第十二讲 图形计数
七年级数学奥数《几何图形的计数问题》教学课件
=268(个)．
• 例6、(1)、图1－70(a)中有多少个三角形？ • (2)、图1－70(b)中又有多少个三角形？
• 解： • (1) 图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直
线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． • 从6条直线中选3条， • 有 6 5 4 20 种选法(见说明)，
有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， • 所以最小的三角形不是21个而是24个． • 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)． • 图中共有三角形59×2=118(个)．
• 例5、图1－69中有多少个等腰直角三角形？
• 解：图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标 一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三 角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
• (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形；
• (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．
• 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形．
• 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
• 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
• 所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
• 说明：用上面类似的方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为：
• 2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
枚举法—图形计数
枚举法图像计数要求：分类要全面，枚举要清，分类不全，就会造成遗漏，当分类确定之后，要例1、下列图中有多少个三角形分析：分类：第一类有6个第二类有6个第三类有3个总共有6+6+315（个）例2、下图中有多少个正方形？分类：由1个正方形组成的有24个。
由4个正方形组成的有13个。
由9个正方形组成的有4个。
由正方形组成的有1个总共：24+13+4+1=42个练习1：你能数出下面中共有多少个三角形？在图中，一共有多少个四边形，多少条线段图中一共有多少个正方形例3、如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米，问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来。
B枚举计数例3、在算盘上用两粒珠子可以表示几个不同的三位数，分别是哪几个数？分析：根据两粒珠子的位置，将其分类：1）两粒珠子分别均在上面：则有505 550 有2个2)两粒珠子分别均在下面：则有101 110 200 有3个3)1粒珠子在上面，1粒在下面：150 510 105 501 600 有5个总共2+3+5=10个例4、用数字7 、8、9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数字？分析：根据百位上的数字不同，可以分成三类百位上是7的有789 798百位上是8的有879 897百位上有9的有978 987总共有2+2+2=6个例5、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要经过常州，无锡，苏州三站。
问：铁路部门要为这趟车准备多少张车票分析：根据起点位置的不同进行分类南京：南京—常州南京—无锡南京—苏州南京—上海常州：常州—无锡常州—苏州常州—上海无锡：无锡—苏州无锡—上海苏州：苏州—上海总共有：（4+3+2+1）×2=20（种）例6、在10和1000之间有多少个数是3的倍数？分析：10÷3=3……1所以在10以内有3个是3的倍数1000÷3=333……1所以在1000以内有333个是3的倍数。
几何图形的计数
几何图形的计数一、常用的几个简单几何图形的计数公式
1．数线段、三角形、角
2．数长方形、平行四边形和梯形
3．数正方形
二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用
例1 图6－7中共有多少个三角形？
例 2 图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
例3 图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？
习题六
1．图6－12的各图中各有多少条线段？
2．图6－13的各图中各有多少个三角形？
3．图6－14的各图中各有多少个锐角？
4．数一数图6－15中有多少个三角形？
5．图6－16的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）
6．图6－17的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？
7．数一数图6－18中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？
8．数一数图6－19中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？
9．数一数图6－20中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．在线段AB上添一点C，
便得到AB、BC、AB三条线段；在线段AB上添两点C和D，便可得到AC、CD、DB、AD、CB、AB六条线段。
问要在线段AB上添几个点，才能得到36条线段？。
图形计数2
在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2例2图1－66中有多少个三角形？解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有长方形面积和为(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+...+1)×(2+6+ (3)= 144×86=12384．例4图1－68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)．我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)．图中共有三角形59×2=118(个)．例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？解 1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．所以，8条直线最多将平面分成37个部分．说明一般地，n条直线最多将平面分成个部分．例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解 1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．所以，5个圆最多将平面分成22个部分．说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n2-n+2．例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a n-1个小三角形，我们考虑新增加一个点P n之后的情况：(1)若点P n在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个顶点连同P n将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点P n在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点P n将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为a n=a n-1+2．易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，a n＝a n-1+2．将上面这些式子相加，得a n=2n+1．所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．练习十九1．填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3．图1－74中有多少个三角形？4．图1－75中有多少个梯形？5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？。
