-∈。又111,a -=所以数列{}n a n -是首项为1,且公比为4的等比数列。
(2)由(1)可知14n n a n --=,于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+。所以数列{}n a 的前n 项和
141(1)32
n n n n S +-+=+。
(3)对任意的n N *∈,
12141(1)(2)41(1)144[](34)032322
n n n n n n n n S S n n ++-++-+-=+-+=-+-≤,所以不等式
14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。
(二)等比数列的的运算
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量1a ,n ,q ,n a ,n S ,显然,“知三求二”,通常列方程(组)求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
注:在使用等比数列的前n 项和公式时,应根据公比q 的情况进行分类讨论,切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。
〖例〗设数列{}n b 的前n 项和为n S ,且n b =2-2n S ;数列{}n a 为等差数列,且6714,20a a ==。 (1) 求数列{}n b 的通项公式;
(2) 若()n n n c a b n N *=∈,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求证:7
2
n T <。【放缩法】 解答:(1)由n b =2-2n S ,得1122b S =-,又1S =1b ,所以1b =
2
3
,由n b =2-2n S ……………………① 得1122n n b S ++=-……………………………………………………②
②-①得112n n n b b b ++-=-,∴,∴{}n b 是以
23为首项,以1
3
为公比的等比数列,所以n b =
23·1()3
n
。
(2)∵{}n a 为等差数列,∴75
375
a a d -=
=-,∴从而
∴231111
2[25()8()(31)()]3333
n n T n =++++-………………………………③ ∴2341
1111112[2()5()8()(34)()(31)()]333333
n n n T n n +=++++-+-…………………④ ③-④得
=
∴
∴
(三)等比数列性质的应用 ★在等比数列中常用的性质主要有:
(1)对于任意的正整数
若
,则特别地,若
;
(2)对于任意正整数
有
;
(3)若数列{}n a 是等比数列,则{}{
}{}2
1(0),,n n n n ca c a a a ??≠????
也是等比数列,若{}n b 是等比数列,
则{}n n a b 也是等比数列;
(4)数列仍成等比数列; (5)数列
是等比数列(q ≠-1);
★(6)等比数列的单调性
注:等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。
1.(全国卷2理数)(4).如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++= (A )14 (B )21 (C )28 (D )35 【考查点】考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()
312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴++
+=
==
2.
(辽宁理数)(6)设{a n }是有正数组成的等比数列,n S 为其前n 项和。已知a 2a 4=1, 3
7S =,则5S =
(A )152 (B)314 (C)334 (D)172
【考查点】等比数列的通项公式与前n 项和公式。
【解析】由a 2a 4=1可得
2411a q =,因此121
a q =
,又因为2
31(1)7S a q q =++=,联力两式有
11(3)(2)0
q q +-=,所以q=12,所以
5
51
4(1)3121412S --
==-,
3. (辽宁卷)(14)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若36324S S ==,,则9a = 15 。
解: 3161
32332
656242S a d S a d ??
=+=?????=+=??
,解得112a d =-??=?,91815.a a d ∴=+=
4. (天津卷)(15)设{a n }
是等比数列,公比q =S n 为{a n }的前n 项和。记
*21
17,.n n
n n S S T n N a +-=
∈设
n T 为数列{
n T }的最大项,则0n = 。
【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题。
2n n n T ==
17]n =
?-
因为
n ≧8
,当且仅当n =4,即n=4时取等号,所以当n 0=4时T n 有最大值。
5. (上海卷)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈
(1)证明:{}1n a -是等比数列;
(2)求数列
{}n S 的通项公式,并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .
解析:(1) 当n =1时,a 1=-14;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1,所以15
1(1)
6n n a a --=-,
又a 1-1=-15≠0,所以数列{a n -1}是等比数列; (2) 由(1)知:1
51156n n a -??
-=-? ?
??,得
1
51156n n a -??
=-? ?
??,从而
1
57590
6n n S n -??
=?+- ?
??(n ∈N *);
由S n +1>S n ,得1
52
65n -??
<
?
??
,56
2log 114.9
25n >+≈,最小正整数n =15.
【其他考点题】
1、设{a n }(n ∈N *
)是等差数列,S n 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论错误的是(C )
A.d <0
B.a 7=0
C.S 9>S 5
D.S 6与
S 7均为S n 的最大值
解析:由S 50,又S 6=S 7,∴a 1+a 2+…+a 6=a 1+a 2+…+a 6+a 7,∴a 7=0,由
S 7>S 8,得a 8<0,而C 选项S 9>S 5,即a 6+a 7+a 8+a 9>0?2(a 7+a 8)>0,由题设a 7=0,a 8<0,显然C 选项是错误的。
2、lim
n →∞
2
123n
n +++
+=(C )
(A) 2 (B) 4 (C)
2
1
(D)0
3、已知a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列,且xy ≠0,那么y
c
x a +的值为(B )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4
4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为2
2(,),n
S pn n q p q R n N =-+∈∈ (Ⅰ)求q 的值;
(Ⅱ)若a 1与a 5的等差中项为18,b n 满足22log n n a b =,求数列的{b n
}前n 项和。
(Ⅰ)解法一:当1n =时,
112a S p q ==-+,
当2n ≥时,
22
12(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--. {}n a 是等差数列, 222p q p p ∴-+=--, 0q ∴=·
···········4分
解法二:当1n =时,
112a S p q ==-+,
当2n ≥时,
22
12(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--. 当3n ≥时,
1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p --=------=.
