矩形截面偏心受压构件正截面的承载力计算

矩形截面偏心受压构件正截面的承载力计算

一、矩形截面大偏心受压构件正截面的受压承载力计算公式 （一）大偏心受压构件正截面受压承载力计算

（1）计算公式

由力的平衡条件及各力对受拉钢筋合力点取矩的力矩平衡条件，可以得到下面两个基本计算公式：

s y s y c A f A f bx f N -+=''1α （7-23）

()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+??? ?

?

-=α （7-24）

式中： N —轴向力设计值；

α1 —混凝土强度调整系数；

e —轴向力作用点至受拉钢筋A S 合力点之间的距离；

a h

e e i -+

=2

η （7-25） a i e e e +=0 （7-26）

η—考虑二阶弯矩影响的轴向力偏心距增大系数，按式（7-22）计算；

e i —初始偏心距；

e 0 —轴向力对截面重心的偏心距，e 0 =M/N ；

e a —附加偏心距，其值取偏心方向截面尺寸的1/30和20㎜中的较大者； x —受压区计算高度。

（2）适用条件

1) 为了保证构件破坏时受拉区钢筋应力先达到屈服强度，要求

b x x ≤ (7-27)

式中 x b — 界限破坏时，受压区计算高度，o b b h x ξ= ，ξb 的计算见与受弯构件相同。 2) 为了保证构件破坏时，受压钢筋应力能达到屈服强度，和双筋受弯构件相同，要求满足：

'

2a x ≥ (7-28) 式中 a ′ — 纵向受压钢筋合力点至受压区边缘的距离。 （二）小偏心受压构件正截面受压承载力计算

（1）计算公式

根据力的平衡条件及力矩平衡条件可得

s s s y c A A f bx f N σα-+=''1 （7-29）

??? ??'-+??

? ?

?-

=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'

'012α （7-30） ()

'0''1'2s s s s c a h A a x bx f Ne -+??

?

??-=σα （7-31）

式中 x — 受压区计算高度，当x ＞h ，在计算时，取x ＝h ；

σs — 钢筋As 的应力值，可根据截面应变保持平面的假定计算，亦可近似取：

y b s f 1

1

βξβξσ--=

(7-32)

要求满足：y s y f f ≤≤σ'

x b — 界限破坏时受压区计算高度，0h x b b ξ=；

b ξξ、 — 分别为相对受压区计算高度 x/h 0和相对界限受压区计算高度

x b /h 0 ；

'e e 、′— 分别为轴向力作用点至受拉钢筋A s 合力点和受压钢筋A s ′合力点之间

的距离 a h

e e i -+=2

η (7-33) ''

2

a e h

e i --=

η (7-34) （2）对于小偏心受压构件当bh f N c >时，除按上述式（7-30）和式（7-31）或式（7-32）计算外，还应满足下列条件：

()()

s s y c a a h A f h h bh f e e a h N -+???

?

?-≤??????---'

0'

'

00'

22 (7-35 )

式中 '0h — 钢筋'

s A 合力点至离纵向较远一侧边缘的距离，即s a h h -='0。

二、不对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面受压承载力的计算 （一） 截面设计

1．大偏心受压构件的计算 第一种情况：

已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下A s 及A s ′取同一种钢筋），轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比l 0/h 。

求：钢筋截面面积s A 及'

s A 解：

1． 判断大小偏心受压 （1）计算偏心距

N

M

e =

0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。 则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数

计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i

截面修正系数1ζ的取值：N

A

f c 5.01=

ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。 构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：

h

l h l h l 0

202001.015.130~150

.1,15-==<＝时，时ζζ （3）判断大小偏心受压

若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； （4）计算钢筋截面面积s A 及'

s A a h e e i -+=2η

()()'

0'2

01'5.01a h f bh f Ne A y b b c s

---=ξξα0'

min bh ρ≥ y

y s y

b c s f f A f N

bh f A ''

01+-=

ξα

第二种情况：

已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下A s 及A s ′取同一种钢筋），受压钢筋'

s A 的数量，轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比l 0/h 。

求：钢筋截面面积s A 解：

1．判断大小偏心受压 （1）计算偏心距

N

M

e =

0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。 则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数

计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i

截面修正系数1ζ的取值：N

A

f c 5.01=

ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。 构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：

h

l h l h l 0

202001.015.130~150

.1,15-==<＝时，时ζζ

（3）判断大小偏心受压

若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； （4）计算受压区高度x 由 a h e e i -+=2η

()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+??? ?

