2-4到达时间的条件分布
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第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
第三章离散事件系统仿真
1 2 3 4 5 6 总 和
由表 1.5 中的数据可计算如下统计指标： 0 2 2 2 0 （1）平均每位顾客的等待时间：4/6≈ 0.667（分 0 1 3 1 0 钟） 3 0 9 3 3 （2）顾客要等待的概率：2 /6 ≈ 0.333 2 1 12 3 0
0 4 19 4 3 2 2 11 4 0
6 0 系统中顾客数 7 9 2 11 15 2 0 4
2 总 和 1
G3 G4
G1 G2
G3 G4 G5 G5 6 7 9 11 12 15
G6
0
2
3
19
仿真时钟
图 3.1
顾客在系统中的状态图
对于这样简单的系统我们可以采用手工模拟，并采用模拟表来描述，但实际系 统往往比这复杂得多，这就需要更高级的处理技术。
3.2 排队系统
3.2.1 排队系统基本概念 许多系统都可以归结为服务系统，服务系统的主要 特征是出现排队现象，因此也称为排队系统。 顾客到达时刻不确定，接受服务的时间不确定，导 致排队系统在某时刻的状态（例如队列长短）不确 定,故又称随机排队系统。
3.2.2 随机排队系统的三个组成部分
1. 到达模式——动态实体产生的规律。 2.服务机构: 1）数量 2）速度（一般也是一个随机变量） 3.排队规则： 如先进先出，后进先出，优先权，随机服务等。
3.1.3 进程 由若干事件与若干活动组成的过程称为进程。 由若干事件与若干活动组成的过程称为进程。它 描述了各事件活动发生的相互逻辑关系及时序关 系。例如，工件由车辆装入进货台；经装卸搬运 进入仓库；经保管、加工到配送至客户的过程就 是一个进程。事件、活动与进程的关系如图 3-1所 示进程
3.1.4.仿真时钟 3.1.4.仿真时钟 仿真时钟用于表示仿真事件的变化。 由于仿真实质上是对系统状态在一定时间序列的 动态描述，因此，仿真时钟一 般是仿真的主要自 变量，仿真时钟的推进是系统仿真程序的核心部 分。 应当指出，仿真时钟所显示的是仿真系统对应实 际系统的运行时间，而不是计算机运行仿 真模型 的时间。仿真时间与真实时间将设定成一定比例 关系，使得像物流系统这样复杂的系统， 利用计 算机仿真只需要几分钟就可以完成，而真实系统 的运行则需要若干天，甚至若干月。
Possion过程中的条件分布
Possion过程中的条件分布摘要：Possion过程是相对简单但理论丰富且实用性强的计数过程。
其理论广泛应用于精算学、排队论等学科，在工程和实践中的应用更为广泛和深入。
Possion过程的性质在诸多文献中有详尽的讨论，有关条件分布的结论也零星地见于一些文献，但都不成体系。
本文系统地归纳讨论了Possion过程及复合Possion 过程中的条件分布，以资学习者参考。
关键词：Possion过程；复合Possion过程；条件分布1 齐次Possion过程的条件分布设{N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程，即{N（t），t≥0}满足下列条件：（1）N（0）=0；（2）N（t）是独立增量过程；（3）P{N（t+△t）-N（t）≥2}=o （△t）；（4）。
以N（t）表示[0，t]时间间隔内到达的顾客数，以X1表示第一个顾客到达的时间，Xn（n>1）表示第n-1个顾客与第n个顾客到达的时间间隔，以Sn表示第n个顾客到达的时刻，易知Sn=X1+…+Xn，n≥1 。
定理1[2] {N（t），t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程的Possion过程，则（1）到达时间间隔序列X1，X2，…是相互独立的随机变量序列，并具有相同的均值为1/λ的指数分布。
（2）Sn服从参数为n，λ的Г分布，其概率密度为。
为说明到达时刻的联合分布和条件分布，先简要介绍顺序统计量。
设X1，…，Xn是n个随机变量，其顺序统计量记为X（1），…，X（n），若Xi（1≤i≤n）是独立同分布的连续型随机变量，且有分布密度函数为f（xi）时，顺序统计量X（1），…，X（n）的联合密度为若Xi 服从[0，t）上均匀分布则引理1[1] 记X1，X2，…，Xn为n个独立的均匀分布于（a，b）上的随机变量的顺序统计量，则在Xn=x的条件下，X1，X2，…，Xn-1 联合分布与n-1个独立的均匀分布于（a，x）的顺序统计量的联合分布具有相同的分布。
即在Xn=x的条件下，X1，X2，…，Xn-1的概率密度为。
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件6b剖析
协方差函数 CX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t)
min( s,t) s , (s t)
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A
发生的次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
6.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
fT
(t )
et
(t)k 1 ,
(k 1)!