22232a p q p p q =-++=-+.
又
222232a p p p =?--=-,
所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分
(Ⅱ)解:15
32a a a +=
,318a ∴=.
又
362a p p =--, 6218p p ∴--=, 4p ∴= 86n a n ∴=-·
···········8分
又22log n n a b =得43
2n n b -=.
12b ∴=,4(1)1
41432216
2n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列。
所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2(161)11615n n
n T -==--.
高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)之欧阳数创编
一、高中数列基本公式:1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式:Sn=Sn= Sn=当d≠0时,Sn是关于n 的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式:an= a1qn-1an= akqn-k (其中a1
为首项、ak为已知的第k项, an≠0)5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时, Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-
S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法: a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个
高二等差等比数列练习题及答案
等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ( ) A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =,8010042=+++a a a ,那么=100S A .80 B .120 C .135 D .160. 4、已知等差数列{}n a 中,6012952=+++a a a a ,那么=13S A .390 B .195 C .180 D .120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为( ) A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( )
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中,62-=a ,68=a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为,且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ,则前n 个奇数项的和为( ) A .)1(32+-n n B .)34(2-n n C .23n - D .32 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为( ) A .6 B .8 C .10 D .12 二.填空题 1、等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s = . 2、等差数列{}n a 中,若232n S n n =+,则公差d = .
2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中, (1) 已知81248,168S S ==,求1,a 和d (2) 已知6510,5a S ==,求8a 和8S 变式训练: 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知 102030,50a a ==. (1)求通项公式{}n a ; (2)若242n S =,求n . 热点考向二:等差数列的判定与证明. 例2:在数列{}n a 中,11a =,1114n n a a +=- ,221 n n b a = -,其中* .n N ∈ (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (2)求证:在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈,都有 1n n a a +>. (3 )设n b n c =,试问数列{n c }中是否存在三项,使它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由. 跟踪训练:已知数列{n a }中,13 5 a = ,数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈,数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- (1)求证数列{n b }是等差数列; (2)求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三:等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若120a =,并且1015S S =,求当n 取何值时,n S 最大,并求出最大值; (2)若10a <,912S S =,则该数列前多少项的和最小? 跟踪训练3:设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知 .0,0,1213123<>=S S a (I )求公差d 的取值范围; (II )指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点列(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =3 a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得 T n
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义:)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式:d n a )1(a 1n -+= 3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和:2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a 3.变式: m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式:m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质: ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和: 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2.裂项相消法. ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通 从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列; 2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列:1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 (常数),则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式:),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列,则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质: 1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质: 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列;
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项,如果把第二项加上4所得三个数成等差数列,如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列,求原来的三个数。 解:等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入(1) 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中,3931-=a ,76832-=+a a ,}{n b 是等比数列,)1,0(∈q ,21=b ,}{n b 所有项和为20,求: (1)求n n b a , (2)解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解:(1)∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差,}{n b 等比,011>=b a ,022>=b a ,21a a ≠,求证:)3(≥
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d =2,a n =11, S n =35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7, S 15=75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45 n +3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10=4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23+a28+2a3a8=9,且a n<0,则S10为() A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9, S6=36.则a7+a8+a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是() A.3 B.-3 C.-2 D.-1 10、设{a n}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+…+a99=______. 11、在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
高中数学数列公式大全很齐全哟
高中数学数列公式大全 很齐全哟 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)
一、数列基本公式: 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系:a n = 2、等差数列的通项公式:a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时,a n 是关于n的一次式;当d=0时,a n 是 一个常数。 3、等差数列的前n项和公式:S n =S n = S n = 当d≠0时,S n 是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a 1 ≠0), S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式:a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项,a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,S n =n a 1 (是关于n的正比例 式); 当q≠1时,S n =S n =
三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{a n }中,若m+n=p+q,则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,a q;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,a q,a q3(为什么?)
