最新九年级讲义定弦定角最值问题秘籍
2021年中考数学复习讲义：第九章 圆 模型(三十七)——定弦定角模型
第九章.圆模型（三十七）——定弦定角模型模型讲解定弦定角：线段定，角度大小定一、【结论1】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝，则点P在AB所对的圆弧上运动二、90º【结论2】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝90º，则点P在以AB为直径的圆弧上运动（不包含A、B两点）三、30º、150º【结论3】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝30º（或∠APB ＝150º），则点P在以AB为边构造的等边△ABC（或△ABC´）的顶点C（或C´）为圆心的圆弧上运动（不包含A、B两点）【结论4】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝45º（或∠APB ＝135º），则点P在以AB为底，AB为腰构造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC´）的顶点C（或C´）为圆心的圆弧上运动（不包含A、B两点）【结论5】如图，AB定长，P动点，保持∠APB ＝60º（或∠APB ＝120º），则点P在以AB为底，AB为腰构造的等腰直角三角形△ABC（或△ABC´）的顶点C（或C´）为圆心的圆弧上运动（不包含A、B两点）典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为( ).A. B.2-2C.2-2D.4【答案】B【解析】∵AE⊥BE，点E在以 AB 为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点E´，如图.当点 E 位于点 E´位置时，线段CE取得最小值.∵AB=4, ∴OA=OB=OE´=2.∵BC=6,∴OC=＝＝2，∴CE´=OC－OE´=2-2.故选 B.典例2 ☆☆☆☆☆如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（3，0），C（3，4），点 P 为任意一点，已知 PA⊥PB，则线段 PC的最大值为( )A.3B.5C.8D.10【答案】C【解析】如图所示，连接 OC，OP，PC.∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∴点 P在以O为圆心，AB长为直径的圆上，∵CP＜OP＋OC,∴当点 P，O，C在同一直线上，且点P在 CO 延长线上时， CP最大，其最大值为 OP＋OC的长.又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），∴AB=6,OC=5,OP=AB=3.∴线段 PC的最大值为 OP＋OC＝3+5=8. 故选 C.典例3 ☆☆☆☆☆如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=10，BC=12，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP长的最小值为（）.A.7B.8C.D.【答案】B【解析】∵∠ABC=90°，∴∠ABP＋∠PBC=90°,∵PAB=∠PBC, ∴∠BAP＋∠ABP=90°, ∴∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的⊙O上，如图，连接 OC交⊙O于点 P，此时 PC最小.在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=12，OB=5，∴OC==13，∴PC＝OC－OP=13－5＝8,∴PC 的最小值为 8.故选 B.小试牛刀1.（★★★☆☆）在平面直角坐标系中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y轴上,当AB=4 时，△OAB面积的最大值为( )A.8B.4＋4C.4+4D.82.（★★★☆☆）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC 内一个动点，∠PAB=∠PBC，则 CP 的最小值为__________.直击中考1.如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=2，D点是△ABC所在平面内的一个动点，且∠BDC= 60°，则△DBC面积的最大值是( )A.3B.3C.D.22.在△ABC中，若 AB=6，∠ACB=45°，则△ABC 的面积的最大值为_______. 中考中有一类题是求最值，点运动的轨迹不是很明显.此时要看以这个点为顶点的角是不是一个定值，如果是，就是定弦定角模型，找到圆心和半径，作出辅助圆，得到最大值或最小值. 此类型的题目往往作为选择或者填空压轴题出现。
人教版九年级数学中考专题讲义： 最值问题
第5讲 最值问题（一）知识目标：目标一 掌握线段条件产生的隐圆问题的解题思路 目标二 掌握角度与线段条件的隐圆问题的解题思路模块一 线段条件产生的隐圆题型一 以等长线段构造隐圆 例1如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，E 是CB 中点，AE =EC ，∠BAC =3∠DBC ，BD = AB 的长度 .E DB A练已知四边形ABCD 中，AB ∥ CD ，BC =6，AB =AC =AD =5，则BD =D CBA题型二以定长线段构造隐圆例2在坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是坐标系中一点，且AC=2，则∠BOC 度数取值范围.练在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°<θ<180°），得到△MNC，P，Q分别是AC、MN的中点，AC=2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是A.B.C. D. 3tQPNMBCA模块二角度与线段条件中的隐图题型一定边对定角例31.在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点P在y轴左边，且∠APB=90，则点P的横坐标a的取值范围是.2.