2020-2021学年河南省高三第三次模拟考试数学试题(理)及答案解析

第三次模拟考试

理科数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合{

}

(){}2|1,|log 2M x y x N x y x ==

-==-，则M N =I

A. [)1,2

B.()[),12,-∞+∞U

C.[]0,1

D.()[),02,-∞+∞U

2.在复平面内，复数z 满足3i z +=

，则z 对应的点坐标为

A. ()1,1

B. ()1,1-

C. ()1,1-

D.()1,1--

3.若等差数列{}n a 的前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+等于 A. 3 B. 6 C. 17 D. 51

4.从4台甲型和5台乙型电视剧中任意取出3台，要求至少有甲型与乙型电视剧各1台，则不同的取法共有

A. 140种

B. 84种

C. 70种

D.35种

5.执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为

A. 0

B.1

C. 2

D. 3

6.若双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线与圆()2

222x y -+=相切，则该双曲线的离

心率为 A.

2 B. 2 C.

3 D.2

7.已知函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，若()()13,,24a f b f c f ??

=-==

???

，则,,a b c 的大小关系是 A. a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. a c b >>

8.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图所示，则截去部分体积与剩余部分体积之比为 A.

12 B. 13 C. 14 D. 15

9.已知,x y 均为正实数，且满足22x y xy +=，那么4x y +的最小

值为

A. 32

B. 322+

C. 32+

D. 4

10.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为2的正三角形，顶

点

A 在底面BCD 上的射影为BCD ?的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为2，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 A. 3π B.4π C. 5π D.6π

11.过抛物线2

4y x =的焦点F 作相互垂直的弦AC,BD 则点A,B,C,D 所构成的四边形面积的最小值为

A. 16

B. 32

C. 48

D. 64

12.已知曲线2

1:C y x =与曲线2:ln 2C y x x ??

=>

? ???

，直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线，设直线l 与曲线1C 的切点为P ，则点P 的横坐标满足

A. 102t e <<

B. 11

22

t e << C. 12t <<

D. t <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==,则AB AC ?=u u u r u u u r

.

14.()

()

2

4

12x x +-的展开式中含3x 项的系数为 .

15.若函数()()22f x x π???

?=

+< ??

?的图象关于直线12x π=对称，且当

1212172,,,12

3x x x x ππ??

∈--

≠ ???

时，()()12f x f x =，则()12f x x += . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足()

111,3n n n a a a n N *+==∈，则

2017S = .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.（本题满分12分）已知ABC ?是等边三角形，D 在边BC 的延长线上，且2CD =，6 3.ABD S ?= （1）求AB 的长； （2）求sin CAD ∠的值.

18.（本题满分12分）

某公司即将推出一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱，若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.

（1）根据茎叶图中的数据完成22?列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？

（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望.

19.（本题满分12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 是直角梯形，2

BAD ADC π

∠=∠=,

平面ADE ⊥平面ABCD ，ADE ?是边长为2的正三角形. （1）证明：BE ⊥平面ACF ； （2）求二面角A BC F --的余弦值.

20.（本题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点)

P

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，与圆2

2

:6O x y +=相

交于D,E 两点，当AOB ?的面积最大时，求弦DE 的长.

21.（本题满分12分）已知函数()2

22,.x

f x e ax a a R =+-∈

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若0x ≥时，()2

3f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 已知曲线E 的极坐标方程为4tan cos θ

ρθ

=

，倾斜角为α的直线过点()2,2.P （1）求曲线E 的直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设12,l l 是过点P 且关于直线2x =对称的两条直线，1l 与E 交于,A B 两点，2l 与E 交于

,C D 两点，求证：::PA PD PC PB =.

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()1

1, 3.2

f x x x a

g x x =-++=

+ （1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；

（2）若1a >-，且当[],1x a ∈-时，不等式()()f x g x ≤有解，求实数a 的取值范围.

答案

一、ACACC ABBBD BB二、8

31009－2

17.（Ⅰ）设．因为

是等边三角形，所以

．因为，所以

．即，所以

，（舍）．所以

．（Ⅱ）因为

，所以

．所以．在

中，因为，所以

．18.解：（1）由茎叶图可得：

由列联表可得：K2=≈3.46＜3.841，

所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．

（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为

=

，

所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，

P（X=0）

==

，P（X=1）==