等差等比数列专项练习题精较版
等差数列、等比数列同步练习题 等差数列 一、选择题 1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为() A、89 B、-101 C、101 D、-89 2、等差数列{a n}中,a15 = 33,a45 = 153,则217是这个数列的() A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n 为 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差数列{a n}中,a1 + a7 = 42,a10 - a3 = 21,则前10项的S10等于() A、720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么a:b等于() A、1 4 B、 1 3 C、 1 3 或1 D、 1 2 6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新 数列{ C n },其通项公式为()
A、C n= 4n - 3 B、C n= 8n - 1 C、C n= 4n - 5 D、C n= 8n - 9 7、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第1项大10,则这个数列共有() A、6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1 = 25,b1 = 75,且a100 + b100 = 100, 则数列{a n + b n}的前100项和为() A、0 B、100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n}中,a n = m,a n+m= 0,则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中,a4 +a7 + a10 + a13 = 20,则S16 = ______ 。 11、在等差数列{a n}中,a1 + a2 + a3 +a4 = 68,a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30, 则从a15到a30的和是______ 。 12、已知等差数列110,116,122,……,则大于450而不大于602的各项 之和为______ 。 13、在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2 + a3 = 13,则a4 + a5 +a6 = 14、如果等差数列{a n}中,a3 +a4 + a5 = 12,那么a1 + a2 +…+ a7 = 15、设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a1 = 3,a5 = 11,S7 =
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时,S n na i n ⑵当q 1时,5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项:a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式:a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * , q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0,首项:a 1;公比:q 推广:a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项: (1)如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项,即: A 2 ab 或 A ab 注意:同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个( (2)数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义:对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q (q 为常数,a n 0) {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义:若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ {a“}为等比数列a n 1 7、等比数列的性质: (2) 对任何m,n N*,在等比数列{a n}中,有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*),则a. a m a s a t。特别的,当m n 2k 时,得 2 a n a m a k注:3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式
数列教案、考点、经典例题_练习
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程,不积跬步无以至千里,不积小流无以 成江海,在学习中一定要持之以恒,相信自己,你一定可以获得成功! 高中数学 一、定义 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) 2.等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a -1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义:若a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项 看来,73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1:在等差数列{}n a 中,若m+n=p+q ,则,q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二.例题讲解。 一.基本问题 例1:在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明:
人教课标版高中数学必修5典型例题剖析:等差数列的通项与求和
等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n .
高中数列基本公式大全
一、高中数列基本公式: 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系:a n= 2、等差数列的通项公式:a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、 a k为已知的第k项) 当d≠0时,a n是关于n的一次式;当d=0时, a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式:S n= S n= S n= 当d≠0时,S n是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),S n=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式: a n= a1 q n-1a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项,a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,S n=n a1 (是关于n的正比例式); 当q≠1时,S n= S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{a n}中,若m+n=p+q,则
4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 11、{a n}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。 12、{b n}(b n>0)是等比数列,则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列中: (1)若项数为,则 (2)若数为则,, 14. 在等比数列中:
新课标高考数学题型全归纳:等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1.数列的定义 顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的. 数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的函数.2.等差数列的定义 顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列. 这个定义的要点有两个:一是“从第2项起”,二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”.这两个要点,刻画了等差数列的本质. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是:a n= a1+(n-1)d .① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将a n看作关于变量n的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具. 从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系. 4.等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a,A,b成等差数列.其数学表示是: 2b a A + =,或2 A=a+b. 显然A是a和b的算术平均值. 2 A=a+b(或 2b a A + =)是判断三数a,A,b成等差数列 的一个依据,并且,2 A=a+b(或 2b a A + =)是a,A,b成等差数列的充要条件.由此得,等差数列中从第2项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 值得指出的是,虽然用2A=a+b(或 2b a A + =)可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项,但两者的意义是不一样的,因为等差数列a,A,b与等差数列b,A,a不是同一个数列. 5.等差数列前n项的和
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1,3,5,7,10,13,16……5,8,11,14,17,20…… 1,5,9,13,17,21,23…90,80,70,60,50,……20,10 二、求等差数列3,8,13,18,……的第30项是多少 三、求等差数列8,14,20,26,……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6,9,12,15,……中第99项是几 4、求等差数列46,52,58……172共有多少项 5、求等差数列245,238,231,224,……中,105是第几项 6、求等差数列0,4,8,12,……中,第31项是几在这个数列中,2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数,最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8,第3项是13,这1个等差数列的第10项是多少 1、计算:100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会,见面的时候如果每人都和其他同学握手一次,那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
数列公式汇总
数列公式汇总
人教版数学必修五 第二章数列重难点解析 第二章课文目录 2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前n项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列前n项和 【重点】 1、数列及其有关概念,通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念,等差数列的通项公式;等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用,熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式,等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n项和公式推导,进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 【难点】 1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质,灵活应用等差数列的定义及性质 10
10 解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题,灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. ⒊数列的一般形式: ,,,,,3 2 1 n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列 {}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( ) (A )13+=n a n (B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则 y c x a +的值为 ( ) (A ) 2 1 (B )2- (C )2 (D ) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项, y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( ) (A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列 (C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ) (A )22-=n a n (B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-,则 ( ) (A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C ) z y x 1,1,1成等差数列 (D )z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( ) ①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足 5 524-+= n n B A n n ,则 13 5135b b a a ++的值为 ( ) (A ) 9 7 (B ) 7 8 (C ) 2019 (D )8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列 的前n 项和为 ( )
等差数列典型例题及分析
第四章 数列 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.正解:(1)a n =3n -2; (2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n -1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解: ①当1=n 时,1 11==S a 当2≥n 时,3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合,∴34-=n a n ②当1=n 时,3 11==S a 当2≥n 时,n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。 正解:由题意:??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 =120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25-5n ,求数列{}||n a 的前n 项和; 正解: ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前n 项和的公式吗? [例7]已知:n n a -+=12lg 1024 (3010.02lg =)+∈N n (1) 问前多少项之和为