凸函数及其在不等式证明中的应用
凸函数及其在不等式证明中的应用
摘要:凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。
关键词:凸函数; 性质; 不等式; Jensen不等式
Convex Function and its Application in the proof Inequality
Abstract Convex Function is a kind of important Function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed the definition,property, and discriminant method of the convex Function .At the same time,the theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequality and popularized about the Convex Function.
Key Words Convex Function; property; Inequality; Jensen Inequality
目录
题目：凸函数及其在不等式证明中的应用 (1)
摘要 (1)
关键词 (1)
引言 (1)
1凸函数的定义、性质及判定定理 (1)
1.1凸函数的定义 (1)
1.2凸函数的几种等价定义 (2)
1.3凸函数的性质及定理 (3)
2关于凸函数的四个不等式 (4)
2.1 Jensen不等式1 (4)
2.2 Jensen不等式2 (4)
2.3 Holder不等式1 (5)
2.4 Holder不等式2 (6)
3凸函数在不等式证明中的应用 (7)
3.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式 (7)
3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 (9)
3.3凸函数在积分不等式中的应用. (10)
4凸函数的推广 (11)
4.1凸函数的定义推广 (11)
4.2凸函数的性质及定理推广 (12)
4.2.1凸函数的性质推广 (12)
4.2.2凸函数的定理推广 (13)
结束语 (14)
参考文献 (15)
致谢 (16)
凸函数及其在不等式证明中的应用
王红娟
（天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）
摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文
论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。
关键词: 凸函数;性质;不等式; Jensen 不等式1
引言
在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分 析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数()f x =2x 的图像,它的特点是:曲线y =2x 上任意两点间的弧线总在这两点连线之下,我们可以下这样一个定义:设()f x 在[],a b 上有定义,若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于直线的之下,则称函数()f x 是凸函数.
上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的.
1.凸函数的定义、性质及判定定理 1.1凸函数的定义
设函数()f x 在区间(,)a b 上有定义,若对(,)a b 上任意两点1x ,2x 和正数
()0,1λ∈,总有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-???? , (1) 则()f x 为区间
[],a b 上的凸函数. 若不等式(1)中的不等号改为严格不等号,则称()f x 为(,)a b 内
的严格不等式.
常见的凸函数有:
(ⅰ) ()()(01),ln k f x x k k f x x x =<>=或均为(0,)+∞内的严格凸函数
(ii) ()ln(1+e ),()0)x f x f x c ==≠均为(0,)+∞内的严格凸函数
1.2凸函数的几种等价定义
设函数()f x 在区间(),a b 上有定义,
()1对(,)i x a b ?∈及0.1,2,
,.i p i n ?>=1n i i i
p ==∑,恒有()()n n
i i i i i i
i i
f p x p f x ==≤∑∑
()2()()121212(),22f x f x x x x x a b ++??∈≤
???
对任意, 恒有f ()3对任意()1212,,,,,x x x a b x x x ∈<<恒有
()()()()()()
12121212f x f x f x f x f x f x x x x x x x
---≤≤
--- 证明 记221
x x
x x λ-=
-,则12(1)x x x λλ=+- 1212()((1))()(1)()f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+- =
221x x x x --1()f x 1
21
x x x x -+
- 从而有 212112()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-
212111112()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -≤---+- 212111211()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x ---≤--- 211121()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x --≤-- 所以有
()()()()
121121f x f x f x f x x x x x --≤
-- 同理可证
()()()()
212212f x f x f x f x x x x x
--≤
-- 综上所述 ()()()()()()
12121212f x f x f x f x f x f x x x x x x x
---≤≤
--- (4)()f x 在区间(),a b 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线
以下,则称()f x 为凸函数.
1.3凸函数的性质及定理
()[]()()[](),,f x x a b x x a b (1)若与g 均为区间上的凸函数，则f +g 也是区间上的凸函数.
[](),f x a b (2)若为区间上的凸函数，则
（ⅰ）[](),f x a b λλ≥0,则是上的凸函数； （ⅱ）[]0,(),f x a b λλ<则是上的凸函数.
(3)设()(),f x g x 都是[],a b 单调非负凸函数,则()()()h x f x g x =也是[],a b 上
的凸函数
证明 对任意1x ,2x (),a b ∈12x x λ<∈且和任意(0,1)，
因为()f x 与()g x 在(,)a b 上单调递增,故()()()()12210f x f x g x g x --≤???????? 即 ()()()()()()()()12211122f x g x f x g x f x g x f x g x ≤++ []1
()[](),f x x a b 又因与g 均为区间上的凸函数，故
[]()()[]()()21212121(1)(1),(1)(1),x x f x f x g x x g x g x λλλλλλλλ+-≤+-+-≤+-f ()()0,0,f x g x ≥≥而将上面两个不等式相乘，可得[][]2121(1)(1)f x x g x x λλλλ+-+-
()()()()()()()()2222211211(1)(1)f x g x f x g x f x g x f x g x λλλλ≤+-++-????
