重庆市秀山高级中学校2019届高三第四次月考1
重庆十一中2019届高三月考试卷(1。4)含答案
重庆十一中2019届高三月考试卷 文 科 数 学 2019-12-21一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．设集合{1}P x x =>， 2{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 （ c ） A ．P Q = B ．P Q =R C ．P ⊂≠QD ．Q ⊂≠P 2．向量(12)a →=，，(1)b x →=，，2c a b →→→=+，2d a b →→→=-，，且//c d →→，则实数x 的值 等于（ ）A ．21-B ．61- C ．61 D ．21 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( b )A ．y ＝－log 2x (x >0)B ．y ＝x 3＋x (x ∈R )C ．y ＝3x (x ∈R )D ．y ＝1x(x ∈R ，x ≠0)4．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数图象（ d ）A ．关于直线6x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点(6π，0)对称 D ．关于点(3π，0)对称5．直线y x =绕原点按逆时针方向旋转30︒后所得直线与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）A. 直线过圆心B. 直线与圆相交，但不过圆心C. 直线与圆相切D. 直线与圆无公共点6设数列{}n a 是等差数列，且6,673=-=a a ；n s 是数列的前n 项和，则（ b ）A 64s s >B ．54s s =C ．56s s <D ．56s s =7．已知0,0a b >>，则11a b++ c ）A ．2B ．C ．4D ．5８．设奇函数f (x )在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at -+≤对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ a ）A ． 220t t t -=或或≥≤B ．11022t t t -=或或≥≤ C ．22t -≤≤D ． 2≥t9．设O 为△ABC 内一点，若任意k ∈R ，有||||O A O B kB C O A O C--≥-，则△ABC 的形状一定是（ b ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定10．已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把方程()0f x x -=的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ c ）A ．(1)()2n n n a n N *-=∈ B ．(1)()n a n n n N *=-∈C ．1()n a n n N *=-∈D ．22()n n a n N *=-∈二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. cos300︒= ．12． 若y x ,满足约束条件x+y 0x y+30,0x 3≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩－则y x z -=2的最大值为 ．13.点M 与点F(0,4)的距离比它到直线L; 05=+y 的距离小1，则M 的轨迹方程是14已知椭圆的方程22143x y += ，椭圆的两焦点分别为1F ,2F ，点P 是其上的动点，当 21F P F ∆内切圆的面积取最大值时，内切圆圆心的坐标为 ．15．给出下列命题：①不存在实数a ，b 使f (x )＝lg(x 2＋ax ＋b )的定义域、值域均为一切实数；②函数y ＝f (x ＋2)图象与函数y ＝f (2－x )图象关于直线x ＝2对称；③方程ln x ＋x ＝4有且只有一个实数根；④a ＝－1是方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆的充分必要条件⑤过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆与其右准线相离其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
三角函数概念(重难点突破)(解析版)
突破5.2 三角函数的概念一、考情分析二、考点梳理考点1 三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy =αtan 2.三角函数的定义域：三角函数 定义域=)(x f sin x R =)(x f cos x R=)(x f tan x⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且考点2 三角函数值的符号第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.考点3 诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Z k ∈ 考点4 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.三、题型突破重难点题型突破01 判断三角函数符号的正负例1．（1）、（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】首先判断305位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】解：因为270305360<<，所以305为第四象限角， 所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限； 故选：D（2）、（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值： ①sin 1()00-︒；②cos 2()20-︒；③()tan 10-；④cos π． 其中符号为负的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断． 【详解】因为－100°角是第三象限角，所以sin 10()00-︒<；因为－220°角是第二象限角，所以cos 22()00-︒<；因为710,32⎛⎫-∈-π-π ⎪⎝⎭，所以角－10是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<．所以符号为负的有4个， 故选：D ．【变式训练1-1】、（2021·北京·潞河中学高三月考）若2α=，则（ ） A ．sin 0α>且cos 0α> B ．sin 0α>且cos 0α< C ．sin 0α<且cos 0α< D ．sin 0α<且cos 0α>【答案】B 【分析】确定α所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】 因22ππ<<，则2α=是第二象限象限角，所以sin 0,cos 0αα><. 故选：B【变式训练1-2】、（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据α为第二象限角可求得2α为第一或第三象限角，由cos 02α<可得结果.【详解】α为第二象限角，()90360180360k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ，()45180901802k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ；当()2k n n =∈Z 时，2α为第一象限角；当()21k n n =+∈Z 时，2α为第三象限角； 2α∴为第一或第三象限角；coscos22αα=-，cos02α∴<，2α∴为第三象限角.故选：C.重难点题型突破02 三角函数的概念例2．（1）、（2021·辽宁·高三月考）已知角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，则sin cos αα⋅=（ ）A ．3B ．23- C 3D 2【答案】B 【分析】根据角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭， 所以1r OP ==， 所以36sin αα==， 所以362sin cos αα⋅==． 故选：B（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知角α的终边经过点()3,P m ，且2sin mα=，求cos α，tan α的值．【答案】答案见解析 【分析】根据正弦函数的定义求出m 值，然后再由余弦函数、正切函数的定义计算． 【详解】由题意，可知3x =-y m =，所以2223r x y m ++ 所以22sin 3y m r mα==+解得0m =或5± 当0m =时，3r =cos 1x r α==-，tan 0yxα==； 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== （3）、（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知角α的终边经过点()1,1P -，则sin α= （ ） A ．12B ．12-C 2D ．2【答案】C 【分析】首先根据题意求出2r =sin α的值. 【详解】22(1)12r -+=2sin 2α=故选：C【变式训练2-1】、若角终边经过点,则（ ） A.B. C. D. 【答案】D【解析】, ,选D. 【变式训练2-2】、（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且3sin cos 4αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3B ．43±C ．－3433D 3【答案】C 【解析】由已知，得()()()22222243sin 4444aa a a αα-==∴=-+-+-+，解得43a =-433α()()3,40P a a a ≠sin α=354535±45±229165r a a a =+=44sin 55a a α==±故选C ．【变式训练2-3】、（2021·天津·大钟庄高中高三月考）已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，则m =___________. 【答案】3- 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解. 【详解】解：∵已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，∴223sin 5(4)m α=--+，显然0m <，解得3m =-，3m =（舍去）， 故答案为：3-例3．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m -，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值． 【答案】5m =±；当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-；当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α= 【分析】根据三角函数定义可由()22sin 043m m m m α==≠+求得m 的值；结合m 的值，由三角函数定义可求得cos ,tan αα. 【详解】()22sin 043m m m m α==≠+，5m ∴=±； 当5m =时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=-； 当5m =-时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=. 【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m -，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．【答案】(1)10sin 4=a ； (2)1-或61543--或61543-+. 【分析】（1）根据三角函数的定义得到2243m m m =+，通过解方程即可求出m 的值，从而可求出sin α值；（2）根据（1）中求出的m 值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案. (1)由三角函数的定义，可知2243m m m =+，解得0m =或5m =±， ∵α为第二象限角，∴m ＞0，所以m ＝5， ∴10sin 4α=； (2)由（1）知0m =或5m =±，当0m =时，cos 1,tan 0αα=-=，所以cos tan 1αα+=-； 当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-，所以cos ta 43n 615αα=--+； 当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α=，所以cos ta 43n 615αα=-++. 综上所述，cos tan αα+的取值为1-或61543--或61543-+．重难点题型突破03 同角三角函数的公式例4、（1）、（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________． 【答案】43-【分析】先利用三角函数的定义求出tan 2α=，再进行弦化切，代入求解. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P ，所以12cos 0,tan 215αα.所以sin 2sin 2cos tan 2224cos sin sin cos tan 12131cos αααααααααα--------====-++++. 故答案为：43-（2）、（2022·贵州·高二开学考试）若tan 2α=，则225sin 3cos 1αα-+的值为（ ） A ．175B ．4C ．225D ．285【答案】C【分析】根据22sin cos 1αα+=，将原式齐次化后再弦化切即可得答案. 【详解】解：原式222222225sin 3cos sin cos 6tan 222sin cos tan 15αααααααα-++-===++． 故选：C ．（3）、（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则222sin sin cos 3cos αααα+-的值为（ ） A ．95B ．18C ．1710D ．15【答案】A【分析】原式可除以22sin cos αα+化简成222tan tan 3tan 1ααα+-+，代入tan 3α=求值即可【详解】222sin sin cos 3cos αααα+- 22222sin sin cos 3cos sin cos αααααα+-+=222tan tan 3tan 1ααα+-=+， 代入tan 3α=可算得原式的值为95.故选：A【变式训练4-1】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）若sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-，则tan α=（ ）A ．13B ．12C ．13-D ．