尖子生辅导高中数学
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。
高中数学选择性必修二 第四章 数列单元检测A尖子生同步培优题典(含答案)
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1，2，，4，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n，即可判断.【详解】，2，3，4，... ，由此可归纳该数列的通项公式为nna=，又9=，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列{}n a的前n项和为n S，若52a=，25468a a a a-=，则20S=（）A．180B．180-C．162D．162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =，24628a a a-=，11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩，2d ∴=-，110a =，201019228a ，()12020201802a a S +⋅∴==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，352620,64a a a a +==，则5S =（ ） A ．B ．C ．42D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据2664a a =，利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0,1n a q >>，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-，故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题. 5．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165 D ．5110【答案】A 【解析】 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题． 6．等比数列{}n a 中（ ） A ．若12a a <，则45a a < B ．若12a a <，则34a a < C ．若32S S >，则12a a < D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数()2cos 2f x x x =--{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可.【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题. 8．已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】 根据()()2ln f x fx ππ+-=，采用倒序相加的方法可得2018ln S π=，从而得到2a b +=，根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题. 11．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-，那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】 【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-，∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩，解得：2223n ≤≤，∴22n =或23n =，则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为：22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】 【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13n n a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可； 若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【详解】解：选① 因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时，1102a =，利用1n n n a S S -=-得到通项公式，验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况，50n ≤和51n ≥，分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-， 当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式，数列的绝对值和，忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2n n na b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+，可得证明. （2）由（1）知：2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】 （1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+ 又12a =，故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）知：2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题. 20．设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314++=a a a ，且21a +是1a ，3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到2nn b n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意，有()21321a a a +=+，将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=，得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=， 解得2q 或12q =（舍去）， 所以1422a ==， 所以，111222n n n n a a q --==⨯=，（2）因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】 本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩， 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n nb -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.。
期末模拟卷01(B能力卷)-新教材高一数学尖子生培优卷(人教A版必修第二册)
高一数学单元测试AB 卷期末模拟卷01（B 能力卷）（ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．复数()()12z i i =+-，则z =（ ）A ．3i +B ．3i -C ．4i +D ．4i -【答案】B【详解】因为(1)(2)2213z i i i i i =+-=-++=+，所以3z i =-.故选：B.2．如图，已知3AB BP =，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A ．1433OA OB - B ．1433OA OB + C ．1433OA OB -+ D ．1433OA OB -- 【答案】C【详解】解：3AB BP =， ()11413333OP OB BP OB AB OB OB OA OB OA ∴=+=+=+-=-， 故选：C. 3．有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差【答案】C【详解】由题设，17名同学参加百米竞赛，要取前8名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定17名同学成绩的中位数，即第9名的成绩便可判断自己是否能进入决赛. 故选：C. 4．