量子力学教程-周世勋-课程教案(轻松学量子力学)

量子力学讲义一、量子力学是什么？量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的理论。

研究对象：微观粒子，大致分子数量级，如分子、原子、原子核、基本粒子等。

二、量子力学的基础与逻辑框架1.实验基础 ——微观粒子的波粒二象性：光原本是波 ——现在发现它有粒子性； 电子等等原本是粒子 ——现在发现它有波动性。

2.（由实验得出的）基本图象 —— de Broglie 关系与波粒二象性 Einstein 关系（对波动）：E h ν=，hp λ=de Broglie 关系（对粒子）： E =ω，pk =总之，),(),(k p Eω⇔3.（派生出的）三大基本特征：几率幅描述 ——(,)r t ψ量子化现象 —— ,,,321E E E E = 不确定性关系 ——2≥∆⋅∆p x 4.（归纳为）逻辑结构 ——五大公设(1)、第一公设 ——波函数公设：状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数性质的要求。

(2)、第二公设 ——算符公设(3)、第三公设 ——测量公设 ⎰=r d r Ar A)(ˆ)(*ψψ (4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方程公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设 三、作用四、课程教学的基本要求教 材：《量子力学教程》周世勋， 高等教育出版社参考书：1. 《量子力学》，曾谨言，2. 《量子力学》苏汝铿， 复旦大学出版社 3. 《量子力学习题精选与剖析》钱伯初，曾谨言， 科学出版社第一章 绪论§1.1 辐射的微粒性1.黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。

G . Kirchhoff （基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领)T ,(E ν与吸收率)T ,(A ν之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即)T ,(f )T ,(A )T ,(E ν=νν （f 与物质无关）。

辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以)T ,(E ν表示。

在t ∆时间，从s ∆面积上发射出频率在 ν∆+ν-ν 范围内的能量为： ν∆∆∆νs t )T ,(E)T ,(E ν的单位为2/米焦耳；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为)T ,(u 4c)T ,(E ν=ν （)T ,(u ν单位为秒米焦耳3） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。

由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领)T ,(f )T ,(E ν=ν就等于普适函数（与物质无关）。

所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。

我们也可以以)T ,(E λ来描述。

⎰⎰⎰⎰λλν=λλλν=λλνν=ννd c )T ,(E d d c d)T ,(E d d d )T ,(E d )T ,(E 2)T ,(E c)T ,(E 2νν=λ (秒米焦耳⋅3) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领)T ,(E λ与λ的变化关系在理论上，① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领kTh 32e ch 2)T ,(E ν-νπ=ν⎩⎨⎧=π=kh c c h 2c 221（k 为Boltzmann 常数：K 1038.123 焦耳-⋅）② 瑞利―金斯（Rayleigh-Jeans ）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领kT c2)T ,(E 22πν=ν)T ,(u ν仅当频率足够低，温度足够高时（110)s K (10T-⋅<<ν）符合实验（即ν>>h kT ）。

而在ν很高，即λ很小时，发生无穷，这即紫外灾难。

而维恩在低波符合，高波不符。

所以，这两个公式并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的。

B ．斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmann law ） 他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T 成正比4T d )T ,(E ⎰=σνν （事实上，2482345m s K 1067.5ch 15k 2⋅⋅⋅==- 焦耳πσ）显然，维恩或瑞利－金斯公式都得不出这样的结果。

C ．Wein 位移定律维恩发现，对于一确定的0T ，相应地有一波长0λ，使)T (E 00λ达极大，而常数=λ00T 。

即 米⋅⋅==λ=λ=λ-K 102898.0T T T 2221100这一定律也是无法用维恩或瑞利－金斯公式给出回答。

总之，在用经典物理学去解释有关黑体的辐射本领相关的实验规律时，是完全失败了。

2.固体低温比热：根据经典理论，如一分子有n 个原子，则一克分子固体有n 3No 个自由度（No 为Avogadro's number ，阿伏伽法罗数，克分子2310022.6⋅）所以，固体定容比热：nR 3nNok 3C v == （为气体常数K 314.8R 克分子焦耳=）称为能均分定律（Dulog –Relit 经验规律）。

实验发现，对单原子固体，在室温下符合，但在低温下，是以0T 3→，因而理论与实验结果不符合。

如何解决这些问题呢？普朗克（Planck ）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量νnh 显示，即能量模式是不连续的。