12-【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 【详解】 由sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-可得tan 255tan 16αα+=-，解得：1tan 3α=-，故选：C.【变式训练4-2】．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+_____________ 【答案】29-【分析】分子，分母同除以cos θ，再把tan θ的值代入即可求解 【详解】2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯故答案为：29-【变式训练4-3】.已知点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan α=______，sin 2cos 2sin 3cos αααα-+=_______.【答案】2- 4 【解析】根据题意知：2tan 21α-==-，sin 2cos tan 242sin 3cos 2tan 3αααααα--==++. 故答案为：-2；4.例5．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））（1）已知tan 3α=，计算3sin αcos αsin α2cos α；（2）已知1sin cos (0)2αααπ+=<<，求sin cos αα．【答案】（1）10；（2）38-【分析】（1）利用商数关系化弦为切，即可得解;（2）将1sin cos 2αα+=进行平方即可求得答案 【详解】（1）因为tan 3α=，所以3sin cos 3tan 110sin 2cos tan 2αααααα++==--；(2)由1sin cos (0)2αααπ+=<<，平方可得221sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααα++=+=，所以3sin cos 8αα=-【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知23sin 4sin cos 10ααα-+=． (1)求tan α的值； (2)求2sin cos 1cos ααα+的值．【答案】(1)1tan 2α=(2)29 【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求1tan 2α=. （2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值. （1）解法一：∵22sin cos 1αα+=，23sin α-4sin cos 10αα+=， ∴2223sin 4sin cos 10sin cos ααααα-+=+， 分子分母同时除以2cos α，得223tan 4tan 10tan 1ααα-+=+，即()22tan 10α-=，解得1tan 2α=．解法二：∵23sin 4sin cos 10ααα-+=，∴224sin 4sin cos cos 0αααα-+=， 即2(2sin cos )0αα-=，∴2sin cos 0αα-= ∴1tan 2α=． （2） ∵1tan 2α=，∴2222sin cos sin cos tan 21cos sin 2cos tan 29ααααααααα===+++．重难点题型突破4 综合应用例6．（2022·全国·高一课时练习）求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++ 【答案】详见解析【证明】方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++ ()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边，∴原式成立．方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立．【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式2222cos 1sin ,sin 1cos αααα=-=-，得cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+ ，然后运用等比定理即可证明. 【详解】证明：方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边， ∴原式成立.方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=是证明的关键,法二恒等式cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+的合理利用是证明的关键;本题属于难题. 【变式训练6-1】、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是A ．(,)42ππ B ．3(,)24ππ C ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ 【答案】C 【详解】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得12a =-，舍去()12+，则sin cos 120θθ=-<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 120θθ+=-<而sin cos 2sin 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C. 点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a 的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得12a =-，即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B.【变式训练6-2】、（2021·上海·高一期末）若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,3-【分析】原不等式可化为2cos 2cos 20x a x a +++≥，令cos ,[1,1]t x t =∈-，转化为二次不等式 2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.【详解】由原不等式可化简为2cos 2cos 20x a x a +++≥对任意x R ∈恒成立，令cos ,[1,1]t x t =∈-得：2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，令2()22h t t at a =+++，[1,1]t ∈-，函数对称轴方程为t a =-，当1t a =-<-，即1a >时，min ()(1)30h t h a =-=-≥，解得13a ，当11t a -≤=-≤，即11a -≤≤时，2min ()()20h t h a a a =-=-++≥，解得12a -≤≤， 所以11a -≤≤，当1t a =->，即1a <-时，min ()(1)330h t h a ==+≥，解得1a ≥-，所以a ∈∅，综上实数a 的取值范围是13a -≤≤，故答案为[]1,3-【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论的思想，换元法，属于难题.四、课堂训练1．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ）A 2B ．2C ．2D ．1 【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】角α的终边上点(2,2)P -，则||22r OP ==，所以22sin 2r α==. 故选：A2．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）已知tan 2θ=,则cos sin sin cos θθθθ-+的值为（ ） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cos θ,将弦化切,代入求解即可.【详解】tan 2θ=, ∴cos sin 1tan 121sin cos tan 1123θθθθθθ---===-+++. 故选:A.3．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）A ．经过30分钟，钟表的分针转过2π-弧度B ．若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角C ．若sin cos 1θθ+>，则θ为第一象限角D ．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限 【答案】BC【分析】根据任意角的概念可判断A ；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将sin cos 1θθ+>平方推出sin 0,cos 0θθ，判断θ为第一象限角，判断C;举反例可判断D.【详解】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，A 错误；对于B ，若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角，正确；对于C ，因为sin cos 1θθ+>，故2(sin cos )1,12sin cos 1θθθθ+>∴+>，即sin cos 0>θθ，结合sin cos 1θθ+>可知sin 0,cos 0θθ，故θ为第一象限角，C 正确；对于D ，第一象限角不都是锐角，比如390是第一象限角，但不是锐角， 故D 错误；故选：BC4．（2021·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值. 【答案】25或25-． 【分析】先求点P 到原点的距离，再利用定义求sin α，cos α，应注意分类讨论．【详解】225r x y a =+=，∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5α=，22sin cos 5αα∴+=-； 当0a <时，5r a =-，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=． 综上可知，2sin cos αα+的值为25或25-.16。
重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学(理科)试题(解析版)
重庆南开中学2019届高三第四次教学质量检测考试数学（理科）一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合(){}20log 12A x x =<-<，集合{}230B x x x =-≤，则AB =( )A. ()2,3B. (]2,3C. [)0,5 D. (]0,5【答案】C 【解析】 【分析】先求解A,B ，再由并集运算求解即可【详解】(){}{}{}20log 1211425A x x x x x x =<-<=<-<=<<{}230B x x x =-≤={}03x x ≤≤，则A B =[)0,5故选：C【点睛】本题考查二次不等式的解法和对数不等式求解，考查集合运算，准确计算是关键，是基础题2.若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 1 B. 1-C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】化简z 为a+bi(a,b ∈R)的形式利用纯虚数概念求解即可【详解】()()()()()11111i 1i 112ai i a a ia z i i +-++-+===++- 故10,10a a +=-≠ ，解1a =- 故选：B【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，准确计算是关键，是基础题3.在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =( ) A.14B.12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列性质得q,即可求解【详解】()57134a a a a +=+，则44,q =∴ 4624a q a == 故选：D【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题4.根据下图给出的2000年至2017年某地区社会消费品零售额及增长速度情况．以下结论正确的是( )A. 2000年以来该地区社会消费品零售额与年份负相关B. 2000年以来该地区社会消费品零售额与年份宜用线性回归模型拟合C. 2008年该地区社会消费品零售额同比增长速度最大D. 2010年以来该地区社会消费品零售额增长速度逐年递减 【答案】C【解析】 【分析】利用图表逐项分析即可求解【详解】对A, 2000年以来该地区社会消费品零售额与年份正相关，故A 错误； 对B 2000年以来该地区社会消费品零售额与年份宜用非线性回归模型拟合，故B 错误; 对C, 2008年该地区社会消费品零售额同比增长速度最大,故正确； 对D, 2013年到2014年该地区社会消费品零售额增长速度递增，故D 错误 故选：C【点睛】本题考查图表分析能力，准确读图识图是关键，是基础题5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中，最长的棱的长度为( )A. B. 6C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原即可求解【详解】三视图还原成如图所示的几何体:三棱锥S-ABC ，则4,2,25,6S B B C A A B S A===== 故选：B,【点睛】本题考查三视图，考查椎体的有关计算，是基础题6.若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =( )A.34B. 1-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】由AC BC ⊥得圆心到直线的距离求解即可【详解】圆C:()()22112x y +++= ,∵ AC BC ⊥∴圆心C 到直线的距离为1，1= ，解m=34故选：A【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，距离公式，准确计算是关键，是基础题7.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( ) A. 18 B. 36C. 54D. 72【答案】B 【解析】 【分析】按甲乙分情况求解即可【详解】若甲、乙一起（无其他人）有23675种 若甲、乙与另一人一起（三人一起）有133318C A =种 ，共18+18=36种故选：B【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分类讨论思想，是基础题8.已知O 为V ABC 内一点且满足0OA OB OC ++=，若AOC △2AB BC ⋅=-，则ABC ∠=( )A.3π B.4π C.6π D.12π 【答案】A 【解析】 【分析】由0OA OB OC ++=得O 为重心，进而得V ABC 的面积，结合面积公式及数量积求解即可 【详解】0O A O BO C ++=，∴O 为V ABC 重心，故33ABCAOCSS== ，1sin 3,cos()22AB BC ABC AB BC ABC π∠=-∠=- 故tan ABC ∠=，则ABC ∠=3π故选：A【点睛】本题考查向量的简单应用，面积公式，向量的数量积，考查基本公式是基础题9.