已知水平放置的ABC 按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中2B O C O ''''==，3A O ''=，那么ABC 是一个（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】B【详解】 A O ''在y '轴上，B C ''在x '轴，因此AO BC ⊥，在原图形中23,4AO BC ==，60ABC ACB ∠=∠=︒，三角形为等边三角形．故选：B ．5．已知,a b 满足25,1045,a b a b a b +=⋅=+=+则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A 25B 5C ．12D 3【答案】A【详解】由题意，向量,a b 满足25,1045a b a b a b +=⋅=+=+， 可得22221045a b a b a b +=++⋅=+，所以2210a b +=，又由()222220a b a b a b +=++=，所以5a b =，设向量a 与b 夹角为θ，则25cos 5a b ba θ⋅==. 故选：A.6．如图，AB 为圆锥底面直径，点C 是底面圆O 上异于,A B 的动点，已知OA=3，圆锥侧面展开图是圆心角为3π的扇形，当PB 与BC 所成角为3π时，PB 与AC 所成角为（ ）A ．3πB ．6πC ．4πD ．56π 【答案】C【详解】设圆锥母线长为l ，则323l ππ=，解得2l =，PB PC =，PB ∴与BC 所成角3PBC π∠=，2BC ∴=， Rt ABC ∆∴中22AC =作BD AC 与圆O 交于点D ，连接AD ，四边形ABCD 为平行四边形，22BD AC ==，连接PD ，则PBD ∠为PB 与AC 所成角，PBD ∆中2PD PB ==，可得PD PB ⊥，4PBD π∴∠=，故选：C. 7．垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．12【答案】C【详解】 记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有（1，3），（1，4），（3，2），（4，2），共4种，而随机投放的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种，所以所求概率41123P ==. 故选：C ．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B ．62C ．2D ．3【答案】B【详解】取CD 中点P ，1DD 中点Q ，连接PQ 、PN 、QN ，如图所示：因为P 、N 分别为CD 、BC 中点，所以PN BD ∕∕，同理，P 、Q 分别为CD 、1DD 中点，所以11PQ DC A B ∕∕∕∕， 又PQ PN P ⋂=，,PQ PN ⊂平面PQN ，1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，所以平面PQN ∕∕平面1A BD ，因为//MN 平面1A BD ，所以MN ⊂平面PQN ，又点M 在平面11DCC D 内运动，所以点M 在平面PQN 和平面11DCC D 的交线上，即M PQ ∈，在PQN 中，2PN =1122PQ CD ==22(2)26QN =+= 所以2221cos 22PN PQ QN NPQ PQ PN +-∠==-⨯， 所以120NPQ ∠=︒，所以N 点到PQ 的最小距离()6sin 180120d PN =⋅︒-︒=. 所以线段MN 的最小值为6. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，救育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（ ）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A ．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B ．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C ．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D ．2020年，普通高中的在校生超过2470万人【答案】BD【详解】对A ，在前四年有下降的过程，故A 错误；对B ，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B 正确；对C ，39950.1054680.895⨯≈，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C 错误； 对D ，41280.6012481⨯≈，故D 正确.故选：BD10．已知复数1z i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．z =B ．复数z 的共轭复数为1z i =-C ．20211122i i z =+ D ．22z = 【答案】ABC【详解】对A ，z = A 正确；对B ，根据共轭复数的定义，1z i =-，B 正确；对C ，由41i =，所以2021(1)1111(1)(1)222⋅-+====+++-i i i i i i z i i i ，C 正确； 对D ，22(1)121=2=+=+-z i i i ，故D 错误.故选：ABC.11．已知,,a b c 是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）A ．若a b =，则a b =±B ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =C ．若//,//a b b c ，则//a cD ．若a b ⊥，则a b a b +=- 【答案】ABC 【详解】A ，若a b =，可取()1,2a =，()2,1b =，则a b ≠±，故A 错误；B ，若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，当a b ⊥，a c ⊥ 时，则b 与c 不一定相等，故B 错误；C ，若//,//a b b c ，当0b =时，a 与c 不一定平行，故C 错误；D ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以22222a b a b a b a b +=++⋅=+， 22222a b a b a b a b -=+-⋅=+，故a b a b +=-，故D 正确.故选：ABC12．已知正方体1111ABCD A BC D -中，以下结论正确的有（ ）A ．点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．点P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AD 1C 所成角的大小不变C ．点P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1-C 的大小不变D ．M 是平面1111D C B A 上到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是过点D 1的直线【答案】ACD【详解】因为11A D PC P AD C V V --=，11//BC AD ，且1BC ⊄平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，所以1//BC 平面1AD C ，所以1BC 上的点到平面1AD C 的距离相等，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，故A 正确；由图可知，当点P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1AD C 所成角和直线1AC 与平面1AD C 所成角不相等，故B 错误；因为AP ⊂平面11BC D A ，所以二面角1P AD C --的大小等于平面11BC D A 与平面1AD C 所成角的大小，所以二面角1P AD C --的大小不变，故C 正确；因为M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，所以点M 的轨迹是平面1111D C B A 与线段1DC 的垂直平分线1DC 所在平面的交线，即点M 的轨迹是平面1111D C B A 与平面11A D C 的交线11A D ，所以点M 的轨迹是过点1D 的直线，故D 正确；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．【答案】1【详解】设圆柱底面半径为r ，高为h ，由题意222r rh ππ=，所以r h =，即1r h=．