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等差数列·例题解析

【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？

解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，

an＝98．
代入an＝a1＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7
解得n＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数
列，求此数列．

解 设这五个数组成的等差数列为{an}

由已知：a1＝－1，a5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．

【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间
1
2

插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．

解 d=312 (5) d=d=34原数列的公差－＝，所以新数列的公差′，期通项为
3
2
1
2

annnn534134234234()
即 a=
3
4
n

【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
解 设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N

令，则＝－＝为使为整数，令＝，a=b3n4m3nnm3knm
433m

得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项c
n
＝12n－3(n∈N)．
则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3
∴n＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．

则
－＋＋＋－＋＋＋(xd)x(xd)=15
(xd)x(xd)=83
222





解得x＝5，d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差
数列．
证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，
如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会
这一点．

【例7】 abab若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111abcc
可能是等差数列．
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运
用，这时往往用反证法．
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c

又∵、、成等差数列，
∴，即＝＋．111211abcbac2acb(ac)
∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．
又∵ a、b、c不为0，
∴ a、b、c为等比数列，
又∴ a、b、c为等差数列，
∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，
∴ 假设是错误的．
∴ a、b、c不可能成等差数列．
【例8】 解答下列各题：

(1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证：
①对任意k∈N，关于x的方程
akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；

②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x(2)ABCabck{}
cot
cotcot

1
1222x
A

BC

k

分析与解答
(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0

∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2
∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0
∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0
∴＝－或＝－ x1x
k

a

a

xaaaaaadkkkkkkkkk22211112
∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数
∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}
1
1x
k

(2)由条件得 2b=a＋c
∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC

∴∵＋＋＝π∴∴4sinB2cosB2=2sinA+C2cosAC2 ABC

sinA+C2=cos
B
2

2sinB2=cos
A2C
分析至此，变形目标需明确，即要证
2cotB2=cotA2cotC2＋
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有

cotcotcossincossinsinsinsinsin(coscos)()cossinsincotACAACCACACACACACBBBB222222222212222222222


将条件代入

∴、、成等差数列．cotA2cotB2cot
C
2

【例9】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：
1111223111aaaaaan
aannn


…

分析11111aaaaaaaadnnnnnnnn






证明 设该数列的公差为d，则
a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d

∴a1－an+1=－nd
∴－左式…d=
a=a11a
n
aaaaaaaaa
aa

nnnnn1

21223231
1

aa
d
aa
aa
n
n
aa

nnnn11
11
11

11
右式
∴ 原等式成立．
【例10】 设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，

bbyb234，，，均为等差数列，求．
bbaa4321


分析解 d =yx51(1)=yx52(2)可采用＝
由

aamnaabbmn



214332

64
(2)(1)÷，得bbaa432183