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 .H GF EDCB A3.如图，线段AB 上有一动点M ，分别是以AM 、BM 为边作正方形AMFE 、MBCD ，正方形AMFE 、MBCD 的外接圆⊙O 、 ⊙O ′交于M ，N 两点，则直线MN 的情况是（ ）A .定直线B .经过定点C .一定不过定点D .以上都有可能例41.如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是.2.如图，△ABC 中，BC =4，∠BAC =45°，以B 、C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值为 .练1.如图，P 为正方形ABCD 的边CD 上任意一点，E 为AP 上一点，BE =AB ，∠CBE 的平分线交AP 延长线于点Q ，若正方形的边长为a ，当点P 在CD 边上由C 移动到D 时，则点Q 到CD 的最大距离为 .QP ED CB A2.如图，已知在等边△ABC 中，AB =AC =BC =8，点D 、E 分别是边AC 、AB 上两点，且AE =CD ，BD 交CE 于F ，连接AF ，则AF 的最小值为 .FEDCBA例51.如图，在弓形BAC 中，∠BAC =60°，BC=A 在优弧BAC 上由点B 向点C 移动，记△ABC 的内心为I ，则△ABC 内切圆半径的最大值为.2.如图在扇形AOB中，OA⊥OB，D是AB上一动点，DE⊥OA于E，若OA=△DEO的内心为I，则△DEO内切圆半径的最大值为.B3.如图，已知△ABC，外心为O，BC=10，∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是.题型二定边对动角例61.已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为.2.如图，在展览大厅中，墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米，最低处点Q距地面2米，观赏者的眼睛（在E点）距离地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在这个位置的观赏效果最理想，求此时E到墙壁的距离为米.3.如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点，若⊙O 的半径长为3，OP，则弦BC 的最大值为（ ）A .B .3 CD .POCBA第5讲 【课后作业】 最值问题（一）1.如图，已知矩形ABCG （AB <BC ）和矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一直线上，∠APE 的顶点在折线段B -D -E 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是 .G F EDCBA2.如图，∠XOY =45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB =10，那么点O 到AB 的距离的最大值为 .YO X CB A3.如图，正方形ABCD 的边长为4，∠AED =45°，P 为AB 的中点，当点E 运动时，求PE 的最值.PED CBA4.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE与点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.5.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=45°，AC=D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC、于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为.。
(完整版)定弦定角最值问题(教师版)
定弦定角最值问题（答案版）【例1】（2016 •新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC = 3 , BC = 4J2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O ACD的外接圆，直线BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（）解：J/ CDP = Z ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过O时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BO'C = 90 °•△ BO C为等腰直角三角形.•./ ACO = 45 °+ 45 °= 90 °•AO = 5又OB = O'C= 4•- AD = 5 —4 = 1【例2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接当CE过圆心O时，CE有最小值为-J3 2BD交圆于E点，连CE,贝U CE的最小值为（）169解：连接AE•/ AD为O O的直径•••/ AEB = / AED = 90 °•E点在以AB为直径的圆上运动C. .2D. ,414 2A. 1B. 21）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4 . 2，/ ACB = 45° AM IIBC ，点P 在射线AM 上运动，连 BP 交厶APC 的外接圆于 D ，则AD 的最小值为（）A . 1 ■_W【练】（2015 •江汉中考模拟-.oAB4..3c交aB 223 *0CD2B . 6 33 A . 12 6,3C . 12 3.3D . 6 A.-啕诂目隹丹丘it 按丿E 易汞丄片虾・圧戸二上*虾・宴罠厶乂肚的叢丸丽希 则点芒駆腼閉壯\ AB=1^, ^ACB=XT,R^AMB =<M *・当^c^t^jsfn 中屯肘* 点闭肋睡琥大.此01氐册?两梅三甸肪CV2樁+玄皿L*X2括X （2』J"・&+M ，放说3,【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O O 的半径为1,弦AB = 1,点P 为优弧AB 上一动点,••• AD 的最小值为 5 — 4= 1 % /■…/【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（.⑼M 救学早呵H 權H n »）才闻，®。