14．已知复数z 满足||||z i z i ++-=z 的最小值是_______．【答案】1【详解】由复数的几何意义，可得||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上， 而z 表示椭圆上的点到椭圆对称中心()0,0的距离，当且仅当复数z 位于椭圆短轴端点(1,0)±时，z 取得最小值，z 的最小值为1． 故答案为：1．15．在ABC 中，2AB =，3AC =，且ABC 的面积为32，则BAC ∠=__________. 【答案】6π或56π 【详解】 ABC 中，2AB =，3AC =，且ABC 的面积为32， 所以13sin 22AB AC A ⋅⋅∠=，所以1323sin 22A ⨯⨯∠=，整理得：1sin 2A ∠=， 因为()0,A π∈，所以6BAC π∠=或56π， 故答案为：6π或56π 16．已知三棱柱111,ABC A BC -侧棱1AA ⊥底面,,ABC E F 分别是1,AB AA 的中点，且12,,4AC BC AC BC AA ==⊥=，过点E 作一个截面与平面1BFC 平行﹐则截面的周长为________________________．32225【详解】如图，取AF 中点G ，分别在1CC ，BC 上取点H ，M ，使1111,44HC CC BM BC ==， 连接,,,EG GH HM EM ，又,F G 分别是1,AA AF 中点，114FG AA ∴=， 又1111//,AA CC AA CC =，11//,FG HC FG HC ∴=，∴四边形1FGHC 为平行四边形， 1/GH FF ∴，1GH FC =，//GH ∴平面1BFC ，1111113,,//,444HC CC BM BC MH BC MH BC ==∴=，//MH ∴平面1BFC ， 又MH GH H ⋂=，∴平面//EGHM 平面1BFC ，又1AA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，,E F 分别是1,AB AA 的中点，1,4AC BC AA ⊥=， 122,2AB AF AF ∴===， 2211322EG BF AF AB ∴==+=22111122GH FC A F AC ==+= 2211113335442HM BC BB B C ==+= 在BEM △中，11,242BM BC BE ===45EBM ∠=， 22211252cos 452224224EM BM BE BM BE ∴=+-⋅=+-⨯=，5EM ∴= ∴所求截面的周长为353225322252EG GH HM EM +++==32225四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2024学年湖北宜昌市葛洲坝中学高三下学期尖子生专题训练(三)数学试题试卷
2024学年湖北宜昌市葛洲坝中学高三下学期尖子生专题训练（三）数学试题试卷 考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0），且离心率等于5，若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为25，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．221205x y -= B ．22125100x y -= C ．221520x y -= D ．221525x y -= 2．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5 3．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．223 5．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 6．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±7．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13 C ．23 D ．568．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3πD ．2π 11．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向左平移5π12个长度单位 12．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浅议如何提高学生高中数学学习能力
其 自信心大大提高 ， 针对其 弱项进行 针对 辅导． 再 第二 ， 培养 自信最好的途径莫过于 成功的体验 了， 教师应 该积 极 为学生创造 成功 的机 会 ， 给予成 功 的奖 励 ， 哪怕是 一 句 口头表扬 ， 他们体验 成功 的喜 悦． 于他们在学 习 让 对
解 题 时 总 感 觉迷 雾 重 重 ， 从 下 手 ， 至 产 生 畏 惧 感 ． 无 甚 而
目的是使学生能够善于发现 和认 识高 中数学 的新知识 、
新 思 想 、 事 物 、 方 法 ， 握 其 中 的 基 本 规 律 ， 而 提 新 新 掌 从 高其 学 习能 力． 培 养 学 生 的创 新 思 维 能 力 ， 先 要 提 要 首
由于初 中和高 中是 两个不 同的学 习阶段 ， 前者为相
对 依 靠 教 师 阶 段 ， 者 为 相 对 独 立 阶 段 ． 高 中数 学 和 后 而 初 中 数 学 相 比 ， 难 度 陡 然 上 升 ， 理 解 和 各 种 能 力 的 其 对
高 中数学较 为枯 燥 ， 学科难 度大 ， 从而导 致他们讨厌 数 学， 对其失去兴趣而学习能力下降． 因此 ， 应该充 分发挥
枯燥的教学内容在计算机 的帮助下“ 起来 ， 大地增 动” 极 强 了教学 的直观性 、 味性 ， 教师的教学更 富感染 力 趣 使
和生 动 性 ， 而 有 效 培 养 了学 生 的 学 习兴 趣 ， 助 于 学 从 有
乃是对所学 教材 的兴 趣 ． 可 见兴趣 对学 生 的学 习起 一”
着 巨大 的推 动 作 用 ， 学 生 学 习 积 极 性 中 一 个 最 积 极 、 是 最 活跃 的心 理 因 素 ． 阶段 高 中 学 生 处 于 青 春 发 育 期 ， 现 这 一 类 人 群普 遍 的特 点 是 躁 动 ， 理 承 受 能 力 差 ， 之 心 加
2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷(一)(3月份) (含答案解析)
2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷（一）（3月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}，B ={x|0≤x ≤2}，则A ∩B =_________2. 高一某班在合唱比赛中被各评委打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为______．3. 复数z 满足(1+i)z =|√3−i|，则z − =________．4. 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷二次，观察向上的点数，则二次点数之和等于10的概率为_________．5. 执行如图所示的流程图，则输出的M 应为______6. 曲线x 2+4y 2=4关于点M(3,5)对称的曲线方程为__________．7. 已知cos(α−π3)=13，则sin(2α−π6)=______．8. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则(AE⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 9. 已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF|=34|AF|，则该椭圆的离心率是____.10. 棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径等于_______。