图形计数综合
数线段有神马用？ 1.下图中有几个长方形？
C62
3.下图中有几个三角形？
4.下图中有几个三角形？
5.下图中有几个长方形？
6.下图中有几个梯法 圆上有6枚钉子，用橡皮筋可以套出多少个三角形？
三.排除法 两条直线上分别有4枚、5枚钉子，用橡皮筋可以套出多少 个三角形？
三.排除法 三角形三条边上一共有9枚钉子，用橡皮筋可以套出多少 个三角形？
三.排除法 半圆边上一共有8枚钉子，用橡皮筋可以套出多少个三角形？
复习巩固1
复习巩固2
复习巩固3
n ( n 1) L ( n m 1) 复习 C 1 2 3 L m
m n
C62
3 C9
C
4 10
C
5 15
数线段：下图中一共有几条线段？ 方法一：大傻最爱的方法，狂数
数线段： 如果一条线段上有99个点，还能去数吗？
奥数知识点 图形计数精编版
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。
分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。
单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。
最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。
最小线段的数量为火车头。
或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。
所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。
例4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（1）使用分层计数法：方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上下上下层：总小TIPS ：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。
再数两个图形合成的（双拼）三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。
最后数由1+2+3+4号组成的（四拼）大三角形，有1个。
所以3+4+1=8，共8个三角形。
几何图形计数教学设计
图形的计数知识点:本讲学习的主要内容有: (一)线段、角、三角形的计数; (二)长方形、正方形、立体的计数。
图形计数是指对满足--定条件的某图形进行观察并逐-数出来。
在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数:做不重复也不遗漏。
最常用的方法是:分类计数，利用基本图形计数。
教学目标:.通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成;掌握图形的基本方法做到不重不漏;能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
重难点: I, 学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。
2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。
3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的，常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.例1如图1-65所示，数一数图中有多少条不同的线段?(个).解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数:(1)以A为左端点的线段有AB, AC, AD，AE, AF 共5条;(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条;(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条;(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条;(5)以E为左端点的线段只有EF一条.所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条).例2图1-66中有多少个三角形?解以0A为一边的三角形有△0AB，△0AC, △0AD，△0AE, △0AF共5个;以0B为-边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△0BC，△0BD，△0BE，△0BF; 以0C 为一边的三角形有△0CD,△0CE，△0CF 共3个;以0D为一边的三角形有△ODE，△0DF 共2个;以OE为一边的三角形有△0EF一个，所以，共有三角形5+4+3+2+1=15。
五年级奥数-第12讲 几何
第12讲几何例1：如图所示阴影部分的面积是66平方厘米，则图中正方形的面积是平方厘米。
例2：如图所示，本行方形的长和宽分别是12厘米和9厘米，把三角形的三条边分别平均分成三段，得到A，B，C，D，E，F这了六个点，连接AF，BC，DE，DE得到一个六边形，这个六边形的面积。
例3：如图，三角形ABC的面积为30平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。
例4：如图所示正八边形ABCDEFGH的面积为32平方厘米，M，N分别为AB，CD的重点。
则四边形MBNF的面积为平方厘米例5：如图所示，正方形ABCD的面积为54平方厘米，则阴影部分的面积为平方厘米。
例6：比较图中两个阴影部分I和II的面积，它们的大小关系是。
例7：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=100度，那么∠A=_________度。
例8：如图所示，长方形ABCD 的长为25，宽为15。
四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC 平行。
求阴影部分的面积。
2．平面几何中的计数问题例9：在等边三角形的三条边上分别取中点，并把分得的每一段再等分，如果继续下去，当每条边被八等分时，连接相对应的点，如图所示，可以组成_________个等边三角形。
例10：如图，有____________个正方形例11：图12-17是一个等边三角形花园，其中每一行都均匀地栽满了花。
已知图中一个小的等边三角形每条边上有15株花，这个花园共栽花_________株。
例12：如图所示，从豆豆家到学校，有4条纵路，3条横路。
如果豆豆上学时只能由上向下，从左到右，那么有_________种不同的走法。
3．平面几何知识的应用例13：如图所示，在一幅长为80厘米，宽为50厘米的矩形图画的四周镶一条宽为整数厘米的金色纸边（宽度保持不变），制成一幅面积为5400平方厘米的挂图，求金色纸边的宽度。
例14：小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，生产一批形状如图所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点（即有EF=FG =21AC ，EH=FG=21BD ）。
二年级思维拓展- 图形计数(二)
图形计数（二）☜知识要点我们已经认识了很多图形，如直线、射线、线段、正方形、三角形等。
如果一幅图形只是单一的一种，并只有一个的，我们叫他基本图形；如果一幅图形中还包含一些小的图形，就叫组合图形。
在数图形的过程中，你会发现一些规律和方法。
根据组合图形的特点要选用不同的方法来计数，主要有以下几种方法：1．按顺序数，按规律数，做到不遗漏。