如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】 【分析】分析框图的意义结合几何概型求解即可【详解】由题知框图的意义是在x y 2+≤内取点（x,y ）,满足3y x ≤的概率 因为x y 2+=与3y x =均关于原点中心对称，故概率为12故选：B【点睛】本题考查程序框图，考查面积型几何概型，准确理解框图含义是关键，是基础题10.函数()()·21010x bf x a a b x =-+<≤>，在区间()12，内有唯一零点，则11a b +-的取值范围为( )A. 91,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. 2,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,+∞D. 2,9⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性结合零点存在定理得a,b 的不等式组，利用线性规划求范围即可【详解】易知()()·21010xb f x a a b x =-+<≤>，单调递增，故()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即210b 410201,0a b a a b -+<⎧⎪⎪-+>⎨⎪≤⎪⎩,画出不等式表示的可行域如图阴影所示：11a b +-表示可行域内的点（a,b ）与A(-1,1)连线斜率的倒数，当直线为AB 时，斜率最大此时11a b +-最小，1b4102a a =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得B ()1,10,故11a b +-29> 故选：D【点睛】本题考查函数的单调性及零点存在定理，考查线性规划，考查转化化归能力，是中档题11.过双曲线2222x ya b-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，渐近线方程为y＝±bax，则F1A的方程为y﹣0ab=（x+c），代入渐近线方程yba=x可得B的坐标，由若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，即可求得离心率．【详解】由题意可知，渐近线方程为y＝±ba x，则F1A的方程为y﹣0ab=（x+c），代入渐近线方程yba=x可得B的坐标为（222a cb a-，22abcb a-），因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，所以（222a cb a-）2+（22abc b a -）2＝c 2， 所以b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2+b 2＝4a 2，所以e ＝2 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出B 的坐标是解题的关键．12.若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A. [)1,+∞ B. 1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】求导对a 讨论判断函数的单调性求其极值即可求解【详解】()()2'22112111ax a x f x ax x x +-=+-=++ 当210a -≥,即12a ≥()0f x '= ,得121,2a x a -=>- 或0x =，当1212a x a--<< 或0x > ，()'0;f x >1202ax a-<< ，()'0;f x <故()f x 在()0,∞+ 单调递增，又(0)0f =，故图象不经过第四象限，符合题意当210a -<，即12a <时，()0f x '= ,得12,2a x a -=或0x =，当122a x a -> ，()'0;f x >1202a x a -<< ，()'0;f x <故()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 单调递减，在12,2a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，又(0)0f =，故图像经过第四象限，舍去 故选：C【点睛】本题考查函数的单调性，函数图像的应用，f （0）=0是突破点，是中档题二、填空题．请将答案填写在答题卡相应的位置．13.向量()2,1a =，向量()1,3b =．若()3a kb a +⊥，则实数k =______． 【答案】3- 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】()36,33a kb k k +=++，()3a kb a +⊥，则()26330k k +++= ，得3k =- 故答案为3-【点睛】本题考查向量的坐标运算，垂直的坐标表示，熟记公式准确计算是关键，是基础题14.已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，()3f =()1f =______．【解析】 【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【详解】由题()()()4f x f x f x =-=- ，则函数的周期T=4, 则()1f =()()13f f -=【点睛】本题考查函数的奇偶性对称性的应用，熟记性质的相互转化求得周期是关键，是基础题15.三棱锥P ABC -的4的球面上，PA ⊥平面ABC ，V ABC 形，则点A 到平面PBC 的距离为______． 【答案】65【解析】 【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离【详解】△ABC的正三角形，可得外接圆的半径2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R ==,解得h=2,又4PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --=知'113?2=?33 ，得'65d = 故点A 到平面PBC 的距离为65故答案为65． 【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题16.在正项数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足()21122n n n S S a n -+=≥，若数列()211n nn n b S +=-，则数列{}n b 的前2020项和为______． 【答案】20202021- 【解析】 【分析】由递推关系()21122n n n S S a n -+=≥得{}n a 通项公式，进而求得n S ，裂项相消求和即可 【详解】()21122n n n S S a n -+=≥,得()2121132n n n S S a n ---+=≥，则()()11112n n n n n n a a a a a a ---+=+- ，因为0n a > ，则12n n a a --= ，又2122212,42a a a a +=∴= ，即212a a -= ，故{}n a 为等差数列，∴()2,1n n a n S n n ==+ ()211nn n n b S +=-=()1111n n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，则数列{}n b 的前2020项和为11111120201223202020212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为20202021-【点睛】本题考查数列递推关系求通项，等差数列的通项及求和公式，考查裂项相消求和，熟记基本公式是关键，是基础题三、解答题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()4cos cos 23f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】(1) ()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2) ⎡⎣ 【解析】 【分析】 （1）利用两角差余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由2633x πππ≤-≤结合三角函数性质求值域即可【详解】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14sin cos 2x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+-()sin 21cos 2x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222232k x k πππππ-≤-≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；的（2）由43x ππ≤≤得2633x πππ≤-≤，故而2sin 23x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题18.在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD ⊥，24AB CD ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点（如图1）．沿EF 将四边形EFCD 折起，使得DE BF ⊥（如图2）．（1）求证：平面ABFE ⊥平面EFCD ；（2）若AC BE ⊥，求二面角C EB F --的余弦值．【答案】(1)见证明；(2) 7【解析】 【分析】（1）证明DE ⊥平面ABFF ，利用面面垂直的判定即可证明；（2）建立空间角坐标系E xyz -，由A C B E ⊥得DE 的长，求面的法向量，利用二面角的余弦公式求解即可【详解】（1）由题设条件，EF AB CD ∥∥，则DE EF ⊥，又DE BF ⊥且BF EF F =I 则DE ⊥平面ABFF ，又DE Ì平面EFCD 故平面ABFE ⊥平面EFCD（2）如图，建立空间角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()0,3,0F ，设()()0,0,0D h h >，则有(),0,0A h ，(),4,0B h ，()0,2,C h 由AC BE ⊥知280AC BE h ⋅=-=解得h =从而(D，()A，()B，(C 平面EBF 的法向量为()0,0,1=m 设平面CEB 的法向量为(),,n x y z =由00n EC n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2040y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取,得()2,2,1n =- 则二面角C EB F --的余弦值为7m n m n⋅=⋅ 【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间二面角的向量求法，熟记判定定理，准确计算是关键，是基础题19.“伟大的变革—庆祝改革开放40周年大型展览”于2019年3月20日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放40年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放40年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达423万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达4.03亿次． 下表是2019年2月参观人数（单位：万人）统计表根据表中数据回答下列问题：（1）请将2019年2月前半月（114日）和后半月（1528日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）将2019年2月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样7天的样本数据．若抽取的样本编号是以4为公差的等差数列，且数列的第4项为15，求抽出的这7个样本数据的平均值；（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为0~3（含3，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从()2中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为ξ，求ξ的分布列与期望．【答案】(1)见解析；(2)3.3 (3)见解析【解析】【分析】（1）利用图表数据补全茎叶图即可判断；（2）利用等差数列确定7个数据再求平均数即可；（3）由（2）知所抽样本7天中，有三天参观人数超过3万人，其余四天体验满意度最佳，得ξ可取值0，1，2，3，分别计算概率即可求解【详解】（1）由茎叶图可知，后半月数据分布较集中，故后半月数据的方差小于前半月数据的方差．（2）由题意，抽取到的样本编号分别是3号、7号、11号、15号、19号、23号和27号，对应的样本数据依次是2.5、6.2、3.2、2.4、2.8、2.9和3.1． 故平均值为：2.5 6.23.2 2.4 2.8 2.9 3.13.37++++++=．（3）由（2）知所抽样本7天中，有三天参观人数超过3万人，其余四天体验满意度最佳．从而ξ可取值0，1，2，3()33371035C P C ξ===，()12433712135C C P C ξ===()21433718235C C P C ξ===，()34374335C P C ξ===ξ的分布列如下：12184121233535357E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查茎叶图分析，考查古典概型，考查超几何分布，准确计算是关键，是基础题20.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且2MN =．（1）求p 的值；（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（均与点Q 不重合），设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-．动点H 在直线l 上，且满足0OH AB ⋅=，其中O 为坐标原点．当线段OH 最长时，求直线l 的方程． 【答案】(1) 12p = (2) 310y x =- 【解析】 【分析】（1）设直线MN 方程为2px y =+，联立抛物线方程由焦点弦长公式求解即可得P 值；（2）直线:l y kx m =+与抛物线联立由1212k k =-结合韦达定理得直线l 恒过定点()3,1T -，利用·0OH AB =得动点H 地轨迹为圆，利用圆的性质即可求最小值 【详解】（1）抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为2p x y =+联立抛物线方程可得2220y py p --=故：2M N y y p +=，2·M N y y p =- ∴4222M N M N p p MN x x p y y p p ⎛⎫⎛⎫=++=++++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p =． （2）由（1）知抛物线C 方程为2y x =，从而点()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y220y kx mky y m y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩ ()140*km ∆=->∵0k ≠，∴121y y k +=，12m y y k⋅=． 