11. 已知a >0，函数f(x)=|√2−x 2+12|x −2a |−5|在[−1,1]上的最大值为2，则a =______．12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n =3a n −2 (n ∈N ∗)，则a 5= ______ ．13. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点且|AB|=1，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2的最大值为120°，当∠F 1PF 2=60°时，S △F 1PF 2=________．14. 已知x 2+4y 2+kz 2=36(其中k >0)且t =x +y +z 的最大值是7，则k =__________．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=π4，AC=72，cos∠ADB=−√210(1)求sin∠C的值；(2)若△ABD的面积为7，求AB的长．16.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=2AF．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC//平面BEF．17.某学校准备对一块空地ABCD进行绿化改造，其中AD=30m，AB=20m，∠A=90°.同时决定从该空地中划出一个直角三角形地块AEF建学生活动中心(点E,F分别在线段AB,AD上)，且直角三角形AEF的周长为30m，设△AEF的面积为S．(1)设AE=xm，求S关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)求直角三角形地块AEF面积S的最大值．18.已知点P(−2,1)在椭圆C：x2a2+y22=1(a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；(2)求△PAB面积的最大值．19.已知函数f(x)=a(x2−1)−lnx．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与y垂直，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =(n −1)S n +2n(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若p ，q ，r 是三个互不相等的正整数，且p ，q ，r 成等差数列，试判断a p −1，a q −1，a r −1是否成等比数列？并说明理由．21. 已知矩阵A =[12−14]，向量α⃗ =[53]，计算A 5α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =√32t +m y =12t(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．23.已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：1a2+1b4+1c6≥27．24.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√3，BC=1，AA1=2，E为A1D的中点．(1)求直线EC1与A1B所成角的余弦值；(2)若F为BC的中点，求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值．25.设实数c>0，整数p>1，n∈N∗．(1)证明：当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px；(2)数列{a n}满足a1>c1p，a n+1=a n+a，证明：a n>a n+1>c1p．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．【解答】解：集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}={−1,0,1}，B ={x|0≤x ≤2}，所以，A ∩B ={0,1}，故答案为{0,1}．2.答案：90解析：解：由题意所剩数据：85，87，90，91，93，94，所以平均数x =16(85+87+90+91+93+94)=90，故答案为：90．求出所剩数据，取平均数即可．本题考查了茎叶图和平均数公式，属于基础题． 3.答案：1+i解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算与共轭复数的概念，属于基础题．设出z =a +bi ，得到关于a ，b 的方程组，求出z 的共轭复数即可．【解答】解：设z =a +bi ．则(1+i)z =(1+i)(a +bi)=(a −b)+(a +b)i ．又|√3−i|=√3+1=2，所以{a +b =0a −b =2，解得a =1，b =−1， 所以z − =1+i ，故答案是z − =1+i ．4.答案：112解析：【分析】本题考查古典概型概率计算，属于基础题目．利用基本事件数与总事件数之比得出即可．【解答】解：抛掷1颗骰子两次，向上的点数构成6×6=36个基本事件，两次点数之和等于10，包含(4,6)，(5,5)，(6,4)三个基本事件．故所求概率为336=112．故答案为112．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：(x−6)2+4(y−10)2=4解析：解：设曲线上坐标为(x0,y0)，其关于点M的对称点坐标为(x,y)x关于点M的对称点为x0，y关于点M的对称点为y0则有：x+x02=3,y+y02=5解得x0=6−x,y0=10−y把点(x0,y0)带入椭圆方程x2+4y2=4，得(x−6)2+4(y−10)2=4故答案为：(x−6)2+4(y−10)2=47.答案：−79解析：解：cos(α−π3)=13，sin(2α−π6)=sin[2(α−π3)+π2]=cos2(α−π3) =2cos 2(α−π3)−1=2×(13)2−1=−79． 故答案为：−79．利用诱导公式以及二倍角的余弦化简求解即可．本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力． 8.答案：−92解析：解：如图所示，A(0,0)，B(2,0)，E(2,12)，F(1,1)，D(0,1)．∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,12)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)． ∴(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,32)⋅(−2,1)=−6+32=−92． 故答案为：−92．建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题． 9.答案：14解析：【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．根据P 点坐标及|PF|=34|AF|，可得b 2a =34(a +c)，求解即可． 【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=b 2a ， |AF|=a +c ， 所以b 2a =34(a +c) ，即4b 2=3a 2+3ac ，又因为b 2=a 2−c 2，所以有4(a 2−c 2)=3a 2+3ac ，整理可得4c 2+3ac −a 2=0 ，两边同除以a 2得： 4e 2+3e −1=0 ，所以(4e −1)(e +1)=0，由于0<e <1，所以e =14．故答案为14．10.答案：2√2解析：【分析】本题考查了正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长．根据正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长即可求解．【解答】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：√42+42=4√2，故R =2√2，故答案为2√2．11.答案：52或7−√102解析：【分析】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及导数求单调性、极值和最值，考查运算能力，属于难题．由题意可得f(0)≤2，求得a 的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a 的值，检验可得a 的值．