由[]1知
[][]
2121(1)(1)f x x g x x λλλλ+-+-()()()()()()()()2222112211(1)(1)f x g x f x g x f x g x f x g x λλλλ≤+-++-????
()()()()1122=(1)f x g x f x g x λλ-+
()()()[],x x x a b 由凸函数定义知:h =f g 是上的凸函数 注 ⅰ (),()f x g x 非负不能少,
ⅱ (),()f x g x 单调递增不能少.
()4设()u ?是单调递增函数, ()u f x =
是凸函数,则复合函数[()]u f x ?=也
是凸函数.
()5若()f x 为区间I 内的凸函数,且()f x 不是常数,则()f x 在I 内部不能达
到最大值.
()6如果()f x 是(),a b 上的凸函数,则()f x 在(),a b 的任一闭子区间上有
界.
()7如果()f x 是(),a b 内的凸函数,则()f x 在(),a b 内连续.
定理 1 若()f x 在(),a b 内二阶可导,且 f ″( x)≥0,则()f x 是(),a b 内的凸函数. 若上面的不等号变为严格不等号,则()f x 是(),a b 内的严格凸函数.
2.关于凸函数的四个不等式 2.1 Jensen 不等式1
设()f x 为在区间I 上有定义, ()f x 为凸函数,当且仅当12,n x x x ?∈,I,有
()()()
1212
n n f x f x f x x x x f n n ++
++++??≤
??
?
12n x x x ==此外，上式当且仅当=时，等号成立。
证明只是1
i n
λ=
2.2 Jensen 不等式2
设()[]12121
,,,,
,n
n n i i x x x x a b λλλλ=?∈∑f 为凸函数,,,>0,且=1,则
()11n n
i i i i i i f x f x λλ==??
≤ ???
∑∑
12n x x x ==此外，上式当且仅当=时，等号成立。
证明 应用数学归纳法,当2n =时,由凸函数的定义知命题成立. 设当
n k =是命题成立. 即对任意12,,x x …[],k x a b ∈
设当n k =是命题成立.即对任意12,,x x …[],k x a b ∈及1
1k
i i a ==∑,都有
()11k k
i i i i i i a x a f x ==??
≤ ???
∑∑f ,现设[]121,,,,k k x x x x a b +∈及i
λ>0,(1,2,i =…1),k +1
1
1k i i λ+==∑令1,1,2,
,1i
i k a i k λλ+==-则1
1
1k i i a +==∑,有数学归纳假设可推得
112211()k k k k f x x x x λλλλ++++
++
11221111
((1)
)1k k
k k k k x x x f x λλλλλλ+++++++=-+-
1112211(1)()()k k k k k f a x a x a x f x λλ+++≤-++
++
[]1112211(1)()()()()k k k k k a f x a f x a f x f x λλ+++≤-+++
12
111121
11(1)()()()()111k
k k k k k k k f x f f x f x x λλλλλλλλ++++++??=-+++?
?---??
1
1
()k i i i f x λ+==∑
这就证明了对任何正整数2n ≥,凸函数总有不等式11()n n
i i i i i i x f x λλ==??
≤ ???
∑∑f 成
立.
2.3 Holder 不等式1
对任给定的,0,(1,2,
,).i i a b i n ≥=证明:
1
1
111q
q
n
n
n
p
p i i i i i i i a b a b ===????≤ ? ? ?????
∑∑∑ , 11
1(0)p p q +=>; 证明 令1
1i
i n
p
p i i a a α==
?? ???
∑ 11
i
i q
q
n
i i b b β==
?? ? ???