t
0
0 ,
t 0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P( X
k)
n kpkqnkE( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X k ) ke
n
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而 取各个值的概率为
随机过程第三章复习题及其解答泊松过程
第3章测验题解答一、填空题1.设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，则均值函数为__t λ____；相关函数为__s st λλ+2______。
答案：均值函数为：t X t X E t X E t m X λ=-==)]0()([)]([)(相关函数为：)]}()()()[({)]()([),(s X s X t X s X E t X s X E t s R X +-== 2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=2)()(s s s t s λλλλ++-=)1(2+=+=t s s st λλλλ2. 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松过程，}1,{≥n T n 是对应的时间间隔序列，则随机变量,...)2,1(=n T n 独立同分布服从___________。
答案：均值为λ/1的指数分布3.设}0,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列，则n W 服从________，概率密度为______________。
答案：参数为n 与λ的Γ分布)!1(1)(0{)(---=n n t t en W t f λλλ<≥t t4.泊松过程的定义：称计数过程(){},0t ≥X t 为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件：()100;X =（）;()(2)X t 是独立、平稳增量过程； ()(3)X t 满足下列两式：)(}1)()({h t t X h t X P ολ+==-+)(}2)()({h t X h t X P ο=≥-+5 .设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，方差函数为______；协方差函数为__________。
交通流参数的负指数分布
Q次
Q主e t 1 et
(1 ent )
例4、一主次相交的十字交叉口，主交通方向交通量为900辆 / h，车辆
随机到达，次路穿越主路的允许穿越间隔为8s，连续穿越的车辆间隔
为5s，求每次出现可穿越间隔时次要道路仅有一辆车等待时的可穿越
交通量以及次要道路有无穷多车辆等待时的可穿越交通量 ?
主干道 h＞t
——车流平均到达率(辆／s)；
负指数分布旳基本公式能够用泊松分布公式推导出来。设车
流对于任意间隔时间 t 内旳到达服从泊松分布，则对任意时
间 t内假如无车辆到达，就是上一次车到达至下一次车辆到达
之间旳时间差不小于t ，即
P0
P距小于t的概率为P(h t) 1 e t 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。 若令M为负指数分布的均值，则平均车头时距有：
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
1、负指数分布
• (1) 合用条件：车头时距到达是随机旳、有充分旳超车机会旳 单列车流和密度不大旳多列车流旳情况。或者说车辆旳到达 符合波松分布，则其车头时距分布就是负指数分布。
• (2) 基本公式： P(h t) et
• 式中：P(h t) ——到达车头时距 h 不小于t 秒旳概率；
次要道路仅有一辆车等待时的可穿越交通量为
Q次
Q主et 1 et
(1 ent )
900 8 900e 3600
900 5
(1
900 5
e 3600 )
121辆 /
h
1 e 3600
次要道路有无穷多车辆等待时的可穿越交通量为
Q次
Q主et 1 et
(1 ent )
900 8
900e 3600
第六章 排队论
对于S0
1P10P0
Pt0 h t Ph t0
t0
Ph
t t0 Ph Ph t0
t0
1
e (tt0 ) (1 e 1 (1 e t0 )
t0
)
1
e
t
Q .E.D
21
6.3.3 小结
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客单 位时间内的到达数服从泊松分布。
• 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客到 达的时间间隔服从负指数分布。
iP iiP i (ii)P i
转入率的期望值为
P P i1i1 i1i1
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
P0
P1
P2
Pi
30
则
( i i)Pi P P i1i1 i1i1
Pn(t)(n！ t)n et n=0
可知： P0(h >△t)= P{h >△t}=e△t
故间隔时间 h 的分布为 P{ h △t}=1e△t
F (t) 1 et
f (t ) et h t et dt 1 / 0
0
F(t)
f(t)
t
20
（2）负指数分布的特点