【解答】解：a >0，函数f(x)=2+12|x −2a |−5|在区间[−1,1]上的最大值是2，可得f(0)≤2，即|√2+a −5|≤2，解得3−√2≤a ≤7−√2，即有f(x)=|√2−x 2−12x +a −5|，−1≤x ≤1，由f(x)的最大值在顶点或端点处取得，即f(−1)=2，即|a −72|=2，解得a =32(舍去)或112；f(1)=2，即|a −92|=2，解得a =52或a =132(舍去)；由y =√2−x 2−12x 的导数为y ′=√2−x 2−12， 当0<x <1时，函数y 递减，可得y ∈(12,√2)， 当−1<x <0，由√2−x 2−12=0，可得x =−√105，可得y =√2−x 2−12x 在x =−√105处取得极大值√102，可得y =√2−x 2−12x 的值域为[12,√102]，由|√102+a −5|=2，解得a =7−√102或3−√102(舍去)， 当a =52时，f(x)=|√2−x 2−12x −52|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x −52的值域为[−2,√10−52]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意；当a =32时，f(x)=|√2−x 2−12x −72|，−1≤x ≤1， 由y =2−12x −72的值域为[−3,√10−72]，可得f(x)的值域为[7−√102,3]不符合题意；当a =7−√102时，f(x)=|√2−x 2−12x +2−√102|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x +2−√102的值域为[52−√102,2]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意．故答案为：52或7−√102．12.答案：162解析：解：∵2S n =3a n −2， ∴2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)， 两式相减得：2a n =3a n −3a n−1， ∴a nan−1=3(n ≥2)，又2a 1=3a 1−2， ∴a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a 5=2×34=162． 故答案为：162．由2S n =3a n −2可得2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减，可判断数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可得a5的值．本题考查数列的求和及等比关系的确定，求得数列{a n}是以2为首项，3为公比的等比数列是关键，考查推理运算能力，属于中档题．13.答案：√33解析：【分析】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于中档题．解焦点三角形求ΔF1PF2的面积．【解答】解：由题意，过F2的直线l垂直于x轴，交椭圆于A，B两点且|AB|=1，故b2a =12，当点P在短轴定点时，∠F1PF2的最大值为120°，故，故a=2b，解得a=2，b=1，c=√3，椭圆方程为x24+y2=1，当∠F1PF2=60°时，|PF1|+|PF2|=4，=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|，即12=16−3|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|=43，=12×43×√32=√33，故答案为√33．14.答案：9解析：∵由柯西不等式得(x2+4y2+kz2)(1+14+1k)≥(x+y+z)2，又t max=7，∴36(54+1k)=49，∴k=9.15.答案：解：(1)因为cos∠ADB=−√210,所以sin∠ADB=7√210，又因为，所以sin∠C=sin(∠ADB−π4)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=7√210⋅√22+√210⋅√22=45．(2)在△ADC中，由正弦定理得ADsin∠C =ACsin∠ADC，故AD=AC⋅sin∠Csin∠ADC =AC⋅sin∠Csin(π−∠ADB)=AC⋅sin∠Csin∠ADB=72×457√210=2√2．．在△ADB中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=8+25−2×2√2×5×(−√210)=37．所以AB=√37．解析：(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB−π4.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．(2)先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．16.答案：证明：(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．(Ⅱ)设AC∩BD=O，取BE的中点G，连接FG，OG，所以OG//DE且OG=12DE．因为AF//DE，DE=2AF，所以AF//OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，所以FG//AO．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF．解析：【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，是中档题．(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明；(Ⅱ)利用平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行．17.答案：解：(1)设AF=ym，则x+y+√x2+y2=30，所以√x2+y2=30−(x+y)，即450−30(x+y)+xy=0，所以y=30(15−x)30−x，所以S=12xy=15x(15−x)30−x．因为0<x<30，0<y<30，所以0<x<15，即函数的定义域为(0,15)．(2)设t=30−x，则x=30−t，15<t<30，所以S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)．因为t+450t ≥2√t⋅450t=30√2，当且仅当t=15√2∈(15,30)时，取“=”，所以S≤−15(30√2−45)=675−450√2，即S的最大值为．答：当AE=30−15√2m时，直角三角形地块AEF面积S的最大值．解析：本题考查函数模型的应用，属一般题目．(1)根据题意得出解析式S=12xy=15x(15−x)30−x，再进一步求定义域即可(2)表示面积为S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)，再由基本不等式求最值即可．18.答案：解：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得22a2+122=1，解得a 2=8， ∴椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)， 由{y =kx +m x 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，x 0=12(x 1+x 2)=−4km 1+4k 2，y 0=kx 0+m =m1+4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM =k OP ，y 0x 0=−12，m −4m =−12，∴k AB =12． (2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4， |AB|=√1+122|x 1−x 2|=√1+122⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√1+122⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+122，△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)， 设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，则f′(m)=−[3(m −2)3(m +2)+(m −2)3]=−4(m −2)2(m +1)， 解得f(m)max =f(−1)=27， ∴S max =√27=3√3．解析：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)，由{y =kx +mx 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，能求出椭圆C 的方程和直线AB 的斜率．(2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，|AB|=√1+12|x 1−x 2|=2√1+12⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+22△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)，设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，利用导数性质能求出△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆方程、直线斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．