由1212122212121211111111111112y y y y k k x x y y y y ----=⋅=⋅=⋅=-----++ 可得()121230y y y y +++=，即130m k k++= 从而13m k +=-该式满足()*式∴()31y k x =--即直线l 恒过定点()3,1T -．设动点(),H x y ，∵·0OH AB =，∴()(),?3,10x y x y -+= ∴动点H 在2230x x y y -++=，故H 与T 重合时线段OH 最长，此时直线():331l y x =--，即：310y x =-．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，圆的应用，转化化归关键，是中档题21.已知函数()1ln 2f x x x x a =-+，其中a ∈R ． （1）若直线y x =与()y f x =相切，求实数a 的值；（2）当()2e,0a ∈-时，设函数()()g x x f x =⋅在[)1,+∞上的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 【答案】(1) a =231e ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）设切点为()00,P x y ，由题意得00000111ln 21ln 2x x x x x a ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解方程即可求解；（2）求导，()2ln g x x x a '=+，得()g x '在[)1,x ∈+∞上单调递增，由零点存在定理得∃唯一()01,e x ∈使得()0002ln 0g x x x a '=+=，进而判断g （x ）的单调性求得最小值为()()0000001ln ,1,e 2g x x x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，构造函数得其最小值即可【详解】（1）设切点为()00,P x y由题意得0000000111ln 12ln 12ln 2x x x x x x x a⎧=+-⎪⎪⇒=⇒⇒⎨⎪=-+⎪⎩∴a（2）()()()2ln g x f x x f x x x a ''=+⋅=+，[)1,x ∈+∞ ∵()22ln 0g x x ''=+>，∴()g x '在[)1,x ∈+∞上单调递增 ∴()()10g x g a ''≥=<，()e 2e 0g a '=+>∴∃唯一()01,e x ∈使得()0002ln 0g x x x a '=+=，∴002ln a x x =-∴()g x 在[)01,x 上单调递减，在()0,x +?上单调递增∴()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为()()000000000011ln ln 1,e 22g x x x x x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()()21ln 1,e 2m x x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭()()2112ln 2ln 102m x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()m x 在()1,e ）单调递减，∴()231e ,22m x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．∵()m x 在()1,e 单调递减，对231e ,22λ⎛⎫∀∈-- ⎪⎝⎭，存在唯一的()01,e x ∈，()002ln 2e,0a x x =-∈-，使得()h a λ=，即()h a 的值域为231e ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上，当()2e,0a ∈-时，函数()g x [)1,+∞上有最小值()h a ，()h a 的值域为231e ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的几何意义， 导数与函数的最值单调性，零点存在定理得应用，考查转化化归能力，是中档题22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C参数方程为252x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的最短距离．【答案】(1) 曲线1C :28x y +=，曲线2C ：2212y x +=．(2)见解析【解析】 【分析】（1）由参数方程与普通方程的互化及极坐标与普通方程互化求解即可；（2）由曲线2C 上动点()cos sin M θθ，得点到线的距离公式求解即可【详解】（1） 曲线1C 为()1y 5x 22-=-+即+2=8x y ， 由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 为2212y x +=．（2）设曲线2C上动点()cos M θθ， 则动点M 到曲线1:28C x y +=距离为d ==≥．∴动点M 到曲线1:28C x y +=【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化及极坐标与普通方程互化，考查椭圆参数方程的应用，考查计算能力，是基础题23.已知()21f x x x =+-． （1）证明()1f x x +≥； （2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 【答案】(1)见证明；(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由绝对值三角不等式证明；（2）利用基本不等式求m ，再零点分段解不等式【详解】（1）()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=．当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立的（2）∵3331113333334444abc abc abc abc m a b c abc +++≥=+≥==，当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<．由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得：不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查绝对值三角不等式证明，考查基本不等式求最值及绝对值不等式的解法，考查计算能力，是中档题。
专题05 利用导数研究函数零点问题 (解析版)
导数及其应用专题五：利用导数研究函数零点问题一、知识储备1、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 二、例题讲解1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()e e x x f x x =+. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）讨论函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数.【答案】（1）单调递减区间是(,2)-∞-，单调递增区间是(2,)-+∞，极小值为21e -，无极大值；（2）详见解析. 【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间，进而求得极值.（2）由（1）画出()f x 大致图象，由此对a 进行分类讨论，求得()g x 的零点个数. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且()(2)e x f x x '=+， 令()0f x '=得2x =-，则()'f x ，()f x 的变化情况如下表示：(2,)-+∞.当2x =-，()f x 有极小值为21(2)e f -=-，无极大值. （2）令()0f x =有1x =-：当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，且()f x 经过212,e A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)B -，(0,1)C .当x →-∞，与一次函数相比，指数函数e x y -=增长更快，从而1()0e xx f x -+=→；当x →+∞时，()f x →+∞，()f x '→+∞，根据以上信息，画出大致图象如下图所示.函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点的个数为()y f x =与y a =的交点个数. 当2x =-时，()f x 有极小值21(2)e f -=-. ∴关于函数()()()g x f x a a =-∈R 的零点个数有如下结论： 当21e a <-时，零点的个数为0个； 当21e a =-或0a ≥，零点的个数为1个； 当210ea -<<时，零点的个数为2个. 【点睛】求解含参数零点问题，可利用分离常数法，结合函数图象进行求解.感悟升华（核心秘籍）本题讨论()()()g x f x a a =-∈R 零点的个数，将问题分解为()y f x =与y a =交点的个数，注意在利用导函数求()f x 单调性，极值后，画出草图，容易出错，本题利用极限x →-∞时，()0f x →，从而将草图画的更准确；三、实战练习1．（2022·河南高三开学考试（文））若函数()34f x ax bx =+－，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的递减区间；（2）若关于x 的方程()0f x k -=有一个零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）递减区间为()2,2-；（2）428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）对函数进行求导，利用()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩，解方程即可得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，对函数求导，根据导数的性质列表，即可得答案；（2）作出函数的图象，直线与函数图象需有1个交点，即可得答案； 【详解】（1）()23f x ax b '=-，由题意知()()2120,42824,3f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩解得1,34.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故所求的解析式为()31443f x x x =-+，可得()()()2422f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，得2x =或2x =-，由此可得所以函数的递减区间为2,2-.(2)由(1)知，得到当2x <-或2x >时， ()f x 为增函数; 当22x -<<时， ()f x 为减函数，∴函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当43k <-或283k >时， ()f x 与y k =有一个交点，所以实数k 的取值范围为428,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：根据函数的单调性做出该函数的大致图像，进而利用数形结合求解，考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．（2022·陕西西安中学高三月考（理））已知函数()()1xf x e ax a R =--∈.（1）试讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()()ln 1ln xg x e x =--，且()()f g x f x <⎡⎤⎣⎦在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）(],1-∞【分析】（1）通过求解函数的单调性，然后根据零点存在定理，通过讨论求解得出函数零点的个数；（2）根据（1）中结论，得到函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，将不等式转换为自变量的比较，最后得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，可得()x f x e a '=-，则有：①若0a ，则()0x f x e a '=->，此时可得函数()f x 在R 上单调递增， 又因为(0)0f =，所以函数只有一个零点； ②若0a >，令()0f x '=，则有ln x a =，所以()0ln f x x a '>⇒>，此时函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增；()0ln f x x a '<⇒<，此时函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；即()(ln )1ln min f x f a a a a ==--，则有：()i 当ln 01a a =⇒=时，则()0f x ，此时函数()f x 只有一个零点；()ii 当ln 0a ≠时，即1a ≠时，则(ln )(0)0f a f <=，又因为x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 根据零点存在定理可得，此时函数()f x 在R 上有两个零点． 综上可得，当0a 或1a =时，函数()f x 只有一个零点；当()()0,11,a ∈+∞时，函数()f x 有两个零点．（2）下面证明：0x ∀>，有()0g x x <<，先证：0x ∀>，有()0g x >，由（1）可知当1a =时，()()00min f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()()()1ln 1ln ln ln10x xe g x e x g x x ⎛⎫-=--==>= ⎪⎝⎭，再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x xe e x-<，即证0x ∀>，1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+> 令()1(0)x x H x xe e x =-+>()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，即得函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()(0)0H x H >=，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有()0g x x <<，当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意， 综上可得，1a ，即(],1a ∈-∞． