素数的分布规律

素数的分布规律
陈东平
浙江省丽水市中心医院323000
E-mail: chen12127@
MR 2010主题分类号：A11
中图分类号：O156.4
摘要：本文找到了素数在自然数中特殊的分布规律，并由此而解决了孪生素数的无限性难题。

关键词：规律素数孪生素数
素数在自然数中的分布是有规律的，找到这一规律能为我们系统地研究素数奠定坚实的基石。

1. 梅森素数
从梅森素数表中，我们发现，2²-1=3, 2³-1=7, 27-1=127 都是素数，并且，2127-1=A1也是素数，那么，2A1-1=A2是不是素数呢？A3又如何？下文中，我们将证明2, 3, 7, 127, A1, A2……这一组数，构成了素数在自然数中特殊的分布规律，因此，它们必然都是素数，诚如此，我们便论证了偶完全数的无限性。

证：
127≡-3 (mod 13)
因此，13│26+1
A1≡-3(mod 29)
因此，29│214+1
A2≡-3(mod 509) 因此，509│2254+1
A3≡-3(mod 4A1+1) 因此，4A1+1│22A1+1 ……
127≡-23-1(mod 17)
[17=
22
)2
3(2-
⨯]
因此，17│24+1
A1≡-27-1(mod 97)
因此，97│224+1
A2≡-2127-1(mod 32257) 因此，32257│28064+1 ……
24≡2（mod 7）
（7=32-2）
因此，7│23-1
224≡2（mod 47）
因此，47│223-1
28064≡2（mod 16127）因此，16127│28063-1 ……
以上均说明2，3，7，127，A1，A2，……这一组数，构成了素数在自然数中特殊的分布规律，因此，它们必然都是素数。

并且，13，29，509，4A1+1……17，97，32257，2129(2126-1)+1……7，47，16127，A12-2，……这三组数，也都是素数。

2. 素数的进一步研究
素数规律性的发现，为我们系统地研究素数，奠定了坚实的基石。

可以发现，以下无限组数，都是素数
3·2+1，3·6+1，3·126+1，……
6·2+1，6·6+1，6·126+1，……
6·7+1，6·47+1，6·16127+1，……
101，32261，2129（2126-1）+5，……
24-5，28-5，2128-5，……
25-9，29-9，2129-9，……
22+1，62+1，1262+1，……
193，64513，2130（2126-1）+1，……
25+9，29+9，2129+9，……
71，1031，2130+7，……
18·2+1,18·6+1,18·126+1，……
378·2+1，378·6+1，378·126+1，……
……
证：
127≡1(mod 7)
A1≡1(mod 19)
A2≡1(mod 379)
……
因此它们都是素数
127≡-3(mod 13)
A1≡-3(mod37)
A2≡-3(mod 757)
……
因此它们都是素数
6·7+1│27+1
6·47+1│247+1
6·16127+1│216127+1
………
因此它们都是素数
248≡25(mod 101)
216128≡8065(mod 32261)
22128(2126-1)≡2127(2126-1)+1[mod 2129(2126-1)+5] ………
因此它们都是素数
127≡-5(mod 24-5)
因此,24-5│223-3+1
A1≡-5(mod 28-5)
因此,28-5│227-3+1
A2≡-5(mod 2128-5)
因此,2128-5│22127-3+1
……
因此它们都是素数
25-9│224-5-1
29-9│228-5-1
2129-9│22128-5-1
……
因此它们都是素数
127≡-3(mod 22+1)
A1≡-3(mod 62+1)
A2≡-3(mod 1262+1)
……
因此它们都是素数
A1≡225-1-1 (mod 193)
A2≡2213-1-1(mod 64513)
A3≡22253-1-1 [mod 2130(2126-1)+1] ……
因此它们都是素数
127≡22(mod 25+9)
A1≡26(mod 29+9)
A2≡2126(mod 2129+9)
……
因此它们都是素数
225≡9(mod 71)
229≡129(mod 1031)
22129≡2127 + 1(mod 2130+7)
……
因此它们都是素数
A1≡-3(mod 18·2+1)
A2≡-3(mod 18·6+1)
A3≡-3(mod 18·126+1)
……
A2≡-3(mod 378·2+1)
A3≡-3(mod 378·6+1)
A4≡-3(mod 378·126+1)
……
……
因此它们都是素数
3. 孪生素数
素数规律性的发现，也为我们解决孪生素数的无限性，找到了一条捷径。

研究发现，以下几组数，都是孪生素数：
59，61；1019，1021；2130-5，2130-3; ……
71,73;1031,1033; 2130+7，2130+9; ……
41,43;521,523; 2129+9，2129+11; ……
证：
59│229+1
1019│2509+1
2130-5│24A1+1+1
……
因此它们都是素数
297≡-27(mod 61)
232257≡-2127(mod 1021)
22129(2126-1)+1≡-2A1(mod 2130-3)
……
因此它们都是素数
A1≡1 (mod 73)
A2≡1 (mod 1033)
A3≡1 (mod 2130+9)
……
因此它们都是素数
225≡-224-5 (mod 25+11)
229≡-228-5 (mod 29+11)
22129≡-22128-5 (mod 2129+11)
……
因此它们都是素数
参考文献
1. 乐茂华，初等数论，广东高等教育出版2002。