19.答案：解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1x ，∴f′(2)=0，即a=18．(2)∵f′(x)=2ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在[1,+∞)上单调递减，∴当x>1时，f(x)<f(1)=0矛盾．②当a>0时，f′(x)=2ax2−1x，令f′(x)>0，得x>2a ；f′(x)<0，得0<x<2a．(i)当2a >1，即0<a<12时，x∈2a)时，f′(x)<0，即f(x)递减，∴f(x)<f(1)=0矛盾．(ii)当√2a ≤1，即a≥12时，x∈[1,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)递增，∴f(x)≥f(1)=0满足题意．综上：a≥12．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值及其切线斜率，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，令f′(2)=0，解得a．(2)f′(x)=2ax−1x，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性、最值即可得出．20.答案：解：(1)∵a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，∴当n=1时，有a1=(1−1)S1+2，解得a1=2.…(1分)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，①得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，②…(2分)②−①得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2.③…(3分)以下提供两种方法：法1：由③式得：(n+1)(S n+1−S n)=nS n+1−(n−1)S n+2，即S n+1=2S n+2；…(4分)∴S n+1+2=2(S n+2)，…(5分)∵S1+2=a1+2=4≠0，∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴S n+2=4×2n−1，即S n=4×2n−1−2=2n+1−2.…(6分)当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2n+1−2)−(2n−2)=2n，…(7分)又a1=2也满足上式，∴a n=2n.…(8分)法2：由③式得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2=n(S n+1−S n)+S n+2，得a n+1=S n+2.④…(4分)当n≥2时，a n=S n−1+2，⑤…(5分)⑤−④得：a n+1=2a n.…(6分)由a1+2a2=S2+4，得a2=4，∴a2=2a1.…(7分)∴数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n=2n…(8分)(2)解：∵p，q，r成等差数列，∴p+r=2q.…(9分)假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，则(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2，…(10分)即(2p−1)(2r−1)=(2q−1)2，化简得：2p+2r=2×2q.(∗)…(11分)∵p≠r，∴2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，故假设不成立．…(13分)∴a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．…(14分)解析：(1)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，类比得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+ 1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，两式作差可求得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2③．法1：由：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒S n+1=2S n+2，而S1+2=4⇒数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列⇒S n，继而可求得a n；法2：由(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒a n+1=S n+2，当n≥2时，a n=S n−1+2，两式作差，同理可证数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，从而求得a n；(2)p，q，r成等差数列⇒p+r=2q，假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，可由(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2⇒2p+2r=2×2q.(∗)利用基本不等式可得2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，从而可得a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．本题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于难题．]21.答案：[371307解析：【分析】本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11]解得m ，n ，即可得出． 【解答】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6，由f(λ)=0，解得λ=2或3． 当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]； 当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]． 设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1．∴A 5α=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．故答案为[371307]． 22.答案：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2=4x ，即圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4．又由{x =√32t +my =12t (t 是参数)消t ，得x −√3y −m =0，由直线l 与圆C 相切， 所以|2−m |2=2，解得：m =−2或m =6．解析：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，根据直线和圆相切的性质求出m 的值．23.答案：证明：因为正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，所以1≥3√ab 2c 33，即ab 2c 3≤127， 所以1ab 2c 3≥27，因此1a 2+1b 4+1c 6≥331a 2b 4c 6≥27．解析：由正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，运用三元均值不等式，可得ab 2c 3≤127，再由均值不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 24.