?

-=α 解x 的二次方程计算出x

（5）0h x b ξ>，应加大构件截面尺寸，或按'

s A 未知的情况来重新计算，使其满足

0h x b ξ≤的条件。

（6）0'

2h x a b ξ≤≤，计算钢筋截面面积s A

y

s y c s f N

A f bx f A -+=

''1α

（7）'

2a x <，对受压钢筋'

s A 合力点取矩，计算s A 值得：

()

'

0'2a h f a h e N A y i s -?

??

??+-=

η (7-38)

另外，再按不考虑受压钢筋's A ，即取'

s A ＝0，利用式下式计算s A 值，然后与用式（7-38）求得的A s 值作比较，取其中较小值配筋。

a h e e i -+=2η

s y s y c A f A f bx f N -+=''1α

()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+??? ?

?

-=α

2．小偏心受压构件的计算

已知：在荷载作用下柱的轴向力设计值N ，弯矩M ，截面尺寸h b ?，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下s A 及'

s A 取同一种钢筋），钢筋的强度等级，构件计算长度0l 。

求：钢筋截面面积s A 及'

s A 。 解：

1．判断大小偏心受压 （1）计算偏心距

N

M

e =

0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。 则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数

计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i

截面修正系数1ζ的取值：N

A

f c 5.01=

ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。 构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：

h

l h l h l 0

202001.015.130~150

.1,15-==<＝时，时ζζ

（3）判断大小偏心受压

若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算； 2．计算钢筋截面面积s A 及'

s A （1）计算ξ和s σ

可先假定bh A s min ρ=，取8.01=β，用式（7-31）和式（7-32）求得ξ和s σ

()

'0''1'

2s s s s c a h A a x bx f Ne -+??

?

??-=σα （7-31） y b s f 1

1

βξβξσ--=

(7-32)

若σs < 0，取A s =ρ?min bh ，用式（7-31）和式（7-32）重新求ξ。

（2）计算相对受压区计算高度如下：

b cy ξβξ-=12 (7-39)

（3）若满足cy b ξξξ<< ，则按下式求得'

s A

??? ??'-+??

? ?

?-

=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'

'012α （7-30） （4）若b ξξ<，按大偏心受压计算

（5）若cy h h ξξ>>0/，此时s σ达到'y f -，计算时可取'

y s f =σ，cy ξξ=，通过下

式求得s A 和'

s A 值。

??? ??'-+??

? ?

?-

=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'

'012α （7-30） ()

'0''1'2s s s s c a h A a x bx f Ne -+??

?

??-=σα （7-31）

同时应满足：

()()

s s y c a a h A f h h bh f e e a h N -+???

?

?-≤??????---'

0'

'

00'

22 (7-35 )

（6）若0/h h >ξ，则取'y s f =σ，cy ξξ=，通过下式求得s A 和'

s A 值。

??? ??'-+??

? ?

?-

=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'

'012α （7-30） ()

'0''1'2s s s s c a h A a x bx f Ne -+??

?

??-=σα （7-31）

同时应满足：

()()

s s y c a a h A f h h bh f e e a h N -+???

?