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）()0,1. 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）把()f x 有两个零点，转化为2ln x xa x +=有两个解，令()2ln x x h x x+=，二次求导后得到函数()h x 的单调性和极值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． （2）若()f x 有两个零点，即2ln 0ax x x --=有两个解，2ln x x a x +=．设()2ln x x h x x +=，()312ln x h x xx '-=-， 设()12ln F x x x =--，因为函数()F x 在()0,∞+上单调递减，且()10F =， 所以当01x <<时，()0F x >，()0h x '>，当1x >时，()0F x <，()0h x '<． 以函数()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 且 x →+∞时，()0h x →，()11h =， 所以01a <<．即实数a 的取值范围为()0,1.4．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）已知函数()e 1xf x x a -=++（R a ∈）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）()20,e -.【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的符号，进而得到函数的单调区间；（2）由（1）可以判断0a >，根据（1）可知()()min ln 0f x f a =<，进而根据零点存在定理结合放缩法得到答案. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()1e xf x a -'=-，①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，令()0f x '=得ln x a =， 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）由（1）可知，0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意.0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，因为函数有2个零点，所以()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=.记()()e 0x g x x x =-<，则()e 1xg x '=-，所以(),0x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()010g x g >=>，则e xx >，于是2e2x x ->-，则x <0时，2e 4xx ->. 所以当x <0时，()214ax f x x >++，限定1x <-，则()()212844ax f x x x ax >+=+， 所以当1x <-且8x a<-时，()0f x >.于是，若函数有2个零点，则()20,e a -∈.【点睛】在“()()2min ln ln 200e f x f a a a -==+<⇒<<，且()11e 02f a -+>=”这一步之后，另一个特值不太好找，这时候需要利用e xx >得到2e2x x->-，进而根据放缩法得到结论. 5．（2022·赣州市第十四中学高三月考（文））已知函数()e 2xf x x =+. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()()()g x f x ax a =-∈R ，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数；（2）⎛⎫+∞⎪⎪⎭. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分析可知，直线y a =与函数()22xeh x x x=+（0x ≠且2x ≠-）的图象有三个交点，利用导数分析函数()22xe h x x x=+的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()e 2xf x x =+的定义域为{}2x x ≠-，且()()()212x e x f x x +'=+，则当2x <-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当21x -<<-时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，综上可得：()f x 在(),2-∞-和()2,1--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数； （2）令函数()()0g x f x ax =-=，因为0x =不是方程的解，所以可得22xe a x x=+，构造函数()22xeh x x x =+（0x ≠且2x ≠-），则()()()22222x e x h x x x -'=+，由()0h x '=可得x =作出函数()h x 的图象如下图所示：由图可知，当a >时，函数y a =与函数()y h x =的图象有三个不同的交点，因此实数a 的取值范围是⎛⎫+∞⎪⎪⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．（2022·天津静海一中高三月考）已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）-9，单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）根据(1)0f '-=即可求得a 的值，利用导函数求解单调区间；（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，转化为()g x 有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得2()36f x x x a '=-+， ∵在1x =-处的切线与x 轴平行 ∴(1)0f '-=，解得9a =-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'--- 由()0f x '>，解得3x >或1x <-； 由()0f x '<，解13x ．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-． （2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭，则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点． ∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--， ∴由()0g x '>，解得2x >或1x <； 由()0g x '<，解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-．依题意得10210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<．故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．7．（2022·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）3()=ln 24min f x +，()2max f x =；（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）当1a =时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）由()()0g x f x x =-=，分离参数得2ln ()x a h x x ==，根据函数2ln ()xh x x =得单调性作图，结合图像即可得出答案. 【详解】解：（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，(21)(1)()x x f x x-+'=，∴()f x 在11[,)32单调递减，在1(,1]2单调递增，11114ln ln 339339f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()414112ln 993f e f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，∴13()()ln 224min f x f ==+，()(1)2max f x f ==.（2）()()0g x f x x =-=2ln ()x a h x x ⇔==，则312ln ()xh x x -'=，∴()h x在单调递增，在)+∞单调递减，12h e=，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 作出函数2ln ()x h x x =和y a=得图像， ∴由图象可得，1(0,)2a e∈.8．（2022·全国高三专题练习）已知函数()ln f x a x bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--. （1）若对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，求实数k 的范围. 【答案】（1）[ln31--，)+∞；（2）3(ln2,0)4-.【分析】（1）()af x b x'=+，(0)x >，根据函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--．可得f '（1）2=-，f （1）3=-，解得a ，b ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数m 的取值范围． （2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数k 的取值范围．【详解】解：（1）()a f x b x'=+，(0)x >.函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--. f '∴（1）2=-，f （1）3=-，∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =.()ln 3f x x x ∴=-.13()13()3x f x x x --=-='，1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴.∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()ln313f =--.对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立，所以()max m f x ，1[,)3x ∈+∞.ln31m ∴--.∴实数m 的取值范围是[ln31--，)+∞.（2）由（1）可得：2()ln 32g x x x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1. 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当2x =时，函数()g x 取得极大值13()ln224g k =-++.要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 3ln2040k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3ln204k -<<， 则实数k 的取值范围3(ln2,0)4-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题．9．（2022·全国高三开学考试）已知函数()()()21102f x x a x x =-+>. （1）若()()ln g x f x a x =+，讨论函数()g x 的单调性；（2）已知()()()2ln 222m x f x x x a x a =-++-+，若()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求出导函数，对a 进行分类讨论：①0a ≤；②01a <<；③a =1；④a >1，利用导数研究单调性. （2）把()m x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点转化为关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭利用导数判断单调性，求出值域，即可求出a 的范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,+∞)，()()()()11x x a a f x x a x x--'=-++=. ①当0a ≤时，令()0f x '<，得到01x <<；令()0f x '>，得到1x >，此时()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；②当01a <<时，令()0f x '<，得到1<<a x ；令()0f x '>，得到0x a <<或1x >，此时()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数；③当a =1时,显然()0f x '≥恒成立，此时()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时,令()0f x '<，得到1x a <<；令()0f x '>，得到01x <<或x a >.此时()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.综上：①当0a ≤时， ()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当01a <<时， ()f x 在(a ,1)上为减函数，在(0,a )和()1,+∞上为增函数； ③当a =1时，()f x 在0,+∞)上为增函数；④当a >1时，()f x 在(1,a )上为减函数,在(0,1)和(a ,+∞)上为增函数.（2）()()()22ln 222ln 22m x f x x x a x a x ax x x a =-++-+=---+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内有两个零点，即关于x 方程2ln 2=2x x x a x -++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令()2ln 21=,,22x x x h x x x -+⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭则()()2232ln 4=2x x x h x x +--'+， 令()2132ln 4,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭，，则()()()212x x p x x-+'=，显然()0p x '≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立,故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为p (1)=0，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，有()0p x <，即()0h x '<所以()h x 单调递减；当()1x ∈+∞，，有()0p x >，即()0h x '>所以()h x 单调递增； 因为()()9ln 24=,1,0111423ln 21532h h h h ⎛⎫⎛⎫+==-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 10．（2022·贵州贵阳一中（文））已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【分析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值； （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 【详解】解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++，令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．。