答案：解：(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设直线EC 1与A 1B 所成角为θ，θ∈(0,π2],则各点坐标为A 1(0,0，0)，D(0,1，2)，E(0,12,1)，C 1(√3,1，0)，B(√3,0，2)，所以，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，2)， 所以，cosθ=|EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√172×√7=2√119119．所以，直线EC 1与A 1B 所成角的余弦值为2√119119; (2)由题意，B(√3,0，2)，C(√3,1，2)，D 1(0,1，0)， 则A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，因为F 为BC 中点，所以F(√3,12,2)，则A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,12,2)， 设平面FA 1D 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{√3x +12y +2z =0y =0, 令x =2，则y =0，z =−√3，所以n⃗ =(2,0，−√3)是平面FA 1D 1的一个法向量， 由题(1)知，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，所以cos <EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=n⃗⃗ ·EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |·|EC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3√7·√172=6√357119，所以直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值为6√357119．解析：本题考查利用空间向量求解线面角，线线角，属于中档题．(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量得出结果;(2)求得平面FA 1D 1的一个法向量为n ⃗ ，即可求出直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值．25.答案：(1)见解析(2)见解析解析：【分析】(1)利用数学归纳法证明当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px.(2)利用数学归纳法证明a n>a n+1>c 1 p．【详解】证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p=2时，(1+x)2=1+2x+x2>1+2x，原不等式成立．②假设p=k(k≥2,k∈N∗)时，不等式(1+x)k>1+kx成立．当p=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+ 1)x．所以当p=k+1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>−1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1+x)p>1+px均成立．(2)先用数学归纳法证明an >c1p．①当n=1时，由题设知a1>c1p成立．②假设n=k(k≥1,k∈N∗)时，不等式ak >c1p成立．由a n+1=a n+a易知a n>0，n∈N∗．当n=k+1时，=+a=1+．由ak >c1p>0得−1<−<<0．由(1)中的结论得=>1+p·=．因此a>c，即ak+1>c1p，所以当n =k +1时，不等式an >c1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an >c1p均成立．再由=1+可得<1，即a n+1<a n．综上所述，an >a n+1>c1p，n∈N∗．【点睛】(1)本题主要考查数学归纳法证明不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)不等式的证明常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法，要根据具体情况灵活选择．第21页，共21页。
高中数学导数压轴题专题训练_1
如下示意图象：
如图有三个交点，
故选 A ．
点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．
8．（ 2014?海口二模）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ 2） =0，当 x＞ 0 时，有
恒
成立，则不等式 x2f（ x）＞ 0 的解集是（
）
A ．（ ﹣ 2， 0） ∪ （2， +∞）B ． （ ﹣2， 0） ∪ （ 0， 2） C． （﹣ ∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（ ﹣ ∞，﹣ 2） ∪ （ 0，2）
x 1， x 2 是方程
2
3x +2ax+b=0
的两根，从而关于
f （ x）的方程 3（ f（ x ））2+2af（ x ）
解答：
+b=0 有两个根，作出草图，由图象可得答案．
解：
f′（
x） =3x
2
+2ax+b
，
x
1，
x2
是方程
2
3x +2ax+b=0
的两根，不妨设
x 2＞x 1，
由 3（ f（ x ））2+2af（ x ） +b=0，则有两个 f （ x）使等式成立， x 1=f （ x1），x 2＞ x 1=f （ x1），
，
即
①．
设该直线交抛物线于 M （
由题意可知
，得
），则 C1 在点 M 处的切线的斜率为
．
，代入 M 点得 M （
）
把 M 点代入 ① 得：
．
解得 p= ．
故选 D． 点评： 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的
高一数学教案五篇
高一数学教案五篇教案：教学文书教案：电力术语教案：明清来华传教士和教会的案件下面是我为大家整理的高一数学教案五篇，欢迎大家与参考，盼望对大家有所关心。
第1篇: 高一数学教案一、指导思想与理论依据数学是一门培育人的思维，进展人的思维的重要学科。
因此，在教学中，不仅要使同学"知其然'而且要使同学"知其所以然'。
所以在同学为主体，老师为主导的原则下，要充分揭示猎取学问和方法的思维过程。
因此本节课我以建构主义的"创设问题情境提出数学问题尝试解决问题验证解决方法'为主，主要采纳观看、启发、类比、引导、探究相结合的教学方法。
在教学手段上，则采纳多媒体帮助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完善。
二、教材分析三角函数的诱导公式是一般高中课程标准试验教科书（人教A版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。
本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）。
教材要求通过同学在已经把握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发觉任意角、终边的对称关系，发觉他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发觉他们的三角函数值的关系，即发觉、把握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）。
同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培育同学养成良好的学习习惯提出了要求。
为此本节内容在三角函数中占有特别重要的地位。
三、学情分析本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班同学水平处于中等偏下，但本班同学具有擅长动手的良好学习习惯，所以采纳发觉的教学方法应当能轻松的完成本节课的教学内容。
四、教学目标（1）基础学问目标：理解诱导公式的发觉过程，把握正弦、余弦、正切的诱导公式；（2）力量训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简洁的三角函数求值与化简；（3）创新素养目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的力量和渗透化归、数形结合的数学思想，提高同学分析问题、解决问题的力量；（4）共性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的一般联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培育同学的唯物史观。