?-≤??????---'

0'

'

00'

22 (7-35 )

（7）对于0

min 'min ρ=的要求，

%2.0'

min =ρ。

（二） 承载力复核

已知：截面尺寸h b ?，钢筋截面积s A 和'

s A ，混凝土强度等级及钢筋种类，构件长细比h l /0，轴向力设计值N ，

求：截面是否能承受该N 值，或已知N 值时，求能承受弯矩设计值M 。 解：

1．弯矩作用平面的承载力复核

第一种情况：已知轴力设计值N ，求弯矩设计值M （1）计算界限情况下的受压承载力设计值N ub 先将已知的'

s s A A h b ，，，和b ξ代入下式

s y s y c ub A f A f bx f N -+=''1α

（2）如果N ≤N ub ，则为大偏心受压 可按式（7-23）求x ：

s y s y c A f A f bx f N -+=''1α （7-23）

再将x 和由式（7-22）求得的η 代人式（7-24）求e 0 ：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i (7-22)

()'0''012a h A f x h bx f Ne s y c -+??? ?

?

-=α （7-24）

则弯矩设计值M =N e 0。

（3）如N>N ub ，为小偏心受压， 应按式（7-30）和式（7-33）求x ：

s s s y c A A f bx f N σα-+=''1 （7-29）

y b s f 11

βξβξσ--=

(7-32)

再将x 及η代入式（7-31）求e 0及M ：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i (7-22)

??? ??'-+??

? ?

?-

=s s y c a h A f x h bx f Ne 0'

'012α （7-30）

第二种情况：已知偏距e 0，求轴力设计值N

（1）因截面配筋已知，故可按图7-22对N 作用点取矩求x 。 （2）当x ≤x b 时，为大偏压，将x 及已知数据代入式（7-23）可求解出轴力设计值N 即为所求。

s y s y c A f A f bx f N -+=''1α

（7-23）

（3）当x >x b 时，为小偏心受压，将已知数据代入式（7-30）、式（7-31）和式（7-33）联立求解轴力设计值N 。

?

?? ??'

-+??? ?

?-=s s y c a h A f x h bx f Ne 0''012α

（7-30）

()

'

0''1'2s

s s s c a h A a x bx f Ne -+??

? ??-=σα

（7-31） y b s f 1

1

βξβξσ--=

(7-32)

2．垂直于弯矩作用平面的承载力复核 无论是设计题或截面复核题，是大偏心受压还是小偏心受压，除了在弯矩作用平面内依照偏心受压进行计算外，都要验算垂直于弯矩作用平面的轴心受压承载力。此时，应考虑φ值，并取b 作为截面高度。

（1）由b l 0 查表7－1得：? （2）下式得：

()[]

s s y c A A f bh f N ++=''9.0?

该值略小于N ，但相差小于5％，可以认为验算结果安全。 三、对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面受压承载力的计算 （一）基本公式与基本方法

1．大偏心受压构件的计算

b

f N

x c 1α=

(7-40) ()

'0'01'2a h f x h bx f Ne A A y c s s -?

?? ??

--=

=α (7-41) 当a x 2≤′时，可按不对称配筋计算方法一样处理。若b x x >，（也即b ξξ>.时），则认为受拉筋A s 达不到受拉屈服强度，而属于“受压破坏”情况，就不能用大偏心受压的计算公式进行配筋计算。此时可有小偏心受压公式进行计算。

2．小偏心受压构件的计算 简化方法一：用迭代法求解

（1）用式（7-40）求得x 值，判别大小偏心，若x >x b (x b = ξb h 0)时，即按小偏心受压计算。

（2）令()201h x x b ξ+=，代入式（7-31），该式中的x 值用1x 代入，求解得'

s A 。

（3）以's A 代入式（7-30），并利用式（7-33）再求x 值，再代入式（7-31）求解得'

s A 。 （4）当两次求得的'

s A 相差不大，一般取相差不大于5％，认为合格，计算结束。否则以第二次求得的'

s A 值，代入式（7-30）重求x 值，和代入式（7-31）重求'

s A 值，直到精度达到满足为止。

简化方法二：近似公式法求解

求解ξ的近似公式。

()()

b c b c c b bh f a h bh

f Ne bxh f N ξαξβααξξ++----=

1'