定弦对定角另两边之和的最大值_概述说明以及解释
定弦对定角另两边之和的最大值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文旨在探讨定弦对定角另两边之和的最大值。
我们将研究这一数学问题的定义、相关背景以及解释定弦和定角之间的关系。
通过分析定弦与另两边之和的影响因素，我们希望得出一套推导公式并进行数学证明，最终总结出最大值的性质，并进一步探讨其在实际应用中的相关情况。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。
首先是引言部分，概述了全文的主要内容和目标。
随后，在第二部分中，我们将详细介绍定弦对定角另两边之和问题的定义和背景，并解释了这两者之间的关系。
第三部分将对该问题进行分析和讨论，包括推导公式表达式、数学证明与解释、以及实例分析与讨论。
在第四部分中，我们将总结研究结果，并提出相关性实际应用方面的探讨。
最后，在第五部分中给出结论。
1.3 目的研究此问题有以下几个目的：首先，揭示定弦对于一角两边之和最大值行为的规律和特点，拓展数学领域中的相关知识；其次，通过推导公式和数学证明，对于该问题的解答提供一套理论体系。
最后，结合实例分析和讨论探索定弦对定角另两边之和最大值在实际应用中的潜在价值，为可能的应用领域提供指导，并为进一步研究打下基础。
以上是第一部分“引言”内容，请根据需要进行修改或扩展。
2. 定弦对定角另两边之和的最大值：2.1 定义和背景：在几何学中，当两条线段（即两边）与一个定点（即顶点）之间的夹角保持不变时，我们称这个夹角为定角。
而当一条线段连接两个固定点，并与一个已知半径的圆交于该圆上另一点时，我们称这条线段为定弦。
现在我们需要研究的是，在一个给定大小的圆内，如何选择合适长度的定弦，使得它与圆内某一定角形成的两边之和达到最大值。
2.2 解释定弦和定角关系：为了解释针对固定圆内形成的夹角而言，选取何种长度的弦可使得另两边之和达到最大值这一问题，我们需要先明确以下关系。
首先，根据数学性质以及几何图形规律，同样以某个顶点为起始点、终止点不同的所有弦都会有相等长度。
1_定弦定角
一、模型引入（特殊情况）符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
虽然初中数学中没有系统学习轨迹知识，但我们在学习圆的知识过程中，常碰到这样一个基本图形：即已知AB为定线段，C为动点，且∠ACB=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”，我们能推出：动点C的运动轨迹为以AB为直径的圆上的任意一点（除点A和点B）。
如下图示：（图1）二、模型拓展（一般情况）若AB为一定线段，点C为动点，且∠ACB大小为一固定值，则A、B、C三点是否一定共圆？或称为点C一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上？（图2）（图3）三、定弦定角模型之”前世今生”（模型证明）同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆。
线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。
称其为定弦定角问题。
（图4）（图5）四、定弦定角模型总结（1）定弦定角问题的三个条件：①平面内有定线段BC；②BC 所对的角是定角；③定角的顶点A 时动点。
（2）辅助线做法做△ABC 的外接圆并作其关于BC 的对称圆。
（如图6）（图6）（3）弦长计算（4）弧长计算（0（五、模型应用及解题步骤：（1）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧摩天轮最值面积最值周长最值线段最值角度最值尺规作图模型应用（2）解题步骤：a、寻找不变张角（一般找出张角补角，这个补角一般为特殊角）；b、找张角所对的定弦；（可以确定轨迹圆）c、确定半径和圆心；d、求得圆心到所求线段定点的距离；e、计算最值。
六、例题展示例1、（尺规作图）如图，已知线段AB.（1）请在图1中画出使得︒=∠90APB 的所有点P；（2）请在图1中画出使得︒=∠60APB 的所有点P；（3）请在图1中画出使得︒=∠45APB 的所有点P；已知△ABC 外接圆圆o 半径为r ，∠A 为定角，BC 为定线段。
完整版定弦定角最值问题教师版
定弦定角最值问题（答案版）【例11 （2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC中，AC = 3 , BC = 4j2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O为^ ACD的外接圆，直线 BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（D. 741 4^2解：•••/ CDP = / ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过0时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BOC = 90 °•- △ BOC为等腰直角三角形:丄 ACO = 45。
+ 45 °= 90 °••• AO = 5又 O B = O 'C= 4• AD = 5 — 4= 1【例21如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于E 点，连CE,贝y CE的最小值为（2 C. 5•/ AD为O 0的直径•••/ AEB = / AED = 90 °••• E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心 0时，CE有最小值为J131）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4运，/ ACB = 45° AM II BC，【练1 （2015 •江汉中考模拟BP交△APC的外接圆于点P在射线AM上运动，连A . 