• 负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学 分析变得方便
12
停留时间分布
离析流模型;(2)多釜串模型;(3)扩散模型。对于离析流模型， 只要知道反应器的停留时间分布和反应动力学方程，就可以 直接利用式（5-？？）进行求解。对于多釜串模型,只要模型 参数N和反应动力学方程已知,就可以通过逐釜计算的办法进 行求解。
5.5.4 轴向扩散模型（续7）
对于扩散模型，则首先要根据模型的特点和反应动力
活塞流反应器的E(t)图
5.4.1 活塞流模型（续2）
活塞流反应器F(t)图
5.4.1 活塞流模型（续3）
最后得到活塞流的停留时间分布密度为：
E 1
相应的分布函数为：
F t 0 t t 或者F 0 1
1 tt
1 1
均值和方差分别为：
0
1 d
1
2
2
1
d
1
0
0
(最小值)
5.5.1 概述
建模的要求： 等效性（能够正确反映模拟 对象的物理实质）； 合理简化便于数学处理（模 型参数不应超过两个）
建模的依据： 反应器内停留时间分布
常用技巧：
对理想模型进行修正， 或将理想流动模型与滞 流区、短路和沟流等作 不同组合
常用的非理想流动模型：
离析流模型，多釜串联模型； 轴向扩散模型
逐釜计算求出最终转化率。
若为一级不可 逆反应，则
1
1 k
1
1 X AN
N
1
注意！为单釜空时
适用：微观流体
5.5.4 轴向扩散模型
非理想流动模型和非理想反应器的计算 基本假定 径向浓度分布均一 轴向上，流体的流速和扩散系数均为恒定值
5.5.4 轴向扩散模型（续1）
非理想流动模型和非理想反应器的计算
kCA0 1 X A kCA
5.5.4 轴向扩散模型（续7）
对于扩散模型，则首先要根据模型的特点和反应动力
活塞流反应器的E(t)图
5.4.1 活塞流模型（续2）
活塞流反应器F(t)图
5.4.1 活塞流模型（续3）
最后得到活塞流的停留时间分布密度为：
E 1
相应的分布函数为：
F t 0 t t 或者F 0 1
1 tt
1 1
均值和方差分别为：
0
1 d
1
2
2
1
d
1
0
0
(最小值)
5.5.1 概述
建模的要求： 等效性（能够正确反映模拟 对象的物理实质）； 合理简化便于数学处理（模 型参数不应超过两个）
建模的依据： 反应器内停留时间分布
常用技巧：
对理想模型进行修正， 或将理想流动模型与滞 流区、短路和沟流等作 不同组合
常用的非理想流动模型：
离析流模型，多釜串联模型； 轴向扩散模型
逐釜计算求出最终转化率。
若为一级不可 逆反应，则
1
1 k
1
1 X AN
N
1
注意！为单釜空时
适用：微观流体
5.5.4 轴向扩散模型
非理想流动模型和非理想反应器的计算 基本假定 径向浓度分布均一 轴向上，流体的流速和扩散系数均为恒定值
5.5.4 轴向扩散模型（续1）
非理想流动模型和非理想反应器的计算
kCA0 1 X A kCA
排队系统
M—— 负指数分布(M是Markov的字头，因为负指数分布具有 无记忆性，即Markov 性)。 D —— 确定性(Deterministic)。
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
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0
0
sx
1 Fs x udFu，
0
所以，
s
xs
1 Fs x udFu 1 Fs x udFu．
0
x
19
化简上式，得 Fs Fx FsFx Fx s，所以 1 Fx s 1 Fs1 Fx．
令 Gx 1 Fx，则有 Gx s GsGx．
类似于定理 2.3.3 证明中的（2.3.4）式以后的证明部分， 即得结论．
7
容易看到，对任意的 0 y1 y2 yn ，取充分小的 h 0 ，使得
0 y1 y1 h y2 y2 h y3 yn1 h yn yn h ，
则有
P y1 Y1 y1 h, y2 Y2 y2 h, , yn Yn yn h
P y1 Yi1 y1 h, y2 Yi2 y2 h, , yn Yin yn h ．
1
PN s
1, Nt Ns PNt 1
0
PN s
1 PNt PNt 1
Ns
0
s 1 es
s
0
et s
1!
0!
t 1 et
1!
s． t
4
这个定理说明，由于 Poisson 过程具有平
稳独立增量性，从而在已知时间间隔0, t
上有一事件发生的条件下，事件发生的时
间 X1 在 0, t上是“等可能性的”，即它的 条件分布是 0, t上的均匀分布．
E
f
Sn
0
f
t
t n1 n 1!
e
t
dt
，
E
n 1
f
Sn
0
f
t
n 1
t n1 n 1!
et
dt
0
f
t dt
．
37
对一般的 f ，将已证结果用于
f m a x f , 0 及 f m i n f , 0 ，即
可知（2.4.4）对 f f f 也成立．
38
下面利用定理 2.4.5 提供上面例 2 结果的另一种求解
20
定理 2.4.4 设Nt， t 0为一计数过程，X n ， n 1为相
继事件发生的时间间隔，独立同分布且 Fx PXn x，如果
EX n ， F0 0 ，而且对任意的 n 1， 0 s t ，有
PSn
s
N
t
n
s t
n
，
0
t
，
则 Nt， t 0为一 Poisson 过程．
损失是可加的，那么在 t 时刻的损失之和为
N t
t Die tSi ， i 1
其中 Si 为第 i 次冲击到达的时刻．试求 E t．
29
解：
先求条件期望
E t N t n E Nt DietSi N t n
i1
E n DietSi N t n
i1
n
g y1,
y2, ,
n
yn
n!