0120

10

143.0 (7-46)

代入式（7-41）即可求得钢筋面积 ()

()

'0'01'

2a h f x h bx f Ne A A y c s s ---=

=α

()()

'

0'2

015.01a h f bxh f Ne y c ---=ξξα （7-47）

（二）截面设计

1．大偏心受压构件的计算

已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下s A 及's A ′

取同一种钢筋），轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比h l /0。

求：钢筋截面面积s A 及'

s A 解：

1． 判断大小偏心受压 （1）计算偏心距

N

M

e =

0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。 则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数

计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i

截面修正系数1ζ的取值：N

A

f c 5.01=

ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。 构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：

h

l h l h l 0

202001.015.130~150

.1,15-==<＝时，时ζζ

（3）判断大小偏心受压

若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算；

b c x b

f N

x ≤=

1α 属于大偏心

（4）计算钢筋截面面积s A 及'

s A a h e e i -+=2η

()()'

0'2

01'5.01a h f bh f Ne A y b b c s

---=ξξα0'

min bh ρ≥ y

y s

y

b c s f f A

f N

bh f A ''01+-=

ξα

2．小偏心受压构件的计算

已知：截面尺寸b ×h ，混凝土的强度等级，钢筋种类（在一般情况下s A 及'

s A 取同一种钢筋），轴向力设计值N 及弯矩设计值M ，长细比h l /0。

求：钢筋截面面积s A 及'

s A 解：

1．判断大小偏心受压 （1）计算偏心距

N

M

e =

0；附加偏心距a e ，其值取偏心方向截面尺寸的30/h 和mm 20中的较大者。 则 a i e e e +=0 （2）考虑偏心距增大系数

计算h l 0，当50≤h l 时：0.1=η；当50>h l 时：

2

12

01400

1

1ζζη???

??+=h l h e o

i

截面修正系数1ζ的取值：N

A

f c 5.01=

ζ ；且当ζ1＞1时，取ζ1＝1。 构件长细比对截面曲率的修正系数2ζ的取值：

h

l h l h l 0

202001.015.130~150

.1,15-==<＝时，时ζζ

（3）判断大小偏心受压

若03.0h e i ≤η，可按小偏压情况计算； 若03.0h e i >η，可按大偏压情况计算；

b c x b

f N

x >=

1α

属于小偏心

（4）按第一种简化计算法（迭代法）进行计算

a h e e i -+=2/η

先令

()201h x x b ξ+= 代入式（7－31）得

()

'0'1011'12a h f x h bx f Ne A y c s -?

?? ??

--=α

用此'

1s A 代入式（7－30），并利用（7－33）取β1=0.8，再求x 值。

0'

101'128.018.08.01h f A bh f A f N x y s b c b s y ???

????

?????

???-+???? ??---=ξαξ 用此x 2值，再代入式（7－31）计算 A s 选钢筋得'

2s A ，两者相差超过5％，再重求x 和

A s ′值，反复迭代四次，直至'4s A 与'3s A 之差相差小于5％，计算结束，取'4's s s A A A ==，该

值应大于bh '

m in ρ，否则取bh '

m in ρ。

（５）按第二种简化计算法（近似公式法）计算。 由β1=0.8和式（7－46）求ξ

()()

b c b c c b bh f a h bh f Ne bh f N ξαξααξξ++----=

1'

02

010

18.043.0

0h x ?=ξ

()

0'

min '

0'01'2bh a

h f x h bx f Ne A A y c s s ρα≥-?

?? ??

--==

否则0'

min 'bh A s ρ=

（6）对于小偏压构件，还需以轴心受压验算垂直于弯矩作用方向的承载能力。

由85.7400

3000

0<==

b l ，查表7－1得? 按式（7－4）得：

(

)[

]

N A A f bh f N s s y c u >++='

'

9.0? 验算结果安全。

（二）截面复核

可按不对称配筋的截面复核方法进行验算。但取's s A A =及'

y y f f =。