周世勋量子力学教案

一. 算符

算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用

表示一算符。

二．力学量算符

1.坐标的算符就是坐标本身：

2.动量算符：

, ,

3.动能算符

4.哈密顿算符：

5.角动量算符：

如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将

换成算符得出

算符和它所表示的力学量的关系？

一线性算符

满足运算规则的算符称为线性算符。

二单位算符

保持波函数不改变的算符

三算符之和

加法交换律

加法结合律

两个线性算符之和仍为线性算符。

四算符之积

定义: 算符与的积为

注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符

设能唯一解出，则定义的逆算符为：

注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，

六算符的复共轭，转置，厄密共轭

1．两个任意波函数与的标积

2．复共轭算符

算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量

3．转置算符

定义: 算符的转置算符满足：

即：

4．厄密共轭算符

算符的厄密共轭算符定义为

即

算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符

5.厄密算符

厄密算符是满足下列关系的算符

注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符

例：证明是厄密算符

证：

为厄密算符，为厄密算符

第三节力学量算符的本征值与本征函数

一厄密算符的本征值与与本征函数

设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为

如为厄密算符，也是厄密算符

存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下

称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。

二力学量算符的性质

1.力学量算符是厄密算符

量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。

厄密算符的本征值必为实数

证：设

为厄密算符

取

是实数

表示力学量的算符为厄密算符

2．力学量算符为线性算符

态叠加原理决定了力学量算符为线性算符

【证】：设

也应是体系的态

即

为线性算符

三厄密算符本征函数的性质

1正交性

厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。

如果两函数和满足积分是对变量变化的全部区域进行,则称与相互正交。

[证]: 已知为实数

由厄密算符性质

这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的

对归一化的本征函数

分离谱

连续谱

这样的本征函数构成正交归一系.

2.完备性

设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为,对应的本征值为则任一函数

可按展开

本征函数的这种性质称为完备性

与x无关,利用的正交归一性,将等式两边，对x在整个区域积分

即:

如总归一化

讨论:

当是算符的一本征函数时,即即其它系数为零,这时测量力学量的测量

值必是

当不是的本征函数时, 可按本征函数展开,

测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为的几率为

波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态

量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它

们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符

的本征值之一,测得的几率是

四力学量算符的平均值.

对于一态,将其按某力学量的本征函数集展开

是归一化的

出现本征值的几率为,则按由几率求平均值的法则

上式可改写为

是归一化的[证明]

如未归一化：

如本征值是连续谱

定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数

[证明]

逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符

例1:设为厄密算符, 则

[证明]

第四节几种典型力学量算符的本征函数

一.坐标算符

即为坐标算符本征值为的本征函数。

二.动量算符

动量算符的本征值方程

，，

它们的解

如何确定归一化系数C

这是由于本征值可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样

的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化函数

=

取, 归一化为函数

归一化的动量本征函数为

箱归一化:

如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值

，，

同理：，，为正负整数或零。

本征值谱由分离变为连续.

加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1，归一化常数为。

归一化波函数为

三.角动量算符

，，

用球坐标表示：，，

可以看出角动量算符只与有关

1.的本征函数

，

解出