ω=ν n nh ,2,1,0n =（秒焦耳⋅⋅=-3410626.6h ，秒焦耳⋅⋅=-34100545.1 ） ）辐射的平均能量可如此计算得：经典的能量分布几率 dE E E +-⎰∞--0kT E kTE dE e dE e（玻尔兹曼几率分布）所以对于连续分布的辐射平均能量为⎰⎰∞--∞=0kT E kT E 0dE e dE e E E⎰⎰∞-∞-∞---=0kTE 0kT E 0kT E dE e)dE e e E (kT kT =而对于Planck 假设的能量分布几率，则为∑∞=--0n kT nh kTnh e eνν∴∑∑∞=--∞==0n kT nh kTnh 0n e enh E ννν∑∑∞=-∞=--=0n nx 0n nxe edx d h ν1x 1x )e 1()e 1(dx d h -------=ν)1e (h kT h -=νν于是，用电动力学和统计力学导出的公式 kT c2)T ,(E 22νπν=（Rayleigh –Jeans ） 应改为)1e (c h 2)T ,(E kT h 23-=ννπν这就是Planck 假设下的辐射本领，它与实验完全符合。

① 当νh kT << （高频区）kT h 23ech 2)T ,(E ννπν-→ （即Wein 公式 Tc 312e c νν-） 当νh kT >> （低频区）kT c2)T ,(E 22πνν=（Rayleigh –Jeans ）② Stefan-Boltznmann law⎰νν=d )T ,(E )T (Rν-νπ=-ν⎰d )1e (ch 21h 32 dx )1e (x )h kT (c h 21x 342--π=⎰ ∑⎰∞=-π=1n nx3324dx e x h c )kT (2∑∞=⋅⋅π=1n 44324n16T hc )kT (2③ 维恩位移定律)T ,(E c)T ,(E 2νν=λ)1e (c h 2c kT h 232-νπ⋅ν=ν )1e (hc 2hc 52-λπ=λ0)1e ekT hc 1151e hc 2)T ,('E kT hc kT hc 256kT hc 2T 0=-λλ+λ--π=λλλλ（固定从而有5)e 1(kT hckT hc =-λλ- ⇓m K 102898.0T 200⋅⋅=λ-④ 低温定容比热由总辐射能量密度（3米焦耳）)c2(T h c 15k 4T h c 15k 8d )T ,(E c 4d )T ,(u )T (W 34334543345π=π=λλ=λλ=⎰⎰ (横波2所受)可推出固体中原子振动能为)v 1v 2(T hc 15k 43L3T43345+π （即固体中声速）所以，低温下，定容比热3T ∝这一公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离2倍，即a 2v >ν，a2v<ν∴），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。

3.光电效应：光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：A ．发射光电子的生成依赖于频率，而与光强度无关。

要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率min ν。

B ．当照射光的频率min ν>ν时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。

这从经典物理学基础去看是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。

因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。

所以，经典理论与实验截然相反。

A. Einstein 假设一束单色光由辐射能量大小为νh 的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量νh 。

电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克服脱出功），所以飞出电子的动能w h E k -ν=-w 功函数电子吸引两个光量子的几率几乎为0，所以，要飞离金属，则至少0E k=∴ w h min =ν， 即有一最低频率。

而)(h w h E min k ν-ν=-ν=我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量E 除以频率ν为一常数)h E常数（=ν而这一常数与ν，光强度，电子及金属材料无关。

这一常数并不能由经典物理学中常数所给出。

所以，ν=h E 是一个与经典物理学完全不相容的关系。

4.康普顿散射（Compton scattering ）实验发现，单色x 射线与电子作用使电子发生散射，其散射x 射线的波长 )cos 1(A 'θ-=λ-λ这样一个实验结果和特点也是经典物理无法解释的A. Einstein 认为x 射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此交换能量和动量，而其能量和动量为ν=h E ， n h n c h n c E P λ=ν==假设电子开始处于静止状态，根据能量，动量守恒，有e 2e E 'h c m h =ν-+ν ① e P 'P P =- ②①2/c 2-②222e 2e 22e 222e 2c m P cE )'P P ()'h c m h (c 1=-=--ν-+ν2222e 22e 22222e 222c 'h 2c m 'P P 2'P P )'(h m 2c 'h c m c h νν+=⋅+--ν-ν+ν++ν ∴ θ-νν=ν-νcos 'PP 'ch )'(h m 22e∴ )cos 1('h )'c c (h m 2e θ-λλ=λ-λ即 )cos 1(cm h'e θ-=λ-λ cm h e 称为电子的康普顿散射波长，它等于m 1043.212-⋅ 所以，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中，我们可以得出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量的交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系ω=ν= h Ek n hn c h n c E P =λ=ν== λπ2k =而秒焦耳⋅⋅=-3410626.6h ，秒焦耳⋅⋅=-3410054.1 。