∑
构造函数法解不等式问题(学生版)
专题2.3构造函数法解不等式问题（小题） 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x =，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
积分在不等式证明中的应用
积分在不等式证明中的应用 摘 要：本文是根据积分的有关概念与性质，采用举例的方法归纳并总结了积分在不等式证明中的几种比较常见的技术和手法，同时重点突出了积分在不等式证明中的基本的思想与方法。 关键词：积分 不等式 应用 Application of integral in proving inequality Abstract:This article is based on concepts and properties about integral, several common techniques and practices of the integral in the proving inequalities are concluded and summarized using the example of the way, while highlighting the integral in the proving inequalities of basic ideas and methods. Keywords:integral; inequality; application 不等式证明不但是初等数学的重要课题，同时也是解决其他相关数学问题的基础知识。在初等数学领域中有许多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、放缩法、归纳法、函数法、几何法等，但用这些初等方法证明不等式时证明过程比较繁琐，而常用的高等方法如微分法，则往往忽略了积分在不等式证明中的重要作用，本文着重从积分的一些定理和相关性质的方面来说明不等式证明的几种技术和手法，以便于从整体上更好地掌握证明不等式基本的思想方法。 1. 积分的定义在不等式证明中的应用 从积分的定义出发来证明不等式，是很容易被忽略的一种方法，但是这种比较原始的证明方法有时却是一种很有效的证明方法。 例题1：设）（x ψ是[]a ,0上的连续函数，)(x f 二阶可导，0)(≥''x f ，试证： ))(1()]([100dt t a f dt t f a a a ??≥ψψ. 证明：由题意知，0)(≥''x f ，故对于[]a x x x n ,0,,,21∈? ，有
构造函数证明不等式
构造函数证明不等式 构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的(4n-4)/6n+3)次方不等式两边取自然对数(严格递增)有: ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n +3) 不等式左边=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1) =ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln[n^2/(n+1)] 构造函数f(x)=ln[x^2/(x+1)]-(4x-4)/(6x+3) 对f(x)求导,有:f'(x)=[(x+2)/x(x+1)]+[1/(x+1/2)]^2 当x>2时,有f'(x)>0有f(x)在x>2时严格递增从而有 f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0 即有ln[n^2/(n+1)]>(4n-4)/(6n+3) 原不等式等证 【解】： ∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] > e^((4n-4)/(6n+3)) ∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1) ∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1) 原式可化简为：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3)) 构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))
其一阶导数F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2 ∵e^((4n-4)/(6n+3)) ∴F’(n)>0 [n≥2] 而F[2]=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0 所以F(n)>0 [n≥2] 即：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3)) 故得证。 一、结合勘根定理，利用判别式“△”的特点构造函数证明不等式例1 若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c>0，a-3b+c求证：9b2>4ac. 证明构造函数f(x),设f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)， 由f(2)=4a+6b+c>0， f(-1)=a-3b+c根据勘根定理可知：f(x)在区间(-1,2)内必有零点. 又f(x)为二次函数，由勘根定理结合可知： f(x)必有两个不同的零点. 令ax2+3bx+c=0可知△=(3b)2-4ac>0, 所以可得：9b2>4ac.命题得证. 评析本题合理变换思维角度，抓住问题本质，通过构造二次函数,将所要证明的结论转化成判别式“△”的问题,再结合勘根定理和二次函数知识，从而使问题获得解决. 二、结合构造函数的单调性证明不等式 例2 (2005年人教A版《选修4-5不等式选讲》例题改编)已知a,b,c 是实数，求证：
3 用导数证明函数不等式的四种常用方法
用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈.
数形结合在不等式证明中的应用
数形结合在不等式证明中的应用 摘要主要研究“初等数学研究教程”教学,简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,有助于高等师范学校数学教育专业学生提高思维能力和中学数学教育能力。 关键词数形结合;不等式;证明 1引言 “初等数学研究教程”是高等师范学校数学教育专业的一门重要的专业基础课程,是从事中学数学教育必须掌握的基础理论。本文在“初等数学研究教程”教学中简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,以提高高等师范学校数学教育专业学生思维能力和中学数学教育能力。 数形结合的思想方法是中学数学的一大特点,而在中学数学教学中,不等式的证明历来是教学的一个重点和难点。合理、灵活地运用数形结合思想来证明不等式往往可以收到事半功倍的效果。我们首先看下面一道例题: 例1:若锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证: 。 证明思路:借助已知条件可构造一长 方体,使它的三边分别为a、b、c,且 记相交一点的三条棱a、b、c分别与AC’ 交成α、β、γ角。于是原有的三角证式就变成代数证式: 2利用数形结合证明不等式 由上例可见利用数形结合证明不等式的确可以使复杂问题简单化、形象化。在数学上,数和形是中学数学的两块基石,是研究数学的最基本方法之一。它体现了抽象思维与形象思维的结合,数学问题大体上都是围绕着“数”和“形”提炼、演变,发展而展开的。在中学数学中数形结合应用于证明不等式主要有三方面:用平面几何或立体几何的性质证明不等式,用解析几何的性质和方法证明不等式,用三角函数的性质和方法证明不等式。 2.1利用平面几何或立体几何的方法证明不等式 由于许多数量关系源于平面几何(或立体几何),诸如三角形的边长关系、边角
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
利用导数构造函数解不等式
构造函数解不等式 1.(2015全国2理科)．设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （A ） （B ）（C ） （D ） 2若定义在R 上的函数()f x 是奇函数, ()02=f ,当x ＞0时，()()2x x f x f x -'＜0,恒成立，则不等式()x f x 2＞0的解集 A ()2,-∞-?()+∞,2 B ()0,2- ? ()+∞,2 C ()2,-∞-?()2,0 D ．()0,2-?()2,0 3定义在R 上的函数()f x 满足：()()1(0)4f x f x f '+>=，， 则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A .()0,+∞ B . ()(),03,-∞+∞U C .()(),00,-∞+∞U D .()3,+∞ 4. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞U C ．()(),01,-∞+∞U D ．()3,+∞ 5.定义在R 上的函数()f x 满足 则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为