1B. C. ©解：连接CDFAC = Z PDC = Z ACB = 45 °BDC =135 °•••/如图，当AD过圆心0时，AD有最小值•••/ BDC = 135°•••/ BO 'C =90°又/ ACO = 90°••• AO = 5• AD的最小值为 5 — 4= 14P MD【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O的半径为2,弦AB的长为2/，点P为优弧AB上一动点，AC丄AP交直线PB于点C,则△ ABC的面积的最大值是（C. 12 3^3A. 12 6^3B. 6 3 品+ 口016®学早佩®删一11帕如開，（50汩丰径etr：；■带』5凹艮尢？Jb点P糊:亚甘用上一可皿:丄处交直线戸母干怎G刚&1F匚的面积的眾"A灌是＜A. 12+6 C L2+J 75*构诂H色BE崔歿扭摘汞眇三上P, 発罠二/肚的衆如杞.刖点C負的匪离最俎丁堪£=2再・厶CA町…'点芒在O席上.斗仙=60%当点f为阀;曲旳中百时.点£至］.松們距fflS丸1 此梅二勺豚CV=2祷+3』^^c=|x2^X(27143)=6+3^/5*【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O0的半径为1,AC丄AP交直线PB于点C,C. 2则△ ABC的最大面积是（2也4A(1 , 0)、B(3, 0)，以AB为直径作O M,射线OF交OM于E、F两点，C为弧为EF的中点.当射线绕 O点旋转时，CD的最小值为___•••点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动当CD过圆心 A时，CD有最小值连接CM••• C为弧AB的中点••• CM 丄 AB••• CD的最小值为近1【练】如图，AB是O O的直径，AB = 2，Z ABC = 60°•/ D为弦AP的中点••• OD 丄 AP•••点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心 O'时，CD有最小值过点C作CM丄AB于M •/ OB = OC，/ ABC = 60° •••△ OBC为等边三角形1J3••• OM = -，CM =二322【例5】如图，•/ D是弦EF的中点•••DM 丄 EFP是上一动点， D是AP的中点，连接BO'C =4••• CD的最小值为旦4练习：如图，在动点 C与定长线段AB组成的△ ABC连接DE .当点C在运动过程中，始终有AB 中，AB= 6，AD丄BC于点D , BE丄AC于点E ,DE 屯，则点C到AB的距离的最大值是________________ 2。
圆中的定弦定角和最大张角模型(学生版)--中考数学满分突破
圆中的定弦定角和最大张角模型模型分析【模型1】定弦定角模型如图28-1，在ΔABC中，BC的长为定值a，∠A=α为定角度，(1)确定点A的运动轨迹，有3种情况：①如图28-2，当α<90°时，点A的运动轨迹为优弧BAC(不与B、C点重合)；②如图28-3，当α=90°时，点A的运动轨迹为⊙O(不与点B、C重合)；③如图28-4，当α>90°时，点A的运动轨迹为劣弧BAC(不与B、C点重合)。
(2)构成等腰三角形(AB=AC)时：点A到BC的距离最大，且此时ΔABC的面积最大。
【模型变式1】如图28-5，已知点A、B是∠EPF的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，∠AQB最大。
⇒当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。
【证明】如图28-6，作ΔAQB的外接圆⊙O，设点Q 为PE上不同与Q点的任意一点，连接Q A、Q B，Q A与⊙O交于点D，连接BD，∵∠ADB>∠AQ'B,∠AQB=∠ADB∵∠AQB>∠AQ'B∴当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。
典例分析【例1】如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为．【例2】数学概念若点P在ΔABC的内部，且∠APB、∠BPC和∠CPA中有两个角相等，则称P是ΔABC的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P是ΔABC的“强等角点”.理解概念(1)若点P是ΔABC的等角点，且∠APB=100°，则∠BPC的度数是°.(2)已知点D在ΔABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足∠BDC+∠BAC<180°，作ΔBCD的外接圆O，连接AD，交圆O于点P.当ΔBCD的边满足下面的条件时，求证：P是ΔABC的等角点.(要求：只选择其中一道题进行证明！)①如图①，DB=DC②如图②，BC=BD深入思考(3)如图③，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q.(不写作法，保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.(填序号)模型演练一、单选题1.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ABC=20°，则∠BDC的度数是()A.50°B.60°C.80°D.70°2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，且AC=BC，∠ADC=130°，则∠ADB的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°3.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．设∠ABC=25°，则∠BDC=()A.85°B.75°C.70°D.65°4.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=60°，则∠ADC的度数为()A.20°B.30°C.40°D.60°二、填空题5.如图，点D 在半圆O 上，半径OB =5，AD =4，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH ⊥AC ，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是．6.如图，已知C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，若∠CAB =30°，则∠D 的度数是．7.