(完整版)中职数学立体几何教案

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复习引入：

新授：

1． 平面及其表示

常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖直的平面．请注意它们画法之间的区别．

如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进行．

一个平面通常用小写希腊字母α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．

空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ∉l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ∉α； ③直线l 在平面α内，记作l ⊂α；

④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ⋂m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ⋂m =∅； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ⋂α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ⋂α=∅； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α⋂β=l ，平面α与平面β不相交，记作α⋂β=∅．

在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习1

1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？

2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．

3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．

4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ；

(3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ；

(4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ．

5. 下面的写法对不对，为什么？

(1)点A 在平面α内，记作A ⊂α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α；

(3)平面α与平面β相交，记作α⋂β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ⋂α≠∅．

2. 平面的基本性质 基本性质：

图5-28

A B C D A 1

B 1

C 1

D 1 (第3题图) 图5-27(2)

βD A

B C

D

图5-27(1) A D

C

α

(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 如图5-29，直线l 上两点A ,B 在平面α 内，那么l 上所有的点

都在平面α 内，这时我们可以说，直线l 在平面α 内或平面α经过直线l ．

这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内． 因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们 必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基

本性质： (2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．

如图5-30，平面β 与平面γ 相交， C 是公共点，那么它们相交于过C 的直线l ．如果我们把一张纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．

(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面． 这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平

面．如图5-31，A 、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且只可

以画一个平面α．

现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．

从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：

①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面；

③两条平行直线可以确定一个平面． 课内练习2 1. 判断题

(1)如图，我们能说平面α与平面β只有一个交点A 吗？ (2)如图,我们能说平面α与平面β相交于线段AB 吗?

(3)如图,我们能说线段AB 在平面α内,但直线AB 不全在平面α内吗? 2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？ 3. 一扇门可以自由转

动，如果锁住，就固定了，如何解释？ 4. 怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？

小结 作业

图5-29

图5-30 l

β

γ •

C 图5-31 α • • • C B A (第1(1)题图)

(第1(2)题图) β

A • α •

B (第1(3)题图)

A • α • B

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1. 两条空间直线的位置关系

平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行

和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．

把教室看成一个长方体ABCD -A 'B 'C 'D '（如图9-32），可以发现直线对BC 与AA '、AD 与D 'C 以及对角线B 'D '与AC 等等，它们不同

在一个平面内．

我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以

说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：

(1) 没有公共点——平行

(2) 只有一个公共点——相交

(3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)．

在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出 “异面”的特点． 课内练习1

1. 找出日常生活中异面直线的几个例子．

2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．

3. 两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？

4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？

2. 空间的平行直线

平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABB 'A '、BCC 'B '都是矩形，AA '∥BB ', CC '∥BB '，所以CC '∥AA '．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．

在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，

那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的ACB ∠和B C A '''∠。

例1 如图9-35，已知E 、F 、G 、H 分别是任意空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形． 证明 由此即得EH =FG 且EH//FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．

课内练习2 1. 把一张长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什

么？

2. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为平行直线．

3. 如图，在长方体中，AE =A 1E 1, AF =A 1F 1，求证：EF =E 1F 1且 EF//E 1F 1．

4. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，E ,E '分别

l 1 图9-33 l α

A B

C

D

图9-32 A ' B ' C ' D '

(

必定同在一个平面上)；

图9-35 A

B C

D

A '

B '

C '

D '

E F 1 A 1 E 1 C D A ' B ' C ' D '

E

E '