浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)高三第一次联考数学试题含答案

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2021届第一次联考

数学试题卷

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．

4．考试结束后，只需上交答题卷．

参考公式：

如果事件A ，B 互斥那么()()()P A B P A P B +=+．

如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．

如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为

()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=?

台体的体积公式()

1213V S S h =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示为台体的高

柱体的体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13

V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343

V R π= 其中R 表示球的半径

选择题部分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{1,0,1,4,5}A =-，{2,3,4}B =，{02}C x R

x =∈<<∣，则()A C B ??=（ ） A ．{4} B ． {2,3} C ．{1,2,3,5}- D ．{1,2,3,4}

2．已知复数3z i =+（i 为虚数单位），则2

z =（ ）

A ．106i -

B ．106i +

C ．86i -

D ．86i +

3．已知x 是实数，则“45x x

+>”是“4x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

4．若实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x +-≤??-≤??≥?，则12y z x +=-的最小值为（ ） A ．2- B ．32- C ．1- D ．12

- 5．已知空间中m ，n 是两条不同直线，α是平面，则（ ）

A ．若//m α，n α?，则//m n

B ．若//m α，//n α，则m n ⊥

C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n

D ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥

6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥且*n N ∈时，n a ，n S ，1n S -成等比数列，则5a =

（ ）

A ．

15 B ．15- C ．120 D ．120

- 7．函数2|sin |cos x y x x =+在区间[2,0)(0,2]ππ-?上的图象可能是（ ） A ． B ．

C ．

D ． 8．已知正实数x ，y ，z 满足2221x y z ++=，则58xy z

-的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

9．已知平面向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==-?=，且22c a c b c -?-?=，则a c ?的取值范围是（ ）

A. [1-+ B

．[1-+ C

．[ D

．[1-

10．已知实数[2,3]a ∈，不等式2

cos (4)sin 2(22)|sin 2|0a x a b x a b x a -+-++-+-≥对任意x R ∈恒成立，则223a a b ++的最大值是（ ）

A ．16-

B ．13-

C ．6-

D ．2

非选择题部分

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．已知向量(3,4)a =-，(9,)b m =-，(8,)c n =，且//a b ，a c ⊥，则m =________，n =________．

12．若二项式2n

x

?+ ?

的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于________，此时其展开式各 项系数和为________．

13．函数()sin 2cos 1f x x x =--的最小正周期是________，最大值是________．

14．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的侧视图面积为________2cm ，体积为_________3cm ．

15．已知数列{}n a 满足11a =，1322

n n n a a +-=，则2020a =________． 16．甲从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数a ，乙从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数b ，则a b >的概率为________．

17．已知1F 、2F 为双曲线2

213

x y -=的左、右焦点，点P 为直线40x +=上的动点，则12sin F PF ∠ 的最大值是________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos 2A A +=，4a =

（1）求角A 的值；

（2）求b c +的取值范围．

19．如图，在三棱台A B C ABC '''-中，平面A ABB ''⊥平面B BCC ''

，AB BC ⊥，四边形A ABB ''是等腰 梯形，且22AB A B BB BC '''

===．

（1）证明：BC ⊥平面A ABB ''；

（2）求直线CC '与平面ABC 所成角的正弦值．

20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()2223n n n S a a =+-．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b

满足n b =，其前n 项和为n T

，证明：n T < 21．已知点(2,0)A 在椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>上，点F 为椭圆1C 的右焦点，||1AF =． （1）求椭圆1C 的标准方程；

（2）设点2,03B ?? ???

，点P 为抛物线22:C y x =上的动点，若过P 作抛物线2C 的切线与椭圆1C 交于M 、N 两点，求BMN 面积S 的最大值．

22．已知函数2()()x f x ae x a R =-∈，若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <．

（1）求实数a 的取值范围；

（1）证明：22x a <

； （2）证明：121121x x a

-<-． Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2021届第一次联考

数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B

10．解析：令2sin [1,3]t x =+∈，原不等式整理得：

()2cos 4sin 4(2sin )4|sin 2|0a x x b x x a ---+--+-≥，

即21(2)4(2)44||0a t t bt t a ??---------≥??，

∴()214||0a t bt t a -----≥，即24||0at bt a t a ++-+-≤，

两边处t 得：410a a at b t t

-+++-≤， 所以441;11;1()4421;31;3a a at b t a at b t a t t t f t a a a at b a t at b a t t t t -??+++-≤≤++-≤≤????==??--??+++-≤≤+++≤≤????

，

在?

??

上递减，???