如图，直线l 与⊙O 相交于点B 、D ，点A 、C 是直线l 两侧的圆弧上的动点，若⊙O 的半径为1，∠A =30°，那么四边形ABCD 的面积的最大值是．8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC =50°，∠AED =75°，则AD 的度数是°．9.如图，∠MAN =45°，B 、C 为AN 上两点，AB =1，BC =3，D 为AM 上的一个动点，过B 、C 、D 三点作⊙O ，当sin ∠BDC 的值最大时，⊙O 的半径为三、解答题10.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为0,-3，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为1,0，半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A，点B重合)，点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC=60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．11.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0)，B(3,0)，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1=S2时，求点P的坐标；(3)连接BQ，点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且∠BMQ=45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．12.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．(1)证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；(2)应用(1)的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物PQ高度为96cm，放置文物的展台QO高度为168cm，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大(视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的∠PAQ)，则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．(说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高)13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．。
初中数学九年级(初三)圆中的最值问题(讲义)
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二、圆与将军饮马 1、如图，CD 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，B 是弧 AD 的中点，P 点为直线 CD 上的一个动 点，CD=4. （1）求 AP+BP 的最小值； （2）求 AP﹣BP 的最大值．
2、如图，已知圆 O 的面积为 3π，AB 为直径，弧 AC 的度数为 80°，弧 BD 的度数为 20°，点 P 为直径 AB 上任一点，则 PC+PD 的最小值为_________．
【归纳】 1、垂线段、对称； 4、随动点问题
圆中的最值问题
2、构建函数（不等式）； 5、最大角问题
3、弦角问题；
【讲练】 一、垂线段最短 1、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 上的一个动点，连接 AC、BC，∠C=60°，⊙O 的半径为 2，则 △ABC 面积的最大值是_________． 2、如图，半圆 O 的半径为 1，AC⊥AB，BD⊥AB，且 AC=1，BD=3，P 是半圆上任意一点，则封闭图形 ABDPC 面积的最大值是_________． 3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 经过点 A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O 的半径为 1（O 为坐 标原点），点 P 在直线 AB 上，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为_________．
2、如图，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2 2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径 作⊙O 分别交 AB、AC 于 E、F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为___________.
2、如图，△ABC 中，∠ABC＝45°，AC＝2，半径为 5的⊙O 始终过 A、C 两点，连接 OB，则线段 OB 长 度的最大值为____________.
定弦定角，定范围——一类三角形面积与周长最值（范围）求法
定弦定角，定范围 ——一类三角形面积与周长最值（范围）求法
摘 要：最值与范围问题是解三角形中重点题型之一，该部分内容综合性强，解法灵活。对学生能力有较高要求。很多时候学生用代数方法求解时算的不是很清楚明白。而且对于选填这样求解比较耗时，本文以一类已知一边及其对角的三角形面积与周长的最值与范围问题为例，说明利用几何法处理不仅简洁，甚至有时能达到题目未解，答案先知。能让学生方向明确、算得明白。提高同学们的思维能力和解题能力。
关键词：解三角形，周长，面积，最值与范围 1. 预备知识
结论1：（定弦定角必定圆）若三角形一边和其所对角大小确定，则三角形外接圆唯一，即定边所对顶点运动轨迹为外接圆（不包括线段端点）。
分析：如图1在 中， 是弦 对的角，由正弦定理知 ，所以外接圆半径确定，圆周角 一定，则对应的圆心角 一定，又因为圆心在弦 的垂直平分线上，所以圆心唯一，故外接圆唯一。即点 在其外接圆上运动（不包括点 ）。
注意：当 为锐角时点 在优弧 上, 为钝角时点 在劣弧 上。 图1 图2 结论2：在 中，角 的对边分别为 ，若 及 为定值，则当且仅当 时， 取得最大值。即为线段 的中垂线与 的交点。