重庆市秀山高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
重庆市秀山高级中学校高2026届2024年秋期10月考试数学试题卷考试时间：120分钟试题总分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1. 过两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D. 2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（）A. B. C. D. 4. 若直线与相离，则点与圆位置关系为（）A. 点在圆内 B. 点在圆上C. 点在圆外D. 无法确定5. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（）A. B. C. 2D. 16. 已知是椭圆上的动点，过作y 轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）的()()1320A B --，，，45︒60︒12013522122x y k k+=+-y k ()2,0-()0,2()2,2-()()2,00,2-⋃OABC OA a OB b OC c === ，，M OA 2OM MA =N BC NM =121232a b c-+ 211322a b c-++211322a b c --211322a b c+- 1ax by +=22:1O x y +=(),P a b O P O P O P O 221:4240C x y x y ++--=222:3310C x y x y ++--=P 22142x y +=P A B 3= PB PA BA. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分，选错不得分）9. 关于空间向量，以下说法正确是（）A. 空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点，有，则四点共面C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D. 若，则是钝角10. 若三条不同的直线能围成一个三角形，则m 的取值不可能为（）A. B. C. D. 111. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A. 直线过定点 B. 若，则C. 的最小值为D. 的面积的最大值为2三、填空题（每题5分，共15分）的的22162x y +=221162x y +=22182x y +=221122x y +=22:132x y C +=12,,F F M C N E 22(5)(3)1x y -+-=1MN MF -4+4-5-2+O P ()2222:10x y E a b a b +=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E O 111632OP OA OB OC =++,,,P A B C {,,}a b c {,,}a b c a +0a b ⋅< ,a b <> 123:240,:10,:350l mx y m l x y l x y +++=-+=--=2-6-3-22:(2)(2)4M x y -+-=:220l kx y k +--=,C D O l 1,22T ⎛⎫⎪⎝⎭CD OM ⊥MCD △CD MCD △12. 已知点，若点在线段上，则的取值范围为__________.13. 若直线与曲线()有一个交点，则实数k 的取值范围是_______.14. 已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15. 已知直线．（1）若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；（2）若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．16. 已知，，过A ，B 两点作圆，且圆心在直线l ：上．（1）求圆的标准方程；（2）过作圆的切线，求切线所在的直线方程．17. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线与曲线相交于点D ，E ，弦长，求直线的方程．18. 如图，已知矩形所平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，，且.（1）设点为棱的中点，求证：平面；（2）求平面与平面的所成角的余弦值；（3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.在()()1,3,3,1A B (),M x y AB 2yx -:30l kx y k -+=1C y =-1y ≠()2,0A -()2,0B ()0,2C ()1,0E-()10F ,F BC DBC AC AE FD :230l x y ++=m l ()1,2-m n l n ()3,0A ()1,2B -M 240x y +-=M ()5,3N M x C ()0,3A 12C 32C DE =ABCD ABPE AB 2AB BP ==1AD AE ==DE =AE AB ⊥//AE BP M PD //EM ABCD PED PDC PD N BN PCD 25N19. 如图，椭圆，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点的直线l 交C 于A 、B 两点，交直线于点P ．若，，证明：为定值，并求出这个定值．的()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0M 4x == PA AM λPB BM μ=λμ+重庆市秀山高级中学校高2026届2024年秋期10月考试数学试题卷一、单选题（每题5分，共40分）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】C二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分，选错不得分）9.【答案】ABC10.【答案】ABC11.【答案】ABD三、填空题（每题5分，共15分）12.【答案】13.][ () ,31,-∞-⋃+∞【答案】14. 【答案】四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15. 【解析】【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；（2）设，得到面积表达式求出值即可.【小问1详解】由题意设直线的方程为:，由直线经过得:，解得:，直线的方程为:，即.【小问2详解】由题意设直线的方程为:，令，则;令，则，所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，解得:，所以直线的一般式方程为.16. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解.【小问1详解】依题意，设圆的标准方程为，311(,442⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭20x y t -+=(1,2)-20x y c ++=c m 20x y t -+= m (1,2)-50t +=5t =-∴m 250x y --=1522y x =-n 20x y c ++=0x =y c =-0y =2c x =-n 1||222cS c =⨯-⨯-=c =±n 20x y +±=M ()()()2220x a y b r r -+-=>则，解得，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为，此时圆心到直线的距离，满足题意；若所求直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，即.综上，切线方程为或.17. 【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据求得直线的方程.【小问1详解】由题意得，解得，，椭圆的方程为.【小问2详解】设直线：，，()()()()2222223012240a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+--=⎨⎪+-=⎪⎩322a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩M ()()22324x y -++=()3,2M -2r =()5,3N 5x =()3,2M -5x =2d r ==k 3(5)y k x -=-530kx y k --+=2d 2120k =213(5)20y x -=-2120450x y --=5x =2120450x y --=,b a C DE DE =DE 222312b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩23c =212a =∴C 221129x y +=DE ()113,,2y x m D x y =+()22,E x y联立并整理得，，所以，，解得，符合，直线方程为，即．18. 【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可；（3）假设存在，设，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可.【小问1详解】由已知，，可知，则，又矩形中有，且，平面，所以平面，又，则平面，所以两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，22321129y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩223390x mx m ++-=1221293x x m m x x +=-⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩2DE x ∴=-===3m =±()22Δ9129810m m =--=>∴DE 332=±y x 3260x y -±=AD AE ⊥()01PN PD λλ=≤≤1AD AE ==DE =222DE AE AD =+AD AE ⊥ABCD AD AB ⊥AE AB ⊥,AE AB A AE AB =⊂ 、ABEP AD ⊥ABEP //BC AD ⊥BC ABEP ,,BA BP BC B ,,BA BP BC x y z则，所以.易知平面的一个法向量等于，所以，所以，又平面，所以平面.【小问2详解】因为，设平面的法向量为，由，得，取，则，即为平面的一个法向量，因为，设平面的法向量为，由，得，取，则，即为平面的一个法向量，设平面与平面的所成角为，则；【小问3详解】()()()()10,2,0,2,0,1,1,1,,2,1,0,0,0,12P D M E C ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,0,2EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD 11001002EM n ⋅=-⨯+⨯+⨯= EM n ⊥ EM ⊄ABCD //EM ABCD ()()2,2,1,2,0,0PD CD =-=PCD 110n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩11y =110,2x z ==()10,1,2n =PCD ()()2,2,1,2,1,0PD PE =-=-PED ()2222,,n x y z =2200n PD n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222222020x y z x y -+=⎧⎨-=⎩21x =222,2y z ==()21,2,2n =PED PED PCDθ121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.理由如下：假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于.设，则.所以.所以，解得或(舍去)，因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于.19. 【解析】【分析】（1）由已知得，即可得椭圆方程；（2）令，，，联立椭圆方程并应用韦达定理得，，再由向量数量关系的坐标表示得到关于参数k 的表达式，将韦达公式代入化简即可证.【小问1详解】由题设，又，则，所以椭圆C的标准方程为.N D BN PCD 25PD N BN PCD α25()01PN PD λλ=≤≤()()()2,2,12,2,,2,22,PN BN BP PN λλλλλλλ=-=-=+=-111sin cos ,BN n BN n BN n α⋅==⋅25===29810λλ--=1λ=19λ=-PD N N D BN PCD 25a ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩224,2a b ==:(1)l y k x =-1122()A x y B x y ,,(,)(4,3)P k 2122412k x x k +=+21222(2)12k x x k-=+λμ+122c a a ab a b ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⋅⋅=⎪⎩222a b c =+224,2a b ==22142x y +=1第11页【小问2详解】由题设，直线l 斜率一定存在，令，且在椭圆C 内，联立直线与椭圆并整理得，且，令，而，则，由，则且，得，同理由，则且，得，所以又，，则.所以为定值0.:(1)l y k x =-()1,0M 2222(12)4240k x k x k +-+-=0∆>1122()A x y B x y ,,(,)(4,3)P k 1111(4,3),)(1,PA x y k AM x y =--=-- = PA AM λ11114(1)3x x y k y λλ-=-⎧⎨-=-⎩11x ≠1141x x λ-=-2222(4,3),)(1,PB x y k BM x y =--=-- PB BM μ= 22224(1)3x x y k y μμ-=-⎧⎨-=-⎩21x ≠2241x x μ-=-121221121244(4)(1)(4)(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x λμ----+--+==---+-121212125()28()1x x x x x x x x +--=-++2122412k x x k +=+21222(2)12k x x k-=+λμ+=2222222222222242(2)5282048816121202(2)42441211212k k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅--+--++==---++-+++λμ+。