上递增，又(1)3f a b =++，77(3)33f a b =++， 且42(3)(1)033f f a -=->，所以77(3)033

f a b =++≤． 则22235713a a b a a ++≤--≤-．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．12，6 12．3，7 13．2π

1

14

．4

8+ 15．20202019122- 16．3756

17

．6+ 15．解析：法一：11a =，272a =，3314a =，41278

a =， 猜想：211212222n n n n n

a ---==-，用数学归纳法可证上述等式成立． 法二：∵1322n n n a a +-=，∴112312222n n n n n a a ++-=?， 累加可得：121131*********

424n n n n a a --??=++++=- ????， 所以222n n n a =-，则202020202019122

a =-． 16．解析：3856C =，按甲取9或不取9分类，可得a

b >的概率：

2328856339828565528565537845635656

C C C P C C +?+?+====??．

17．解析：由平面几何知识可得：当12F PF 的外接圆与直线相切时，12F PF ∠取到最大值，且圆心O 在y

轴上，设点(0,)O t ，则

r =

=

即240t +-=，解得6t =-±，所以由正弦定理知当6t =-时，

最大值12

12sin 2F F F PF r ∠====． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．解析：

（1cos 2sin 26A A A π??+=+

= ??? （4分） ∴62A π

π

+=，即3A π

=． 6分

（2）由正弦定理得2sin sin sin a b c R A B c =

===，

∴sin )b c B C +=+， 10分

∵23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ????+=+-=+=+ ? ????

?， 12分 又∵20,

3B π??∈ ???，∴1sin ,162B π????+∈ ? ?????

，∴(4,8]b c +∈． 14分 19．解析 （1）证明：连接AB '，由A ABB ''是等腰梯形，22AB A B BB '''==，得AB BB ''

⊥

∵平面A ABB ''⊥平面B BCC ''，平面A ABB ''?平面B BCC BB '''= AB '?平面A ABB ''，∴AB '⊥平面B BCC '' 4分

又∵BC ?平面B BCC ''，∴AB BC '

⊥．

又∵AB AB A '?=，AB ，AB '?平面A ABB '' ∴BC ⊥平面A ABB ''

． 7分

（2）设C '到平面ABC 的高学科网为h ，连接B C '

则B '到平面ABC 的高也为h ， 故所求角的正弦值即为h CC

'． 10分 设2AB BC ==，则2ABC S ?=，

ABB S '?=

123211233

C ABB ABC V h S '-??===?， 12分 又由12

A B B C AB BC ''''==得1B C ''=， ∵BB '?平面，∴BC BB '⊥

，所以CC '=

故所求角的正弦值sin h CC θ'=

==． 15分 20．证明： （1）由已知得2226n n n S a a =+-，同理2111226n n n S a a +++=+-，

两式相减得：22111222n n n n n a a a a a +++=-+-， 3分

即()()112210n n n n a a a a +++--=，所以112n n a a +-=

， 所以数列{}n a 是首项为2，公差为

12的等差数列，通项公式32n n a +=． 7分 （2

）∵n b ==<

==- 12分 所以1242424242

4242455634n n T b b b n n ??????=++

+<-+-++- ? ? ?++??????

==15

（也可利用数学归纳法求证．）

21．解析：

（1）点(2,0)

A，所以2

a=，又∵||1

AF=，∴1

a c

-=，1

c=

，b=4分

椭圆

2

C的标准方程为：

22

1

43

x y

+=．6分（2）设点()2,

P t t，所以切线

2

:

2

MN

x t

l ty

+

=，即2

20

x ty t

-+=，

联立椭圆方程得：()2234

413123120

t y t x t

+-+-=，

则()()()

62424

1444813448124

t t t t t

?=-+-=+-，

()

3

122

4

122

3

13

312

413

t

y y

t

t

y y

t

?

+=

?+

?

?-

?=

+

??

，9分

12

||

MN y y

=-=11分

又因为d=，

所以

2

1

||

2

BMN

S MN d

?

==+13分则由基本不等式得：

(

)

2

2422

24040

124

339

S t t t t

??

???

≤++-++=+=

??

??

????

??

??

，

当

2

242

2

124

3

t t t

??

+=-++

?

??

，即42

1616

39

t t

--=

，解得2t=

S

15分22．解析：

（1）()2x f x ae x =-，令()2x g x xe

-=， 则12,x x 为方程2x xe a -=的两个不同实根，()(22)x g x x e '-=-，

即()g x 在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减， 2分 极大值为2(1)g e =

， 所以20a e

<<，且1201x x <<< 4分

（2）要证22x a <，只须证()22g g x a a ??<= ???，即224a e a <， 只须证2

()0x h x e x =->在(,)e +∞上成立 ， 6分 因为()220x h x e x ex x '=->->，

所以()h x 在(0,)+∞上递增，()(0)0h x h >>，得证． 8分 （3）引理：不等式2

12x

x e x >++在(0,)+∞上成立， 10分 所以22()212x x

a g x xe x

x -==<++，((0,))x ∈+∞ 且2

22()11122x

x x x x x ?==++++

在

上递增，)+∞上递减，

令()3434,x x x x <为方程()x a ?=，即2(2)02

a x a x a +-+=的两个实根，， 其中34342(2)2

a x x a

x x -?+=???=?． 由于31240x x x x <<<<，即4213

11110x x x x <<<<， 12分

所以

43

12343434

1111x x

x x x x x x

-

-<-===

2

1

a

=<-，得证．

15分