分析：有余弦定理知 ，所以
由基本不等式知 ，当且仅当 时等号成立。结合 ，构造关于 的一元二次不等式，化简得到 。
注意：由上面不等式化简得 最大值为 1. 教学实践
1. 面积问题
例1、在 中，角 的对边分别为 ，若 则 面积的最大值为？ 分析：由题可知 所以 ，整理得 ，即 由于 ，由图3知点 与点 重合时面积最大。解直角三角形
，得 ，所以面积最大值 。
图3 图4 例2、锐角三角形 中， ，则 面积的取值范围为？ 分析：由例1知，三角形面积最大时点 与点 重合，最大值为 ，图4中线段 为圆直径，所以 ，结合圆的对称性知，要使得三角形为锐角三角形，则点 应在弧 (不能与点 重合)，所以 的面积
定弦定角有关的知识点总结
定弦定角有关的知识点总结定弦定角是几何学中一个重要的定理，它在解决三角形的相关问题时非常有用。
本文将介绍定弦定角的概念以及与之相关的知识点。
1.定弦定角的定义：定弦定角是指在一个圆上，如果两条弦所对的弧相等，则这两条弦所对的角也相等。
2.弧：弧是指圆上的一段弯曲部分，可以通过两个弦所对的角来确定。
弧是圆的一部分，它的长度可以通过圆的半径和对应的圆心角来计算。
3.弦：弦是圆上连接两点的线段，它的长度可以通过圆的半径和对应的圆心角来计算。
4.定弦定角的应用：定弦定角在解决三角形问题时非常有用。
通过利用定弦定角的性质，可以推导出三角形内角和、外角和等相关的结论。
5.三角形内角和：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据定弦定角可知，弦a、b所对的角A、B相等，而弧a、b的弧度数也相等。
因此，根据弧度的定义，可以得出： a/b = sinA/sin B 同理可得： b/c = sin B/sin C a/c = sin A/sin C 根据三角恒等式 sin A + sin B + sin C = 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)，可以得到三角形内角和的结论： A + B + C = π6.三角形外角和：在一个三角形ABC中，设角A的外角为D，角B的外角为E，角C的外角为F。
由于一个内角和其相邻的外角之和等于180°，根据定弦定角的性质可知：弦AD = 弦BE = 弦CF 同理可得：弦BD = 弦CE = 弦AF 弦CD = 弦AE = 弦BF 这些等式表明，三角形的外角所对的弦的长度相等。
7.定弦定角的推广：定弦定角的概念可以推广到其他几何图形上。
例如，在一个正多边形内部，连接多边形的任意两个顶点，所得到的弦所对的角相等。
这个性质在解决正多边形的相关问题时也非常有用。
定弦定角是几何学中一个非常重要的定理，它在解决三角形问题以及其他几何图形问题时都有广泛的应用。
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九年级讲义：定弦定角最值问题
【定弦定角题型的识别】
有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。
【题目类型】
图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题
【解题原理】
同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。
（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。
）
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小
值）。
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精品文档24ACD为△ABC3，BC内一动点，⊙＝O为△，∠ACB＝45°，D中，【例1】如图，△ABCAC＝的最小值为（）点，弧于P点，交BC于EAE＝CP，则AD交⊙的外接圆，直线BDO A．1
B． 2
2 C ．2441?．D
BD为直径作圆，连接AD＝90°，D为AC上一动点，以BACAC【例2】如图，＝3，BC＝5，且∠）E点，连
CE，则CE的最小值为（交圆于213?． A
2?13 B ．
C．5
16D．924上运动，在射线AM∥45°，AMBC，点，中，【练】如图，在△ABCAC＝3BCP＝＝，∠ACB ，
则AD的最小值为（）DBP连交△APC的外接圆于．A1
2 B．
2 C．
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D．342?
32PBAP交直线上一动点，3】如图，⊙O的半径为2，弦ABAC的长为⊥，点P为优弧AB【例
ABC的面积的最大值是（）于点C，则△3612?． A
36?3． B
3312? C ．
346? D．
，于点CAC⊥AP交直线PBPO【练】如图，⊙的半径为1，弦AB＝1，点为优弧AB上一动点，）则△ABC
的最大面积是（
1 A．2
2 B．2
3 C．23 D．4
交于、＝上的点，且、、，的等边△4】如图，边长为3ABCDE分别为边BCACBDCE，ADBE【例_________ 点，则PCP的最小值为
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例题5 图例题4
F于E、交⊙为直径作⊙，B(30)，以ABM，射线OFM、，】如图，【例5A(10)的最
小值为CD点旋转时，的中点．当射线绕为的中点，为弧两点，CABDEFO__________
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精品文档APD是°，P是上一动点，60的直径，AB＝2，∠ABC＝O【练】如图8，AB是⊙__________ CD的最小值为的中点，连接CD，则
针对练习：BE，于点DBC＝6，AD⊥ABC1．如图，在动点C与定长线段AB组成
的△中，AB DE2，则点C在运动过程中，始终有到AB的E⊥AC于点，连接DE．当点C AB2_________ 距离的最大值是
2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD
⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________
A PDCBO
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