6．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为'()f x ，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤- +x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 摘要 本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍. 关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式 Abstract This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussed Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals 构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数 [典例](2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解](1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．[对点演练] 已知函数f(x)＝x e x，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线， 求证：f(x)≤g(x)． 第 1 页 共 6 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方； 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 构造函数法证明不等式的八种方法 利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明 【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ， 求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 学年论文 题目凹凸函数及其在证明不等式中的应用学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 级别10级 姓名洪玉茹 学号101301040 摘 要 首先给出了凸函数的定义，．接着给出了凸函数的一个判定定理 以及Jesen 不等式．通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用． 关键词 凸函数，凸函数判定定理Jensen 不等式。 下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。 一、 凸函数的等价定义 定义1 若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有 []1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的 线总在曲线之上． 定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有 []12121 ( )()()22 x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上． 定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ， 恒有 000()()()()f x f x f x x x '≥+-， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数． 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立 及能成立问题练习 一、选择题 1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ? ?? ??－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A.??????x ? ??x ＜12 B.?????? x ? ??0＜x ＜12 C.?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12 D.?????? x ???－12 ≤x ≤0或x ≥12 解析 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为?????? x ? ??x ＜－12或0＜x ＜12. 答案 C 2.若不等式2x ln x ≥－x 2 ＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.(－∞，4] C.(0，＋∞) D.[4，＋∞) 解析 条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3 x 恒成立. 设f (x )＝2ln x ＋x ＋3 x ， 则f ′(x )＝（x ＋3）（x －1） x 2 (x ＞0). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4.所以a ≤4. 答案 B 3.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －12 x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案 D 4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时， xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析 令F (x )＝ f （x ） x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2 ，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F (x )＝f （x ） x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝ f （x ） x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A. 答案 A 5.(2016·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 解析 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝ f （x ） e x ，则F ′(x )＝ f ′（x ）－f （x ） e x ＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减. 又f (x )＜e x 等价于f （x ） e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0. 答案 B 二、填空题 6.已知不等式e x －x ＞ax 的解集为P ，若[0，2]?P ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意知不等式e x －x ＞ax 在x ∈[0，2]上恒成立. 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立. 当x ∈(0，2]时，原不等式即a ＜e x x －1，令g (x )＝e x x －1，则g ′(x )＝e x （x －1）x 2 ，当0＜x 常见构造函数解不等式归纳 1． 对于不等式()(0)f x k k '>≠，构造函数()()g x f x kx b =-+ 2． 对于不等式()()0xf x f x '+>，构造函数()()g x xf x = 3． 对于不等式()()0xf x f x '->，构造函数()()(0)f x g x x x = ≠ 4． 对于不等式()()0xf x nf x '+>，构造函数()()n g x x f x = 5． 对于不等式()()0xf x nf x '->，构造函数()()(0)n f x g x x x = ≠ 6． 对于不等式()()0f x f x '+>，构造函数()()x g x e f x = 7． 对于不等式()()0f x f x '->，构造函数()()x f x g x e = 8． 对于不等式()()0f x kf x '+>，构造函数()()kx g x e f x = 9． 对于不等式()2()0f x xf x '+>，构造函数2()()x g x e f x = 10. 对于不等式0)(ln )('>+x af x f a x ，构造函数()()x g x a f x = 11. 对于不等式()()tan 0f x f x x '+>，构造函数()()sin g x f x x = 12. 对于不等式()()tan 0f x f x x '->，构造函数()()cos g x f x x = 13. 对于不等式：0cos )(sin )(' >-x x f x x f ，构造 x x f x h sin )()(= 14.对于不等式：0sin )(cos )('>+x x f x x f ，构造 x x f x h cos )()(= 15. 对于不等式()0() f x f x '>，构造函数()ln () g x f x = 16．对于不等式()()ln 0f x f x x x '+ >，构造函数()()ln g x f x x = 17.对于不等式：0)()()()(''>+x g x f x g x f ，构造 )()()(x g x f x h = 18.对于不等式：0)()()()(''>-x g x f x g x f ，构造 )()()(x g x f x h =构造函数法证明导数不等式的八种方法(新)
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