2．分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形，这样不易重复。
☜精选例题【例1】：数一数，图中共有多少个角？思路点拨：我们已经知道，从一点起，用尺子向不同方向画两条线，就得到一个角，角有一个顶点，两条边。
我们可以按顺序数；也可以分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形。
☝标准答案：方法一：按顺序数。
以OA为固定边的角一共有4个；以OB为固定边的角一共有3个；以OC为固定边的角一共有2个；以OD为固定边的角只有1个。
角的个数共有：4+3+2+1=10（个）方法二：分类数，先数基本图形，再数由两个至多个基本图形组成的图形。
这幅图中基本角的个数有4个；由2个基本角组成的角的个数有3个；由3个基本角组成的角的个数有2个；由4个基本角组成的角的个数只有1个。
角的个数共有：4+3+2+1=10（个）✌活学巧用1．数一数，图中有多少个角？2．数一数，图中有多少个角？【例2】：数一数，图中共有多少个三角形？☝思路点拨：我们已经知道数角的方法，在上图中，不难看出有3个基本三角形，再数由两个至多个基本图形组成的三角形。
☝标准答案：这幅图中基本三角形的个数有3个；由2个基本三角形组成的个数有2个；由3个基本三角形组成的个数只有1个。
三角形的个数共有： 3+2+1=6（个）✌活学巧用1．数一数，图中共有多少个三角形？2．数一数，下图中共有多少个三角形？ 【例3】：数一数，图中有多少个三角形？☝思路点拨：可以分层来数。
☝标准答案：先数最上面一层：有三个基本三角形，能数出3+2+1=6（个）再数上、下两层可以合起来的：同样有3+2+1=6（个）一共有三角形：6+6=12（个）活学巧用1．数一数，图中有多少个三角形？2．数一数，图中有多少个三角形？【例4】：数一数，图中有几个三角形？☝思路点拨：这样的题目，一般多用小块分类的方法数图形。
数图形的个数常用方法和规律
数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
例1数出下图中共有多少条线段。
分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。
如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。
所以共有3＋2＋1＝6(条)。
我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。
如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。
所以，共有3＋2＋1＝6(条)。
由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。
例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。
由前面数线段的方法知，图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。
图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。
图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。
图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。
图(5)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。
例3下列图形中各有多少个三角形？分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。
以AB为底边的三角形A BC中，有三角形1＋2＋3＝6(个)。
以ED为底边的三角形C DE中，有三角形1＋2＋3＝6(个)。
所以共有三角形6＋6=12(个)。
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第十二讲图形计数
知识要点
1．长方形有n行m列，则共有（1＋2＋…＋m）×（1＋2＋…＋n）个长方形。
2．正方形有n行m列（n≥m），则共有m×n＋（m－1）×（n－1）＋ (1)
（n－m+1）个正方形。
典型例题
例1 图12-1中有多少个正方形？
图12-1
例2 图12-2中有多少个长方形？
图12-2
◆孩子的未来我们的一切◆
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆
例3 数一数图12-3有多少个三角形？
例4 如图12-4，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
例4 图12-5中共有（ ）个正方形。
例5 有同样大小的立方体27个，把它们竖3个，横3个，高3个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如图12-6）。
如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话，最多可以穿透几个小立方体？
图
12-4 图
12-5
图
12-6
图12-3
随堂小测
1．数一数图12-7有多少条线段？
2．数一数图12-8有多少个角？
3．数一数图12-9和12-10各有多少个三角形？4．数一数图12-11共有多少个长方形？
5．数一数下图共有多少个正方形？图12-7 图12-8
图12-9 图12-10
图12-11
图12-12
◆孩子的未来我们的一切◆
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆
6．图12-13中共有多少个三角形？
7．图12-14共有8个点，连接任意四个点围成一个长方形。
一共能围多少个长方形？
8．如图12-15，在2×2方格中，画一条直线最多可穿过3个方格，在3×3方格中，画一条直线最多可穿过5个方格。
那么10×10方格中，画一条直线最多可穿过_________个方格。
9．下图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体看不见。
图12-16中共有__________个小立方体。
图
12-15
图
12-16
图12-13
图12-14
10．图12-17中的正方形被分成16个相同的小正方形，它们一共有25个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。
在这些三有形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
图12-17 课后作业
1．数一数图12-18共有多少个正方形？
图12-18 2．数一数图12-19中有多少个三角形？
图12-19
3．图12-20中共有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
◆孩子的未来我们的一切◆
图12-20
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆
4．图12-21中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形。
一共能围成多少个梯形？
5．数一数图12-22中有多少个正方形。
6．有九张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
把这九张圆形纸片如图12-23所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问： 如果M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有___________种不同的放置方法。
7．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边。
可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
图
12-21
图
12-22 图12-23
小课堂
小袋鼠周日闲着无事，取一张正方形
纸片，用剪刀将它剪成4张正方形纸片，作为
第1次操作；从剪成的4张正方形纸片中任取一
张再剪成4张正方形纸片，作为第2次操作，这时共有7张正方形纸片。
从这7张正方形纸片中任取一张
用剪刀剪成4张正方形纸片，作为第3次操作……你知道
第50次操作后小袋鼠的书桌上共有多少张纸片吗？
◆孩子的未来我们的一切◆。