i 1
f yi
0 y1 y2 yn
．
0
其它
9
如果 Yi ， 1 i n在区间 0, t上独立同均匀分布，则其
顺序统计量 Y1, Y2, , Yn 的联合概率密度函数为
g y1,
y2, ,
yn
n! tn
0 y1 y2 yn ．
0 其它
10
对问题⑴，有如下有用的定理：
定理 2.4.2 设 Nt， t 0为一 Poisson 过程，则在已给
Nt n 时事件相继发生的时间 S1, S2, , Sn 的条件概率密
度为
g y1,
y2, ,
yn
n! tn
0 y1 y2 yn ．
（2.4.2）
0 其它
11
对任意的 0 t0 t1 t2 tn tn1 t ，取 h0 hn1 0 ， 及充分小的 hi ，使得
Sn t ： N t n，
Sn t Nt n．
由此可得
PSn
t
PNt
n
jn
t j
j!
et
，
35
因此 Sn 的概率密度函数为
fSn
t
d dt
jn
t j
j!
et
jn
t j1 j 1!
et
t j
j!
et
t n1 n 1!
et
I t 0
．
36
先设 f 非负，由上式得
ED t 1 et t
ED 1 et ． 33
关于到达时刻，有下面有用的定理．
定理 2.4.5 设 Nt， t 0是参数为 的
Poisson 过程，Sk ， k 1为其到达时刻，则对
任意的 0, 上的可积函数 f ，有
E
f
Sn
f
t dt
．
n1
0
34
证明：
由（2.2.1）式，当 t 0 时，
n 个在区间 0, t 上相互独立同均匀
分布的顺序统计量的分布函数相同．
15
对于问题⑵，即逆命题，有如下的定理．
定理 2.4.3 设Nt， t 0为一计数过程，X n 为第 n 个事件
与 第 n 1 个 事 件 的 时 间 间 隔 ， X n ， n 1 独 立 同 分 布 且
Fx PX n x，如果 F0 0 ，而且对任意的 0 s t ，有
n
Yi
i1
i1
（定理 2.4.2）
E n Yi i1
n
EYi i 1
n t
i1 2
nt ．
2
26
故
n
E i1
t
Si Nt
n
nt
nt 2
nt 2
，
27
所以，
E
S
t
P
N
t
n
E
S
t
N
t
n
n0
PN
t
n
E
N t
t
Si
N
t
n
n0
i1
n0
PN
t
n
nt 2
t 2
n0
5
自然，我们要问：⑴ 这个性质是否可以推
广到 Nt n ，（ n 1）的情形？⑵ 这个性
质是否是 Poisson 过程特有的？换句话说： 本定理的逆命题是否成立？为回答⑴，先讨 论顺序统计量的性质．
6
设 Y1, Y2, , Yn 是独立同分布，非负的随机
变量，密度函数为 f y，记
Y1 Y2 Yn 为相应的顺序统计量，
n
E Di N t n E e tSi N t n
i 1
i 1
n
ED et E eSi N t n ． i 1 30
记 Y1, Y2, , Yn 为区间 0, t 上独立同均匀分布的随机变
量，则由定理 2.4.2，有
E n eSi N t n E n eYi
i1
i1
E n eYi
i1
t
n
e x
dx
0
t
n et 1 ，
t
31
所以有
E t Nt n ED et n et 1 t ED n 1 et ， t
因此有
E t Nt ED Nt 1 et ， t 32
因此由重期望公式，得
Et EEt Nt
ED ENt 1 et t
则 0, t 到达车站的顾客等待时间总和
为
N t
St t Si ． i 1 24
因为
E
S
t
N
t
n
E
N t
t
1
E
n
t
Si
N
t
n
i1
nt
n
E Si
N t
n
，
i1
25
仍记 Yi ， 1 i n为 0, t上独立同分布的随机变量，则
E
n
Si
N t
n
E
方法．
若取
f s I0, t s ets ，
则
N t
t Die tSi ISi t Die tSi Di f Si ，
i 1
i 1
i 1
39
于是
E t EDi f Si ED E f Si
i 1
i 1
ED f sds
0
ED etsds
0
ED 1 et ． 40
ti hi ti1 ， 1 i n，
12
则有
P ti Si ti hi ， 1 i n Nt n
PN ti
hi
N ti 1，
1 i
n； N t j1
PNt n
N t j
hj 0，
1
j
n
h1 eh1
h2 eh2
h e e hn n
t h1 h2 hn
t n et
n!
n! tn
h1h2
hn
．
13
因此，
P ti Si ti hi ， 1 i n
h1h2 hn
Nt n
n! tn
．
所以，
g y1,
y2, ,
yn
n! tn
0 y1 y2 yn ．
0 其它
14
本定理说明，在 Nt n 的条件下，
S1, S2, , Sn 的 条 件分 布 函数与
证明从略．
21
注：利用以上结果，验证 Poisson 过程时
不需要知道参数 ．
22
例 1 设到达火车站的顾客流遵照参数为