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尖子生辅导 1、设3.2()21fxxaxbx的导数为()fx，若函数()yfx的图像关于直线12x
对称，且(1)0f． （Ⅰ）求实数,ab的值 （Ⅱ）求函数()fx的极值 解：（I）因322()21,()62.fxxaxbxfxxaxb故
从而22()6(),66aafxxb 即()yfx关于直线6ax对称，从而由题设条件知1,3.62aa解得 又由于(1)0,620,12.fabb即解得 （II）由（I）知32()23121,fxxxx 2()6612fxxx6(1)(2).xx
令12()0,6(1)(2)0.2,1.fxxxxx即解得 当(,2),()0,()(,2)xfxfx时故在上为增函数； 当(2,1),()0,()(2,1)xfxfx时故在上为减函数； 当(1,),()0,()(1,)xfxfx时故在上为增函数； 从而函数1()2fxx在处取得极大值2(2)21,1fx在处取得极小值(1)6.f 2、设()fxxaxbx的导数()fx满足(),()fafb，其中常数,abR． （Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())f处的切线方程； （Ⅱ） 设()()xgxfxe，求函数()gx的极值． 解：（I）因32()1,fxxaxbx故2()32.fxxaxb 令1,(1)32,xfab得由已知(1)2,322,3.faabab因此解得 又令2,(2)124,xfab得由已知(2),fb因此124,abb解得3.2a
因此3235()31,(1)22fxxxxf从而又因为3(1)2()3,2f 故曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线方程为 5()3(1),6210.2yxxy即
（II）由（I）知2()(333)xgxxxe，从而有2()(39).xgxxxe 令212()0,390,0,3.gxxxxx得解得 当(,0),()0,()(,0)xgxgx时故在上为减函数； 当(0,3),()0,()xgxgx时故在)3,0(上为增函数； 当(3,)x时，()0,()(3,)gxgx故在上为减函数； 从而函数1()0gxx在处取得极小值2(0)3,3gx在处取得极大值3(3)15.ge 3（上海理20、文21）已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab． ⑴ 若0ab，判断函数()fx的单调性； ⑵ 若0ab，求(1)()fxfx时x的取值范围． 【解析】⑴ 当0,0ab时，因为23xxab、都单调递增；所以函数()fx单调递增；……２分 当0,0ab时，因为23xxab、都单调递减；所以函数()fx单调递减；………４分 ⑵ (1)()2230xxfxfxab （i）当0,0ab时，3()22xab， ……………………………… 7分
解得32log()2axb； ………………………………8分 （ii）当0,0ab时，3()22xab， ………………………………11分 解得32log()2axb． ………………………………12分 已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。 （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：0x，且1x时，ln().1xfxx
【解析】（Ⅰ）221(ln)'()(1)xaxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即 1,1,22bab
解得1a，1b.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知xxxxf11ln)(，所以， )1ln2(111ln)(22xxxxxxxf
设21()2ln(0)xhxxxx则22)1()(xxxh 当1x时， 0)(xh，而0)1(h，故 当(0,1)x时，()0hx得：0)(-112xhx 当(1,)x时，()0hx得：0)(-112xhx 从而当0x，且1x时，,01ln)(xxxf即1ln)(xxxf. 4（陕西文21）设()lnfxx，()()()gxfxfx． （1）求()gx的单调区间和最小值； （2）讨论()gx与1()gx的大小关系； （3）求a的取值范围，使得()()gagx＜1a对任意x＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数()fx，再求得()gx，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数()gx的最小值问题． 【解】（1）由题设知1()ln,()lnfxxgxxx， ∴21(),xgxx令()gx0得x=1， 当x∈（0，1）时，()gx＜0，()gx是减函数，故（0，1）是()gx的单调减区间。 当x∈（1，+∞）时，()gx＞0，()gx是增函数，故（1，+∞）是()gx的单调递增区间， 因此，x=1是()gx的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()gx的最小值为(1)1.g (2)1()lngxxx
设11()()()lnhxgxgxxxx，则22(1)()xhxx， 当1x时，(1)0h，即1()()gxgx， 当(0,1)(1,)x时，()0hx， 因此，()hx在(0,)内单调递减， 当01x时，()(1)0hxh 即1()().gxgx （3）由（1）知()gx的最小值为1，所以， 1()()gagxa，对任意0x，成立1()1,gaa
即1,Ina从而得0ae。 5（陕西理21）设函数()fx定义在(0,)上，(1)0f，导函数1()fxx，()()()gxfxfx．
（1）求()gx的单调区间和最小值； （2）讨论()gx与1()gx的大小关系； （3）是否存在00x，使得01|()()|gxgxx对任意0x成立？若存在，求出0x的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出原函数()fx，再求得()gx，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．
【解】（1）∵1()fxx，∴()lnfxxc（c为常数），又∵(1)0f，所以ln10c，即0c， ∴()lnfxx；1()lngxxx，
∴21()xgxx，令()0gx，即210xx，解得1x， 当(0,1)x时，()0gx，()gx是减函数，故区间在(0,1)是函数()gx的减区间； 当(1,)x时，()0gx，()gx是增函数，故区间在(1,)是函数()gx的增区间； 所以1x是()gx的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()gx的最小值是(1)1g． （2）1()lngxxx，设11()()()2lnhxgxgxxxx，
则22(1)()xhxx， 当1x时，(1)0h，即1()()gxgx， 当(0,1)(1,)x时，()0hx，(1)0h， 因此函数()hx在(0,)内单调递减， 当01x时，()(1)hxh=0，∴1()()gxgx； 当1x时，()(1)hxh=0，∴1()()gxgx． （3）满足条件的0x不存在．证明如下： 证法一 假设存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立， 即对任意0x有02ln()lnxgxxx ① 但对上述的0x，取0()1gxxe时，有10ln()xgx，这与①左边的不等式矛盾， 因此不存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立． 证法二 假设存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立， 由（1）知，()gx的最小值是(1)1g， 又1()lnlngxxxx，而1x时，lnx的值域为(0,)， ∴当1x…时，()gx的值域为[1,)， 从而可以取一个值11x，使10()()1gxgx…，即10()()1gxgx…,
∴1011|()()|1gxgxx…，这与假设矛盾． ∴不存在00x，使01|()()|gxgxx对任意0x成立． 6（全国课标理21） 已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy.
（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围.
【解析】（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即 1,1,22bab
解得1a，1b.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1()1xfxxx，所以