2019届重庆市高三上学期第一次月考数学(理)试卷Word版含解析
2019届重庆市高三上学期第一次月考数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A）∩B=（）1．设U=R，A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|x2﹣4＜0}，则（∁UA．{x|x≤﹣1，或x≥2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|﹣1≤x≤4} D．{x|x≤4}2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）D．y=sinxA．y=x2B．y=2|x|C．y=log25．已知α是第三象限角，tanα=，则cosα=（）A．B．C．﹣D．6．f（x）=﹣+logx的一个零点落在下列哪个区间（）2A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．已知f（x）=，则不等式x+2xf（x+1）＞5的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞） D．（﹣5，1）8．将函数y=3cos（2x+）的图象向右平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A ．B ． C. D ．11．已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足：函数y=f （x ﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x ∈（﹣∞，0），f （x ）+xf ′（x ）＜0（f ′（x ）是函数f （x ）的导函数）成立．若，b=（ln2）•，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b12．已知函数，若方程f （x ）=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞） B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将函数y=2sin （2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 ．14．已知函数y=f （x ﹣1）是奇函数，且f （2）=1，则f （﹣4）= ．15．已知f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）=ln （﹣x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，﹣3）处的切线方程是 ．16．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）﹣af （x ）=0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA﹣．（1）求角C的大小；（ 2）若，c=，求sinB和b的值．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？19．设f（x）=4sin（2x﹣）+．（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．20．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2•[f（x）﹣a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．21．已知f （x ）═ax ﹣﹣51nx ，g （x ）=x 2﹣mx+4 （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求a 的值；（2）当a=2时，若∃x 1∈（0，1），∀x 2∈[1，2]都有f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：，以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ（2cos θ﹣sin θ）=6．（1）将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C 2；试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（l）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．2019届重庆市高三上学期第一次月考数学（理）试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U=R，A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|x2﹣4＜0}，则（∁A）∩B=（）UA．{x|x≤﹣1，或x≥2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|﹣1≤x≤4} D．{x|x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合A、B，从而求出A的补集，再求出其和B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，则（∁A）∩B=[﹣1，4]∩（﹣2，2）=[﹣1，2），U故选：B．2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）D．y=sinxA．y=x2B．y=2|x|C．y=log2【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】利用基本初等函数的性质逐一判断得出结论．【解答】解：对于A，由二次函数性质可知，函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除A；对于B，由在（﹣∞，0）上y=得函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除B；对于C，当x∈（﹣∞，0）时，y=，由复合函数的单调性可知，函数在（﹣∞，0）上单调递增，且由偶函数的定义可知函数为偶函数，故正确；对于D，由正弦函数的性质可知为奇函数，故排除D．故选C．5．已知α是第三象限角，tanα=，则cosα=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cos α的值．【解答】解：∵α是第三象限角，tanα==，sin2α+cos2α=1，则cosα=﹣，故选：C．x的一个零点落在下列哪个区间（）6．f（x）=﹣+log2A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选B．7．已知f（x）=，则不等式x+2xf（x+1）＞5的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞） D．（﹣5，1）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据分段函数f（x）的解析式，讨论x的取值，解对应的不等式即可．【解答】解：由f（x）=知，当x+1＞1，即x＞0时，不等式x+2xf（x+1）＞5可化为x+2•2x＞5，解得x＞1；当x+1≤1，即x≤0时，不等式x+2xf（x+1）＞5可化为x﹣2x＞5，解得x＜﹣5；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．故选：B．8．将函数y=3cos（2x+）的图象向右平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：把函数y=cos（2x+）的图象向右平移m（m＞0）个单位，可得函数y=cos[2（x﹣m）+]=cos（2x﹣2m+）的图象．根据所得的图象关于原点对称，可得﹣2m+=kπ+，k∈z，即m=﹣﹣，k=﹣1时，m的最小值为，故选：D．9．已知函数f（x）=e|x|+x2，（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】先判定函数的奇偶性和单调性，然后将f（3a﹣2）＞f（a﹣1）转化成f（|3a﹣2|）＞f（|a﹣1|），根据单调性建立不等关系，解之即可．【解答】解：∵f（x）=e|x|+x2，∴f（﹣x）=e|﹣x|+（﹣x）2=e|x|+x2=f（x）则函数f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增∴f（﹣x）=f（x）=f（|﹣x|）∴f（3a﹣2）=f（|3a﹣2|）＞f（a﹣1）=f（|a﹣1|），即|3a﹣2|＞|a﹣1|两边平方得：8a2﹣10a+3＞0解得a＜或a＞故选A．10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D11．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b=（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴y=f（x）关于y轴对称，∴函数y=xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），∴当x ∈（﹣∞，0）时，[xf （x ）]'=f （x ）+xf'（x ）＜0，函数y=xf （x ）单调递减， 当x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减．∵，，，，∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．12．已知函数，若方程f （x ）=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f （x ），得到x 1，x 2关于x=﹣1对称，x 3x 4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f （x ）的图象如右，∵方程f （x ）=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4， ∴x 1，x 2关于x=﹣1对称，即x 1+x 2=﹣2， 0＜x 3＜1＜x 4， 则|log 2x 3|=|log 2x 4|， 即﹣log 2x 3=log 2x 4， 则log 2x 3+log 2x 4=0 即log 2x 3x 4=0 则x 3x 4=1；当|log 2x|=1得x=2或，则1＜x 4≤2；≤x 3＜1；故=﹣2x 3+，≤x 3＜1；则函数y=﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为y=2sin（2x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出函数的周期，利用三角函数图象平移求解即可．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为：π，将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，即向右平移，可得函数y=2sin（2x﹣+）=2sin（2x﹣）．故答案为：y=2sin（2x﹣）．14．已知函数y=f（x﹣1）是奇函数，且f （2）=1，则f （﹣4）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先推得函数y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）中心对称，由此得出恒等式：f（x）+f（﹣2﹣x）=0，再令x=2代入即可解出f（﹣4）．【解答】解：因为函数y=f（x﹣1）是奇函数，所以y=f（x﹣1）的图象点（0，0）中心对称，而f（x﹣1）的图象向左平移一个单位，即得f（x）的图象，所以，y=f（x）的图象关于点（﹣1，0）中心对称，因此，对任意的实数x都有，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，令x=2代入上式得，f（2）+f（﹣4）=0，由于f（2）=1，所以，f（﹣4）=﹣1，故答案为：﹣1．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作f（x）的图象，从而由f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0可得f（x）=a 有三个不同的解，从而结合图象解得．【解答】解：作f（x）的图象如下，，f2（x）﹣af（x）=f（x）（f（x）﹣a）=0，∴f（x）=0或f（x）=a；∵f（x）=0有两个不同的解，故f（x）=a有三个不同的解，故a∈（0，1）；故答案为：（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA﹣．（1）求角C的大小；（ 2）若，c=，求sinB和b的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理和商数关系即可得出；（2）利用三角函数的平方关系、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理即可得出．【解答】解：（1）由csinA﹣及，可得，∵A为△ABC的内角，∴sinA≠0．∴，即．∵C∈（0，π），∴．（2）由，A∈（0，π），∴=．∴sinB=sin（π﹣A﹣C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，在△ABC中，由正弦定理．得==．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=）+10x（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L设f（x）=4sin（2x﹣）+．（1）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的单调性与值域即可得出．（2）利用坐标变换得到的图象．可得．再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f（x）=4sin（2x﹣）+．sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值4+；sin（2x﹣）=﹣1时，函数f（x）取得最小值4﹣．（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象．∴．由．∴g（x）的单调减区间是．20．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2•[f（x）﹣a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性．【分析】（I）先设f（x）的图象上任一点P（x，y），再由点点对称求出对称的坐标，由题意把对称点的坐标代入h（x）的解析式，进行整理即可；（II）由（I）求出g（x）的解析式，再求出导数，将条件转化为：3x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，再分离出常数a，利用函数y=在区间[1，2]上的单调性求出函数的最小值，再求出a的范围．【解答】解：（I）设f（x）的图象上任一点P（x，y），则点P关于点A（0，1）对称P′（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上，∴2﹣y=﹣x﹣+2，得y=，即f（x）=，（II）由（I）得，g（x）=x2•[f（x）﹣a]=x2•[﹣a]=x3﹣ax2+x，则g′（x）=3x2﹣2ax+1，∵g（x）在区间[1，2]上为增函数，∴3x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤（）在区间[1，2]上恒成立，∵y=在区间[1，2]上递增，故此函数的最小值为y=4，则a≤4=2．21．已知f（x）═ax﹣﹣51nx，g（x）=x2﹣mx+4（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用x=2是函数f（x）的极值点，求出f′（2）=0，即可求出a的值；（2）对g（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有f（x1）≥g（x2）成立，只要要求f（x）max≥g（x）max，即可，从而求出m的范围．【解答】解：（1）∵f （x ）═ax ﹣﹣51nx ， ∴f ′（x ）═a+﹣，∵x=2是函数f （x ）的极值点，∴f ′（2）═a+﹣=0， ∴a=2，经检验a=2，x=2是函数f （x ）的极值点；（2）当a=2时，f （x ）=2x ﹣﹣5lnx ，g （x ）=x 2﹣mx+4=+4﹣，∃x 1∈（0，1），∀x 2∈[1，2]，总有f （x 1）≥g （x 2）成立， ∴要求f （x ）的最大值大于g （x ）的最大值即可，f ′（x ）=，令f ′（x ）=0，解得x 1=，x 2=2，当0＜x ＜，x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数；当＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数． ∵x 1∈（0，1），∴f （x ）在x=出取得极大值，也是最大值，∴f （x ）max =f （）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，∵g （x ）=x 2﹣mx+4=+4﹣，若m ≤3，g max （x ）=g （2）=4﹣2m+4=8﹣2m ，∴5ln2﹣3≥8﹣2m ，∴m ≥，∵＞3，故m 不存在；若m ＞3时，g max （x ）=g （1）=5﹣m ， ∴5ln2﹣3≥5﹣m ，∴m ≥8﹣5ln2．请考生在22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：，以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ（2cos θ﹣sin θ）=6．（1）将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C 2；试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 的直角坐标方程为2x ﹣y ﹣6=0，由于曲线C 2的直角坐标方程为：=1，可得曲线C 2的参数方程．（Ⅱ）设点P 的坐标（cos θ，2sin θ），则点P 到直线l 的距离为：d==，故当sin （60°﹣θ）=﹣1时，点P （﹣，1），从而得到d 的最大值．【解答】解：（Ⅰ） 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x ﹣y ﹣6=0，∵曲线C 2的直角坐标方程为： =1，∴曲线C 2的参数方程为：（θ为参数）．…（Ⅱ）设点P 的坐标（cos θ，2sin θ），则点P 到直线l 的距离为：d==，故当sin60°﹣θ）=﹣1时，点P （﹣，1），此时d max =2．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+a|+|2x ﹣1|（a ∈R ）． （l ）当a=1，求不等式f （x ）≥2的解集；（2）若f （x ）≤2x 的解集包含[，1]，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．【解答】解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．。
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重庆市秀山高级中学校2019届高三第四次月考1 重庆市秀山高级中学校2019届高三第四次月考 阅读下面文字，完成小题。 传统手工技艺是民众在长期的生产生活实践中发明、积累和传承下来的，具有丰富的历史、科技、人文内涵和独特的价值。它一般以天然原材料为主，有完整的工艺流程，采用传统的手工，有鲜明的地域特色和传统审美意趣。它不只为人们简单的生活所需，更蕴含了人类的聪明才智和情感追求。木雕、泥塑、剪纸、皮影、年画等不仅给人以美的愉悦，更具有丰富的文化内涵和艺术价值。 传统手工技艺是当前非物质文化遗产生产性保护的核心。非物质文化遗产生产性保护是指在具有生产性质的实践过程中，以保持非物质文化遗产的真实性、整体性和传承性为核心，以有效传承非物质文化遗产技艺为前提，借助生产、流通、销售等手段，将非物质文化遗产及其资源化为文化产品的保护方式。这种保护方式使传统手工技艺回归民众日常生活，在生产实践中创新和发展，实现传统手工技艺的持久传承。 传统手工技艺类非物质文化遗产生产性保护（以下简称生产性保护）的根本是保持其核心技艺和核心价值。相较于处于濒危状态的非物质文化遗产抢救性保护和文化积淀深厚、非遗项目较为集中的整体性保护，生产性保护是贴近百姓生活、在生产中能产生经济效益和社会效益的保护方式，这种活态保护方式的目的是使传统手工技艺持久传承下去。这需要三个条件：一是作为生产性保护核心的传统手工技艺不能中断。传统手工技艺不仅仅是一种生产技术，还包含了丰富的文化内涵，是地域文化的象征，是文脉延续的保证。二是传承人要有主动性、能动性。传承人是将技艺代代传承下去的活的载体，优秀的传承人不但从先辈那里继承技艺，还能根据生活的变化予以创新，如此才能使传统手工技艺代代相传。这里不可忽略的一个因素是，要让传承人拥有高于最起码是等同于同龄人的收入，使他们能以某项技艺谋生，以拥有某项技艺为荣，能取得经济效益，如此他们才能有将某项技艺传承下去的动力。一项再好的传统手工技艺，如果生产的产品没有市场，传承人没有收入来源，只让他们在贫困中死死守候，那这项技艺也不会长久。三是传统手工技艺不是孤立存在的，它源于生活，有适宜它存在的土壤，有较显著的地域特色。那种仅在博物馆或旅游景区展示的传统手工技艺只能是作为人们对传统文化的一种记忆。尽可能多地保留传统手工技艺存在的文化空间，营造适宜传统手工技艺生存的文化环境，在生产和生活的互动中保护，是使传统手工技艺延续下去的良策。 （摘编自朱以青《传统技艺的生产保护与生活传承》） 1. 下列关于原文内容的理解和分析，正确的一项是（ ） A. 传统手工技艺具有地域特色，陶艺、刺绣、油画等体现了中国人的智慧及审美意趣。 B. 生产性保护的目的就是通过将传统手工技艺及其资源化为文化产品从而实现有效传承。 C. 生产性保护的任务不在于对其文化产品的保护，而是要保持其核心技艺和核心价值。 D. 将传统手工技艺展示在博物馆或旅游景区中，对传统手工技艺的保护和传承没有意义。 2. 下列对原文论证的相关分析，不正确的一项是（ ） A. 传统手工技艺富含民众的审美观念、情感追求等，这是阐述生产性保护方式的前提。 B. 关于传统手工技艺，文章先指出特点，接着提出保护方式，最后阐述持久传承的条件。 C. 文章第三段从三个方面阐述如何实现生产性保护，这三个方面是相互依存的关系。 D. 文章第二段围绕传统手工技艺是当前非物质文化遗产生产性保护的核心展开论证。 3. 根据原文内容，下列说法不正确的一项是（ ） A. 生产性保护并不排斥传统手工技艺走向市场，适度的开发与利用也是保护的一种方式。 B. 不注重生存土壤、文化空间的保留和文化环境的营造，传统手工技艺就无法生存延续。 C. 传统手工技艺的保护与传承是个复杂的问题，生产性保护只是解决这个问题的一种方式。 D. 传统手工技艺只要回归百姓生活，在生产中不断创新和发展，就能获得持久的生命力。 【答案】1. B 2. D 3. D 【解析】 【1题详解】 此题考核筛选文中的信息能力，答题时要仔细对读选项和原文，重点注意选项的表述和文中内容的整合或述的差别。题中A项，油画等体现了中国人的智慧及审美意趣错误，油画不是，不属于中国传统手工业；C项，不在于对其文化产品的保护错误，对其文化产品的保护也是任务之一；D项，没有意义错误，曲解原意，原文那种仅在博物馆或旅游景区展示的传统手工技艺只能是作为人们对传统文化的一种记忆。故选B。 【2题详解】 此题考核分析论点、论据和论证方法的能力。答题时注意分析文章的思路，中心论点和分论点的关系，论点和论据之间的关系，论证方法的类型，重点考核为论点是否正确，论据证明的是什么观点和论证的方法。题中D 项，并未围绕传统手工技艺是当前非物质文化 遗产生产性保护的核心展开论证。故选D。 【3题详解】 此题考核归纳内容要点的能力，侧重根据文意进行推断。重点注意选项的表述和文中内容的整合或述以及句子之间的关系的细微差别。题中D项，只要……就……错，过于绝对。故选D。 【点睛】归纳内容要点，概括中心意思重点集中在对文中的观点的正误进行考核，错误类型注意有无中生有，张冠李戴、曲解文意、偷换概念、混淆范围、强拉因果等。考核的方式是改变句子含义从而出现选项的观点和文中的观点不一致，文中他人的观点和的观点混淆，对文中的观点概括错误等方式。 阅读下面的文字，完成小题。 乡村教师(节选) 刘慈欣 他知道,这最后一课要提前讲了。 他忍住几乎使他晕厥过去的剧痛,艰难地移近床边的窗口,看着远处的村庄。从自己的老师为救自己被狼咬死的那一刻起,他这一生就属于黄土高原上这个偏远的小山村了。 窗外的田垅上,娃们在为他烧香和烧纸了。 半年前,他拿起扁担和想从校舍取椽子去修村头老君庙的几个人拼命,被人打断了两根胁骨。送到镇医院,竟又发现他患了食道癌,但他没有去管,实在没钱管。从镇医院出来,他把身上所有的钱都买了书。 在距地球五万光年的银河系的中心,一场延续了两万年的星际战争已接近尾声。 碳基联邦舰队将完成碳硅战争中最后一项使命:摧毁大部分恒星,建立一条五百光年宽的隔离带,免除硅基帝国对银河系中心区域的碳基文明的任何威胁。隔离带中只有形成3C级以上文明的恒星系才会被保护。 夜深了,烛光中,娃们围在老师的病床前。 他把剩下的12片止疼药一把吞了下去,他知道以后再也用不着了。他挣扎着想在黑板上写字,但头突然偏向一边,一个娃赶紧把盆接到他嘴边,他吐出了一口黑红的血,然后虚弱地靠在枕头上喘息着。 娃们中有了低低的抽泣声。 他让他们记住牛顿第一定律,记住牛顿第三定律,最后才让他们去记最难懂的牛顿第二定律。孩子们哭着记住了,他们知道记不下来,老师是不会放心的。 发射奇点炸弹! 一团团似乎吞没整个宇宙的强光又闪起,然后慢慢消失…… 隔离带在快速推进。直到他们遇到太阳系的三号行星。 3号行星检测,检测30个随机点。这所山村小学,正好位于检测波束圆形覆盖区的圆心上。 1号随机点检测。 结果……绿色结果,绿色生命信号! 开始3C级文明测试。 1号测试未通过,2号测试未通过……10号测试未通过, 发射奇点炸弹! 最高执政官突然想起什么:继续测试。 11号测试题未通过! 12号测试题未通过! 3C文明测试试题13号:当一个物体没有受到外力作用时,它的运行状态如何? 数字宇宙广漠的蓝色空间中突然响起了孩子们清脆的声音:当一个物体没有受到外力作用时,它将保持静止或匀速直线运动不变。 3C文明测试试题13号通过!3C文明测试试题14号…… 3C文明测试试题14号:请叙述相互作用的两个物体间力的关系。 孩子们说:当一个物体对第二个物体施加一个力,这第二个物体也会对第一个物体施加一个力,这两个力大小相等,方向相反! 3C文明测试试题14号通过!3C文明测试试题15号:对于一个物体,请说明它的质量,所受外力和加速度之间的关系。 孩子们齐声说:一个物体的加速度,与它所受的力成正比,与它的质量成反比! 3C文明测试试题15号通过,文明测试通过!确定目标恒星500921473的3号行星上存在3C级文明。 奇点炸弹向!脱离目标!!太阳系,推送奇点炸弹的力场束弯曲了,奇点炸弹撞断了一条日珥,掠过太阳,亮度很快暗下来,最后消失在茫茫太空的永恒之夜中。[来源:学+科+网Z+X+X+K] 那些娃们什么也没觉察到,校舍里微弱的烛光下,他们围着老师的遗体,不知哭了多长时间。 最后,娃们决定自己掩埋自己的老师。他们拿了锄头铁锹,在学校旁边的山地上开始挖墓坑,灿烂的星在整个宇宙中静静地看着他们。 天啊!这颗行星上的文明不是3C级,是5B级!!参议员惊呼起来。 他们已经开始使用核能,并用化学推进方式进入太空,甚至已登上了他们所在行星的卫星。 这个行星上生命体记忆遗传的等级是多少? 他们没有记忆遗传,所有记忆都是后天取得的。 那么,他们个体之间的信息交流方式是什么? 极其原始,也十分罕见。他们身体内有一种很薄的器官在大气中振动时可产生声波,同时把要传输的信息调制到声波之中,接收方也用一种薄膜器官从声波中接收信息。 这种方式信息传输速率是多大? 大约每秒1至10比特。 上尉!舰队统帅大怒,你是想告诉我们,一种没有记忆遗传,相互间用声波以令人难以置信的每秒1至10比特的速率进行交流的物种,能创造出5B级文明?!且这种文明是在没有任何外部高级文明培植的情况下自行进化的?! 但,阁下,确实如此。 但在这种状态下,这个物种根本不可能在每代之间积累和传递知识,而这是文明进化所必需的! 他们有一种个体,有一定数量,分布于这个种的各个角落,充当两代生命体之间知识传递的媒介。 你是说那种在两代生命体之间传递知识的个体? 他们叫教师。 教——师? 娃们造好那座新坟,东方已经放亮了。娃们在那个小小的坟头上立了一块石板,上面用粉笔写着李老师之墓。 4. 下列对文本相关内容和艺术特色的分析鉴赏,不正确的一项是( ) A. 小说开篇包含了丰富的信息,让我们大概了解了李老师的基本情况,包括身体情况、工作情况、经济状况和他同孩子们之间的关系。 B. 文本采用双线结构,一条是老师上课至生命最后一刻;另一条是碳基舰队在建立隔离带时找寻并保留3C文明。双线互为呼应,并行不乱。 C. 天上地下截然不同的场景换和故事内容,给小说带来了奇幻的色彩,也确实给读者带来了阅读科幻小说独有的体验。 D. 文本中李老师这个乡村教师卑微不幸,作为一个悲情角色,恰如其分地表现了小说的悲剧主题,引发了我们对其深深的同情。 5. 文中划线句子这所山村小学,正好位于检测波束圆形覆盖区的圆心上有何作用? 6. 一篇优秀的科幻小说往往蕴含着丰富的人文精神。本文蕴含了哪些人文精神? 请结合文本简要分析。 【答案】4. D 5. 构思巧妙：是两条线索的交汇点，串接起了两个不同时空故事，即一方面银河系碳基舰